Moderni reaalianalyysi

Transkriptio

1 JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri

2 Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI. Ulkomitta ja mitta Lebesguen ulkomitta Nollamittaiset joukot Cantor-tyyppiset joukot Lebesgue-mitalliset funktiot Mitallisten funktioiden ominaisuuksia Cantorin funktio Approksimointi yksinkertaisilla funktioilla Lebesguen integraali LEBESGUEN AVARUUDET 5 2. Integrointi osajoukoissa Melkein kaikkialla Oleellisesti rajoitetut funktiot Jatkuvien funktioiden tiheys Lokaalisti integroituvat funktiot FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 3 3. Sopimuksia merkinnöistä Tonellin ja Fubinin lauseet Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 4 4. Maksimaalifunktion ominaisuuksia Heikko L p eli avaruus L p weak Lebesguen tiheyspistelause Tiheyspisteet

3 5 KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO Konvoluution ominaisuuksia Silottajat SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ Rieszin ydin ja potentiaali Lokaalit estimaatit HARJOITUSTEHTÄVIÄ 75 KIRJALLISUUTTA 83 HAKEMISTO 84

4 Mathematics is not a deductive science that s a cliché. When you try to prove a theorem, you don t just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. Paul R. Halmos Lebesguen ulkomitta ja integraali. Ulkomitta ja mitta Määritelmä.. Olkoon X joukko ja P (X) = { A : A X } sen potenssijoukko. Kuvaus µ : P (X) [, ] on ulkomitta joukossa X, mikäli (UM ) µ ( ) = (UM 2) µ on monotoninen eli µ (A) µ (B) aina, kun A B X (UM 3) µ on numeroituvasti subadditiivinen eli µ ( i= A i) i= µ (A i ) V A R O I T U S : Oletuksesta A B = ei seuraa, että µ (A B) = µ (A) + µ (B). Perustelu. Olkoon X = {,2,3} ja määritellään µ ( ) =, µ (X) = 2 ja µ (E) = kaikille muille E X. Tällöin µ on ulkomitta joukossa X. Kuitenkin jos A = {} ja B = {2}, niin µ (A B) = µ ({,2}) = 2 = µ (A) + µ (B). Järjestys on silti voimassa ehdon (UM 3) nojalla. Määritelmä.2. Joukko A X on µ -mitallinen, mikäli µ (E) = µ (E A) + µ (E \ A) jokaisella E X. Huomautuksia.3: () Koska E = (E A) (E \ A), niin ulkomitan monotonisuusehdon (UM 2) nojalla µ (E) µ (E A) + µ (E \ A). Järjestys pätee siis aina. Intuitiivisesti mitallisella joukolla A jaetaan mielivaltainen joukko E kahteen osaan, ja mitallisuusehto tarkoittaa sitä, ettei mittaa tule jaossa lisää. Käytännössä mitallisuuden todistaminen suoraan määritelmän avulla on hankalaa.

5 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 2 (2) Jos µ (A) =, niin A on µ -mitallinen. Nimittäin ehdon (UM 2) nojalla A E = {}}{{}}{{}}{ µ ( E A) + µ ( E \ A) µ (A)+µ (E) = µ (E). (3) µ -mitallisten joukkojen kokoelma Σ on σ-algebra: (a) Σ (b) Jos A Σ, niin A = X \ A Σ (c) Jos A i Σ jokaisella i N, niin i= A i Σ Esimerkki.4. Tarkastelemme vielä joukkoa X = {,2,3} ja sen ulkomittaa µ, jolle µ ( ) =, µ (X) = 2 ja µ (E) = kaikille muille E X. Jos a, b X ovat erillisiä pisteitä, A = {a} ja E = {a, b}, niin µ (E) = µ ({a, b}) = < 2 = µ ({a}) + µ ({b}) = µ (E A) + µ (E \ A). Siispä A ei ole µ -mitallinen. Samalla tavalla nähdään, etteivät kahden pisteen joukot ole mitallisia. Tässä tapauksessa ainoastaan ja X ovat µ -mitallisia. Määritelmä.5. Oletetaan, että Σ on σ-algebra joukossa X. Joukkokuvaus µ: Σ [, ] on mitta, mikäli (M) µ( ) = ja (M2) µ ( i= A i) = i= µ(a i) aina, kun joukot A i Σ ovat pistevieraita. Sanomme, että µ on numeroituvasti additiivinen. V A R O I T U S : Ulkomitta on määritelty kaikille joukon X osajoukoille, mutta mitta µ on määritelty ainoastaan σ-algebraan Σ kuuluville joukoille. Erityisesti on mahdollista, että A B Σ ja µ(b) =, mutta A Σ. Perustelu. Jos X = {,2,3}, niin Σ = {,{},{2,3}, X } on σ-algebra. Jos µ( ) =, µ({}) =, µ({2,3}) = ja µ(x) =, niin µ on mitta σ-algebrassa Σ. Nyt {2,3} Σ ja µ ({2,3}) =, mutta {2} Σ. Mittaa, jolla on ominaisuus B Σ, µ(b) = ja A B = A Σ sanotaan täydelliseksi mitaksi. Jokainen mitta voidaan täydellistää luonnollisella tavalla ja mitan µ monotonisuudesta seuraa, että µ(a) =. Todistimme kurssilla Analyysi III, että jokainen ulkomitta indusoi täydellisen mitan: Lause.6. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Silloin ulkomitan µ rajoittuma µ -mitallisten joukkojen σ-algebraan on mitta.

6 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 3 Tällä kurssilla käsitellään ulkomittoja, ja niitä saatetaan kutsua mitoiksi. Joukot ovat yleensä mitallisia, joten edellisen lauseen nojalla ero ei ole kovin suuri. Lause.7. Olkoon µ ulkomitta joukossa X ja oletetaan, että joukot A i X ovat µ -mitallisia. Tällöin (a) Jos A A 2, niin limµ (A i ) = µ ( i= A i). (b) Jos A A 2 ja µ (A i ) < jollain i, niin limµ (A i ) = µ ( i= A i). Huomautuksia.8: () Tulokset eivät yleensä päde ilman mitallisuusoletusta. (2) Ehdosta µ (A i ) < ei voida luopua kohdassa (b)... Lebesguen ulkomitta Joukko I = { x R n : a i x i b i, i =,..., n } = [a, b ] [a n, b n ] on n-ulotteinen suljettu väli, ja sen geometrinen mitta on m(i) = (b a )(b 2 a 2 ) (b n a n ). Joukon E R n Lebesguen ulkomitta on m(e) = inf m(i i ), missä infimum otetaan yli kaikkien suljettujen välien numeroituvien kokoelmien, joille pätee E i= I i. Palautetaan mieleen Lebesguen mitan ominaisuuksia, jotka todistimme kurssilla Analyysi III: i= () Lebesguen ulkomitta on ulkomitta. (2) Lebesguen ulkomitan rajoittuma Lebesgue-mitallisiin joukkoihin on mitta. (3) Borelin joukot ovat pienin σ-algebra, joka sisältää avoimet joukot. Kaikki Borelin joukot ovat Lebesgue-mitallisia, mutta on olemassa Lebesguemitallisia joukkoja, jotka eivät ole Borelin joukkoja. (4) On olemassa joukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. (5) Lebesguen mitan määritelmässä olevat välit voidaan olettaa (a) sisäpisteistöiltään erillisiksi (eli Int(A i ) Int(A j ) =, jos i j), (b) avoimiksi ja (c) kuutioiksi tai (d) ne voidaan korvata palloilla.

7 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 4..2 Nollamittaiset joukot Määritelmä.9. Joukko E R n on nollamittainen, jos m(e) =. Tällöin jokaista ε > kohti on olemassa sellainen välien kokoelma (I i ) i=, että E I i i= ja m(i i ) < ε. i= Esimerkkejä.: () Yksiöt {x} R ovat nollamittaisia. (2) Numeroituvat joukot ovat nollamittaisia; erityisesti siis rationaalilukujen joukko Q on nollamittainen. (3) Cantorin 3 -joukko konstruoidaan seuraavasti. Olkoon C := [,]. Poistetaan tästä avoin väli ( 3, 2 3 ) ja merkitään C := [, 3 ] [ 2 3,]. Poistetaan jäljelle jääneistä väleistä keskimmäiset kolmannekset ja merkitään C 2 := [, 9 ] [ 2 9, 3 ] [ 2 3, 7 9 ] [ 8 9,]. Jatketaan näin. Kuva. havainnollistaa tätä prosessia, jonka lopputuloksena saadaan Cantorin 3 -joukko C := k= C k. Kuva.: Cantorin 3 -joukon viisi ensimmäistä iteraatiota. Jokainen C k koostuu 2 k kappaleesta erillisiä ja suljettuja välejä J k,i, joiden pituus on 3 k. Siispä m(c k ) = i m ( J k,i ) = ( 2 3 ) k k, joten m(c) =. Seuraavassa osiossa jatkamme Cantorin joukon tarkastelua. K Ä Y T Ä N N Ö N O H J E : Kun tutkitaan annetun joukon nollamittaisuutta, voidaan Lebesguen mitan ominaisuuksien perusteella välit korvata kuutioilla tai palloilla. Tästä havainnosta on usein hyötyä, kun n 2.

8 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 5..3 Cantor-tyyppiset joukot Cantorin 3 -joukolla C on seuraavat ominaisuudet: () C (2) C on kompakti (3) Joukossa C ei ole eristettyjä pisteitä (4) Joukossa C ei ole sisäpisteitä: jos Int(C), niin löytyisi avoin väli I C, jolle m(i) >. Tämä on ristiriita, koska m(i) m(c) =. (5) C on ylinumeroituva. Äkkiseltään tuntuisi, että tämäntyyppinen joukko on aina nollamittainen. Näin ei kuitenkaan ole. Itse asiassa jokaiselle < α < on olemassa Cantor-tyyppinen joukko C [, ], jonka Lebesguen mitta on α. Tällainen joukko konstruoidaan seuraavasti. Olkoon α j := ( α)2 j, j =,2,..., jolloin j= α j = α. Ensimmäisessä vaihessa välin C = J = [,] keskeltä poistetaan avoin väli I, jonka pituus m(i ) = α. Merkitään C := J \ I. Nyt C koostuu kahdesta suljetusta välistä. Poistetaan näiden välien keskeltä kaksi avointa väliä I 2 ja I 3, jotka ovat yhtä pitkiä ja joiden yhteenlaskettu pituus on α 2. Merkitään C 2 := J \ ( I I 2 I 3 ). Jatketaan näin. Kun prosessia on iteroitu k kertaa, olemme poistaneet k = 2 k pistevierasta avointa väliä I,..., I 2 k, joille pätee 2 k k m(i i ) = α j. i= j= Nyt joukko 2 k C k := J \ I i i= koostuu 2 k kappaleesta suljettuja välejä. Koska välit I i ovat erillisiä, niin Olkoon C := k= C k. Silloin 2 k m(c k ) = m(j ) m(i i ) = i= k α j. j= m(c) = lim m(c k ) = α j = ( α) = α. k Huomaa, että suljettujen joukkojen C k leikkauksena myös C on suljettu. Edelleen C J ja J on kompakti, joten myös C on kompakti. j=

9 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 6 Lause. (Approksimointilause). Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: () A R n on Lebesgue-mitallinen (2) jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen avoin joukko U A, että m(u \ A) < ε (3) jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen suljettu joukko F A, että m(a \ F) < ε Todistus. Todistamme tuloksen osoittamalla, että ehto () on yhtäpitävä sekä ehdon (2) että (3) kanssa. () (2): Oletetaan ensin, että m(a) <. Olkoon ε > annettu ja valitaan sellaiset avoimet välit I, I 2,..., että A I i i= ja m(i i ) m(a) + ε. i= Tällöin U = i= I i on etsitty joukko, sillä m(u \ A) = m(u) m(a) m(i i ) m(a) < ε. Mikäli m(a) =, niin määritellään A k := A B(, k), missä k =,2,... ja i= B(, k) = { x R n : x < k }. Nyt A k on mitallinen ja m(a k ) <. Edellisen perusteella on olemassa avoimet joukot U k A k, joille m(u k \ A k ) < ε 2 k. Nyt joukko U = k= U k on etsimämme avoin joukko, sillä A U ja m(u \ A) m ( (U k \ A k ) ) ε m(u k \ A k ) < 2 k = ε. k= () (3): Koska R n \ A on mitallinen, niin voidaan soveltaa edellistä kohtaa. Olkoon ε >. Tällöin on olemassa sellainen avoin joukko U R n \ A, että k= m ( U \ (R n \ A) ) < ε. k= Joukko F := U A on suljettu ja A \ F = A F = A U = U \ (R n \ A), joten m(a \ F) < ε. (3) (): Jokaisella k N on olemassa sellainen suljettu joukko F k A, että m(a \ F k ) < k. Olkoon F := k= F k A. Tällöin F on mitallinen ja m(a \ F) m(a \ F k ) < k

10 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 7 kaikilla k N. Siis m(a \ F) = ja A \ F on mitallinen. Koska A = F (A \ F), niin A on mitallinen. (2) (): Jokaisella k N on olemassa sellainen avoin joukko U k A, että m(u k \ A) < k. Nyt U := k= U k on mitallinen ja U A. Edelleen, m(u \ A) m(u k \ A) < k kaikilla k N, joten m(u \ A) = ja U \ A on mitallinen. Joukko A on väistämättä mitallinen, sillä A = U \ (U \ A). Huomautus.2. Yleinen mitallinen joukko poikkeaa Borelin joukosta vain nollamittaisella joukolla. Siis A R n on mitallinen, jos ja vain jos A = B \ N, missä B A on Borelin joukko ja m(n) =. Todistus. Jos joukko A on mitallinen, niin Lauseen. perusteella on olemassa sellaiset avoimet joukot U i, i =,2,..., että U i A ja m(u i \ A) < i. Joukko U := i= U i on avointen joukkojen leikkauksena Borelin joukko (mutta se ei välttämättä ole avoin). Nyt U A ja U \ A = i= (U i \ A), joten m(u \ A) = m ( (U i \ A) ) lim m(u i \ A) lim i i i =. i= Nyt A = U \ (U \ A), U = B ja U \ A = N. Olkoon B Borelin joukko, m(n) = ja A = B \ N. Joukot N ja B ovat mitallisia, sillä N on nollamittainen ja B on Borelin joukko. Koska mitallisten joukkojen kokoelma on σ-algebra, niin A = B \ N on mitallinen. Samalla tavalla voidaan näyttää, että A R n on mitallinen, jos ja vain jos A = B N, missä B A on Borelin joukko ja m(n) =. Huomautus.3. On olemassa joukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Itse asiassa jokaisella mitallisella joukolla A R n, jonka mitta m(a) >, on eimitallinen osajoukko..2 Lebesgue-mitalliset funktiot Määritelmä.4. Oletetaan, että A R n on Lebesgue-mitallinen joukko. Funktio f : A [, ] on Lebesgue-mitallinen, jos alkukuva f ( (λ, ] ) = { x A : f (x) > λ } on Lebesgue-mitallinen kaikilla λ R. Huomautus.5. Ehto voidaan yhtäpitävästi vaatia joukoille { } { } { } x A : f (x) λ, x A : f (x) < λ tai x A : f (x) λ.

11 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 8 Lause.6. Olkoon A R n Lebesgue-mitallinen ja f : A [, ]. Tällöin () Mikäli joukot f ( ) ja f ( (a, b) ) ovat Lebesgue-mitallisia kaikilla a, b R, a < b, niin f on mitallinen. (2) Jos f on mitallinen, niin alkukuvat f ( ), f ( ) ja f (B) ovat mitallisia jokaisella B R, joka on numeroituva yhdiste tai leikkaus suljetuista tai avoimista joukoista. Joukot B R voidaan korvata Borelin joukoilla. Todistus. Alkukuva f ( [,λ) ) = f ( ) f ( (λ k,λ) ) on Lebesgue-mitallinen kaikilla λ R, joten edellisen huomautuksen nojalla f on mitallinen. Täten () on tosi. k= Todistetaan vielä väite (2). Huomataan aluksi, että joukot f ( ) = f ( [, k] ) ja f ( ) = f ( [k, ] ) k= ovat mitallisia. Olkoon sitten Γ := { E R : f (E) mitallinen }. Nyt Γ sisältää avoimet reaalilukuvälit, sillä k= f ( (a, b) ) = f ( (a, ] ) f ( [, b) ) on mitallinen. Harjoitustehtävänä 9 on osoittaa, että kokoelma Γ on σ-algebra eli sillä on ominaisuudet (a) Γ, (b) jos A Γ, niin R \ A Γ ja (c) mikäli A, A 2,... Γ, niin i= A i Γ. Tästä seuraa, että Γ sisältää avoimet joukot U R (numeroituvina yhdisteinä avoimista väleistä), suljetut joukot (avoimien komplementteina) sekä näiden numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. V A R O I T U S : Jos f on mitallinen, niin mielivaltaisen mitallisen joukon B R alkukuva ei ole välttämättä mitallinen (edes silloin, kun f on jatkuva). Palaamme tähän osiossa.2.2. Esimerkkejä.7: () Jatkuva funktio f : A R n R on Lebesgue-mitallinen, sillä avoimen joukon U R alkukuva f (U) on avoimena joukkona mitallinen. (2) Joukko A R n on mitallinen, jos ja vain jos funktio f = A on mitallinen: f ( (λ, ] ) R n, kun λ < = A, kun λ <, kun λ

12 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 9.2. Mitallisten funktioiden ominaisuuksia () Jos funktiot f, g : A R n [, ] ovat mitallisia, niin myös summa f +g, skalaarikerrannainen λf, osamäärä f /g, itseisarvo f sekä min{ f, g} ja max{ f, g} ovat mitallisia, jos ne ovat määriteltyjä. Huomaa, että summa f + g on määritelty mitallisessa joukossa A \ ([ f ( ) g ( ) ] [ f ( ) g ( ) ]). (2) Jos funktiot f i : A R n [, ], i =,2,... ovat mitallisia, niin myös inf f i, sup f i, liminf f i, limsup f i ja lim f i (mikäli olemassa) ovat mitallisia. Huomaa, että f 2 voi olla mitallinen, vaikka f ei olisikaan mitallinen. Jos E R on ei-mitallinen joukko ja funktio, kun x E f : R R, f (x) =, kun x E niin f 2 = on mitallinen, mutta { x R : f (x) > } = E ei ole mitallinen..2.2 Cantorin funktio Määritellään funktiot f k : [,] [,] rekursiivisesti asettamalla f (x) = x ja 2 f k(3x), kun x 3 f k+ (x) = 2, kun 3 x f k(3x 2), kun 2 3 x Kuvassa.2 on esitetty funktioiden f k kuvaajat, kun k =,,2. (.) f f f 2 4 I 2, I, = I 2,2 I 2, Kuva.2: Cantorin funktion konstruktio.

