Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Transkriptio

1 Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017

2 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta- ja integraaliteoria on keskeinen työkalu monilla matematiikan osa-alueilla, mm. matemaattisessa analyysissä (Fourier analyysi, reaalianalyysi, harmoninen analyysi, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria jne.), todennäköisyysteoriassa, tilastotieteessä jne. Esimerkki 1.1. Olkoon fq n g n2n rationaalilukujen numerointi suljetulla välillä [0; 1]. Määritellään f n : [0; 1]! [0; 1], asettamalla f n (x) = 8 < : 1; jos x 2 fq 1 ; : : : ; q n g 0; muuten. Tällöin f n on kasvava funktiojono (ts. f n (x) f n+1 (x)), jokainen f n on Riemannintegroituva ja lisäksi 1 f n (t) = 0 kaikilla n 2 N : t=0 Havaitaan kuitenkin, että raja-funktio f(x) = lim n!1 f n (x) = 8 < : ei ole Riemann-integroituva (harjoitustehtävä). 1; jos x 2 Q ; 0; muuten. Ylläoleva on tyypillinen esimerkki, joka osoittaa että Riemann-integraali/Riemannintegroituvuus on hyvin epävakaa yksinkertaisimmissakin rajankäyntioperaatioissa. Lebesguen mitta ja Lebesguen integraali on Riemannin integraalin "paranneltu versio", joka suurelta osin paikkaa nämä Riemannin integraalin puutteet. Tällä kurssilla tarkastelun lähtökohdaksi otetaan paljolti yleinen mitan tai ulkomitan määritelmä. Lebesguen mittaa ja ulkomittaa käsitellään kuitenkin tärkeänä esimerkkinä ja havaintoa vastaavana n-ulotteisena mittana. Esimerkki 1.2. Tarkastellaan pääoman kertymistä tilanteessa, jossa alkupääoma on X 0 ja jokaisella ajanhetkellä pääoma joko karttuu yhdellä eurolla tai vähenee yhdellä eurolla yhtäsuurella todennäköisyydellä. Ts. X n+1 = X n +1 tai X n+1 = X n 1 ja molempien tapausten todennäköisyys on 50%. Mitä voidaan sanoa pääoman X n tai sen itseisarvon jx n j tyypillisestä (stokastisesta) käyttäytymisestä, kun n! 1? Tätä kysymystä, voidaan tutkia mitta-avaruudessa = f 1; 1g N sopivasti määritellyn todennäköisyysmitan avulla mittateorian keinoin. 1

3 2 Lebesguen ulkomitta 2.1 Merkintöjä 1. Laajennettu reaalilukujoukko R, saadaan lisäämällä reaalilukujen joukkoon R alkiot 1 ja 1 (joskus merkitään 1 = +1) luonnollisin laskutoimitus säännöin: x + 1 = 1 kaikilla x 2 R n f 1g x 1 = 1 kaikilla x 2 R n f1g x 1 = 1 jos x > 0 x 1 = 1 jos x < 0 x ( 1) = 1 jos x > 0 x ( 1) = 1 jos x < = 0 ( 1) = 0 x x 1 = = 0 kun 0 6= x 2 R 1 x 0 = 1 kun 0 < x 2 R x 0 = 1 kun 0 > x 2 R sekä laajentamalla järjestys joukoon R asettamalla 1 < x < 1 kaikilla x 2 R : 2. Jos X on avaruus (joukko), merkitään sen osajoukkojen kokoelmaa P(X) = f : Xg : Joukon 2 P(X) komplementti on c = X n. 2.2 Ulkomitta L voin suorakaide I avaruudessa R n on avoimien välien karteesinen tulo: I =]a 1 ; b 1 [ ]a 2 ; b 2 [ : : : ]a n ; b n [ ; a k < b k kaikilla k = 1; : : : ; n. Kun n = 1 kyseessä on tavanomainen avoin väli I =]a; b[. Jos b i a i = l kaikilla i, kyseessä on n-ulotteinen kuutio ja tällöin pätee (I) = l n. 2

