Analyysin peruslause

LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta II voidaan kuitenkin sanoa jotakin. ja Lause 10.1. Olkoon F : [a, b] kasvava funktio. Tällöin F L 1 ([a, b]) F (x) dm(x) F (b) F (a). Todistus. Jatketaan F välille (b, ) asettamalla F (x) = F (b), kun x > b. Määritellään F n : [a, b], F n (x) = n (F (x + 1 n ) F (x)). Koska Lebesguen derivointilauseen 9.1 nojalla F on derivoituva melkein kaikkialla, on F n (x) F (x) melkein kaikille x [a, b]. Koska F on kasvava, on F einegatiivinen. Samoin funktion F kasvavuudesta seuraa, että F n on jatkuva melkein kaikkialla (funktion F n epäjatkuvuuspisteiden joukko on numeroituva), joten jokainen F n on mitallinen. Tällöin rajafunktio F on mitallinen. Fatoun lemman nojalla F (x) dm(x) lim inf F n (x) dm(x). Tässä ( F n (x) dm(x) = n 1 Viimeksi muutettu 15.10.2007. F (x + 1 n ) dm(x) ) F (x) dm(x) ( ) = n F (t) dm(t) F (x) dm(x) [a+ 1 n,b+ 1 n ] ( ) = n F (t) dm(t) F (x) dm(x) [b,b+ 1 n ] [a,a+ 1 n ( ] ) n F (b) dm(t) F (a) dm(x) = F (b) F (a), [b,b+ 1 n ] [a,a+ 1 n ] 60

10.1. PUSLAUS I 61 missä toinen yhtäsuuruus saadaan muuttujanvaihdolla (lause 3.17) ja viimeisen rivin epäyhtälö seuraa funktion F kasvavuudesta. Väitteen molemmat kohdat seuraavat nyt Fatoun lemmasta. Seuraava lause on analyysin peruslause I Lebesgue-integroituville funktioille. Lause 10.2 (Analyysin peruslause I). Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Todistus. Kun funktio f esitetään positiivi- ja negatiiviosansa avulla muodossa f = f + f, on F (x) = f + (t) dm(t) f (t) dm(t), missä molemmat funktiot x f ± (t) dm(t) ovat kasvavia. Lebesguen derivointilauseen 9.1 nojalla nämä funktiot ovat derivoituva melkein kaikkialla, joten myös F on derivoituva melkein kaikkialla. Osoitetaan, että F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Oletetaan, että f(x) = 0, kun x < a tai x > b. Tapaus 1 : f = χ I, missä I = (α, β) [a, b]. Nyt 0, jos a x α, F (x) = l(i [a, x]) = x α, jos α x β, ja β α, jos β x b. Väite seuraa tästä. Tapaus 2 : f on porrasfunktio. Koska ehto F = f on lineaarinen, seuraa väite edellisestä kohdasta. Tapaus 3 : f on yläfunktio. Olkoon (s n ) n=1 kasvava porrasfunktiojono siten, että s n f melkein kaikkialla. Asetetaan S n (x) = s n (t) dm(t). Tällöin F (x) = lim S n (x) = S 1 (x) + (S k (x) S k 1 (x)) k=2