13 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI Kuva.3: Hahmotelma Cantorin funktion kuvaajasta, pirun portaista. Palautetaan mieleen esimerkin. Cantorin 3 -joukon konstruktio ja siinä käyttämämme merkinnät. Huomataan aluksi, että () f k on jatkuva ja kasvava, (2) f k () = ja f k () =, (3) f k (x) = i2 k, jos x I k,i sekä (4) f k on paloittain lineaarinen joukossa C k = [,] \ i I k,i = i J k,i. Jos k, niin kaikilla x [,] pätee fk (x) f k+ (x) 2 sup { f k (x) f k (x) : x }, joten induktiolla saadaan arvio fk (x) f k+ (x) 2 k. Jokaisella m N on siten voimassa fk (x) f k+m (x) k+m f j (x) f j+ (x) 2 j = k 2 k. j=k Siis (f k ) on Cauchyn jono Banachin avaruudessa ( C[,], ), missä f = sup f (x). x [,] Nyt on olemassa sellainen funktio f C[,], että f k f, kun k. Siis funktiojono (f k ) suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä [,]. Funktiota f kutsutaan Cantorin funktioksi. Kuvassa.3 on luonnostelma sen kuvaajasta. Cantorin funktio f on jatkuva ja f () = sekä f () =, joten f on surjektio. Määritellään nyt jatkuva funktio j=k g : [,] [,2], g(x) := x + f (x),

14 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI jolloin g() = ja g() = 2. Funktio g on jatkuva bijektio, ja sen käänteisfunktio g on jatkuva eli g on homeomorfismi. Tarkastellaan Cantorin joukon C kuvaa g(c). Nyt [,] \ C = 2 k k= i= I k,i eli [,] \ C = I r, missä välit I r, r =,2,... ovat avoimia ja pistevieraita. Täten m ( g(c) ) = m ( [,2] \ r= g(i r ) ) = m ( [,2] ) m ( Koska g(x) = x + a kaikilla x I r, saadaan m ( g(i r ) ) = m(i r ). r= r= g(i r ) ) = 2 m ( g(i r ) ). r= Edelleen m(i r ) = m ( ) ( ) I r = m [,] m(c) =, r= r= joten m ( g(c) ) = 2 =. Koska m ( g(c) ) >, niin on olemassa ei-mitallinen joukko B g(c). Olkoon A := g (B). Tällöin A C ja m(a) m(c) =, joten A on mitallinen. Siis g kuvaa mitallisen joukon A ei-mitalliseksi joukoksi B. Nyt [,2] g jatkuva [,] A mitallinen R, mutta yhdistetty kuvaus A g = B ei ole mitallinen, vaikka g ja A ovat mitallisia. Kahden mitallisen funktion yhdiste ei siis välttämättä ole mitallinen funktio. Huomautus.8. Joukko A on esimerkki mitallisesta joukosta, joka ei ole Borelin joukko. Perustelu. Jos A on Borelin joukko, niin g(a) = B on Borelin joukko, sillä harjoitustehtävän 9 mukaan homeomorfismi kuvaa Borelin joukon Borelin joukoksi. Tämä on ristiriita, sillä B ei ole edes mitallinen..2.3 Approksimointi yksinkertaisilla funktioilla Määritelmä.9. Funktio f : R n [, ) on yksinkertainen, jos se on mitallinen ja saa vain äärellisen monta positiivista arvoa. Funktio f on yksinkertainen, jos ja vain jos k f = a i Ai, i= (normaaliesitys) missä A i ovat pistevieraita mitallisia joukkoja ja a i.

15 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 2 Esimerkki.2. Karakteristinen funktio f = Q on yksinkertainen funktio, vaikka se ei ole jatkuva missään pisteessä. Huomautus.2. Kurssilla Analyysi III todistimme, että funktio f : R n [, ] on mitallinen, jos ja vain jos on olemassa sellainen jono (f i ), että () jokainen f i on yksinkertainen, (2) f f 2 ja (3) lim f i (x) = f (x) kaikilla x R n..3 Lebesguen integraali V A I H E : Määritellään yksinkertaisen funktion f integraali asettamalla k f dm = a i m(a i ). R n i= Huomaa, että tämän ei tarvitse olla äärellistä. V A I H E 2 : Mitallisen, ei-negatiivisen funktion f : R n [, ] integraali määritellään R n f dm = sup ϕ f R n ϕ dm, missä supremum otetaan yksinkertaisten funktioiden ϕ yli. Huomaa, että tässäkin voi olla Rn f dm =. V A I H E 3 : Yleinen mitallinen funktio f : R n [, ] voidaan esittää muodossa f = f + f, missä f + ja f ovat funktion f positiivi- ja negatiiviosat: f + = max{ f,} ja f = min{ f,}. Tällöin f on mitallinen, jos ja vain jos sekä f + että f ovat mitallisia. Funktion f integraali f dm = f + dm f dm R n R n R n on määritelty, ellei tule -tilannetta. V A I H E 4 : Funktio f : R n [, ] on integroituva, jos () f on mitallinen, (2) R n f + dm < ja (3) R n f dm <. Ehdot (2) ja (3) ovat voimassa täsmälleen silloin, kun Rn f dm <, missä f = f + + f. Jos funktio f on integroituva, niin f dm = f + dm f dm <. R n R n R n Lisäksi R n f dm Rn f dm.

16 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 3 Esimerkki.22. Määritellään funktio f : [,] R asettamalla f () = ja Nyt f (x) = ( ], kun x i 2 i, 3 2 i+ ( ] 3, kun x i 2 i+, 2 i 2 i+ 2i+ f + dm = i= 2 i+ i 2 i+ = i= i = ja vastaavasti f dm =. Täten f ei ole integroituva välillä [, ], vaikka epäoleellinen Riemann-integraali voidaankin laskea: f (x) dx = lim ε ε f (x) dx = Palautetaan mieleen kurssilla Analyysi III todistetut keskeiset rajankäyntilauseet. Lause.23 (Lebesguen monotonisen konvergenssin lause). Oletetaan, että funktiot f i : R n [, ] ovat mitallisia ja f f 2. Tällöin lim f i dm = lim f i dm. i R n R n i Todistus. Kurssilla Analyysi III. Esimerkki.24. Lauseen oletus f i ei ole turha. Esimerkiksi vakiofunktiojono f i : R n R, f i (x) = /i, on kasvava ja f (x) = lim f i (x) = kaikilla x R n. Kuitenkin lim f i dm = = f dm. i R n R n Lause.25 (Fatoun lemma). Jos f i : R n [, ], i =,2,..., ovat mitallisia funktioita, niin liminf R n i f i dm liminf i R n f i dm. Todistus. Kurssilla Analyysi III.

17 LUKU. LEBESGUEN ULKOMITTA JA INTEGRAALI 4 Lause.26 (Lebesguen dominoidun konvergenssin lause). Oletetaan, että funktiot f i : R n [, ], i =,2,..., ovat mitallisia. Mikäli on olemassa sellainen integroituva funktio g, että f i g ja f i f avaruudessa R n, niin f dm = lim f i dm. R n i R n Todistus. Kurssilla Analyysi III. Esimerkki.27. Oletus integroituvasta majorantista ei ole turha. Jos määritellään jono f i : R R asettamalla f i = i (,/i), niin f i, mutta lim f i dm = = i R R lim f i dm. i Tästä nähdään myös se, että Fatoun lemmassa ei aina päde yhtäsuuruus.

18 Gauss called mathematics the queen of the sciences. I prefer to think of it as an emperor. And though it may yet transpire that the emperor has no clothes, he is still better dressed than his courtiers. Ian Stewart 2 Lebesguen avaruudet 2. Integrointi osajoukoissa Olkoon A R n mitallinen joukko ja f : R n [, ] mitallinen funktio. Tällöin asetamme A f dm := f A dm, R n mikäli jälkimmäinen integraali on määritelty. Huomaa, että ei-negatiivisen funktion f integraali on aina määritelty, mutta se voi olla. Mikäli f A on integroituva eli R n f A dm <, niin integraali A f dm on äärellisenä olemassa. Funktion f : A [, ] sanotaan olevan mitallinen, jos sen nollajatke f : R n [, ], f f (x), kun x A (x) :=, kun x A on mitallinen. Silloin f dm = f dm = R n f A dm = R n A A f dm. Määritelmä 2.. Olkoon A R n mitallinen joukko ja f : A [, ] mitallinen. Silloin f L p (A), missä < p <, mikäli ( /p f p := f dm) p <. A 5

19 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 6 Huomautuksia 2.2: () Tapaus p = : f L (A), jos ja vain jos f on integroituva joukossa A. (2) Tapaus p < : f L p (A) täsmälleen silloin, kun f p on integroituva joukossa A. Esimerkki 2.3. Olkoon A = B(,) = { x R n : x < } avaruuden R n avoin yksikköpallo ja funktio f : R n [, ], f (x) := x n. Merkitään A i := B(,2 i ) \ B(,2 i ), missä i =,2,... Jos tällöin x A i, niin 2 i x < 2 i eli 2 np(i ) < x np 2 npi. Nyt B(,) x np dm = x np dm 2 npi dm = 2 npi m(a i ) i= A i i= A i i= 2 npi m ( B(,2 i ) ) = 2 npi( 2 i) n ( ) m B(,). i= i= Merkitsemällä Ω n := m ( B(,) ) saamme B(,) x np dm Ω n 2 npi ni+n = 2 n Ω n 2 in(p ) <, i= i= kun n(p ) <. Siis f L p( B(,) ), jos p <. Toisaalta B(,) x np dm = x np dm i= A i 2 np(i ) dm = 2 np(i ) m(a i ). A i i= Sijoittamalla m(a i ) = m ( B(,2 i ) ) m ( B(,2 i ) ) saamme B(,) i= x np dm Ω n 2 np 2 npi( (2 i ) n (2 i ) n) i= = Ω n (2 n )2 np 2 in(p ) =, i= kun n(p ). Siis f L p( B(,) ), jos p. Täten f L p( B(,) ), jos ja vain jos p <. Jos taas A = R n \B(,) ja A i = B(,2 i )\B(,2 i ), niin vastaavalla päättelyllä näemme, että f L p( R n \ B(,) ), jos ja vain jos p >. Y L E I S E N Ä P E R I A A T T E E N A O N S I I S : Mitä pienempi p on, sitä pahempia lokaaleja singulariteetteja L p -funktiolla voi olla. Toisaalta mitä suurempi p on, sitä laajemmalle alueelle L p -funktio voi levitä globaalisti.

20 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET Melkein kaikkialla Jokin ominaisuus pätee melkein kaikkialla (m.k.), jos se pätee lukuun ottamatta nollamittaista joukkoa. Esimerkiksi joukon Q karakteristinen funktio Q = melkein kaikkialla. V Ä I T E : f p = f = melkein kaikkialla. Perustelu. Oletetaan, että f = melkein kaikkialla joukossa A ja merkitään E := { x A : f (x) > }. Tällöin m(e) = ja f p dm = f dm + f dm =. A E A\E Oletetaan nyt, että f p = ja merkitään A i := { x A : f (x) /i }. Tällöin i= A i = E ja jokaisella i =,2,... m(a i ) = dm i p f p dm i p f dm =. A i A i A Siis m(e) m(a i ) = i= eli f = melkein kaikkialla joukossa A. Tämän perusteella L p (A) ei ole normiavaruus, sillä ehdosta f p = ei seuraa, että f. Tapauksessa p (ks. harjoitustehtävä 4) siitä kuitenkin saadaan normiavaruus, kun määrittelemme funktioiden välille ekvivalenssirelaation f g f = g m.k. joukossa A. Huomautuksia 2.4: () L p -teorian kannalta emme yleensä erottele funktioita f ja g toisistaan, jos ne yhtyvät melkein kaikkialla. Harjoitustehtävänä 6 on osoittaa, että jos f = g m.k. joukossa A, niin (a) f L p (A) g L p (A) ja A f p dm = A g p dm sekä (b) f on mitallinen g on mitallinen. Merkitään funktion f L p (A) virittämää ekvivalenssiluokkaa f := [ f ] = { g L p (A) : g f }. Asetamme L p (A) := { f : f L p (A) } ja määrittelemme f p = f p. Nyt pätee f p = f =,

21 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 8 missä = { u L p (A) : u = m.k. joukossa A }. Jatkossa emme käytä avaruutta L p (A) vaan puhumme L p (A)-funktioista. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että samaistamme funktiot, jotka yhtyvät melkein kaikkialla. (2) Tämän perusteella voimme hieman höllentää Luvun lopussa esitettyjen konvergenssilauseiden oletuksia. Monotonisen ja dominoidun konvergenssin lauseissa riittää olettaa, että oletukset toteutuvat melkein kaikkialla. Lemma 2.5. Avaruus L p (A) on lineaarinen. Todistus. Olkoot f, g L p (A) ja λ R. Tällöin jokaisella < p < pätee λf p dm = λ p f p dm < A A } {{ } < eli λf L p (A). Koska f + g p ( f + g ) p ( 2max{ f, g } ) p 2 p ( f p + g p), niin f + g L p (A). Lemma 2.6 (Youngin epäyhtälö). Jos < p < ja a, b, niin ab ap p + bp p, missä p on luvun p Hölder-konjugaatti, joka saadaan lausekkeesta Todistus. Tilanteesta piirretty kuva: y p + p = p = p p. (2.) b y = x p x = y /(p ) = y p a x Väite nähdään todeksi laskemalla ab a x p dx + b y p dy = ap p + bp p. Katso myös harjoitustehtävä 2.

22 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 9 Huomautus 2.7. Eksponentti p ja sen konjugaattieksponentti p ovat keskenään symmetrisessä asemassa. Huomaa, että () p = 2 p = 2 (2) < p < 2 2 < p < (3) 2 < p < < p < 2 (4) Kun p, niin p Lause 2.8 (Hölderin epäyhtälö). Jos < p <, f L p (A) ja g L p (A), niin f g L (A) ja eli f g f p g p. ( ) /p ( ) /p f g dm f p dm g p dm A A A Todistus. Jos f p = tai g p =, niin f g = melkein kaikkialla, jolloin myös f g =. Jatkossa oletamme, että f p > ja g p >. Merkitään f := f ja g := g, f p g p jolloin f p = g p =. Youngin epäyhtälön avulla saadaan arvio f p g p f g dm = f g dm f p dm + A A p A p g p dm A = p + p = eli f g f p g p. V A R O I T U S : Oletuksesta f, g L p (A) ei seuraa, että f g L p (A). Perustelu. Jos esimerkiksi A = (, ) ja f : (,) R, f (x) = x, niin f L (,). Kuitenkin f 2 (x) = x, joten f 2 L (,). Huomautus 2.9. Tapauksessa p = 2 saadaan Schwarzin epäyhtälö ( ) /2 ( /2 f g dm f 2 dm g dm) 2. A A A Vaikka Schwarzin epäyhtälö saadaankin Hölderin erikoistapauksena, niin se ei varsinaisesti ole Hölderin epäyhtälöä heikompi tulos: molemmat pohjautuvat konveksisuuteen.