4 Välin I =]a; b[ R luonnollinen mitta (pituus) on (I) := b a. Kun n 2, suorakaiteen I =]a 1 ; b 1 [ ]a 2 ; b 2 [ : : : ]a n ; b n [ luonnollinen havaintoa vastaava n- ulotteinen tilavuus on (I) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) : (tässä ei ole väliä, ovatko välit avoimia, suljettuja, puoliavoimia jne.) Miten määritellään n-ulotteinen tilavuus yleiselle joukolle R n? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Lebesguen ulkomitta Määritelmä 2.1. Joukon R n (n-ulotteinen) Lebesguen ulkomitta on L n () = inff (I k ) : I k avaruuden R n suorakaiteita, [ 1 I k g : Määritelmässä voidaan olettaa, että kaikki suorakaiteet I k ovat avoimia (tai suljettuja) (todistus:harjoitustehtävä). Mikäli väärinymmäryksen vaaraa ei ole, voidaan merkitä L n = L. Lemma 2.2. Jos I; I 1 ; : : : ; I m R n ovat suorakaiteita s.e. I [ m I k ; niin (I) mx (I k ) : Todistus. Harjoitustehtävä. Huomataan, että "siisteille joukoille" R n, L () yhtyy luonnolliseen geometriseen tilavuuteen. Erityisesti: Esimerkki 2.3. varuuden R n suljetulle suorakaiteelle on voimassa L n (I) = n(i) : Todistus. Olkoon I = [a 1 ; b 1 ] [a n ; b n ]. Selvästi L (I) (I), sillä peittävien suorakaiteiden kokoelmaksi voidaan valita f]a 1 "; b 1 +"[ ]a n "; b n +"[g miten pienellä " > 0 tahansa. Riittää siis todistaa, että (1) L (I) (I) ; Olkoon I k, k = 1; 2; : : : avaruuden R n avoimia suorakaiteita s.e. I [ k I k. Koska I on kompakti, on N 2 N s.e. I N[ 3 I k :

5 Lemman 2.2 nojalla (I) Siispä L (I) = inf joten (1) pätee. ( 1 X NX (I k ) (I k ) : (I k ) : I [ 1 I k ) (I) ; Huomautus. Ylläoleva pätee myös avoimille, puoliavoimille, rajoittamattomille ym. suorakaiteille. Esimerkki 2.4. Rationaalilukujen joukon Q R Lebesguen ulkomitta on L (Q) = 0. Yleisemmin, jokaiselle numeroituvalle joukolle Q R n on L n (Q) = 0. Todistus.Harjoitustehtävä. Esimerkki 2.5. Olkoon I 0;1 = [0; 1] R. Mudostetaan välit I 1;1 ja I 1;2 poistamalla välin I 0;1 keskimmäinen avoin kolmannes. Siis I 1;1 = [0; 1 ] ja I 3 1;2 = [ 2 ; 1]. Jatketaan 3 edelleen poistamalla kolmannes väleistä I 1;1 ja I 1;2. Saadaan välit I 2;1 = [0; 1 ], I 9 2;2 = [ 2; 1 ], I 9 3 2;3 = [ 2; 7 ], I 3 9 2;4 = [ 8; 1]. Jokaisella k 2 9 N välit I k;1; : : : ; I k;2 k jaetaan edelleen kahteen osaan vastaavalla tavalla: jos I k;i = [a; a+3 k ], niin I k+1;2i 1 = [a; a+3 k 1 ] ja I k+1;2i = [a k ; a + 3 k ]. Cantorin 1 -joukko C muodostuu niistä pisteistä, 3 3 joita ei poisteta konstruktion missään vaiheessa C = 1\ 2 k [ Tällöin C on kompakti ylinumeroituva joukko (Harjoitustehtävä: todista!) Koska C [ 2k I k;i jokaisella k 2 N ja 2 k X kun k! 1, nähdään että L (C) = 0. I k;i : (I k;i ) = 2 k 3 k = (2=3) k! 0 ; Lebesguen ulkomitalla on seuraavat perusominaisuudet. Lause 2.6. L = L n on kuvaus L : P(R n )! [0; 1], jolle 1. L (?) = 0, 2. Jos B, niin L () L (B), 3. Jos [ 1 k, niin L () P 1 L ( k ). 4

6 Todistus. Koska (I) 0 kaikilla väleillä I R n, on välttämättä L () 0, jokaiselle R n. Väite 1 havaitaan todeksi, koska? sisältyy miten pieneen suorakaiteeseen tahansa. Edelleen, jos avoimet suorakaiteet I 1 ; I 2 ; : : : muodostavat peiteen joukolle B, niin välttämättä myös [ 1 I k. Siten L () P 1 (I k ). Ottamalla infimum yli kaikkien tällaisten joukon B peitteiden, nähdään että L () inf ( 1 X (I k ) : B [ k I k ) = L (B) : Olkoon " > 0 ja " k = 2 k ", kun k 2 N. Ulkomitan L määritelmän perusteella, jokaiselle k löytyy avoimet suorakaiteet I k;i, i = 1; 2; : : : siten, että k [ 1 I k;i ja Tällöin ja L () (I k;i ) L( k ) + " k : [ 1 k [ 1 [ 1 I k;i (I k;i ) Koska tämä pätee kaikille " > 0, saadaan väite 3. L ( k ) + " k = " + L( k ) : 3 Ulkomitta ja mitalliset joukot Usein on tarpeen mitata avaruuden R n osajoukkojen kokoa jollakin muulla tavalla, kuin luonnollisen tilavuuden avulla. Samoin, ulkomitan käsite on tarpeen yleistää mihin tahansa perusjoukkoon X. Lauseen 2.6 ehdot 1 3 ovat luonnollsia vaatimuksia yleiselle (ulko-)mitta käsitteelle. Määritelmä 3.1. Olkoon X joukko. Kuvaus : P(X)! [0; 1] on ulkomitta, jos 1. (?) = 0, 2. Jos B X, niin () (B), 3. Jos [ 1 k, niin () P 1 ( k ). Esimerkkejä. n 2 N. 1. Lauseen 2.6 nojalla L n on ulkomitta avaruudessa R n jokaisella 5