10.1. PUSLAUS I 62 kaikille x [a, b]. Tässä jokainen sarjan termi on muuttujan x kasvava funktio, koska s n s n 1 0. Fubinin 9.2 lauseen ja edellisen kohdan avulla saadaan F (x) = S 1(x) + (S k(x) S k 1(x)) = s 1 (x) + k=2 (s k (x) s k 1 (x)) k=2 = lim s n (x) = f(x) melkein kaikkialla. Tapaus 4 : f L 1. sitetään f muodossa f = g h, missä g ja h ovat yläfunktioita. Väite seuraa nyt edellisestä kohdasta. Määritelmä 10.3. Funktio F : [a, b] on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b], jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että kun (a j, b j ) [a, b], j = 1,..., n, ovat pareittain pistevieraita avoimia osavälejä, joille (b j a j ) < δ, niin f(b j ) f(a j ) < ε. simerkki 10.4. a) Oletetaan, että F : [a, b] toteuttaa Lipschitzin ehdon: jollekin M pätee f(x) f(y) M x y Tällöin F on absoluuttisesti jatkuva. kaikille x, y [a, b]. b) Jos F on derivoituva välillä [a, b] (päätepisteissä toispuoliset derivaatat) ja F on rajoitettu, niin F toteuttaa Lipschitzin ehdon, joten F on absoluuttisesti jatkuva. c) Cantorin funktio (=Lebesguen singulaarifunktio) ψ ei ole absoluuttisesti jatkuva. Tämä nähdään ehkä mukavimmin osoittamalla aluksi, että absoluuttisesti jatkuva funktio kuvaa nollamittaiset joukot nollamittaisiksi joukoiksi. Cantorin funktio kuitenkin kuvaa Cantorin joukon C komplementtijoukon [0, 1] \ C numeroituvaksi joukoksi =: D, joten ψ(c) = [0, 1] \ D, mikä ei ole nollamittainen. Lause 10.5. Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b]. Lause on melko helppo todistaa seuraavan yleisemmän tuloksen avulla: Lause 10.6. Olkoon f L 1. Jokaiselle M asetetaan f := f(t) dm(t) := f(t)χ (t) dm(t). Tällöin jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f < ε kaikille M, joille m() < δ.

10.2. AJOITTUSTI HILAHTLVAT FUNKTIOT 63 Todistus. Jokaiselle n Z + asetetaan A n = {x f(x) n} ja g n := fχ An. Tällöin A n M, joten g n on mitallinen. Lisäksi g 1 g 2... g n..., g n f ja g n f L 1 kaikille n Z +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla g n = f. lim Olkoon ε > 0. Valitaan n Z + siten, että f g n < ε/2. Asetetaan δ = ε/(2n). Kun M ja m() < δ, on f = ( f g n ) + g n ( f g n ) + nχ < ε/2 + n m() < ε/2 + n δ = ε. 10.2. ajoitetusti heilahtelevat funktiot Määritelmä 10.7. Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Merkitään V (f, P ) = V (P ) = F (x k ) F (x k 1 ). Määritellään funktion G kokonaisheilahtelu V F (a, b) välillä [a, b] asettamalla V F (a, b) = sup{v (P ) P on välin [a, b] jako}. Lisäksi asetetaan V F (a, a) = 0. Sanotaan, että F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b], jos V F (a, b) <. Lause 10.8. Olkoot F : [a, b] annettu funktio ja c [a, b]. Tällöin V F (a, b) = V F (a, c) + V F (c, b). Todistus. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Valitaan m {1,..., n} siten, että x m 1 c x m. Merkitään Koska P 1 = {[x 0, x 1 ],..., [x m 2, x m 1 ], [x m 1, c]} P 2 = {[c, x m ], [x m, x m+1 ],..., [x n 1, x n ]}. F (x m ) F (x m 1 ) F (c) F (x m 1 ) + F (x m ) F (c), on V (F, P ) V (F, P 1 ) + V (F, P 2 ) V F (a, c) + V F (c, b). Tästä seuraa, että V F (a, b) V F (a, c) + V F (c, b). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoot α < V F (a, c) ja β < V F (c, b). Tällöin väleillä [a, c] ja [c, b] on jaot P 1 ja P 2 siten, että V (F, P 1 ) > α ja V (F, P 2 ) > β. Tällöin α + β < V (F, P 1 ) + V (F, P 2 ) = V (F, P 1 P 2 ) V F (a, b).