23 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 2 Seuraus 2. (Jensenin epäyhtälö). Jos p < q < ja < m(a) <, niin ( m(a) /p ( f dm) p A m(a) /q f dm) q. A Todistus. Olkoot u := f p, v := ja sovelletaan tuloon uv Hölderin epäyhtälöä eksponenteilla α = q/p ja α = q/(q p): ( ) /α ( ) /α f p dm = uv dm u α dm v α dm A A A A ( ) p/q ( = f q dm A dm A }{{} =m(a) ) (q p)/q Korottamalla puolittain potenssiin /p ja jakamalla luvulla m(a) /p saadaan Huomautuksia 2.: ( m(a) /p ( f dm) p A m(a) /q f dm) q. A () Jos m(a) < ja p < q <, niin Jensenin epäyhtälön perusteella L q (A) L p (A). Tämä voidaan osoittaa myös käyttämättä Hölderin epäyhtälöä (ks. harjoitustehtävä 22). (2) Jos m(a) =, niin pelkästä eksponentista p riippuvaa sisältyvyyssääntöä ei voida antaa (miksi?). Vertaa sivun 6 yleiseen periaatteeseen: lokaalit singulariteetit VS kuinka laajalle on levinnyt. Lause 2.2 (Minkowskin epäyhtälö). Jos p < ja funktiot f, g L p (A), niin f + g L p (A) ja f + g p f p + g p. Todistus. Lemman 2.5 mukaan f + g L p (A), joten riittää osoittaa, että p toteuttaa kolmioepäyhtälön. Jos p = tai f + g p =, niin väite on ilmeinen. Jos < p < ja f + g p >, niin arviosta f + g p f + g p ( f + g ) saadaan integroimalla f + g p p f + g p f dm + f + g p g dm =: I f + I g. A A Hölderin epäyhtälö eksponenteilla p/(p ) ja p antaa ( ) (p )/p ( ) /p I f f + g p dm f p dm = f + g p p f. A A

24 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 2 Vastaava arvio pätee myös integraalille I g, joten saadaan f + g p f p + g p. Huomautuksia 2.3: () Jono (f i ), missä f i L p (A) ja i =,2,..., suppenee kohti funktiota f avaruudessa L p (A), mikäli (a) f L p (A) ja (b) jokaista ε > kohti on olemassa sellainen i ε, että f i f p < ε aina, kun i i ε. (2) Jono (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A), jos jokaista lukua ε > kohti on olemassa sellainen i ε, että f i f j p < ε aina, kun i, j i ε. (3) Jos f i f avaruudessa L p (A), niin f i f j p f i f p + f f j, kun i, j. Täten jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. (4) Kurssilla Analyysi III todistimme Monotonisen konvergenssin lauseen ja Minkowskin epäyhtälön avulla, että avaruuden L p (A), p <, Cauchyn jonolla (f i ) on melkein kaikkialla suppeneva osajono (f ik ). Seuraavaksi osoitamme, että L p (A) on Banachin avaruus jokaisella p <. Lause 2.4 (Riesz-Fischer, 97). Jos (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A) ja p <, niin on olemassa sellainen f L p (A), että f i f. Todistus. Oletetaan, että (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p (A). Huomautuksen 2.3 kohdan (4) mukaan löytyy sellainen osajono (f ik ), että f ik (x) f (x) m.k. x A. Tällöin f on mitallinen joukossa A. Osoitamme, että f L p (A) ja f i f p. Olkoon ε > annettu. Tällöin on olemassa sellainen i ε, että f i f j p < ε aina, kun i, j i ε. Jos i i ε, niin Fatoun lemman nojalla f i f p dm = lim f i f ik p dm A A k liminf f i f ik p dm = liminf f i f ik p p ε p <. k A k Siis f iε f L p (A) ja f i f p, joten f = f iε (f iε f ) L p (A) ja f i f avaruudessa L p (A). Riesz-Fischerin lauseen ja Huomautuksen 2.3 perusteella saamme Seuraus 2.5. Jos f i f avaruudessa L p (A), niin on olemassa sellainen osajono (f ik ), että f ik (x) f (x) m.k. x A.

25 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 22 Huomautus 2.6. Jos f i f avaruudessa L p (A), niin f i p f p. Tämä seuraa Minkowskin epäyhtälöstä: sen mukaan f i p f i f p + f p eli f i p f p f i f p. Vastaavasti myös f p f i p f i f p, joten täytyy olla fi p f p f i f p i. Täten p-normi p on jatkuva. Katso myös harjoitustehtävä 33. Esimerkkejä 2.7: () Jono (f i ), missä f i = [i, i], suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota f =. Kuitenkin f i f p = jokaisella i =,2,..., joten f i f avaruudessa L p (R). (2) Huomaa, että f i f avaruudessa L (A), jos ja vain jos f i f. Täten kun i. Toisin sanoen siis A f i f dm f i f dm = f i f, A lim f i dm = f dm. i A A (3) Ehdosta f i f m.k. joukossa A ei seuraa, että f i f avaruudessa L p (A). Olkoon f i = i 2 (,/i), jolloin R f i p dm = i 2p R p (,/i) dm = i2p < eli f i L p (R) kaikilla p <. Vaikka jokaisella kiinteällä x R pätee f i (x), niin f i p i, kun i. (4) Ehdosta f i f avaruudessa L p ei seuraa, että f i f m.k. Määritellään joukot [ j A k, j := 2 k, j + ] 2 k, k =,,... ja j =,,...,2 k. Olkoon f 2 k + j = k A k, j, jolloin jokaisella p < pätee f2 k + j p = k k 2 k/p. Siis jono (f i ) suppenee kohti nollafunktiota avaruudessa L p (R). Huomaa, että lim f 2 k + (x) = jokaisella x, joten liminf f i(x) =. Kuitenkin limsup f i (x) =, joten pisteittäistä raja-arvoa lim f i (x) ei ole olemassa millään x [,].

26 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET Oleellisesti rajoitetut funktiot Määritelmä 2.8. Olkoon A R n on mitallinen joukko ja f : A [, ] mitallinen funktio. Silloin f L (A), jos on olemassa sellainen M <, että f (x) M m.k. x A. Jos f L (A), niin f = esssup f (x) := inf { M R ( ) } m { x A : f (x) > M } =. x A Intuitiivisesti f on siis supremum lukuun ottamatta funktion f käyttäytymistä nollamittaisissa joukoissa. Esimerkkejä 2.9: () Jos f = Q, niin f =, mutta sup f (x) =. (2) Jos g : (, ) R, g(x) = /x, niin g L (, ). Huomautuksia 2.2: () Jos f L (A) ja ε >, niin (a) m ( { x A : f (x) f + ε} ) = ja (b) m ( { x A : f (x) f ε} ) >. (2) Jos f L (A) C(A), niin f = sup f (x). Jätämme todistuksen harjoitustehtäväksi 3. Lemma 2.2. Jos f L (A), niin f (x) f m.k. x A. Todistus. Merkitään S := { M R ( ) } m { x A : f (x) > M } = ja β := inf S. Nyt β S, sillä { } { } x A : f (x) > β = x A : f (x) > β + k= on nollamittaisten joukkojen numeroituvana yhdisteenä nollamittainen. Huomaa, että oletuksen f L mukaan S. Huomautuksia 2.22: () Lemman 2.2 todistuksen perusteella on olemassa sellainen nollamittainen joukko N A, että f = esssup f = sup { f (x) : x A \ N }. k (2) Useat L p -avaruuksien ominaisuudet pätevät triviaalisti myös tapauksessa p =. Esimerkiksi (a) Minkowskin epäyhtälö: jos f, g L, niin f + g f + g.

27 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 24 (b) Hölderin epäyhtälö: jos f L (A) ja g L (A), niin f g L (A) ja A f g dm g f. Huomaa myös L p -variantti: f g p dm g p A f p dm. A (c) Kuvaus on normi vastaavalla tulkinnalla kuin p tapauksessa p <. Lause Jos f L (A) L q (A) jollain q <, niin f L p (A), kun p > q ja lim f p = f. p Todistus. Jos f L q (A) ja p > q, niin f p p = f p dm = f q f p q dm f p q f q dm, A A A mistä saadaan ( ) /p f p f q/p f q dm = f q/p f q q/p <. A Siis f L p (A) aina, kun p > q ja limsup f p f. (2.2) p Olkoon nyt λ < f ja merkitään E λ := { x A : f (x) > λ }. Tällöin m(e λ ) > ja f p p = f p dm f p dm λ p dm = λ p m(e λ ) A E λ E λ eli f p λ m(e λ ) /p. Nyt eli joka tapauksessa saadaan lim m(e λ) /p, jos < m(e λ ) < = p, jos m(e λ ) = liminf p f p λ. Koska λ < f on mielivaltainen, niin liminf p f p f. (2.3) Kun arviot (2.2) ja (2.3) yhdistetään, saadaan väite.

28 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 25 Huomautus Lauseen oletus f L q (A) jollain q < voidaan korvata oletuksella m(a) <. Lause Jos A R n on mitallinen, niin L (A) on Banachin avaruus. Todistus. Olkoon (f i ) Cauchyn jono avaruudessa L (A). Lemman 2.2 nojalla f i (x) f j (x) f i f j m.k. x A, joten on olemassa sellaiset nollamittaiset joukot N i, j A, että f i (x) f j (x) f i f j kaikilla x A \ N i, j. Koska (f i ) on Cauchyn jono, niin jokaisella k =,2,... on olemassa sellainen i k N, että f i f j < k kun i, j i k. Olkoon N = i, j= N i, j, jolloin m(n) i, j= m(n i, j) =. Kun i, j i k, niin f i (x) f j (x) f i f j < k kaikilla x A \ N eli ( f i (x) ) i on Cauchyn jono jokaisella x A \ N. Koska R on täydellinen, niin lim f i (x) on olemassa jokaisella x A \ N. Funktio lim f i (x), jos x A \ N f : A [, ], f (x) :=, jos x N on mitallinen ja f i f k, kun i i k. Koska f f i + f i f f i + k, kun i i k, niin f L (A) ja f i f avaruudessa L (A). Huomautus Ehdosta lim f i f = seuraa, että f i f tasaisesti joukossa A \ N. 2.3 Jatkuvien funktioiden tiheys Määritelmä Funktion f : A [, ] kantaja on joukko supp f := { x A : f (x) }. Funktio on kompaktikantajainen, mikäli supp f on kompakti ja supp f A.

29 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 26 V A R O I T U S : Kantaja supp f ei välttämättä ole joukon A osajoukko. Jatkossa käytämme myös seuraavia merkintöjä: C(A) := { f : A R } f on jatkuva joukossa A C (A) := { f C(A) } supp f A on kompakti Seuraavaksi todistamme, että C (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ), p < eli C (R n ) = L p (R n ). Teemme tämän useassa vaiheessa. Olkoon p < annettu ja oletetaan, että f L p (R n ). V A I H E : Määritellään jono (f i ) i=, missä f i = f B(,i). Tällöin f i (x) f (x) jokaisella x R n. Koska f i (x) f (x) p ( f i (x) + f (x) ) p 2 p f (x) p kaikilla x R n ja f p L (R n ), niin Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen nojalla f i f p dm i. R n Siis L p (Rn ) := { f L p (R n ) : supp f kompakti } on tiheä avaruudessa L p (R n ). Siksi voimmekin jatkossa olettaa, että f = jonkin rajoitetun joukon ulkopuolella. V A I H E 2 : Koska f = f + f, niin voimme olettaa, että f ja f = jonkin rajoitetun alueen ulkopuolella (jos voimme approksimoida funktiota f +, niin sama tekniikka toimii myös funktiolle f ). V A I H E 3 : Koska f on mitallinen, niin on olemassa sellainen kasvava jono yksinkertaisia funktioita f i, että f i f pisteittäin. Samalla päättelyllä kuin Vaiheessa nähdään, että f i f p, kun i. Täten voimme olettaa, että f on yksinkertainen ja että f = jonkin rajoitetun alueen ulkopuolella. V A I H E 4 : Yksinkertainen funktio f voidaan kirjoittaa sen normaaliesityksen avulla muodossa f = k i= a i Ai, missä a i ja joukot A i ovat erillisiä ja mitallisia. Tämän perusteella voimme olettaa, että f = A, missä A on rajoitettu ja mitallinen joukko. V A I H E suljettu F A, joille 5 : Approksimointilauseen. nojalla on olemassa avoin U A ja m(u \ A) < εp 2 ja m(a \ F) < εp 2, missä ε >. Siten m(u \ F) = m(u \ A) + m(a \ F) < ε p eli m(u \ F) /p < ε. Suljettuna ja rajoitettuna joukkona F on myös kompakti.

30 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 27 Nyt tarvimme seuraavanlaista Urysohnin lemman erikoistapausta: Lemma Oletetaan, että U R n on avoin ja F U on kompakti. Tällöin on olemassa sellainen jatkuva funktio g : R n R, että () g(x) kaikilla x R n, (2) g(x) = kaikilla x F ja (3) g C (U). Todistus. Konstruoimme aluksi sellaisen avoimen joukon V, että V on kompakti ja F V V U. Olkoon < r 2 dist(f,rn \U), missä dist(f,r n { \U) = inf a b : a F ja b R n \U } a,b on joukkojen F ja R n \U välinen etäisyys. Tällöin F B(x, r) ja B(x, r) U kaikilla x F. x F Koska F on kompakti, niin on olemassa sellaiset pisteet x,..., x k F, että F k i= B(x i, r). Joukoksi V voidaan siis valita Määritellään kuvaus g : R n R, g(x) := jolloin ehto () on selvästi voimassa. V := k B(x i, r). i= dist(x,r n \ V ) dist(x, F) + dist(x,r n \ V ), Olkoon x F. Tällöin dist(x, F) = ja koska V F on avoin, niin löytyy r >, jolle B(x, r) V. Siten dist(x,r n \V ) > ja g(x) =. Myös ehto (2) on siis voimassa. Nyt supp g = { x : g(x) } V on suljettu ja rajoitettu ja siten myös kompakti. Kolmioepäyhtälön avulla nähdään, että kuvaus x dist(x, E) on jatkuva, jos E. Täten myös (3) toteutuu. Alkuperäisenä tavoitteenamme ollut tiheysväite seuraa nyt näppärästi äskeisestä lemmasta. Jos f = A, niin on olemassa sellainen jatkuva funktio g, että ( ) /p f g p = A g p dm m(u \ F) /p < ε. R n Saimme siis todistettua tuloksen: Lause Jos p <, niin C (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ).

31 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET 28 V A R O I T U S : C (R n ) ei ole tiheä avaruudessa L (R n ). Perustelu. Huomaa, että C (R n ) C(R n ) L (R n ) ja C(R n ) L (R n ) on täydellinen normilla. Jos olisi C (R n ) = L (R n ), niin kaikki L (R n )-funktiot olisivat jatkuvia. Lause 2.3. Jos p < ja f L p (R n ), niin lim f (x + y) f (x) p dx =, y R n missä dx = dm n (x) on n-ulotteinen Lebesgue-mitta. Todistus. Olkoot ε > ja y R n mielivaltaisia. Lauseen 2.29 nojalla on olemassa sellainen g C (R n ), että ( ) /p f (x) g(x) p dx < ε R n 3. Merkitään f y (x) := f (x + y) ja g y (x) := g(x + y), jolloin Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuuden nojalla f y g y p = f g p < ε 3. Koska g C (R n ), niin on olemassa r >, jolle g(x) = kaikilla x R n \ B(, r ). Olkoon r = r +. Nyt g on tasaisesti jatkuva eli on olemassa < δ niin, että g(x + y) g(x) < ε 3 m(b r ) /p kaikilla x R n ja y < δ. Kun x r, niin x + y x y r δ r, joten g(x + y) g(x) = kaikilla x R n \ B(, r). Siis g y g p < ε 3 m(b r ) /p m(b r) /p = ε 3. Minkowskin epäyhtälön avulla saadaan siis lopulta f y f p f y g y p + g y g p + g f p < ε. V A R O I T U S : Vastaava väite ei ole tosi, kun p =. Perustelu. Esimerkiksi jos f = [, ), niin esssup f (x + y) f (x) = kaikilla y. x R

32 LUKU 2. LEBESGUEN AVARUUDET Lokaalisti integroituvat funktiot Määritelmä 2.3. Olkoon Ω R n avoin joukko ja f : Ω [, ] mitallinen funktio. Silloin f L p loc (Ω), mikäli f p dm < ( p < ) tai esssup f < (p = ) K K kaikilla kompakteilla joukoilla K Ω. Huomautuksia 2.32: () L p (Ω) L p loc (Ω) (2) Jos p q, niin L loc (Ω) Lq loc (Ω) Lp loc (Ω) L loc (Ω). Esimerkkejä 2.33: () Olkoon Ω = (, ) ja f : Ω R, f (x) = x, niin f L (Ω), mutta f L loc (Ω). (2) Olkoon f : R n R, f (x) =. Tällöin f L p (R n ) millään p <, mutta f L p loc (Rn ) kaikilla p.