7 2. Määrittely () = 8 < : 0 jos =? ; 1 muuten antaa ulkomitan mihin tahansa perusjoukkoon X. 3. Lukumääräulkomitta # määritellään perusjoukon X osajoukoille asettamalla #() = 8 < : 4. Olkoon x 2 X ja joukon alkioiden lukumäärä, jos on äärellinen 1 jos on ääretön. x () = 8 < : 1 jos x 2 0 jos x =2 : Tällöin x : P(X)! f0; 1g [0; 1] on ulkomitta, ns. Diracin ulkomitta pisteessä x. 5. Kohdan 4 esimerkkiä yleistää ns. Indikaattoriulkomitta. Jos X, määritellään kaikilla B X, I (B) = 8 < : 1 jos \ B 6=? ; 0 jos \ B =? : Ulkomitan määritelmästä ei seuraa additiivisuutta edes äärellisen monen erillisen joukon tapauksessa. Esimerkiksi ylläolevan esimerkin indikaattoriulkomitalle I on voimassa I (C) + I (X n C) = 2 > I (X) aina kun ; C X ja C \ 6=? 6= C \ c. Tämän vuoksi tarkastelu on usein tarpeellista rajoittaa suppeampaan osakokoelmaan avaruuden X osajoukkoja. Tämä antaa perustan seuraavalle määritelmälle Määritelmä 3.2. Olkoon ulkomitta avaruudessa X. Joukkoa X sanotaan -mitalliseksi, mikäli (E) = (E \ ) + (E n ) kaikille E X : Huomautuksia. 1. Jos on mitallinen ja B\ =?, niin määritelmästä seuraa välittömästi (valitsemalla E = [ B), että ( [ B) = () + (B) 6

8 2. Ulkomitan määritelmän perusteella on aina voimassa (E) (E \ ) + (E n ) ; joten (joukon -)mitallisuuden osoittamiseksi riittää näyttää, että (E) (E \ ) + (E n ) kaikille E X : 3. Mitallisuuden määritelmä ei ole kovin intuitiivinen. Lebesguen ulkomitalle (ja useimmille muille "hyödyllisille"ulkomitoille) on voimassa seuraava mitallisuuden luonnehdinta (todistetaan myöhemmin): Joukko R n on L - mitallinen, jos ja vain jos kaikille " > 0 on olemassa avoin joukko U siten, että L (U n ) < " : Mitallisten joukkojen kokoelmalla on seuraavat perusominaisuudet Lause 3.3. Olkoon ulkomitta avaruudessa X ja Tällöin 1.? 2, 2. Jos 2, niin c 2, = f X : on mitallineng : 3. Jos i 2, kun i = 1; 2; : : :, niin [ 1 i 2. Todistus. Väite 1 on selvästi tosi, sillä (E \?) + (E n?) = (?) + (E) = (E) ; mille tahansa E X, ulkomitan määritelmän ehdon 1 perusteella. Siten tyhjäjoukko? on -mitallinen. Väite 2 puolestaan seuraa siitä, että mitallisuuden märitelmä on symmetrinen komplementoinnin suhteen: E \ c = E n ja E n c = E \, joten jos on -mitallinen, nähdään että (E \ c ) + (E n c ) = (E n ) + (E \ ) = (E) ; jokaiselle E X. Väitteen 3 todistamiseksi, osoitetaan ensin seuraava aputulos. 7

9 Lemma 3.4. Jos ; B X ovat molemmat -mitallisia, niin [ B ja n B ovat -mitallisia. Mikäli \ B =?, pätee lisäksi (2) ( \ E) + (B \ E) = (E \ ( [ B)) kaikille E X. Lemman todistus. Olkoon E X. Havaitaan, että (3) E \ ( [ B) = (E \ ) [ ((E \ c ) \ B)) ; ja edelleen ulkomitan subadditiivisuutta (määritelmän ehto 3) käyttäen, sekä joukkojen B ja mitallisuuden perusteella (E \ ( [ B)) + (E n ( [ B)) (E \ ) + ((E \ c ) \ B)) + ((E \ c ) n B) = (E \ ) + (E n ) = (E) : Koska tämä on voimassa kaikille E X, havaitaan että [ B on -mitallinen. Joukon n B mitallisuus todistetaan hieman vastaavalla päättelyllä (harjoitustehtävä). Yhtälön (2) todistamiseksi riittää itse asiassa, että on mitallinen. Tällöin näet (E \([B)) = (E \([B)\)+(E \([B)\ c ) = (E \)+ (E \B) Lemman väite yleistyy välittömästi äärellisen monen joukon yhdisteelle. Erityisesti siis 1 [ : : : [ n 2 kaikilla n 2 N. Jos nyt määrittelemme joukot e i asettamalla e 1 = 1 ja edelleen e i = i n ( 1 [ : : : [ i 1 ), kun i = 2; 3; : : :, havaitaan joukot e i -mitallisiksi. Lisäksi joukot e i ovat keskenään erillisiä ja kaikilla n 2 N on [ n i = [ n e i. Olkoon E X. Lemman 3.4 nojalla kaikilla n 2 N on voimassa nx ( e i \ E) = ( n[ i ) \ E! ja edelleen ulkomitan monotonisuutta (määritelmän ehto 2) käyttäen (E) = E \ n[ n[ i!!+ E n i! nx ei \ E + E n 1[ i! : 8