10.2. AJOITTUSTI HILAHTLVAT FUNKTIOT 64 Koska α ja β ovat mielivaltaiset, seuraa tästä, että V F (a, c) + V F (c, b) V F (a, b). Lause 10.9 (Camille Jordan). Jokainen rajoitetusti heilahteleva funktio voidaan esittää kahden kasvavan funktion erotuksena. Todistus. Olkoon F : [a, b] rajoitetusti heilahteleva. Asetetaan G(x) := V F (a, x) ja H(x) := F (x) V F (a, x). Tällöin G + H = F. dellisen lauseen nojalla G on kasvava (y > x = G(y) = V F (a, y) = V F (a, x) + V F (x, y) V F (a, x)). iittää siis osoittaa, että H on kasvava. Olkoon y > x. Tällöin H(y) H(x) = V F (a, y) V F (a, x) (F (y) F (x)) V F (x, y) F (y) F (x). Kun kokonaisheilahtelun määritelmässä esiintyvissä summissa V (P ) käytetään välin [x, y] jakoa P = {[x, y]} nähdään, että F (y) F (x) V F (x, y). Siis H(y) H(x) 0, mistä väite seuraa. Lause 10.10. Olkoon F : [a, b] rajoitetusti heilahteleva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F L 1 ([a, b]). Todistus. dellisen lauseen nojalla F voidaan esittää muodossa F = G H, missä G ja H ovat kasvavia. Lebesguen derivointointilauseen 9.1 nojalla G ja H ovat derivoituvia melkein kaikkialla. Väite seuraa lauseesta 10.1. Lause 10.11. Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b]. Lisäksi V F (a, b) = f(t) dm(t). Todistus. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Tällöin F (x k ) F (x k 1 ) = f(t) dm(t) Tästä seuraa, että V F (a, b) [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] f(t) dm(t) = f(t) dm(t). f(t) dm(t). Koska f L 1 ([a, b]), on V F (a, b) <, joten F rajoitetusti heilahteleva. Käänteisen epäyhtälön todistaminen sivuutetaan tässä (löytyy esimerkiksi Natansonin kirjasta [27, Kap. IX, 4, Satz 8]). Lukijaa kehotetaan kuitenkin käymään todistus läpi tapauksessa, missä f on jatkuva. Lause 10.12. Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b].

10.3. PUSLAUST II JA III 65 Todistus. Olkoon δ > 0 lukua ε = 1 vastaava arvo absoluuttisen jatkuvuuden määritelmässä, m m ( ) (b j a j ) < δ = f(b j ) f(a j ) < ε = 1. Jaetaan väli [a, b] osaväleihin [x k 1, x k ], k = 1,..., n, a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Oletetaan, että osaväleille on voimassa x k x k 1 < δ kaikille k = 1,..., n. Kun ehtoa ( ) sovelletaan osaväliin [x k 1, x k ], nähdään että V F (x k 1, x k ) 1 kaikille k = 1,..., n. Siis V F (a, b) = V F (x k 1, x k ) n <. 10.3. Peruslauseet II ja III Lause 10.13 (Analyysin peruslause II). Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla, F L 1 ([a, b]) ja F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. Tämän väitteen todistus on kohtalaisen tekninen, ja se esitetään useammaksi osatulokseksi jaettuna. Lemma 10.14. Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin kuvajoukko F (A) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. Todistus. Olkoot ε > 0 ja δ > 0 kuten absoluuttisen jatkuvuuden määritelmässä. Olkoot A [a, b] nollamittainen ja (a j, b j ), j Z +, pareittain pistevieraat välit siten, että (a j, b j ) [a, b], A \ {a, b} (a j, b j ) ja (b j a j ) < δ. Valitaan c j, d j [a j, b j ] siten, että F ([a j, b j ]) = [F (c j ), F (d j )]. Tällöin välit [F (c j ), F (d j )], j Z +, peittävät kuvajoukon F (A \ {a, b}) ja näiden yhteenlasketulle pituudelle on (F (d j ) F (c j )) ε. Väite seuraa tästä. Seuraavan lemman väite ja todistus kaipaavat avukseen enemmän tietoja, joita meillä on käytettävissämme. Lemmassa käytetään kaikille joukoille määriteltyä Lebesguen ulkomittaa m (). Todistus on seurattavissa vaikka ulkomittaa ja sen ominaisuuksia ei tunnekaan. Tällöin täytyy kuitenkin tehdä sellaiset lisäoletukset, että kaikki väitteessä ja todistuksessa esiintyvät joukot ovat mitallisia. Mitallisille