33 Onko tämä vain yksi tapa tehdä elämä vaikeaksi? Juha Kinnunen 3 Fubinin lause ja iteroitu integraali Kurssilla Analyysi II kehitimme Riemann-integroinnin teoriaa avaruudessa R n. Todistimme muun muassa, että suorakaiteessa Q = [a, b] [c, d] jatkuvan funktion f : Q R Riemann-integraali voidaan laskea peräkkäisinä yksiulotteisina integraaleina: b d a c f (x, y) dy dx = f (x, y) d(x, y) = Q d b c a f (x, y) dx dy. Tavoitteenamme on todistaa vastaava tulos Lebesgue-integraalille. Tämä antaa tehokkaan menetelmän moniulotteisten integraalien laskemiseksi, sillä voimme käyttää peruskursseilta tuttuja integrointimenetelmiä. Ennen kuin aloitamme tämän konstruktion, on kuitenkin syytä huomauttaa muutamista asioista. Ensinnäkin tarkastelumme kohteena on Euklidinen avaruus R n varustettuna Lebesgue-mitalla lukijan kannattaakin pitää mielessä intuitiivisesti helposti hahmotettava mielikuva tasosta R 2. Määritelmiä ja tuloksia voi ja kannattaa hahmotella itselleen piirtämällä tilanteesta kuva. On kuitenkin hyvä tiedostaa, että R n varustettuna Lebesgue-mitalla on erikoistapaus yleisestä mitta-avaruudesta (X, Σ, µ). Valitsemamme esitystapa pohjautuu teokseen [2, luku 8], mutta teoria voidaan kehittää myös paljon yleisemmin. Abstraktimmassa muodossa tähän voi perehtyä miltei jokaisesta mittateoriaa käsittelevästä kirjasta, esimerkiksi teoksista [2, luku ] ja [4, luku 8]. 3. Sopimuksia merkinnöistä Palautetaan aluksi mieleen joukkojen X ja Y karteesisen tulon X Y määritelmä: X Y = { (x, y) : x X ja y Y } 3

34 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 3 Jotta säästyisimme jatkuvalta merkintöjen sekasotkulta, teemme seuraavan sopimuksen: kiinnitämme sellaiset luonnolliset luvut n, p ja q, joille n = p + q. Tällöin R n R p R q, joten nämä voidaan samaistaa. Käytämme kirjaimia x, y ja z ilmaisemaan avaruuksien R p, R q ja R n pisteitä: x R p, y R q ja z R n ja teemme luonnollisen samaistuksen z = (z,..., z n ) = (x, y) R p R q eli x i, z i = y i p, kun i p kun p < i n Integroinnissa seuraava määritelmä osoittautuu näppäräksi; kuva 3. havainnollistaa määritelmän ideaa. Määritelmä 3.. Olkoot A R n ja x R p annettuja. Sanomme joukkoa A x = { y R q : (x, y) A } joukon A x-viipaleeksi. Vastaavasti jos y R q on kiinteä, sanomme joukkoa A y = { x R p : (x, y) A } joukon A y-viipaleeksi. Funktion f : R n [, ] viipaloinnilla tarkoitamme kuvauksia f x (y) := f (x, y) ja f y (x) := f (x, y). y A A y Kuva 3.: Joukon A y-viipale tasossa R 2.

35 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 32 Olkoon funktio f : R n [, ] annettu. Jos y R q on kiinnitetty, niin voimme tarkastella funktion f y : R p [, ] integroituvuutta. Mikäli f y on integroituva, niin merkitsemme F(y) := f y (x) dx, R p missä dx = dm p (x) on p-ulotteinen Lebesgue-mitta. Jotta F(y) olisi olemassa, on funktion f y oltava vähintäänkin mitallinen. Tällöin oleellisesti erilaisia vaihtoehtoja on kaksi: () joko f y, jolloin F(y) on olemassa ja F(y) tai (2) f y L (R p ), jolloin < F(y) <. Emme kuitenkaan ole varsinaisesti kiinnostuneita luvusta F( y), vaan haluaisimme kirjoittaa f (z) dz = R n F(y) dy = R q R q ( ) f y (x) dx R p dy =: f (x, y) dx dy. R q R p Tässä käyttämämme merkintätapa on kuitenkin symbolisesti harhaanjohtava: funktion f m n -mitallisuudesta ja integraalin Rn f (z) dz olemassaolosta ei nimittäin seuraa, että funktio f y olisi m p -mitallinen (ks. harjoitustehtävä 34). Joudumme tulkintavaikeuksiin, sillä sisempää integraalia R p f y(x) dx ei tällöin ole edes määritelty! Tämän mitallisuusongelman vaatima erityistarkastelu osoittautuukin työläimmäksi vaiheeksi seuraavan lauseen todistuksessa. 3.2 Tonellin ja Fubinin lauseet Lause 3.2 (Tonelli). Olkoon f : R n [, ] Lebesgue-mitallinen. Tällöin () funktio f y on m p -mitallinen melkein kaikilla y R q ja (2) kuvaus y F(y) = R p f y(x) dx on määritelty ja m q -mitallinen melkein kaikilla y R q sekä (3) integraaleille on voimassa f (z) dz = R n R q R p f (x, y) dx dy. Todistus. Aloitamme tarkastelemalla mahdollisimman yksinkertaista tilannetta ja yleistämme tulosta vaiheittain. Vaiheissa 6 oletamme, että f = E on joukon E R n karakteristinen funktio. Meidän on siis osoitettava, että f y = E y on m p -mitallinen m.k. y R q ja F(y) = R p f y (x) dx = m p (E y )

36 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 33 on m q -mitallinen sekä m n (E) = m p (E y ) dy. R q V A I H E : Jos E on n-väli, niin se on muotoa E = I J, missä I R p on p-väli ja vastaavasti J R q on q-väli. Nyt I, jos y J E y =, jos y J joten E y on taatusti mitallinen ja m p (E y ) = m p (I) J (y) on m q -mitallinen. Siis m n (E) = m p (I) m q (J) = m p (E y ) dy, R q joten ensimmäinen tapaus on saatu todistettua. V A I H E 2 : Jos E on avoin joukko, niin se voidaan esittää muodossa E = J k, missä joukot J k R n ovat erillisiä välejä. Täten jokaisella y R q k= E y = J k,y k= on myös numeroituva yhdiste erillisistä väleistä ja m p (E y ) = m p (J k,y ). Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen ja Vaiheen perusteella m p (E y ) dy = R q = m p (J k,y ) dy R q k= k= R q m p (J k,y ) dy = m n (J k ) = m n (E). k= V A I H E 3 : Oletetaan nyt, että E on kompakti. Tällöin voimme valita avoimen ja rajoitetun joukon G E ja soveltaa Vaihetta 2 joukkoon G \ E. Huomataan aluksi, että (G \ E) y = G y \ E y jokaisella y R q. Vaiheen 2 perusteella R q m p (G y \ E y ) dy = m n (G \ E) ja toisaalta m p (G y ) dy m p (E y ) dy = m n (G \ E) = m n (G) m n (E). R q R q

37 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 34 Vaiheen 2 nojalla m n (G) = R q m p(g y ) dy, joten saadaan R q m p (E y ) dy = m n (E). V A I H E 4 : Olkoot K K 2 kompakteja ja asetetaan E = j K j. Jokainen joukon E y-viipale on muotoa E y = K j,y. j= Siispä E y on m p -mitallinen ja kasvavuuden perusteella m p (E y ) = lim m p (K j,y ). Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen ja Vaiheen 3 nojalla m p (E y ) dy = lim m p (K j,y ) dy = lim m n (K j ) = m n (E). R q j R q j V A I H E 5 : Olkoot nyt puolestaan G G 2 rajoitettuja avoimia joukkoja ja asetetaan E = j G j. Olkoon K kompakti joukko ja G K. Tällöin ja Vaiheen 4 perusteella K \ E = K \G j j= R q m p (K y \ E y ) dy = m n (K \ E). Nyt R q m p (K y ) dy = m n (K), joten väite nähdään todeksi kirjoittamalla m n (E) = m n (K) m n (K \ E). V A I H E 6 : Oletetaan nyt, että E on rajoitettu mitallinen joukko. Approksimointilauseen. mukaan on olemassa sellaiset kompaktit joukot K j sekä avoimet rajoitetut joukot G j, että K K 2 E G 2 G ja lim j m n (K j ) = m n (E) = lim j m n (G j ). Asetetaan K := K j ja G := G j, j= j= jolloin K E G ja m(k) = m(e) = m(g). Vaiheiden 4 ja 5 perusteella m p (G y ) dy = m n (G) = m n (K) = m p (K y ) dy. R q R q

38 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 35 Vähentämällä nämä toisistaan saadaan R q {}}{ m p (G y ) m p (K y ) dy = m n (G \ K) =, joten m p (G y \ K y ) = melkein kaikilla y R q. Melkein kaikki joukot E y eroavat kompakteista joukoista K y vain nollamittaisella joukolla, joten E y on m p -mitallinen ja m p (E y ) = m p (K y ) melkein kaikilla y. Täten m p (E y ) dy = m p (K y ) dy = m n (K) = m n (E). R q R q Huomaa, että aiemmissa vaiheissa E y oli m p -mitallinen jokaisella y R q. V A I H E 7 : Todistuksen loppu nojaa suureksi osaksi seuraavaan havaintoon: jos jono (f j ) on kasvava eli f f 2 ja Lauseen väite pätee jokaiselle funktiolle f j, niin Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen perusteella se pätee myös funktiolle f = lim f j (harjoitustehtävä 35). V A I H E 8 : Nyt voimme päätellä, että väite pätee funktiolle f = E, missä E R n on mielivaltainen m n -mitallinen joukko. Tämä seuraa suoraan Vaiheista 6 ja 7, kun asetetaan E k := E B(, k) ja määritellään kasvava jono f k := Ek. V A I H E 9 : Väite pätee yksinkertaiselle funktiolle f = k j= c j E j, sillä summa on äärellinen ja Vaiheen 8 tulosta voidaan soveltaa jokaiseen summattavaan erikseen. V A I H E : Lopulta voimme todeta, että väite pätee jokaiselle mitalliselle, einegatiiviselle funktiolle f : huomautuksen.2 mukaan funktio f voidaan esittää yksinkertaisten funktioiden raja-arvona, jolloin väite seuraa Vaiheista 7 ja 9. Tonellin lauseen välittömänä seurauksena saamme Fubinin lauseen. Lause 3.3 (Fubini). Olkoon f L (R n ). Tällöin funktio f y L (R p ) melkein kaikilla y R q, joten F(y) = f y (x) dx R p on olemassa melkein kaikilla y. Lisäksi F L (R q ) ja f (z) dz = F(y) dy. R n R q Todistus. Funktio f voidaan kirjoittaa ei-negatiivisten funktioiden erotuksena muodossa f = f + f ja voimme soveltaa Tonellin lausetta positiivi- ja negatiiviosiin erikseen. Viipaleet f + y ja f y ovat m p-mitallisia melkein kaikilla y R q, joten voimme asettaa G(y) := R p f y (x) dx ja H(y) := f + R p y (x) dx.

39 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 36 Tonellin lauseen mukaan funktiot G ja H ovat m q -mitallisia melkein kaikilla y. Lisäksi G(y) dy = f (z) dz ja H(y) dy = f + (z) dz. R q R n R q R n Molemmat integraalit ovat äärellisiä, joten G(y) < ja H(y) < melkein kaikilla y. Siis (x) dx < ja R p f y R p f + y (x) dx < melkein kaikkialla eli f y L (R p ). Nyt F(y) = H(y) G(y), joten F L (R q ) ja F(y) dy = H(y) dy G(y) dy R q R q R q = f + (z) dz f (z) dz = f (z) dz. R n R n R n Tonellin ja Fubinin lauseiden avulla moniulotteiset integraalit voidaan palauttaa yksiulotteisiksi iteroiduiksi integraaleiksi. Usein niitä käytetään kuitenkin peräkkäin: Seuraus 3.4. Olkoon f : R n [, ] mitallinen funktio. Jos edes yksi integraaleista f (z) dz, R n f (x, y) dx dy tai R q R p R p R q f (x, y) dy dx on äärellisenä olemassa, niin kaksi muutakin ovat olemassa ja ne ovat yhtäsuuria. Tällöin f L (R n ) ja integraaleille pätee f (x, y) dx dy = f (z) dz = R q R p R n R p R q f (x, y) dy dx. Usein haluamme kuitenkin laskea integraalin vain jonkin osajoukon yli koko avaruuden R n sijasta. Harjoitustehtävien 36 ja 37 perusteella myös tämä on mahdollista Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä Tarkastelemme seuraavaksi kahta esimerkkiä Tonellin ja Fubinin lauseiden käytöstä. Esimerkkejä 3.5: () Ensimmäisenä esimerkkinä osoitamme, että I := e x2 dx = π. On helppo nähdä, että integraali I suppenee, sillä e x2 > kaikilla x ja I xe x2 dx + e x2 dx + xe x2 dx <.

40 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 37 Koska kuvaus x e x2 on parillinen, niin I = 2 e x2 dx. Harjoitustehtävän 37 avulla voidaan kirjoittaa ( )( ) ( ) I 2 = e x2 dx e y2 dy = 4 e (x2 +y 2) dy dx. Tehdään sijoitus y = xs, jolloin dy = x ds. Fubinin lausetta käyttämällä saadaan I 2 4 = = 2 ( ) e (+s2 )x 2 x ds dx = + s 2 ds = 2 joten I = π, kuten väitimmekin. ( / arctan s = π 4, (2) Toisena esimerkkinä tarkastelemme integraalia e ax e bx dx, missä a, b >. x ) e (+s2 )x 2 x dx ds Huomataan aluksi, että integrandi voidaan kirjoittaa muodossa e ax e bx = x b a e xy dy, joten alkuperäinen integraali saadaan muotoon e ax e bx dx = x b a e xy dy dx. Nyt (x, y) e xy on jatkuvana kuvauksena mitallinen. Koska e xy >, niin Tonellin lauseen perusteella integrointijärjestystä voidaan vaihtaa: e ax e bx dx = x b a e xy dx dy = b a y dy = log( ) b a Fubinin lauseen oletus integroituvuudesta ei ole tarpeeton. Seuraavat esimerkit osoittavat, ettei integrointijärjestystä ole aina luvallista muuttaa. Esimerkkejä 3.6: () Tutkitaan integraalia Lasketaan aluksi x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy = = x 2 y 2 dy dx. (x 2 + y 2 2 ) x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy + x 2 + y 2 dy + 2y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy ( d y dy x 2 + y 2 ) dy.

41 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 38 Näistä jälkimmäinen voidaan laskea integroimalla osittain: ( d y dy x 2 + y 2 ) / y dy = x 2 + y 2 = x 2 + x 2 + y 2 dy x 2 + y 2 dy Siis x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy = x 2 +, mistä saadaan x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) dy dx = 2 x 2 + dx = / arctan x = π 4. Muuttujat x ja y ovat keskenänään antisymmetrisessä asemassa, joten x 2 y 2 dx dy = (x 2 + y 2 2 ) x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = π 4. Huomaa, että vaikka tässä tapauksessa molemmat iteroidut integraalit x 2 y 2 dy dx ja (x 2 + y 2 2 ) x 2 y 2 dx dy (x 2 + y 2 2 ) ovat äärellisinä olemassa, niin ne eivät ole yhtäsuuria. Tämä ei kuitenkaan ole ristiriidassa Fubinin lauseen kanssa, sillä integraali ei suppene itseisesti (eikä funktio siten edes ole Lebesgue-integroituva): x 2 y 2 [ x (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy + = x dx x x 2 dx =, + y 2 x 2 ] (x 2 + y 2 ) 2 dy dx missä hakasulkeissa oleva summa voidaan laskea osittaisintegroinnilla. (2) Olkoon (δ k ) [,] sellainen jono, että = δ < δ 2 < δ 3 < < δ k < δ k+ < < ja δ k k. Olkoon lisäksi (g k ) sellainen jono jatkuvia funktioita, että supp g k (δ k,δ k+ ) kaikilla k =,2,... Määritellään ja g k (t) dt = [ f (x, y) := gk (x) g k+ (x) ] g k (y). k=

42 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 39 Harjoitustehtävänä 4 on osoittaa, että f on jatkuva lukuun ottamatta pistettä (, ), mutta f (x, y) dy dx = = Tämäkään ei ole ristiriidassa Fubinin kanssa, sillä ja siten f L ( [,] [,] ). f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy. (3) Olkoon Q := { (x, y) R 2 : x, y } karteesisen koordinaatiston I neljännes. Merkitään R := { (x, y) Q : x y x } ja S := { (x, y) Q : x 2 y x } ja asetetaan f = S R. Alueet R ja S on esitetty kuvassa 3.2. Koska kumpikaan joukoista R ja S ei ole äärellismittainen, niin f ei ole Lebesgue-integroituva. Kuitenkin funktio x, kun x g(x) = f (x, y) dy = x 2, kun x 2, kun x 2 on integroituva ja g(x) dx =. Vastaavasti funktio h(y) = f (x, y) dx on integroituva, mutta h(y) dy = = g(x) dx. y R S x Kuva 3.2: Alueet R ja S.