10 Kun n! 1, saadaan (E) (4) E \ ei \ E + E n 1[ i!)!! 1[ 1[ i + E n i! ; missä viimeinen arvio seuraa ulkomitan subadditiivisuudesta (määritelmän ehto 3). Väite 3 seuraa tästä. Huomautus. Lauseesta 3.3 seuraa välittömästi, että X 2 ja että \ 1 i 2, jos i 2 kaikilla i 2 N. Ulkomitalla on lisäksi seuraavat perusominaisuudet numeroituivien joukkooperaatioiden suhteen. Lause 3.5. Olkoon ulkomitta avaruudessa X ja 1 ; 2 ; : : : X -mitallisia. Tällöin 1. ([ 1 i ) = P 1 ( i ) jos joukot i ovat erillisiä. 2. Jos 1 2 : : :, niin ([ 1 i ) = lim n!1 ( n ). 3. Jos 1 2 : : : ja ( k ) < 1 jollakin k 2 N, niin 1\ i! = lim n!1 ( n ) : Todistus. Väite 1 saadaan soveltamalla edellisen lauseen todistuksen arviota (4) joukolle E = [ 1 i. Väitteet 2-3 ovat harjoitustehtäviä. Huomautus. Jos E X ja (E) = 0, niin on helppo nähdä, että E; X n E ovat -mitallisia. Näytetään seuraavaksi, että on olemassa huomattava määrä L -mitallisia joukkoja, joille 0 < L () < 1. Todistetaan aluksi seuraava lemma. Lemma 3.6. Joukko R n on L -mitallinen, jos ja vain jos (5) L (I) = L (I \ ) + L (I n ) kaikilla avoimilla suorakaiteilla I R n : Todistus. Riittää osoitaa, että ehdosta (5) seuraa että L (E) L (E \ ) + L (E n ) kaikilla E R n : 9

11 Olkoon E R n ja " > 0. Valitaan suorakaiteet I i siten, että E [ 1 I i ja P 1 (I i ) L (E) + ". Tällöin ulkomitan -subadditiivisuudesta, esimerkistä 2.3 sekä ehdosta (5) seuraa että, L (E \ ) + L (E n ) (L (I i \ ) + L (I i n )) = L (E) + " : L (I i ) = (I i ) Väite seuraa antamalla "! 0. Seuraus 3.7. Jokainen avoin joukko U R n on L -mitallinen. Todistus. Koska avoin joukko U R n voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä avoimista suorakaiteista, lauseen 3.3 väitteen 3 perusteella riittää näyttää että jokainen suorakaide I R n on mitallinen. Jos J R n on niinikään avoin suorakaide, niin J \ I on avoin suorakaide, sekä J n I voidaan esittää äärellisenä yhdisteenä puoliavoimista suorakaiteista. Lemman 2.2 sekä esimerkin 2.3 avulla (yksityiskohdat: harjoitustehtävä), tästä seuraa että L (J) = L (J \ I) + L (J n I) ja väite seuraa lemmasta 3.6. Huomautus. Lauseen 3.3 perusteella tästä seuraa edelleen, että kaikki suljetut joukot, sekä kaikki avoimista ja suljetuista joukoista numeroituvien joukko-operaatioiden avulla saatavat joukot ovat L -mitallisia. Harjoitustehtävä: Määrää kaikki mitalliset joukot Diracin ulkomitalle, lukumäärämitalle ja indikaattoriulkomitalle. 4 Mitta-avaruus (X; ; ) 4.1 Sigma-algebrat Määritelmä 4.1. varuuden X -algebra on kokoelma P(X), jolle 1.? 2, 2. Jos 2, niin c 2, 3. Jos i 2, kun i = 1; 2; : : :, niin [ 1 i 2. Huomautus. Määritelmästä seuraa helposti (harjoitustehtävä), että sigma-algebralle P(X) on myös X 2 sekä \ 1 i 2, mikäli i 2 kaikilla i 2 N. Esimerkkejä. 1. Valinnat = f?; Xg sekä = P(X) antavat aina -algebran avaruuteen X. 10