10.3. PUSLAUST II JA III 66 joukoille on m () = m(). Lemmaa tullaan jatkossa soveltamaan absoluuttisesti jatkuviin funktioihin, jotka ovat erityisesti jatkuvia funktioita. Jatkuville funktioille osa esiintyvistä joukoista (joukot B n ) on helposti osoitettavissa mitallisiksi, mutta ongelma säilyy kuvajoukkojen F (B n ) kohdalla. On nimittäin olemassa jatkuvia funktioita f siten, että kuvajoukko f() ei ole mitallinen kaikille mitallisille joukoille. Lemma 10.15. Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Oletetaan, että B [a, b] ja β 0 ovat sellaiset, että D + F (x) β ja D F (x) β kaikille x B. Tällöin m (F (B)) β m (B). Todistus. Olkoon ε > 0. Jokaiselle n Z + asetetaan B n = {x B F (x + h) F (x) < (β + ε) h, kun h 0, a < x + h < b, h < 1/n}. Tällöin B 1 B 2 B 3... ja n=1 B n = B. Lausetta 7.4 (kohta iv) vastaavan tuloksen nojalla m (F (B)) = lim m (F (B n )). Osoitetaan, että kaikille n Z + on voimassa m (F (B n )) < (β + ε)(m (B n ) + ε). Väite seuraa tästä. Kiinnitetään n Z +. Olkoon (I j ) jono välin (a, b) osavälejä siten, että B n I j, m(i j ) < 1/n kaikille j Z + ja m(i j) < m (B n ) + ε. Joukon B n määritelmän nojalla on kun s, t B n I j. Siis ( m (F (B n )) = m (F F (s) F (t) < (β + ε)m(i j ), )) ( (B n I j ) = m m (F (B n I j )) ) F (B n I j ) diam(f (B n I j )) (β + ε) m(i j ) < (β + ε)(m (B) + ε). Tässä on käytetty hyödyksi ulkomitan ominaisuutta m () diam() = joukon halkaisija = sup{ x y x, y }. Seuraus 10.16. Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Oletetaan, että on olemassa B [a, b] siten, että F (x) on olemassa ja F (x) = 0 kaikille x B. Tällöin F (B) on nollamittainen. Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta, kun β = 0. Kun kuvajoukon ulkomitta m (F (B)) = 0, on kuvajoukko nollamittainen. Lause 10.17 (Analyysin peruslause III). Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Jos F (x) = 0 melkein kaikille x [a, b], niin F on vakiofunktio.

*10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 67 Todistus. Olkoot B = {x (a, b) F (x) = 0} ja A = [a, b] \ B. Oletuksen nojalla A on nollamittainen. Lauseen 10.14 nojalla kuvajouko F (A) on nollamittainen. dellisen seurauksen nojalla kuvajouko F (B) on nollamittainen. Siis F ([a, b]) = F (A B) = F (A) F (B) on nollamittainen. Toisaalta, koska F on jatkuva, on välin [a, b] kuvajoukko F ([a, b]) myös väli. Nollamittaisena kuvajoukon pitää kutistua yhden pisteen joukoksi. Lauseen 10.13 todistus. Lauseen 10.12 nojalla F on rajoitetusti heilahteleva. Lauseen 10.10 nojalla F on derivoituva melkein kaikkialla ja F L 1 ([a, b]). Asetetaan G(x) = F (t) dm(t). Lauseen 10.5 nojalla G on absoluuttisesti jatkuva ja G = F melkein kaikkialla. Tällöin H := F G on absoluuttisesti jatkuva ja H = 0 melkein kaikkialla. dellisen lauseen nojalla H on vakiofunktio, joten F (x) G(x) = H(x) = H(a) = F (a) G(a) = F (a) kaikille x [a, b]. Analyysin peruslauseet voidaan esittää myös seuraavana yhteenvetolauseena: Lause 10.18. Olkoon F : [a, b] annettu funktio jatkuva. Tällöin F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) F on derivoituva melkein kaikkialla; (ii) F L 1 ([a, b]), ja (iii) F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. Funktion absoluuttisen jatkuvuuden selvittäminen suoraan määritelmän avulla on yleensä hankalaa. Kohdassa Täydentäviä tuloksia esitetään yksi vähemmälle huomiolle jäävä tulos, joka helpottaa absoluuttisen jatkuvuuden selvittämistä, ja joka antaa helpon menetelmän varmistaa, että analyysin peruslause II on voimassa annetulle funktiolle. Tässä yhteydessä kannattaa palauttaa mieleen harjoitustehtävänä käsitelty, yksi Lebesguen väitöskirjan tärkeistä tuloksista ([22, No. 28]): Jos F : [a, b] on derivoituva koko välillä [a, b] ja F on rajoitettu, niin F (x) dm(x) = F (b) F (a). *10.4. Täydentäviä tuloksia Lause *10.19. Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Oletetaan, että on olemassa numeroituva joukko D [a, b] siten, että (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b] \ D; sekä (ii) f L 1 ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. rityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Tämän väitteen todistamiseen tarvitaan kolme aputulosta. Lemma *10.20. Olkoon [a, b] nollamittainen joukko. Tällöin on olemassa absoluuttisesti jatkuva kasvava funktio ψ : [a, b] siten, että ψ (x) = + kaikille x.