43 LUKU 3. FUBININ LAUSE JA ITEROITU INTEGRAALI 4 Huomautus 3.7. Vaikka f on ei-negatiivinen, iteroidut integraalit ovat olemassa ja f (x, y) dx dy = R q R p R p R q f (x, y) dy dx, niin integraali R n f (z) dz ei välttämättä ole määritelty. Vastaesimerkkiä varten tarvitaan kuitenkin valinta-aksioomaa, sillä ongelma palautuu ei-mitallisten joukkojen olemassaoloon. Sierpinski todisti, että on olemassa sellainen ei-mitallinen joukko S R 2, että jokainen tason suora L sisältää korkeintaan kaksi joukon S pistettä (ks. [, s. 42]). Vastaesimerkiksi kelpaisi tällöin f = S. Emme kuitenkaan halua tämän syvemmin pohtia ei-mitallisten joukkojen eriskummallisuuksia.

44 Pitää vähän miettiä, että olisi jotain järkeä tässä hommassa. Juha Kinnunen 4 Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio 4. Maksimaalifunktion ominaisuuksia Määritelmä 4.. Funktion f L loc (Rn ) Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio M f : R n [, ] on M f (x) = sup r> missä B(x, r) = { y R n : y x < r }. Huomautuksia 4.2: m(b(x, r)) f (y) dm(y), (4.) () Jos integrointimuuttujasta ei ole epäselvyyttä, voimme yksinkertaistaa kaavan (4.) merkintöjä kirjoittamalla M f (x) = sup r> m(b r ) f dm, missä olemme vedonneet Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuuteen. Jos integrointimuuttuja on oleellinen, voimme merkitä dm( y) = dy. (2) Funktio M f on määritelty jokaisessa pisteessä x R n ja jos f = g melkein kaikkialla, niin M f (x) = M g(x) kaikilla x R n. (3) Helposti käy niin, että M f (x) = kaikilla x R n : esimerkiksi jos f : R R on identiteettifunktio f (x) = x, niin M f (x) = kaikilla x R. (4) Kirjallisuudessa esitetään monia eri määritelmiä, jotka usein johtavat ekvivalenttiin käsitteeseen. Jos M f (x) = sup B x 4 m(b) B f dm,

45 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 42 missä supremum otetaan kaikkien pisteen x sisältävien avoimien pallojen yli, niin M f (x) M f (x) kaikilla x R n. Toisaalta jos joukko B = B(z, r) x, niin B(z, r) B(x,2r) ja f dm m(b 2r) f dm m(b) B m(b r ) m(b 2r ) B(x,2r) = 2 n f dm m(b 2r ) 2 n M f (x). Tästä seuraa, että M f (x) 2 n M f (x) ja siten kaikilla x R n. B(x,2r) M f (x) M f (x) 2 n M f (x) Lemma 4.3. Olkoot funktiot f ja g L loc (Rn ). Tällöin () M f (x) kaikilla x R n. (positiivisuus) (2) M(f + g)(x) M f (x) + M g(x). (sublineaarisuus) (3) M(αf )(x) = α M f (x), α R. (homogeenisuus) (4) M(τ y f )(x) = (τ y M f )(x), y R n, missä τ y f (x) = f (x + y). (siirtoinvarianssi) Todistus. Harjoitustehtävä 43. Lemma 4.4. Jos f C(R n ), niin f (x) M f (x) kaikilla x R n. Todistus. Olkoon x R n. Koska f on jatkuva, niin f (y) dy f (x) m(b r ) = m(b r ) m(b r ) Täten kaikilla x R n. f (x) = lim f dm M f (x) r m(b r ) f (y) f (x) dy f (y) f (x) r dy. Huomautus 4.5. Jatkuvat funktiot ovat lokaalisti integroituvia. Toisin sanoen siis C(R n ) L loc (Rn ). Esimerkki 4.6. Jos f = (,), niin 2( x), kun x M f (x) =, kun < x < 2x, kun x Integroituvan funktion f maksimaalifunktio M f ei siis välttämättä ole integroituva!

46 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 43 Määritelmä 4.7. Funktio f : R n [, ] on alaspäin puolijatkuva, mikäli joukko { x R n : f (x) > λ } on avoin jokaisella λ R. Huomautuksia 4.8: () Jos funktio f on alaspäin puolijatkuva, niin joukko { x R n : f (x) > λ } on avoimena Lebesgue-mitallinen. Alaspäin puolijatkuvat funktiot ovat siis Lebesgue-mitallisia. (2) Joukko U R n on avoin, jos ja vain jos U on alaspäin puolijatkuva. Todistus harjoitustehtävänä 45. Lemma 4.9. Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio on alaspäin puolijatkuva ja siten mitallinen. Todistus. Olkoon λ R ja merkitään E λ := { x R n : M f (x) > λ }. Jos x E λ, niin on olemassa sellainen r >, että f dm > λ. m(b r ) Koska m(b r ) = lim r r+ m(b r ), niin on olemassa sellainen r > r, että m(b r ) f dm > λ. Jos x x < r r, niin kolmioepäyhtälön perusteella B(x, r) B(x, r ). Tällöin λ < f dm f dm M f (x ) m(b r ) m(b r ) B(x,r ) eli B(x, r r) E λ. Joukko E λ on siis avoin kuten pitääkin. Lemma 4.. Jos f L (R n ), niin M f L (R n ) ja M f f. Siis M : L (R n ) L (R n ) on rajoitettu operaattori. Todistus. Lemman 2.2 perusteella f f melkein kaikkialla, joten f dm m(b r) m(b r ) m(b r ) f = f kaikilla x R n ja r >. Kun otetaan supremum puolittain, saadaan väite. Huomautuksia 4.: () Esimerkin 4.6 perusteella oletuksesta f L (R n ) ei välttämättä seuraa, että M f L (R n ). Itse asiassa M f L (R n ) täsmälleen silloin, kun f = melkein kaikkialla.

47 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 44 Perustelu. Palautetaan ensin mieleen, että m(b r ) = Ω n r n, missä Ω n on luvusta n riippuva vakio. Oletetaan, että ehto f = melkein kaikkialla ei päde. Tällöin f >, joten on olemassa sellainen r >, että f dm >. B(,r) Olkoon x r. Tällöin B(, r) B(x,2 x ), joten M f (x) m(b 2 x ) B(x,2 x ) f dm m(b 2 x ) B(,r) ( ) f dm = O x n, kun r. Esimerkin 2.3 perusteella x n L ( R n \B(, r) ). Tästä seuraa, että M f L (R n ). (2) Oletuksesta f L (R n ) ei seuraa edes, että M f L loc (Rn ). Perustelu. Määritellään funktio f : R R, f (x) = x(log x) 2, kun < x < 2, muulloin Nyt f L (R), sillä Jos < x < 2, niin 2 M f (x) 2x x(log x) 2 dx = 2x /2 f (y) dy 2x log x = log2 <. x y(log y) 2 dy = 2x = 2xlog x L(, ) 2, / x log y joten M f L loc (R).

48 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO Heikko L p eli avaruus L p weak Määritelmä 4.2. Oletetaan, että funktio f : R n [, ] on mitallinen ja olkoon p <. Sanomme, että f L p weak (Rn ), mikäli on olemassa sellainen vakio c <, että kaikilla λ >. m ( { x R n : f (x) > λ} ) c λ p Keskitymme nyt avaruuden L weak (Rn ) tarkasteluun. Avaruutta L p weak (Rn ) käsittelemme tarkemmin harjoitustehtävissä Seuraavan huomautuksen perusteella avaruuden L weak (Rn ) nimi on järkevä tai ainakaan se ei ole järjetön. Huomautuksia 4.3: () L (R n ) L weak (Rn ): jos f L (R n ) ja λ > on annettu, niin merkitään A λ := { x R n : f (x) > λ }. Nyt m(a λ ) = dm f dm f A λ λ A λ λ. (2) Toisaalta L weak (Rn ) L (R n ). Olkoon f (x) = x n, jolloin f L (R n ). Kuitenkin jokaisella λ > { x R n : f (x) > λ } = { x R n : x n > λ } = { x R n : x < λ /n }, joten m ( { x R n : f (x) > λ} ) = m ( B(,λ /n ) ) = Ω n λ. Täten f L weak (Rn ). Lause 4.4 (Vitalin peitelause). Oletetaan, että F on kokoelma sellaisia avoimia palloja B, että diam ( B ) <, B F missä diam A = sup { x y : x, y A } on joukon A halkaisija. Silloin on olemassa numeroituvan monta pistevierasta palloa B(x i, r i ) F, joille B B(x i,5r i ). B F i= Todistus. Valitaan pallot induktiivisesti ottamalla aina suurin pallo, jolla on halutut ominaisuudet ja jota ei ole vielä valittu (tätä sanotaan ahneen periaatteeksi).

49 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 46 Oletetaan, että pallot B(x, r ),...,B(x i, r i ) F on valittu. Olkoon { d i := sup r : B(x, r) F ja B(x, r) i } B(x j, r j ) =, jolloin d i <. Jos ei ole sellaista palloa B(x, r) F, että j= i B(x, r) B(x j, r j ) =, j= niin olemme löytäneet halutut pallot B(x, r ),...,B(x i, r i ) ja valintaprosessi loppuu. Muussa tapauksessa valitsemme sellaisen pallon B(x i, r i ) F, että r i > i 2 d i ja B(x i, r i ) B(x j, r j ) =. Tällä menetelmällä voidaan valita myös ensimmäinen pallo B(x, r ). Valitut pallot ovat pistevieraita. Olkoon B F mielivaltainen pallo. Tällöin B = B(x, r) leikkaa ainakin yhtä valituista palloista B(x, r ), B(x 2, r 2 ),..., sillä muuten j= B(x, r) B(x i, r i ) = kaikilla i, joten luvun d i määritelmän nojalla d i r kaikilla i =,2,... Tästä seuraa, että r i > 2 d i 2 r > kaikilla i =, 2,..., joten m ( B(x i, r i ) ) = m ( B(x i, r i ) ) =, i= i= sillä pallot ovat pistevieraita. Tämä on ristiriita, sillä i= B(x i, r i ) on rajoitettu. Koska B(x, r) leikkaa jotain palloa B(x i, r i ), i =, 2,..., niin on olemassa pienin indeksi i, jolle B(x, r) B(x i, r i ). Nyt ja pallojen valinnan nojalla i B(x, r) B(x j, r j ) = j= r d i < 2r i. Koska B(x, r) B(x i, r i ) ja r 2r i, niin B(x, r) B(x i,5r i ). Nimittäin jos z B(x, r) B(x i, r i ) ja y B(x, r), niin y x i = y z + z x i y z + z x i = y x + x z + z x i y x + x z + z x i < r + r + r i = 2r + r i 5r i.

50 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 47 Lause 4.5 (Hardy-Littlewood I). Jos f L (R n ), niin m ( { x R n : M f (x) > λ} ) 5n λ f kaikilla λ >. Huomautus 4.6. Hardy-Littlewoodin ensimmäinen lause siis takaa, että maksimaalifunktion kuva avaruudesta L (R n ) sisältyy avaruuteen L weak (Rn ). Todistus. Olkoon joukko E λ := { x R n : M f (x) > λ}, missä λ >. Jos x E λ, niin on olemassa r = r x >, jolle m(b r ) f dm > λ. (4.2) Siis kaikilla x E λ on olemassa sellainen B = B(x, r), että epäyhtälö (4.2) pätee. Haluaisimme käyttää Vitalin peitelausetta, mutta yhdiste x E λ B(x, r) ei välttämättä ole rajoitettu. Sen sijaan siirrymme tutkimaan joukkoja A k := E λ B(, k), missä k =,2,... Olkoon F sellainen pallojen kokoelma, että epäyhtälö (4.2) pätee ja x A k. Jos B(x, r) F, niin epäyhtälön (4.2) mukaan Ω n r n = m ( B(x, r) ) < λ f dm λ f, joten diam ( x A k B(x, r) ) <. Vitalin peitelauseen nojalla on olemassa pistevieraat pallot B(x i, r i ), i =, 2,..., joille A k B(x i,5r i ). i= Nyt joten m(a k ) m ( B(x i,5r i ) ) m ( B(x i,5r i ) ) = 5 n m ( B(x i, r i ) ) 5n λ i= i= B(x i,r i ) i= f dm = 5n λ i B(x i,r i ) i= m(e λ ) = lim k m ( E λ B(, k) ) 5n λ f. f dm 5n λ f, Huomautus 4.7. Jos funktio f L (R n ), niin M f < melkein kaikkialla, sillä m ( { x R n : M f (x) = } ) m ( { x R n : M f (x) > λ} ) 5n λ f λ.

51 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 48 Lemma 4.8. Olkoon E R n mitallinen joukko ja f : E [, ] mitallinen funktio. Silloin jokaisella < p < pätee E f p dm = p t p m ( { x E : f (x) > t} ) dt. Todistus. Todistamme tuloksen Fubinin lauseen avulla. Merkitään A x := { t R : t < f (x) }, jolloin saadaan f (x) p = p t p dt = p A x t p Ax (t) dt. Integrointi yli joukon E antaa E f (x) p dm(x) = p E t p Ax (t) dt dm(x). Fubinin lauseen nojalla integrointijärjestystä voidaan muuttaa, joten E f (x) p dm(x) = p t p ( E ) Ax (t) dm(x) dt. Kun t on kiinteä, niin Ax (t) >, jos ja vain jos f (x) > t. Täten E Ax (t) dm(x) = m ( { x E : f (x) > t} ), mistä saadaan E f p dm = p t p m ( { x E : f (x) > t} ) dt. Lause 4.9 (Hardy-Littlewood II). Olkoon < p < ja f L p (R n ). Tällöin M f L p (R) ja on olemassa sellainen luvuista n ja p riippuva vakio c, että M f p c f p. Huomautus 4.2. Lauseen tulos ei päde, kun p =. Silloin saadaan vain heikon tyypin estimaatti. Todistus. Jaetaan funktio f L p (R n ) kahteen osaan f = f + f 2, missä f (x), kun f (x) > λ 2, kun f (x) > λ 2 f (x) = ja f 2 (x) =, kun f (x) λ 2 f (x), kun f (x) λ 2

52 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 49 Merkitään A i := { x R n : f i (x) }, i =,2. Tällöin f dm = f p f p dm ( ) λ p p R n 2 f p, A joten f L (R n ). Koska f 2 λ 2, niin f 2 λ 2 ja f 2 L (R n ). Nyt M f 2 (x) M f 2 f 2 λ 2 melkein kaikkialla, joten Lemman 4.3 nojalla M f (x) = M(f + f 2 )(x) M f (x) + M f 2 (x) M f (x) + λ 2 m.k. x R n. Lauseen 4.5 avulla saadaan m ( { x : M f (x) > λ} ) m ( { x : M f (x) > λ 2 }) 2 5n Lemman 4.8 nojalla voidaan kirjoittaa M f p p = M f (x) p dx = p R n Fubinin lauseen avulla saadaan Vakioksi c saadaan siten p 2 5 n λ A p 2 f (x) dx dλ. M f p p p 2 5 n R n f (x) = p 2p 5 n p λ f = 2 5n λ λ p m ( { x : M f (x) > λ} ) dλ 2 f (x) λ p 2 dλ dx Rn f (x) p dx = p 2p 5 n p f p p. A f dm. ( p 2p 5 n ) /p c =. p 4.3 Lebesguen tiheyspistelause Lause 4.2 (Lebesguen lause). Oletetaan, että f L loc (Rn ). Silloin lim f (y) f (x) dy = r m(b r ) melkein kaikilla x R n. Todistus. Voimme olettaa, että f L (R n ), sillä kysymys on lokaali (voimme tarkastella funktioita f i = f B(,i) ). Määritellään f (x) := limsup f (y) f (x) dy r m(b r ) ja osoitetaan, että f = melkein kaikkialla. Tehdään tämä useammassa osassa; seuraavassa on lueteltu kuvauksen f f ominaisuuksia.

53 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 5 () Selvästi f. (2) (f + g) f + g, sillä (f + g)(y) (f + g)(x) f (y) f (x) + g(y) g(x). (3) Jos g on jatkuva pisteessä x, niin g (x) =. Tämä nähdään seuraavasti: jos ε > on annettu, niin löytyy sellainen δ >, että g(y) g(x) < ε, kun x y < δ. Siten kun < r δ. m(b r ) g(y) g(x) dy ε, (4) Jos g C(R n ), niin (f g) = f, sillä kohtien (2) ja (3) perusteella (a) (f g) f + ( g) = f ja (b) f (f g) + g = (f g), joten (f g) = f. (5) f M f + f, sillä m(b r ) f (y) f (x) dy m(b r ) M f (x) + f (x). f (y) dy + f (x) (6) Jos f (x) > λ, niin kohdan (5) perusteella M f (x) + f (x) > λ. Siis joko M f (x) > λ 2 tai f (x) > λ 2. Lauseen 4.5 nojalla siis m ({ x : f (x) > λ }) m ({ x : M f (x) > λ 2 }) ({ }) + m x : f (x) > λ 2 2 5n λ f + 2 λ f = 2(5n + ) f. λ Lauseen 2.29 mukaan kompaktikantajaiset jatkuvat funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p (R n ). Siis jokaisella ε > on olemassa sellainen g C (R n ), että f g < ε. Täten m ( { x : f (x) > λ} ) (4) = m ( { x : (f g) (x) > λ} ) (6) 2(5n + ) λ eli m ( { x : f (x) > λ} ) = kaikilla λ >. Nyt f g < 2(5n + )ε λ m ( { x : f (x) > } ) = m ( { x : (f g) (x) > i }) i= m ( { x : (f g) (x) > i }) = i= ε eli f (x) m.k. x R n. Kohdan () nojalla siis f = m.k. x R n.