12 2. Jos X ja 6=? 6= c, niin f?; ; c ; Xg on avaruuden X -algebra. 3. Lauseen 3.3 perusteella = f X : on mitallineng on -algebra aina kun on ulkomitta avaruudessa X. 4.2 Mitta Määritelmä 4.2. Olkoon -algebra joukossa X. Kuvaus :! [0; 1] on mitta, jos 1. (?) = 0, 2. ([ 1 i ) = P 1 ( i ) kaikille erillisille i 2, i 2 N. Huomautuksia. 1. Kolmikkoa (X; ; ), missä X on perusjoukko, P(X) on -algebra ja :! [0; 1] on mitta, kutsutaan mitta-avaruudeksi. 2. Olkoon ulkomitta avaruudessa X ja P(X) kaikkien -mitallisten joukkojen muodostama kokoelma. Lauseiden 3.3 sekä 3.5 nojalla määrittely () = () antaa mitan -algebraan. Merkitään jatkossa Lebesguen mittaa (joka on siis määritelty kaikkien L -mitallisten joukkojen - algebrassa) symbolilla L (tai tarvittaessa L n ). iempien esimerkkien Diracin ulkomitta x sekä lukumääräulkomitta # ovat sellaisenaan mittoja - algebrassa P(X), koska näille ulkomitoille kaikki joukot X ovat mitallisia (harjoitustehtävä). 3. Myöhemmin osoitetaan myös, että jokainen avaruuden X -algebrassa määritelty mitta voidaan laajentaa avaruuden X ulkomitaksi (Lause 5.5). 4. Mitta on äärellinen, jos (X) < 1 ja -äärellinen, jos X = [ 1 n=1 n, joukoille n 2 s.e. ( n ) < 1 kaikilla n 2 N. on todennäköisyysmitta, jos (X) = 1. Lause 4.3. Olkoon (X; ; ) mitta-avaruus ja ; B; i 2, i 2 N. Tällöin 1. Jos B, niin () (B). 2. Jos B ja () < 1, niin (B n ) = (B) (). 3. ([ i2n i ) P i2n ( i ). 4. Jos 1 2 : : :, niin ([ i2n i ) = lim n!1 ( n ). 11

13 5. Jos 1 2 : : :, ja ( k ) < 1 jollakin k, niin (\ i2n i ) = lim n!1 ( n ). Todistus. Väite 1 seuraa siitä, että ; B n 2 ovat erillisiä, joten (B) = ( [ (B n )) = () + (B n ) ja tässä (B n ) 0. Väite 2 seuraa myös ylläolevasta yhtälöstä. Määritellään B 1 = 1 ja edelleen B i = i n [ i n=1 1 n, kun i 2. Tällöin joukot B i i ovat pistevieraita ja [ 1 B i = [ 1 i. Siten mitan määritelmän ja väitteen 1 perusteella 1[ i! = (B i ) ( i ) : Väitteen 4 todistamiseksi, esitetään joukko = [ 1 i erillisenä yhdisteenä (tässä 0 =?) jolloin () = = ( i n i 1 ) = lim = lim n!1 ( n ) : 1[ nx n!1 ( i n i 1 ) ; ( i n i 1 ) = lim n!1 n[ ( i n i 1 ) Väitteen 5 osoittamiseksi, olkoon k 0 2 N sellainen, että ( k0 ) < 1 ja määritellään joukot B i, i 2 N, asettamalla B i = k0 n i. Tällöin B i B i+1, joten väitteen 4 nojalla Toisaalta 1[ B i! = lim n!1 (B n ) ( k0 ) < 1 : 1\ joten väite 2 huomioiden saamme \ i2n i 1 = (k0 ) = lim n!1 ( n ) : i = k0 n 1[ B i ; lim n!1 (B n ) = lim n!1 (( k0 ) (B n )) = lim n!1 ( k0 n B n ) Huomautus. Oletus, jonka mukaan ( k ) < 1 jollakin k on olennainen väitteessä 5 (harjoitustehtävä). 12!

14 4.3 Hyödyllisiä sigma-algebroja Lemma 4.4. Olkoon I epätyhjä indeksijoukko ja i avaruuden X -algebra jokaiselle i 2 I. Tällöin = \ i2i i on -algebra. Todistus. Koska -algebran määritelmän perusteella? 2 i kaikilla i 2 I, niin yhtäpitävästi? 2 \ i2i i =. Edelleen, jos 2 i kaikilla i 2 I, niin tällöin myös X n 2 i kaikilla i 2 I. Siten X n 2. Vastaavasti nähdään, että [ i2n i 2, mikäli i 2 kaikilla i 2 I. Edellinen lemma mahdollistaa seuraavan määritelmän. Määritelmä 4.5. Olkoon P(X). Kokoelmaa \ = P(X) on algebra : kutsutaan perheen virittämäksi -algebraksi. Huomautus. 1. Määritelmä on järkevä siinä mielessä, että Lemman 4.5 mukaan on aina -algebra. Huomaa, että on hyvin määritelty (leikkaus ei ole tyhjä), sillä P(X) on aina -algebra. on pienin -algebra, joka sisältää jokaisen perheen alkion. 2. Jos X = (X; ) on topologinen avaruus (esim. R n ) ja on kaikkien avoimien joukkojen U X kokoelma, niin -algebraa kutsutaan Borelin -algebraksi avaruudessa X ja sen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. 3. Kaikkien ulkomitan L n suhteen mitallisten joukkojen kokoelmaa avaruudessa R n kutsutaan Lebesguen -algebraksi ja sen alkioita myös Lebesguemitallisiksi joukoiksi. Lebesguen -algebra on hienompi kuin Borelin - algebra, toisin sanoen jokainen Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen (Seuraus 3.7). 4.4 Nollamittaiset joukot ja mitan täydellisyys Määritelmä Olkoon (X; ; ) mitta avaruus. Joukkoa E 2, jolle (E) = 0 sanotaan nollamittaiseksi. 2. Mitta on täydellinen, jos ehdoista (a) E 2, 13