*10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 68 Todistus. Koska on nollamittainen, on jokaiselle n Z + olemassa avoin joukko A n siten, että A n ja m(a n ) < 1/2 n. Voidaan lisäksi olettaa, että joukot A n muodostavat vähenevän jonon, A 1 A 2 A 3.... Olkoon ϕ n = n χ A k. Tällöin jono (ϕ n ) n=1 on kasvava ja ϕ n (x) dm(x) = χ Ak (x) dm(x) = m(a k ) < 1/2 k < 1. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla jono (ϕ n ) n=1 suppenee melkein kaikkialla ja rajafunktio ϕ := lim ϕ n L 1 ([a, b]). Huomaa, että ϕ n (x) = n, kun x A n. Asetetaan ψ(x) = ϕ(t) dm(t) ja ψ n (x) = ϕ n (t) dm(t). Olkoon n Z +. Kun x ja h > 0 on riittävän pieni, on [x, x+h] A n. Tällöin ψ(x + h) ψ(x) = 1 ϕ(t) dm(t) h h [x,x+h] 1 ϕ n (t) dm(t) 1 n dm(t) = n. h [x,x+h] h [x,x+h] Tästä seuraa, että ψ +(x) = +. Vastaavasti osoitetaan, että ψ (x) = +. Lemma *10.21 (A. Zygmund). Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Asetetaan F = {x [a, b) D + f(x) 0}. Oletetaan, että kuvajoukko f(f ) ei sisällä yhtään avointa väliä. Tällöin f on kasvava. Todistus. Antiteesi: on olemassa c, d [a, b) siten, että c < d ja f(c) > f(d). Osoitetaan, että (f(d), f(c)) f(f ). Olkoon y 0 (f(d), f(c)). Asetetaan (piirrä kuva) x 0 = sup{x [c, d) f(x) y 0 }. Jatkuvuuden nojalla on f(x 0 ) = y 0. Koska y 0 > f(d), on x 0 < d. Luvun x 0 valinnan nojalla on f(x) < y 0, kun x (x 0, d). Tästä seuraa, että D + f(x 0 ) 0, joten x 0 F ja y 0 f(f ). Siis (f(d), f(c)) f(f ), mistä seuraa ristiriita oletuksen kanssa. Lemma *10.22. Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Oletetaan, että (i) Dinin derivaatta D + f on ei-negatiivinen melkein kaikkialla; (ii) joukko B = {x [a, b) D + f(x) = } on numeroituva. Tällöin f on kasvava. Todistus. Olkoon := {x (a, b) < D + f(x) < 0} Olkoot ε > 0 ja ψ lemman *10.20 mukainen, joukkoa vastaava funktio. Asetetaan σ(x) = ψ(x) + x ja g = f + ε σ.