54 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 5 Huomautus Erityisesti siis melkein kaikilla x R n, sillä Lisäksi lim f (y) dy = f (x) r m(b r ) f (y) dy f (x) = f (y) f (x) dy m(b r ) m(b r ) f (y) f (x) r dy m.k. x R n. m(b r ) f (x) = lim f (y) dy sup r m(b r ) r> melkein kaikilla x R n. m(b r ) f (y) dy = M f (x) Määritelmä Jos f L loc (Rn ), niin piste x R n on funktion f Lebesguen piste, mikäli on olemassa sellainen a = a(x) R, että lim f (y) a dy =. r m(b r ) Huomautuksia 4.24: () Jos x on Lebesguen piste, niin Siis a on yksikäsitteinen. lim f dm = a. r m(b r ) (2) Jos f = g melkein kaikkialla, niin funktioiden f ja g Lebesguen pisteiden joukot ovat samat. Siis Lebesguen pisteiden joukko on hyvin määritelty avaruuden L loc (Rn ) ekvivalenssiluokille. (3) Se, että x on funktion f Lebesguen piste, on täysin riippumaton funktion f arvosta tässä pisteessä. Itse asiassa funktion f ei tarvitse olla edes määritelty pisteessä x! (4) Jos f L loc (Rn ), niin Lebesguen lauseen 4.2 mukaan melkein jokainen piste x R n on Lebesguen piste. Lisäksi a = f (x) m.k. x R n. Modifioimalla funktiota f nollamittaisessa joukossa (eli asettamalla f (x) = a(x)) voidaan jatkossa olettaa, että jokaisella Lebesguen pisteellä x. lim f (y) f (x) dy = r m(b r )

55 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 52 Esimerkki Tarkastellaan Heavisiden funktiota, kun x > H : R R, H(x) := 2, kun x =, kun x < Nyt lim r + 2r x+r x r H(y) dy = H(x) kaikilla x R, mutta ei ole sen Lebesguen piste. Nimittäin 2r jokaisella a R. r r H(y) a dy = dy + 2r r a 2r r a dy Määritelmä Mitallisten joukkojen jono (E k ) suppenee säännöllisesti pisteeseen x R n, jos on olemassa sellainen vakio c > ja luvut r, r 2,..., että (a) E i B(x, r i ), i =,2,... (b) lim r i = ja (c) m(e i ) m(b(x, r i )) cm(e i ) jokaisella i =,2,... Huomautuksia 4.27: () Ehdoista (a) ja (b) seuraa, että joukot E i suppenevat kohti pistettä x ja ehto (c) takaa, ettei suppeneminen ole liian nopeaa mitan mielessä (jokainen E i täyttää vähintään tietyn prosenttiosuuden pallon B(x, r i ) tilavuudesta ). (2) Pisteen x ei tarvitse kuulua joukkoihin E i. Esimerkkejä 4.28: () Olkoon Q(x,l) := { y R n : y i x i < l 2, i =,..., n} eli Q(x,l) on x-keskinen avoin kuutio, jonka särmän pituus on l. Osoitetaan seuraavaksi, että Q = Q(x,2r/n /2 ) B(x, r). Olkoon y Q. Tällöin y i x i < r/n /2 kaikilla i =,..., n, joten ( n y x = y i x i 2) /2 < r. i= Siis y B(x, r). Edelleen m(b r ) = m(b ( ) n r) n m(q) = c m(q), missä c = m(b ). m(q) 2 (2) Olkoon E B(,) sellainen mitallinen joukko, että m(e) >. Määritellään E r (x) := x + re = { y R n : y = x + rz, z E },

56 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 53 jolloin E r (x) x + rb(,) = B(x, r) ja m(b r ) = m(b r) m(e r ) m(e r) = c m(b ), missä c = m(b ) m(e). Siis jokaisesta mitallisesta joukosta E B(, ), jolle m(e) >, saadaan rakennettua säännöllisesti suppenevat joukot. Jos valitsemme joukoksi E = B(,) \ B(, 2 ), niin E r (x) = B(x, r) \ B(x, r 2 ) ja x E r(x) millään r. Lause Oletetaan, että f L loc (Rn ) ja että x on funktion f Lebesguen piste. Jos E, E 2,... suppenee säännöllisesti pisteeseen x, niin lim i m(e i ) E i f (y) f (x) dy =. Todistus. Väite nähdään todeksi, kun lasketaan f (y) f (x) c dy m(e i ) E i m(b ri ) B(x,r i ) f (y) f (x) i dy. Palloilla ei ole siis erityistä roolia Lebesguen lauseessa. Lause 4.3. Jos f L ( [a, b] ) ja x F : [a, b] R, F(x) := f (y) dy, a niin F (x) on olemassa ja F (x) = f (x) m.k. x [a, b]. Todistus. Asetetaan f (x) = kaikilla x R \ [a, b], jolloin f L (R) L loc (R). Jos r, r 2,... ovat positiivisia ja lim r i =, niin määritellään E i = (x, x + r i ). Tällöin jono (E i ) suppenee säännöllisesti pisteeseen x ja Lauseen 4.29 nojalla F(x + r i ) F(x) x+ri lim = lim f (y) dy = f (x) i r i i r i x melkein kaikilla x R. Tämän perusteella toispuoleinen derivaatta F + on olemassa (melkein kaikkialla) ja F + (x) = f (x) melkein kaikilla x [a, b]. Jos tarkastelemmekin joukkoja E i = (x r i, x), niin vastaavalla tavalla näemme, että myös F on olemassa ja F (x) = f (x) m.k. x [a, b]. Toisin sanoen siis F on olemassa ja F = f. Huomaa, että tämä on versio analyysin peruslauseesta, joka on helppo todistaa, kun f C[a, b].

57 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 54 Huomautus 4.3. Jos f L ( [a, b] ) ja x F : [a, b] R, F(x) = F(a) + f (y) dy, a niin F (x) = f (x) melkein kaikilla x [a, b] ja F(x) = F(a) + x a F (y) dy. ( ) K Y S Y M Y S : Mille funktioille F kaava ( ) pätee? Kaava ( ) pätee ainakin siinä tapauksessa, että F C [a, b] (eli F on jatkuvasti derivoituva). Pelkkä derivaatan F (x) olemassaolo jokaisessa pisteessä x ei kuitenkaan ole riittävä ehto. Esimerkiksi funktio x 2 sin x F(x) =, kun x, kun x = on kaikkialla derivoituva, mutta sen derivaatta F 2xsin x (x) = cos x, kun x, kun x = ei ole integroituva. Siis F L (R) eikä ( ) päde. Riittäisikö sitten, että () F C[a, b] ja (2) F (x) on olemassa melkein kaikkialla sekä lisäksi (3) F L ( [a, b] )? Vastaus tähänkin on kielteinen: vastaesimerkiksi kelpaa Cantorin funktio (ks. sivu 9). Tällöin nimittäin F() =, F() = ja F (x) = melkein kaikilla x [,]. Siten ja kaava ( ) ei päde. F() = = F() + F (y) dy Itse asiassa kaavan ( ) avulla määritellään kokonainen funktioluokka: Määritelmä Funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, mikäli f (x) on olemassa melkein kaikilla x [a, b] ja f L ( [a, b] ) sekä x f (x) = f (a) + f (y) dy a kaikilla x [a, b].

58 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO Tiheyspisteet Olkoon E R n Lebesgue-mitallinen joukko ja f = E. Lebesguen lauseen 4.2 nojalla melkein kaikilla x R n. ( ) m E B(x, r) lim E dm = lim = E (x) r m(b r ) r m(b r ) Määritelmä Piste x R n on joukon E tiheyspiste, mikäli ( ) m E B(x, r) lim =. r m(b r ) Lebesguen lauseen mukaan siis melkein kaikki mitallisen joukon pisteet ovat tiheyspisteitä. Toisaalta jos E R n on mitallinen, niin ( ) m E B(x, r) lim = r m(b r ) melkein kaikilla x R n \ E. Tiheyspisteet ovat siis mittateoreettisia sisäpisteitä ja sellaiset pisteet, joissa tiheys on, kuuluvat mittateoreettiseen komplementtiin. Esimerkkejä 4.34: () Asetetaan jokaisella i =,2,... ( I i := 2 2i+, 2 2i Olkoon E := i= I i. Tällöin ), jolloin m(i i ) = 2 2i+. m ( E B ( )) ( ), 2 = m I 2k i = 2 2i+ = k+ ja i=k i=k m ( E B ( )) ( ) 4, 2 = m I 2k+ i = 3 2 2k+3. k+ Koska m ( E B ( )), 2 2k m ( B ( )) =, 3 6 = m ( ( )) E B, 2 2k+ m ( B ( )),, 2 2k 2 2k+ niin raja-arvoa ( ) m E B(, r) lim r m(b r ) ei ole olemassa.

59 LUKU 4. HARDY-LITTLEWOODIN MAKSIMAALIFUNKTIO 56 (2) Olkoon E = { x = (x, x 2 ) R 2 : x i < }. Tällöin (piirrä kuva), kun x E ( ) m E B(x, r) 2, kun x E \ {kulmat} lim = r m(b r ) 4, kun x on kulmapiste, kun x R 2 \ E (3) Olkoon < α <. Asetetaan E = { x = re iθ : r > ja θ 2πα }, jolloin (piirrä kuva) ( ) m E B(, r) 2πα lim = lim r m(b r ) r 2π = α.

60 A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn t there. Lord Bowen 5 Konvoluutioapproksimaatio 5. Konvoluution ominaisuuksia Määritelmä 5.. Olkoot f, g : R n [, ] mitallisia funktioita. Konvoluutio f g : R n [, ], f g (x) = f (y)g(x y) dy R n on määritelty, mikäli funktio y f (y)g(x y) on integroituva m.k. x R n. Huomautuksia 5.2: () Vaikka f ja g olisivatkin L -funktioita, niin f g ei välttämättä ole! (2) Kuvaus (x, y) f (y)g(x y) on mitallinen (todistus sivuutetaan). (3) Jos f, g, niin konvoluutio f g on aina määritelty. O N G E L M A : Voidaanko f g määritellä, jos ei oleteta, että f, g? Milloin f g < melkein kaikkialla? Lause 5.3 (Youngin epäyhtälö). Olkoon p, f L p (R n ) ja g L (R n ). Tällöin f g on määritelty melkein kaikkialla, f g L p (R n ) ja f g p f p g. Todistus. Todetaan aluksi, että tapaus p = on huomautuksen 2.22 perusteella ilmeinen. Riittää siis osoittaa, että väite pätee, kun p <. Tarkastellaan ensin tapausta p =. Tällöin f g (x) = f (y)g(x y) dy f (y) g(x y) dy. R R n n 57

61 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 58 Integroimalla muuttujan x suhteen saadaan f g f (y) g(x y) dy dx R n R n ( ) = f (y) g(x y) dx dy = f g, R n R n missä olemme käyttäneet Fubinin lausetta ja Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuutta. Siis f g L (R n ), joten f g < melkein kaikkialla. Olkoon nyt < p <. Hölderin epäyhtälön nojalla f g (x) f (y) g(x y) dy = f (y) g(x y) /p g(x y) /p dy R n R n ( ) /p ( ) /p f (y) p g(x y) dy g(x y) dy R n R n ( ) /p = g /p f (y) p g(x y) dy R n ja Fubinin lauseen avulla saadaan f g p p g p/p f (y) p g(x y) dy dx R n R n ( ) = g p/p f (y) p g(x y) dx dy = g p R n R n f p p <. Siis f g L p (R n ) ja täten f g < melkein kaikkialla. Esimerkki 5.4. Olkoon f L (R n ) \ L 2 (R n ) sellainen funktio, että f (x) = f ( x) kaikilla x. Youngin epäyhtälön mukaan f f < melkein kaikkialla, mutta kuitenkin joten f f ei ole jatkuva origossa. f f () = f 2 dm =, R n Lause 5.5. Oletetaan, että f, g ja h L (R n ) sekä α, β R. Tällöin () f g = g f (kommutatiivisuus) (2) f (g h) = (f g) h (assosiatiivisuus) (3) (αf + βg) h = α(f h) + β(g h) (distributiivisuus) Todistus. Harjoitustehtävä Silottajat Otamme käyttöön seuraavan merkintätavan: jos φ L (R n ) ja ε >, niin φ ε (x) := φ(x/ε) ε n kaikilla x R n.

62 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 59 Esimerkkejä 5.6: () Olkoon jolloin kaikilla ε > pätee φ = B(,) m(b ), (5.) φ ε (x) = ε n B(,) (x/ε) m(b ) = B(,ε)(x). m(b ε ) Jos f L (R n ), niin Lebesguen lauseen 4.2 nojalla f φ ε (x) = f (y)φ ε (x y) dy = f (y) dy ε f (x) R n m(b ε ) B(x,ε) melkein kaikilla x R n. Youngin epäyhtälön mukaan lisäksi pätee f φ ε f φ ε = f, sillä φ ε = kaikilla ε >. (2) Funktio ( ) exp ϕ(x) := x 2, kun x B(,), muulloin on kompaktikantajainen ja sileä eli ϕ C (Rn ) L (R n ). Määritellään uusi funktio φ = jolloin φ ε C (Rn ) ja supp φ ε = { x : x ε }. Nyt ϕ ϕ, (5.2) φ ε (x) dx = R n ε n φ(x/ε) dx = R n ε n φ(y)ε n dy = φ(y) dy =, R n R n missä olemme tehneet muuttujanvaihdon y = x/ε. Jos nyt p < ja f L p (R n ), niin Youngin epäyhtälön nojalla f φ ε p f p, sillä φ ε =. Funktiota φ ε kutsutaan standardisilottajaksi. Seuraavassa lemmassa on koottuna silottajien ominaisuuksia. Lemma 5.7. Jos φ L (R n ), niin φ ε dm = φ dm (5.3) R n R n kaikilla ε >. Lisäksi jokaisella r >. φ ε dm ε (5.4) R n \B(,r)

63 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 6 Todistus. Molemmat väitteet saadaan todistettua, kun sijoitetaan y = x/ε. Esimerkiksi jälkimmäisen väitteen tapauksessa φ ε (x) dx = R n \B(,r) ε n R n \B(,r) φ(x/ε) dx = = φ(y) R n \B(,r/ε) dy ε. R n R n \B(,r/ε) φ(y) dy Lause 5.8. Olkoon p < ja oletetaan, että φ L (R n ) ja f L p (R n ). Kun merkitään a = Rn φ dm, niin lim φ ε f af p =. ε Huomautuksia 5.9: () Lause ei päde tapauksessa p =. (2) Jos φ on yhtälön (5.) mukainen funktio, niin Lebesguen lauseen 4.2 nojalla φ ε f f melkein kaikkialla, kun ε. Tästä ei kuitenkaan seuraa suppeneminen avaruudessa L p (R n ). Todistus. Lemman 5.7 mukaan af (x) = f (x) φ(y) dy = f (x) R n φ ε (y) dy = R n f (x)φ ε (y) dy, R n joten Hölderin epäyhtälön avulla saadaan f φε (x) af (x) ( ) = f (x y) f (x) φε (y) dy R n f (x y) f (x) φ ε (y) /p φ ε (y) /p dy R n ( ) /p ( f (x y) f (x) p φ ε (y) dy φ ε (y) dy R n R n ( ) /p = φ /p f (x y) f (x) p φ ε (y) dy. R n Fubinin lauseen avulla siis f φ ε af p p φ p/p = φ p/p ( ) f (x y) f (x) p φ ε (y) dy dx R n R n ( ) φ ε (y) f (x y) f (x) p dx dy. R n R n Jos r >, niin integraali voidaan kirjoittaa summana ( ) [ ] [ ] ( ) φ p/p... dy +... dy =: φ p/p B(,r) R n I + I 2, \B(,r) missä olemme merkinneet integrandia suluilla [... ]. ) /p

64 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 6 Olkoon η >. Lauseen 2.3 perusteella on olemassa sellainen ρ >, että R n f (x y) f (x) p dx < η, kun y B(,ρ). Siis I = B(,r) ( ) φ ε (y) f (x y) f (x) p dx dy < φ ε η, R n kun r < ρ. Toisaalta Lemman 5.7 nojalla on olemassa sellainen ε >, että φ ε (y) dy < η, R n \B(,r) kun ε < ε. Tällöin I 2 2 p f p p R n \B(,r) φ ε (y) dy < 2 p f p p η. Molemmat arviot pätevät jokaisella η >, joten eräällä vakiolla C φ ε f af p ( ) p φ p/p I + I 2 C η. Väite seuraa tästä, kun annetaan η. Lause 5.. Olkoon p. Jos f L p (R n ) ja φ C (Rn ), niin f φ ε C (R n ) jokaisella ε >. Lisäksi kaikilla x R n pätee D α (f φ ε )(x) = (f D α φ ε )(x), missä α = (α,...,α n ) on multi-indeksi ja D α = α + +α n x α xα n n. Muutama huomautus ennen Lauseen todistusta. Huomautuksia 5.: () Useimmiten f φ ε C (Rn ) (2) Lauseet 5.8 ja 5. yhdessä takaavat, että C (R n ) L p (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ), kun p < ja φ on yhtälön (5.2) funktio. Todistus. Olkoon h R, < h < ja merkitään avaruuden R n luonnollisia kantavektoreita e i = (,...,,,,...,), i =,..., n. Osoitamme, että ( (f φ ε ) (x) = f φ ) ε (x) x i x i

65 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 62 kaikilla i =,..., n. Nyt (f φ ε )(x + he i ) (f φ ε )(x) = h ε n [ ( ) ( )] x + hei y x y φ φ f (y) dy. ε ε }{{} h ( ) φ x y ε x i ε R n h Merkitään jolloin ϕ ( x y ) ϕ(x) := φ, ε x i (x) = ε φ ( x y ). x i ε Analyysin peruslauseen ja ketjusäännön perusteella ϕ(x + he i ) ϕ(x) = = h ϕ h t (x + te i) dt h Dϕ(x + tei ), e i dt = ϕ x i (x + te i ) dt, missä D on gradientti ja, avaruuden R n tavanomainen sisätulo. Tästä saamme arvion ϕ(x + hei ) ϕ(x) h ϕ (x + te i ) dt x i = h φ ( x + tei y ) h dt ε x i ε ε max φ j x. j }{{} =: M φ < Koska suppφ on kompakti, niin joukko K := { y R n : x y ε on rajoitettu. Täten suppφ tai x+he i y ε suppφ, missä < h < } (f φ ε ) (f φ ε )(x + he i ) (f φ ε )(x) (x) = lim x i h h [ ( ) ( x + hei y x y = lim h ε n φ φ K h ε ε = [ ( ) ( x + hei y x y ε n lim φ φ K h h ε ε = φ ( x y ) ε n f (y) dy K ε x i ε ( ) φ = f (x), x i )] f (y) dy )] f (y) dy missä rajankäyntien järjestyksen vaihtaminen on Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen perusteella mahdollista (huomaa, että ε M φ f L (K)). Yleinen väite saadaan iteroimalla tätä.