15 (b) (E) = 0, seuraa että F 2 kaikille F E. Toisin sanoen, mitta on täydellinen, jos nollamittaisten joukkojen jokainen osajoukko on nollamittainen. Huomautus. Ulkomitalle on myös luontevaa kutsua joukkoa E nollamittaiseksi, jos (E) = 0. Huomaa, että kyseessä on kuitenkin hieman eri käsite. Esimerkki 4.7. Triviaalihkoja esimerkkejä epätäydellisistä mitoista on helppo keksiä. Jos esim X sisältää vähintään kaksi alkiota, (X) = 0 ja = f?; Xg, niin on epätäydellinen. Voidaan osoittaa esim, että Lebesguen mitta L rajoitettuna Borelin sigmaalgebraan on epätäydellinen. Tämä seuraa myöhemmin osoitettavan Borel-säännöllisyyden avulla siitä, että on olemassa joukkoja E R n, joille L (E) = 0, mutta jotka eivät ole Borel-joukkoja. Jokainen mitta voidaan aina täydellistää Lause 4.8. Olkoon (X; ; ) mitta-avaruus ja = f [ N : 2 ; N F 2 ; (F ) = 0g : Määritellään :! [0; 1] asettamalla kaikille 2 ja jokaiselle -nollamittaiselle N X, ( [ N ) = () : Tällöin on hyvin määritelty, (X; ; ) on mitta-avaruus, on täydellinen ja kaikille 2 on voimassa () = () : Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus. Mittaa kutsutaan mitan täydellistymäksi. 5 Ulkomitan konstruointi Käytetään seuraavaksi samaa ideaa kuin Lebesguen ulkomitan konstruktiossa ja esitellään yleinen menetelmä ulkomittojen määrittelemiseksi mihin tahansa avaruuteen X. 14

16 5.1 Ulkomitta peiteluokan avulla Määritelmä 5.1. Perhe K P(X) on avaruuden X peiteluokka, jos? 2 K ja jos X voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä X = [ 1 i, i 2 K. Kuvausta : K! [0; 1], jolle (?) = 0 kutsutaan esimitaksi. Esimerkki = n : K! [0; +1] on esimitta, kun K on kaikkien avaruuden R n suorakaiteiden muodostama kokoelma. 2. Jos K koostuu avoimista reaalilukuväleistä, niin (]a; b[) = jb aj s on esimitta jokaisella s Edellistä kohtaa yleistäen, jos K = P(R n ), niin määrittely () = diam() s antaa esimitan kaikilla s > 0. Lause 5.3. Jos K on avaruuden X peiteluokka ja : K! [0; 1] on esimitta, niin määrittely () = inff antaa ulkomitan avaruuteen X. ( k ) : k 2 K; [ 1 k g : Todistus. Harjoitustehtävä. Samaan tapaan kuin lauseen 2.6 todistus. Huomautus. a) Lebesguen ulkomitta L n on esimerkki Lauseen 5.3 antamasta ulkomitasta, kun K koostuu kaikista avaruuden R n avoimista suorakaiteista ja (I) = (I), kun I 2 K. b) Peiteluokan K alkioille on aina voimassa (K) (K). Lebesguen ulkomitan tilanteessa pätee (K) = (K) kaikille K 2 K, mutta yleisessä tapauksessa aito epäyhtälö (K) < (K) on mahdollinen ja jopa tavanomainen. c) On mahdollista, että (X) = 0, vaikka (K) > 0 kaikilla K 2 K. Lauseen 5.3 käytännön sovellusten kannalta on oleellista löytää sellainen esimitta, jonka avulla konstruoitu ulkomitta antaa epätriviaalin mitan joukkoon X. Kuten Lebesguen ulkomitan tapauksessa, seuraava mitallisuuden karakterisaatio on voimassa peiteluokasta K konstruiduille ulkomitoille Lause 5.4. Olkoon peiteluokasta K ja esimitasta konstruoitu ulkomitta avaruudessa X. Tällöin X on -mitallinen jos ja vain jos (E) = (E \ ) + (E n ) kaikille E 2 K : Todistus. Harjoitustehtävä. Samaan tapaan kuin Lemman 3.6 todistus. Osoitetaan seuraavaksi yleinen mitan ja ulkomitan käsitteet yhdistävä tulos: 15