*10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 69 Olkoon x ja D + f(x) >. Olkoon (h k ) sellainen lukujono, että h k > 0, h k 0 ja f(x+h k) f(x) h k D + f(x). Koska ψ (x) = +, on σ (x) = +, joten g(x + h k ) g(x) = f(x + h k) f(x) + ε σ(x + h k) σ(x) +. h k h k Olkoon nyt δ > 0 ja k 0 Z + niin suuri, että 0 < h k < δ, kun k > k 0. Tällöin g(x + h) g(x) sup 0<h<δ h g(x + h k) g(x) h k h k +. Tästä seuraa, että D + g(x) = +. (Huomaa, että funktioon f liittyen valittua jonoa (h k ) ei voi käyttää funktion g Dinin derivaattojen määräämiseen.) Olkoon nyt x ja x B. Tällöin D + f(x) D + f(x) 0. Koska σ on kasvava, on riittävän pienille h > 0 g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) σ(x + h) σ(x) f(x + h) f(x) = + ε. h h h h Tästä seuraa, että D + g(x) 0. Siis joukko F := {x [a, b) D + g(x) 0} on numeroituvan joukon B osajoukko. Tällöin joukko g(f ) ei voi tällöin sisältää avointa väliä. dellisen lemman nojalla g on kasvava. Olkoot nyt x, y [a, b), x < y. Tällöin f(x)+ε σ(x) = g(x) g(y) = f(y)+ε σ(y). Kun ε 0+, saadaan f(x) f(y). Lauseen *10.19 todistus. Jokaiselle n Z + olkoon g n = max(f, n) ja f n (x) = g n (t) dm(t). Dominoidun konvergenssin lauseen nojalla lim f n(x) = f (t) dm(t). Lauseen 10.2 nojalla f n on derivoituva melkein kaikkilla. Koska derivoituvalle funktiolle Dinin derivaatat yhtyvät tavalliseen derivaattaan, on melkein kaikille x (a, b) Lisäksi pienille h > 0 on f n (x + h) f n (x) h D + (f n f)(x) = f n(x) f (x) = g n (x) f (x) 0. = 1 h [x,x+h] g n (t) dm(t) 1 h [x,x+h] ( n) dm(t) = n. Näistä kahdesta epäyhtälöstä seuraa, että niissä pisteissä x, joissa f (x) on olemassa ja äärellinen, on D + (f n f)(x) >. Siis D + (f n f)(x) = vain joukon D pisteissä. Lemman *10.22 nojalla f n f on kasvava. Tällöin joten f n (x) f(x) f n (a) f(a) = f(a), f (t) dm(t) = lim f n (x) f(x) f(a). Korvaamalla f vastafunktiolla f päädytään käänteiseen epäyhtälöön.

*10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 70 Tähän loppuun on poimittu vielä muutama absoluuttiseen jatkuvuuteen ja funktion helahteluun liittyvä vähemmän tunnettu tulos. Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Jokaiselle y asetetaan N f (y) := N(y) := yhtälön f(x) = y ratkaisujen x [a, b] lukumäärä, N f (y) := N(y) := muuten. jos tämä on äärellinen, ja Funktio N f on funktion f Banachin indikaattori (engl. Banach s indicatrix). Lause *10.23 (Stefan Banach). Jatkuvan funktion f : [a, b] Banachin indikaattori N on mitallinen ja N(y) dm(y) = V f (a, b). Todistuksen osalta katso [27, Kap. VIII, 6, Satz 3], [13, 17.33 17.34] (harjoitustehtävä), [36, HT 5, s. 332] (harjoitustehtävä). Tuloksesta kannattaa huomata, että jatkuvalle rajoitetusti heilahtelevalle funktiolle f niiden arvojen y joukko, jotka f saavuttaa äärettömän monessa x-pisteessä, on nollamittainen (miksi?). Funktio f : [a, b] on N-funktio, jos kuvajoukko f(a) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. (N-funktion käsite on peräisin N. N. Lusinilta.) Lause *10.24 (Stefan Banach (1925) ja M. A. Zaretzki (1925)). Olkoon f : [a, b] annettu funktio. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) f on jatkuva; (ii) f on N-funktio; ja (iii) V f (a, b) <. Todistuksen osalta katso [27, Kap. IX, 3, Satz 4], [13, Theorem 18.25], [36, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). Varsinainen Banachin ja Zaretzkin lause koskee ehtojen riittävyyttä. htojen välttämättömyys käy selville aiemmin tässä luvussa todistetuista tuloksista. Lemman 10.15 todistukseen liittyi ongelma, että kuvajoukko f(b n ) voi olla epämitallinen, vaikka B n olisikin mitallinen. Jatkuvat funktiot, joilla on tällainen ominaisuus, voidaan karakterisoida seuraavasti: Lause *10.25. Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Tällöin f on f on N-funktio, jos ja vain jos kuvajoukko f(a) on mitallinen jokaiselle mitalliselle joukolle A [a, b]. Todistuksen osalta katso [27, Kap. IX, 3, Satz 2], [36, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). Seuraus *10.26. Olkoon f : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin jokaisen mitallisen joukon A [a, b] kuvajoukko f(a) on mitallinen.