66 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 63 Seuraus 5.2. C (Rn ) on tiheä avaruudessa L p (R n ), kun p <. Todistus. Olkoot f L p (R n ) ja η > annettuja. Lauseen 2.29 nojalla on olemassa sellainen g C (R n ), että f g p < η 2. Olkoon φ ε C (Rn ) yhtälön (5.2) antama standardisilottaja, jolloin Lauseen 5. mukaan g φ ε C (R n ). V Ä I T E : supp(g φ ε ) on kompakti. Koska kantaja on määritelmän mukaan suljettu, niin riittää osoittaa, että se on rajoitettu. Jos g φ ε (x), niin g(y)φ ε (x y) jollain y R n. Tällöin siis y supp g ja x y supp φ ε, joten supp(g φ ε ) supp g + supp φ ε. Koska supp g ja supp φ ε ovat kompakteja, niin supp(g φ ε ) on rajoitettu. Nyt Lauseen 5.8 perusteella on olemassa sellainen ε >, että f (g φ ε ) p < η 2, kun < ε < ε. Tällöin f (g φ ε ) p f g p + g (g φ ε ) p < η ja väite saatiin todistettua. Huomaa, että C (Rn ) ei ole tiheä avaruudessa L (R n ). K Y S Y M Y S : Jos f L p (R n ) ja φ L (R n ), niin päteekö f φ ε (x) ε af (x) m.k. x R n? Osittainen vastaus saadaan Lebesguen lauseesta 4.2: jos f L ja φ ε kuten edellä, niin f φ ε f melkein kaikkialla. Toisaalta Lauseen 5.8 mukaan f φ ε ε af avaruudessa L p (R n ), joten on olemassa osajono, joka suppenee melkein kaikkialla. Tämä ei kuitenkaan takaa, että alkuperäinen jono suppenisi. Oletetaan, että φ L (R n ) toteuttaa seuraavat ehdot: () φ(x) melkein kaikilla x R n, (2) φ on radiaalinen eli on olemassa sellainen funktio ψ: [, ) [, ], että φ(x) = ψ( x ) kaikilla x R n sekä (3) φ on radiaalisesti vähenevä eli ehdosta x y seuraa, että φ(x) φ(y).

67 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 64 Merkitään A i := { x R n : 2 i x < 2 i+ } = B(,2 i+ ) \ B(,2 i ). Tällöin m(a i ) = m ( B(,2 i+ ) ) m ( B(,2 i ) ) = Ω n 2 in (2 n ) ja voimme estimoida integraalia φ(x) dx = R n i= A i φ(x) dx ψ(2 i )m(a i ) Ω n 2 n ψ(2 i )2 in. i= i= Toisaalta φ(x) dx = R n i= A i φ(x) dx ψ(2 i )m(a i ) = Ω n ( 2 n ) i= i= ψ(2 i )2 in. Lause 5.3. Oletetaan, että φ L (R n ), φ melkein kaikkialla, on radiaalinen ja radiaalisesti vähenevä ja merkitään a = φ. Jos p ja f L p (R n ), niin melkein kaikilla x R n. lim f φ ε(x) = af (x) ε Todistus. Todistamme, että jos x on funktion f Lebesguen piste, niin Merkitään g(r) := m(b r ) lim f φ ε(x) = af (x). ε f (y) f (x) dy = m(b r ) Koska x on funktion f Lebesguen piste, niin lim g(r) =. r B(,r) f (x y) f (x) dy. Harjoitustehtävän 5 mukaan g on jatkuva, joten tästä seuraa, että g on rajoitettu, kun < r < r. Kun p >, niin Hölderin epäyhtälön avulla saadaan g(r) m(b r ) ( m(b r ) f (y) dy + f (x) f (y) p dy) /p + f (x) Ω /p n r n/p f p + f (x),

68 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 65 joten g on rajoitettu myös kun r r. Siis on olemassa sellainen M <, että g(r) M kaikilla < r <. Edeltävää arviointimenetelmää käyttämällä saadaan f φε (x) af (x) ( ) = f (x y) f (x) φε (y) dy R n f (x y) f (x) φε (y) dy R n ( ) = f (x y) f (x) φ y/ε dy i= ε n i= i= ψ(2 i ) ε n ψ(2 i ) ε n = 2 n Ω n i= 2 i y ε <2i+ 2 i y ε <2i+ y <2 i+ ε f (x y) f (x) dy f (x y) f (x) dy ψ(2 i )2 in g(2 i+ ε), joten lim f φε (x) af (x) 2 n Ω n lim ε ε i= ψ(2 i )2 in g(2 i+ ε). Nyt ψ(2 i )2 in g(2 i+i ε) M ψ(2 i )2 in ja i= ψ(2 i )2 in ( 2 n φ(y) dy <. )Ω n R n Sovellamme Lebesguen dominoidun konvergenssin lausetta lukumäärämitalle ja saamme lim ε i= ψ(2 i )2 in g(2 i+ ε) = i= ψ(2 i )2 in lim ε g(2 i+ ε) =, sillä g(2 i+ ε), kun ε. Todistuksemme on siis valmis. Esimerkki 5.4. Olkoon ( φ(x) = c + x 2 ) n+ 2, missä x R n ja vakio c = c(n) on valittu niin, että Rn φ(x) dx =. Tällöin φ ε (x) = φ( x/ε ) ε n = cε ( ε 2 + x 2 ) n+ 2 ja määrittelemme funktion f L p (R n ) Poisson-integraalin kuvauksena u(x,ε) := f φ ε (x) = R n φ ε (x y) f (y) dy, ε >.

69 LUKU 5. KONVOLUUTIOAPPROKSIMAATIO 66 Lauseen 5.3 mukaan f φ ε (x) f (x) melkein kaikilla x R n. Koska φ C (R n ) on rajoitettu, niin Lauseen 5. perusteella f φ ε C (R n ) kaikilla ε >. Voidaan osoittaa, että u toteuttaa Laplacen yhtälön ylemmässä puoliavaruudessa u = 2 u x u x u n ε 2 = R n+ + = { (x,..., x n,ε) R n+ : ε > }. Siis u(x, ε) on Dirichletin ongelman ratkaisu siinä mielessä, että u(x,ε) =, (x,ε) R n+ u(x,) = f (x), x R+ n+ = R n + lim u(x,ε) = f (x) ε m.k. x Rn ja Lauseen 5.8 mukaan u(x,ε) f (x) avaruudessa L p (R n ), kun ε. Huomautus 5.5. Toinen tapa todistaa Lause 5.3 on näyttää, että on olemassa sellainen vakio c = c(n, φ), että sup f φε (x) c M f (x) ε> kaikilla x R n ja sitten argumentoida kuten Lebesguen lauseen todistuksessa.

70 Kaikki tämä kalpenee poromiesten saavutusten rinnalla. Juhani Lounila 6 Sobolevin epäyhtälöitä Aloitamme tarkastelemalla yksiulotteista tilannetta. Jos u C (R), niin on olemassa sellainen väli [a, b] R, että u(x) = kaikilla x R \ [a, b]. Analyysin peruslauseen mukaan siis sillä u(a) =. Toisaalta joten u(x) = u(a) + = u(b) = u(x) + x a b x u(x) = Yhtälöistä (6.) ja (6.2) seuraa, että mistä saadaan esitys x 2u(x) = = x = R u(x) = 2 u (y) dy x u (y) dy = u (y) dy, (6.) u (y) dy = u(x) + x u (y)(x y) dy + x y u (y)(x y) dy, x y R x x u (y) dy, u (y) dy. (6.2) u (y) dy x u (y)(x y) dy x y u (y)(x y) dy kaikilla x R. x y Seuraavaksi yleistämme tämän esityksen avaruuteen R n. 67

71 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ Rieszin ydin ja potentiaali Lemma 6.. Jos u C (Rn ), niin u(x) = D u(y), x y ω n R n x y n dy, missä ω n = nω n on (n )-ulotteinen mitta joukosta B(,) ja on funktion u gradientti. ( u D u =,..., u ) x x n Todistus. Jos x R n ja v B(,), niin Analyysin peruslauseen nojalla u(x) = u(x + tv) dt = t Nyt Fubinin lauseen perusteella ω n u(x) = u(x) ds(v) = = B(,) B(,) B(,) D u(x + tv), v dt. D u(x + tv), v dt ds(v) D u(x + tv), v ds(v) dt. Tehdään muuttujanvaihto y = tv, jolloin ds(v) = t n ds(y): = = B(,t) = R n B(,t) D u(x + y), t y ds(y) dt tn y D u(x + y), y n ds(y) dt D u(x + y), y y n dy, missä olemme siirtyneet pois napakoordinaatistosta. Todistus saadaan valmiiksi, kun tehdään muuttujanvaihto z = x + y: D u(z), z x D u(y), x y = R n z x n dz = R n x y n dy. Cauchy-Schwarzin epäyhtälön ja Lemman 6. avulla saadaan arvio funktiolle u: u(x) D u(y) x y ω n R n x y n dy = ω n R n D u(y) x y n dy =: ω n I ( D u ) (x).

72 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 69 Yleisesti Rieszin ydin I α, < α < n, määritellään I α (x) := x n α (6.3) ja Rieszin potentiaali I α f määritellään konvoluutiona f (y) I α f (x) := I α f (x) = n α dy. (6.4) x y Lemma 6.2. Jos < α < n, niin on olemassa sellainen c = c(n,α) >, että f (y) x y n α dy crα M f (x) kaikilla x R n ja r >. Todistus. Jos x R n, niin merkitään A i := B ( x, r 2 i). Lasketaan R n f (y) x y n α dy = f (y) n α dy i= A i \A i+ x y ( ) α n r i= 2 i+ f (y) dy A i ( ) α n ( ) α ( ) n r r = Ω n i= 2 2 i Ω n 2 i f (y) dy A i ( ) α n ( ) α r = Ω n i= 2 2 i f (y) dy m(a i ) A i = c M f (x) r α ( ) i i= 2 α = c r α M f (x). Lause 6.3 (Sobolevin epäyhtälö Rieszin potentiaalille). Oletetaan, että luvuille α > ja < p < n pätee αp < n. Tällöin on olemassa sellainen vakio c = c(n, p,α) >, että kaikilla f L p (R n ) pätee I α f p c f p, missä p = pn n αp. Todistus. Hölderin epäyhtälön nojalla R n \ ( f (y) n α dy f (y) p dy x y R n \ ) /p ( x y (α n)p dy R n \ ja jälkimmäistä integraalia voidaan arvioida siirtymällä napakoordinaatteihin: x y (α n)p dy = x y (α n)p ds(y) dρ R n \ = r B(x,ρ) ρ (α n)p r B(x,ρ) ds(y) dρ. ) /p

73 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 7 Nyt ds(y) = ω n ρ n, B(x,ρ) joten integraali saadaan muotoon x y (α n)p dy = ω n ρ (α n)p +n dρ R n \ r Eksponentti voidaan kirjoittaa muodossa = ω n (n α)p n rn (n α)p. n (n α)p p = n (n α) p = αp n p, joten R n \ f (y) x y n α dy c rα (n/p) f p. Lemman 6.2 nojalla Iα f (x) R n f (y) n α dy = x y [... ] dy + R n \ c ( r α M f (x) + r α (n/p) f p ). [... ] dy Valitsemalla [ M f (x) r = f p ] p/n saamme laskettua, että Korotetaan puolittain potenssiin p = Iα f (x) c M f (x) αp/n f αp/n p. np n αp : Iα f (x) p c M f (x) p f αp n p p Hardy-Littlewoodin II Lauseen (Lause 4.9) avulla saamme arvion integraalille R n Iα f (x) p dy c f αp n p p αp n p ( ) p M f (x) dx c f R n p f p p. Täten αp n + p p f p c f p = c f p.

74 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 7 Seuraus 6.4. Jos < p < n, niin on olemassa sellainen vakio c = c(n, p) >, että kaikille u C (Rn ) pätee u p c D u p. Todistus. Lemman 6. nojalla joten Lauseen 6.3 mukaan u(x) ω n I ( D u ) (x) kaikilla x R n, u p c I ( D u ) p c D u p. Huomautus 6.5. Jos Ω R n on avoin ja u C (Ω), niin määrittelemällä u(x) = kaikilla x R n \ Ω saadaan ( u p dm Ω ) /p ( /p c D u dm) p. Ω Seuraavaksi tarkastelemme lokaaleja estimaatteja. 6.2 Lokaalit estimaatit Otamme käyttöön seuraavan merkintätavan: jos u L loc (Rn ), niin merkitsemme funktion u integraalikeskiarvoa u := u(y) dy = m(b r ) u(y) dy. Tarkastelemme taas aluksi yksiulotteista tilannetta. Jos u C (R) ja pisteet y, z B(x, r) = (x r, x + r), niin u(z) u(y) = y z u (t) dt. Täten ja u(z) y u(z) u(y) u (t) dt u(y) dy z x+r x r u (t) dt u(z) u(y) dy u (y) dy. Seuraavaksi yleistämme tämän avaruuteen R n.