17 Lause 5.5. Olkoon (X; ; ) mitta-avaruus. Määritellään asettamalla kaikille X, () = inff ( k ) : k 2 ; [ 1 k g : Tällöin on ulkomitta avaruudessa X, jokainen 2 on -mitallinen ja () = (), kun 2. Todistus. Koska on konstruoitu peiteluokasta käyttäen esimittana mittaa, on Lauseen 5.3 perusteella ulkomitta. Lauseesta 5.4 seuraa välittömästi, että jokainen 2 on mitallinen. Olkoon sitten 2. Selvästi () (). Toisaalta, jos [ 1 i, joukoille i 2, niin Lauseen 4.3 väitteen 3 perusteella joten välttämättä myös () (). ( i ) () ; Esitetään tämän kappaleen lopuksi vielä seuraava massanjakoperiaatteena tunnettu Lauseen 5.3 sovellus: Lause 5.6. Olkoon E 0 epätyhjä joukko ja E 0 = fe 0 g. Olkoot jokaisella n 2 N, E n äärellinen kokoelma erillisiä E 0 :n osajoukkoja. Merkitään E = [ n2n E n. Olkoon : E! [0; 1] ja lisäksi 1. [ E2En E = E 0 kaikilla n 2 N, 2. Jokainen E 2 E n on täsmälleen yhden kokoelman E n 1 joukon osajoukko ja sisältää äärellisen määrän kokoelman E n+1 joukkoja. 3. X E2E 1 (E) = (E 0 ) : Edelleen, jos E 2 E n ja jos E 1 ; : : : ; E k ovat E:n sisältämät kokoelman E n+1 joukot, niin kx (E i ) = (E) : 4. Jos E n 2 E n kaikilla n 2 N ja E n E n+1, niin joukko \ n2n E n sisältää täsmälleen yhden joukon E 0 pisteen. Tällöin on esimitta peiteluokassa E ja sen määrämälle ulkomitalle on voimassa: 16

18 1. (E) = (E) jos E 2 E. 2. Jokainen E 2 E on -mitallinen. Todistus. Suoraan määritelmän perusteella on selvää, että E on avaruuden E 0 peiteluokka ja että on esimitta. Edelleen on selvää, että (E) (E), jos E 2 E. Epäyhtälön (6) (E) (E) kun E 2 E todistamiseksi määrittelemme metriikan avaruuteen E 0 asettamalla ja edelleen m(x; y) = supfm 2 N : x; y 2 E eräälle E 2 E m g ; (7) d(x; y) = 8 < : 0 jos x = y ; 2 m(x;y) muuten. On helppo näyttää, että (E 0 ; d) on kompakti metrinen avaruus ja lisäksi jokainen E 2 E on yhtäaikaa sekä avoin, että kompakti joukko (harjoitustehtävä). Huomaa, että oletuksen 4 nojalla m(x; y) < 1 aina kun x 6= y. Olkoon sitten E; E n 2 E, n 2 N siten että E [ 1 n=1e n. Joukon E kompaktiuden ja joukkojen E n avoimuuden perusteella, on olemassa N 2 N siten että (8) E Koska kaikille i; j 2 f1; : : : ; Ng on voimassa jokin seuraavista E i \ E j =?, E i E j, E j E i, N[ niin voidaan lisäksi olettaa (poistamalla E i, mikäli E i E j jollakin j 6= i) että kaikki E 1 ; : : : ; E N ovat keskenään erillisiä. Väite 6 seuraa nyt yhtälöstä (9) NX E n (E i ) = (E) ; joka nähdään todeksi induktiolla luvun k n 0 suhteen, missä E 2 E n0 k 0 = maxfk : E n 2 E k jollakin n = 1; : : : ; Ng (yksityiskohdat: harjoitustehtävä) Joukon E 2 E mitallisuuden osoittamiseksi, sovelletaan Lausetta 5.4. Jos ; E 2 E, niin on voimassa jokin seuraavista 17 ja