75 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 72 Lemma 6.6. On olemassa sellainen c = c(n) >, että u(z) u(y) dy c kaikilla B(x, r) R n, z B(x, r) ja u C (R n ). D u(y) z y n dy Todistus. Jos y, z B(x, r), niin u(y) u(z) = t u( ty + ( t)z ) dt = Cauchy-Schwarzin epäyhtälön perusteella Nyt jokaisella ρ > pätee D u ( ty + ( t)z ), y z dt. ( ) u(y) u(z) y z D u ty + ( t)z dt. u(y) u(z) ds(y) ρ B(z,ρ) B(z,ρ) D u(ty + ( t)z) ds(y) dt. Tehdään sijoitus w = ty + ( t)z, jolloin y = ( ) t w ( t)z ja ds(y) = t n ds(w). Tällöin w z = t y z, joten t n = ( z w ) n ρ ja saadaan: = ρ D u(w) ds(w) dt t n B(z,tρ) ρ = ρ n D u(w) ds(w) ds B(z,s) z w n = ρ n D u(w) dw, B(z,ρ) z w n missä olemme siirtyneet napakoordinaatteihin. Täten u(z) u(y) dy u(z) u(y) dy. Koska B(x, r) B(z, 2r), niin napakoordinaateissa saadaan u(z) u(y) dy = m(b r ) m(b r ) m(b r ) = c(n) 2r B(z,ρ) 2r ρ n B(z,ρ) 2r ρ n dρ u(y) u(z) ds(y) dρ D u(y) dy dρ z y n D u(y) n dy z y D u(y) dy. z y n

76 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 73 Lause 6.7 (Sobolev-Poincarén epäyhtälö). Jokaisella < p < n on olemassa sellainen vakio c = c(n, p) >, että ( u u p dy kaikilla B(x, r) R n ja u C (R n ). Todistus. Lemman 6.6 nojalla u(z) u c ) /p missä z B(x, r). Siispä Lauseen 6.3 perusteella ( u u p dy Huomautuksia 6.8: ) /p ( ) /p = c r D u p dy D u(y) z y n dy = c I ( ) D u (z), ( ( ) p c I D u dy R n ( ( ) p c D u dy R n ) /p ) /p = c ( () Sobolev-Poincarén epäyhtälö pätee myös, kun p =. (2) Eksponenteille pätee: (a) p > p (b) Jos p n, niin p (c) Jos p =, niin p = n n /p D u dy) p. Lause 6.9 (Poincarén epäyhtälö). Jokaisella < p < on olemassa sellainen vakio c = c(n, p) >, että ( kaikilla B(x, r) R n ja u C (R n ). ) /p ( u u p dy c r ) /p D u p dy Todistus. Toimimme samoin kuin Lauseen 6.7 todistuksessa: u(z) u c I ( D u ) (z) c B(x,2r) D u(y) (y) z y n dy c r M ( D u ) (z), missä z B(x, r). Hardy-Littlewoodin II lauseen (Lause 4.9) nojalla siis u u p dy c r p M R ( ) p D u dy n c r p ( ) p D u dy = c r p D u p dy. R n

77 LUKU 6. SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖITÄ 74 Lause 6. (Morreyn epäyhtälö). Jokaiselle n < p < on olemassa sellainen vakio c = c(n, p) >, että ( u(y) u(z) c r kaikille B(x, r) R n, y, z B(x, r) ja u C (R n ). Todistus. Lemman 6.6 nojalla ) /p D u p dw u(y) u(z) u(y) u + u u(z) c D u(w) dw + c y w n D u(w) z w n dw. Hölderin epäyhtälön avulla saadaan summattaville integraaleille arvio: ( D u(w) dw D u p dw y w n ) /p ( y w ( n)p dw ) /p Toisaalta y w ( n)p dw = B(y,2r) 2r y w ( n)p dw ρ ( n)p ds(w) dρ B(y,ρ) 2r = ω n ρ ( n)p +n dρ = c r n (n )p, joten laskemalla ( n (n )p ) p = n p saamme ( /p D u(w) dw c r n/p D u dw) p. y w n Sama pätee toisellekin summattavalle integraalille, joten ( u(y) u(z) c r n/p D u p dw ) /p ja väite saatiin todistettua.

78 One of the endearing things about mathematicians is the extent to which they will go to avoid doing any real work. Matthew Pordage 7 Harjoitustehtäviä Luku. Olkoot A A 2 R n Lebesgue-mitallisia joukkoja ja m(a ) <. Osoita, että m(a 2 \ A ) = m(a 2 ) m(a ). 2. Osoita, että A R n on Lebesgue-mitallinen, jos ja vain jos m(e F) = m(e) + m(f) jokaisella E A ja F R n \ A. 3. Oletetaan, että A R n on sellainen joukko, että m( A) =. Osoita, että A on Lebesgue-mitallinen. Anna esimerkki Lebesgue-mitallisesta joukosta A, jolle pätee m( A) >. 4. Olkoon A R n Lebesgue-mitallinen joukko, jonka mitta m(a) =. Näytä, että jokaisella λ < on olemassa Lebesgue-mitallinen joukko A λ A, jolle pätee m(a λ ) = λ. 5. Näytä, että joukon A = { x = (x,..., x n ) R n : x n = } mitta m(a) =. 6. Todista, että joukko E R n on nollamittainen, jos ja vain jos jokaiselle ε > on olemassa sellaiset pallot B(x i, r i ) = { x R n } : x x i < r i, i =,2..., että E B(x i, r i ) i= ja m(b(x i, r i )) < ε. i= 7. Todista, että m(e) = inf { m(u) : E U ja U avoin } jokaiselle E R n. 8. Todista, että m(a) = sup { m(k) : K A ja K kompakti } jokaiselle Lebesgue-mitalliselle A R n. 75

79 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Todista Lauseen.6 kohdan (2) väitteet kokoelmasta Γ.. Todista, että homeomorfismi f : R n R n kuvaa Borelin joukot Borelin joukoiksi.. Todista, että jatkuva funktio f : R n R n kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi joukoiksi. 2. Funktio f : R n R n on Lipschitz-jatkuva, jos on olemassa sellainen vakio L, että f (x) f (y) L x y kaikille x, y R n. Todista, että Lipschitz-funktio f : R n R n kuvaa (a) nollamittaiset joukot nollamittaisiksi joukoiksi ja (b) mitalliset joukot mitallisiksi joukoiksi. 3. Olkoon f : [,] R Cantorin funktio. Laske integraali f (u) du. Luku 2 4. Osoita, että p ei ole normi, jos p <. 5. Oletetaan, että joukot A i, i =,2,..., ovat pistevieraita ja mitallisia ja merkitään A = i A i. Olkoon f : A [, ] mitallinen funktio. Näytä, että f dm = f dm. A A i 6. Olkoot f, g : R n [, ] sellaisia funktioita, että f = g melkein kaikkialla. (a) Osoita, että f on mitallinen, jos ja vain jos g on mitallinen. i= (b) Osoita, että f L p (R n ), jos ja vain jos g L p (R n ) ja silloin f p = g p. 7. Näytä, että jos p < ja f L p (A), niin f < melkein kaikkialla joukossa A. 8. Olkoon A R n mitallinen joukko, m(a) < ja f : A [, ] mitallinen funktio. Näytä, että f L p (A) ( p < ) täsmälleen silloin, kun 2 ip m ({ x A : f (x) > 2 i }) <. i= 9. Oletetaan, että { x i : i N} on yksikköpallon B(,) numeroituva ja tiheä osajoukko. Määritellään f : B(,) [, ], f (x) = 2 i x x i α. i= Millä vakion α arvoilla f L p( B(,) ), jos p <? 2. Oletetaan, että p < r < q <. Todista, että L r (R n ) L p (R n ) + L q (R n ). Tämä tarkoittaa sitä, että jokaiselle f L r (R n ) on olemassa sellaiset funktiot g L p (R n ) ja h L q (R n ), että f = g + h.

80 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Olkoon c > ja oletetaan, että f : [, c] R on aidosti kasvava ja jatkuva funktio, jolle f () =. Jos a [, c] ja b [, f (c)], niin osoita, että a b ab f (x) dx + f (x) dx. 22. Olkoon A R mitallinen joukko ja m(a) <. Todista käyttämättä Hölderin epäyhtälöä, että L q (A) L p (A), kun p < q <. 23. Oletetaan, että f L p (R n ), p <. Määritellään Todista seuraavat väitteet: f (x), kun f (x) i ja x i f i (x) =, muulloin (a) lim f i (x) = f (x) m.k. x R n (b) f i p f p (c) f i f avaruudessa L p (R n ) 24. Oletetaan, että R n f p dm < jollain < p <. Todista, että 25. Olkoon funktiojono (f i ) i=, lim f p dm = m ({ x R n : f (x) }). p R n ix, kun x i f i : [,] R, f i (x) =, kun i < x (a) Määritä f (x) = lim f i (x). (b) Suppeneeko jono avaruudessa L p ([,]), kun p <? (c) Suppeneeko jono avaruudessa L ([,])? 26. Olkoon < p < ja f L p (R n ). Jos g L p (R n ) on sellainen funktio, että g p =, niin osoita, että f g dm f p. R n 27. Oletetaan, että f i f avaruudessa L p (R n ), missä p. Todista, että kaikilla λ >. lim m({ x R n : f i (x) f (x) > λ }) = i 28. Oletetaan, että f L (R n ) on sellainen funktio, että A f dm jokaisella mitallisella joukolla A R n. Näytä, että f melkein kaikkialla.

81 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Olkoon p < r < q <. Näytä, että L p (R n ) L q (R n ) L r (R n ). 3. Oletetaan, että f C(R n ) L (R n ). Osoita, että f = sup x R n f (x). 3. Olkoon K R n kompakti ja f : R n R jatkuva. Näytä, että f on tasaisesti jatkuva joukossa K. 32. Olkoon A R n epätyhjä ja x R n annettu. Tällöin dist(x, A) = inf { x y : y A } on pisteen x etäisyys joukosta A. (a) Näytä, että on olemassa sellainen x A, että dist(x, A) = x x. (b) Näytä, että x A, jos ja vain jos dist(x, A) =. (c) Näytä, että dist(x, A) = dist(x, A). (d) Näytä, että A = B, jos ja vain jos dist(x, A) = dist(x,b) jokaisella x R n. * 33. Olkoon p < ja f L p (R n ). Jos (f i ) i L p (R n ) on sellainen jono, että f i f melkein kaikkialla, niin osoita, että f f i p i f i p i f p. Luku 3 Palauta mieleen osion 3. sopimukset merkinnöistä! 34. Anna esimerkki sellaisesta mitallisesta funktiosta f : R n [, ], että () integraali Rn f (z) dz on olemassa ja (2) funktio y F(y) = R p f y(x) dx on määritelty melkein kaikilla y R q ja sen integraalille pätee F(y) dy = f (z) dz, R q R n (3) mutta funktio f y ei ole m p -mitallinen (lue: on olemassa sellainen y R q, että f y ei ole m p -mitallinen). 35. Osoita, että Tonellin lauseen 3.2 todistuksen Vaiheessa 7 esitetty havainto pitää todellakin paikkansa: siis jos (f j ) on jono sellaisia funktioita, että f f 2 ja lauseen väite pätee jokaiselle f j, niin lauseen väite pätee myös rajafunktiolle f = lim f j.

82 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Oletetaan, että X R p ja Y R q ovat mitallisia joukkoja (mittojen m p ja m q suhteen). Osoita, että joukko X Y on m n -mitallinen ja m n (X Y ) = m p (X) m q (Y ). 37. Oletetaan, että u L (R p ) ja v L (R q ) ja määritellään f (x, y) = u(x) v(y). Osoita, että f L (R n ) ja ( )( ) f (x, y) dx dy = u(x) dx v(y) dy. R n R p R q Päättele tehtävän 36 perusteella, että tulos on voimassa myös joukossa X Y. 38. Osoita laskemalla funktion f (x, y) = y sin(x)e xy integraali sopivan alueen yli, että 39. Osoita, että ( sin x e x ) e x dx = x x 2 log2. x y (x + y) 3 dx dy = 2 ja x y (x + y) 3 dy dx = Todista esimerkin 3.6 kohdan (2) väitteet funktiosta f. 4. Olkoot positiiviluvut a,..., a n annettuja ja merkitään E := (,) (,) R n. Osoita, että E x a + + xa n n dx <, jos ja vain jos n i= a i >. 42. Jatkoa edelliseen tehtävään. Merkitään G = (, ) (, ) \ E. Osoita, että G x a + + xa n n dx <, jos ja vain jos n <. a i i= Luku Todista Lemma Olkoon Ω R n avoin ja Ω i := { x Ω : dist(x, Ω) > } i B(, i), i =,2,... Näytä, että Ω = i= Ω i.

83 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Funktio f : R n [, ] on alaspäin puolijatkuva, mikäli { x R n : f (x) > λ } on avoin jokaisella λ R. (a) Osoita, että A on alaspäin puolijatkuva täsmälleen silloin, kun A on avoin. (b) Osoita, että jos funktiot f i, i =,2,..., ovat alaspäin puolijatkuvia, niin sup f i on alaspäin puolijatkuva. (c) Osoita, että f on alaspäin puolijatkuva, jos ja vain jos f (x) liminf y x f (y) kaikilla x R n. 46. Näytä, että L p (R n ) L p weak (Rn ) ja L p weak (Rn ) L p (R n ) jokaisella p <. 47. Oletetaan, että f, g L p weak (Rn ) ja määritellään f = sup λm ( { x R n : f (x) > λ} ) /p. λ> (a) Osoita, että f = täsmälleen silloin, kun f = melkein kaikkialla. (b) Osoita, että αf = α f kaikilla α R. (c) Osoita, että f + g 2 ( f + g ). (d) Osoita, että ei toteuta kolmioepäyhtälöä. 48. Olkoon p > ja määritellään f = sup m(e) ( p)/p E f dm, missä supremum otetaan yli kaikkien mitallisten joukkojen E, joille < m(e) <. (a) Todista, että on normi avaruudessa L p weak (Rn ). (b) Osoita, että on olemassa sellainen vakio c, että f f c f kaikilla f L p weak (Rn ). Tässä tarkoittaa tehtävän 47 kuvausta. 49. Oletetaan, että f L p weak (Rn ) ja m ( { x R n : f (x) } ) <. Näytä, että f q dm < R n kaikilla < q < p eli f L q (R n ). 5. Oletetaan, että f L p weak (Rn ) L (R n ). Osoita, että f L q (R n ) kaikilla q > p.

84 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 8 5. Oletetaan, että f L p loc (Rn ) ja määritellään F(x, r) := m(b r ) f (y) dy. Kun toista muuttujaa pidetään vakiona, saadaan yhden muuttujan funktio. (a) Näytä, että funktio x F(x, r) on jatkuva jokaisella kiinteällä < r <. (b) Näytä, että funktio r F(x, r) on jatkuva jokaisella kiinteällä x R n. 52. Oletetaan, että x R n on sellainen piste, että M f (x ) =. Näytä, että M f (x) = kaikilla x R n. 53. Olkoon p ja f L p (R n ). Näytä, että M f (x) < melkein kaikilla x R n. 54. Olkoon f L loc (Rn ) ja oletetaan, että M f (x ) < jossain pisteessä x R n. Näytä, että M f (x) < melkein kaikilla x R n. 55. Oletetaan, että f L (R n ) on Lipschitz-jatkuva vakiolla C. Todista, että M f on Lipschitz-jatkuva samalla vakiolla. 56. Merkitään E λ := { x R n : M f (x) > λ }. Näytä, että on olemassa sellainen vakio c = c(n) >, että f (x) dx c λ m(e λ ) E λ jokaisella λ > ja f L (R n ). 57. Oletetaan, että f L (R n ) on jatkuva. Todista, että M f on jatkuva. 58. Näytä, ettei ole olemassa sellaista mitallista joukkoa E R n, että m ( E B(x, r) ) = 2 m(b r) kaikilla x E ja < r <. Luku Olkoon < ε <. Laske f φ ε, kun f = [,3] ja φ ε = [ ε,ε] 2ε ovat funktioita R R. Totea, että f φ ε f avaruudessa L (R), kun ε. Hahmottele tilanteesta kuva. 6. Olkoot f L p (R n ) ja g L p (R n ), missä < p <. Todista, että f g L (R n ) ja että f g on tasaisesti jatkuva.

85 LUKU 7. HARJOITUSTEHTÄVIÄ Olkoot a ja b sellaisia lukuja, että a + b >. Jos f (x) = e a x ja g(x) = e b x ovat funktioita R R, niin näytä laskemalla, että 2 be a x ae b x f g(x) = b 2 a 2, kun a b ( ) x + a e a x, kun a = b > 62. Todista Lause 5.5.

86 Kirjallisuutta [] B. R. Gelbaum and J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis. Dover, New York, 23. [2] F. Jones. Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, revised edition, 2. [3] O. Lehto. Reaalifunktioiden teoria. Limes ry, Helsinki, 969. [4] W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, Boston, third edition,

87 Hakemisto σ-algebra, 2 absoluuttisesti jatkuva, 54 additiivinen, 2 ahneen periaate, 45 alaspäin puolijatkuva, 43 Approksimointilause, 6 Borelin joukko, 3 Cantor-tyyppinen joukko, 5 Cantorin 3 -joukko, 4 funktio, Dirichletin ongelma, 66 Fatoun lemma, 3 Hölder-konjugaatti, 8 Hölderin epäyhtälö, 9 halkaisija joukon, 45 integraali, 2 integraalikeskiarvo, 7 integroituva funktio, 2 Jensenin epäyhtälö, 2 joukkojen välinen etäisyys, 27 kantaja, 25 karteesinen tulo, 3 kompaktikantajainen, 25 konvoluutio, 57 Lebesguen dominoidun konvergenssin lause, 4 Lebesguen monotonisen konvergenssin lause, 3 Lebesguen piste, 5 melkein kaikkialla, 7 Minkowskin epäyhtälö, 2 mitallinen funktio, 7 joukko, mitta, 2 geometrinen, 3 täydellinen, 2 Morreyn epäyhtälö, 74 multi-indeksi, 6 nollajatke, 5 nollamittainen, 4 Poincarén epäyhtälö, 73 Poisson-integraali, 65 radiaalinen, 63 radiaalisesti vähenevä, 63 Rieszin potentiaali, 69 ydin, 69 Schwarzin epäyhtälö, 9 Sobolev-Poincarén epäyhtälö, 73 standardisilottaja, 59 subadditiivinen, suppeneminen säännöllinen, 52 tiheyspiste, 55 ulkomitta, Lebesguen, 3 väli suljettu, 3 yksinkertainen funktio, Youngin epäyhtälö, 57 maksimaalifunktio, 4 84