19 E \ =?, E, E. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa, nähdään suoraan, että (E) = (E \) + (E n ). Mikäli E, voidaan joukko E n esittää äärellisenä yhdisteenä erillisistä E i 2 E, ja väite seuraa soveltamalla yhtälöä (9). Huomautuksia. 1. Käytännön tilanteissa E 0 on usein jonkun suuremman metrisen avaruuden X osajoukko, jolloin Lauseen 5.6 antama ulkomitta voidaan laajentaa koko avaruuden X ulkomitaksi asettamalla () = (E 0 \ ) kaikille X. 2. Oletusta 4 voidaan lieventää monin tavoin. Voidaan mm. sallia että leikkaus \ n2n E n on tyhjä korkeintaan numeroituvan monelle tällaiselle jonolle E n 2 E n, edellyttäen että (E n ) # 0, kun n! 1 (harjoitustehtävä). Esimerkki 5.7. Olkoon C = T 1 S 2 k I k;i Cantorin kolmasosajoukko kuten esimerkissä 2.5. settamalla E = fc \ I k;i : k 2 N; 1 i 2 n g ja (I k;i ) = 2 k, saadaan Lauseen 5.6 sovelluksena määriteltyä sellainen ulkomitta joukkoon C, jolle (C \I k;i ) = 2 k kaikille k 2 N, 1 i 2 k. Tämä voidaan edelleen laajentaa ulkomitaksi e avaruuteen R, jolle pätee e (R n C) = 0 ja e (I k;i ) = 2 k. 5.2 Säännöllisyysominaisuuksia ulkomitoille Määritelmä 5.8. Olkoon ulkomitta avaruudessa X. Kohdissa 2 5 oletamme lisäksi, että X on topologinen avaruus. 1. on säännöllinen, jos jokaiselle X on olemassa -mitallinen B X siten, että B ja () = (B). 2. on lokaalisti äärellinen, jos (K) < 1 kaikille kompakteille K X. 3. on Borel-ulkomitta, jos jokainen Borel joukko B X on -mitallinen. 4. Borel-ulkomitta on Borel-säännöllinen, jos kaikille X on Boreljoukko B X s.e. B ja () = (B) 5. on Radon-ulkomitta, jos se on lokaalisti äärellinen ja mikäli kaikille avoimille U X on sekä kaikille X pätee (U ) = supf (K) : K U on kompaktig () = inff (U ) : U avoin, Ug : 18

20 Esimerkkejä. 1. Diracin ulkomitta x, x 2 X on Radon-ulkomitta jokaisessa metrisessä avaruudessa (X; d) (harjoitustehtävä). 2. Lukumääräulkomitta # on Borel-säännöllinen jokaisessa metrisessä avaruudessa, mutta se ei yleensä ole Radon-ulkomitta (harjoitustehtävä) 3. Osoitamme myöhemmin, että Lebesguen ulkomitta L n on Radon ulkomitta. Huomautus. Määritelmän perusteella on selvää, että jokainen Borel-säännöllinen ulkomitta on säännöllinen. Helposti nähdään, että jokainen Radon-ulkomitta on Borel-säännöllinen (harjoitustehtävä). Lause 5.9. Metrisen avaruuden (X; d) ulkomitta on Borel-ulkomitta, jos ja vain jos (10) ( [ B) = () + (B) kaikille ; B X, joille 1 dist(; B) > 0. Todistus. Olkoon Borel-mitta ja ; B X siten, että dist(; B) > " > 0. Joukko " = fx 2 X : d(x; ) < "g on avoin ja siten Borel-joukkona -mitallinen. Koska dist(; B) > ", on " \ B =? ja mitallisuuden määritelmän perusteella näemme, että ( [ B) = (( [ B) \ " ) + (( [ B) n " ) = () + (B) : Sivuutamme todistuksen väitteelle, jonka mukaan ehdosta (10) seuraa Borel joukkojen -mitallisuus. Lauseen 5.9 avulla saamme seuraavan hyödyllisen aproksimointituloksen: Lause Olkoon Borel-säännöllinen ulkomitta metrisessä avaruudessa (X; d), X -mitallinen ja " > Jos () < 1, on olemassa suljettu joukko F, jolle ( n F ) < ". 2. Jos [ 1 U i, avoimille joukoille U i, joille (U i ) < 1, niin on olemassa avoin joukko U X jolle U ja (U n ) < ". Todistus. Oletetaan, että (X) < 1. Yleinen tapaus seuraa tästä (harjoitustehtävä). Merkitään avaruuden X Borel-joukkojen muodostamaa -algebraa symbolilla B. Tarkastellaan kokoelmaa = f 2 B : Jos " > 0; on suljettu F ja avoin U joille (UnF ) < "g : Todistetaan seuraava aputulos: 1 dist(; B) = inf x2;y2b d(x; y). 19

21 Lemma on -algebra. Todistus. Valitsemalla F = U =?, nähdään että? 2. Olkoon sitten 2. Jos F on suljettu ja U on avoin, niin F c c on avoin ja U c c on suljettu. Lisäksi F c n U c = U n F, joten on selvää että c 2. Olkoon sitten n 2 kaikilla n 2 ja " > 0. Valitaan suljetut E n n ja avoimet U n n, jotka toteuttavat arvion (U n n E n ) < 2 n ". Olkoon U = S n2n U n ja E = T n2n E n. Tällöin Edelleen joten (U n E) E [ n2n U n E [ n2n n U : U n n E n ; n=1 (U n n E n ) < X n 2 n " = " : Huomaa, että joukko U on avoin, mutta E ei välttämättä ole suljettu. Koska kaikilla N 2 N, joukko F N = [ N n=1e n on suljettu ja lauseen 3.3 nojalla (U n E) = (U ) (E) = (U ) lim (F N ) = lim (U n F N ) ; N!1 N!1 erityisesti (U nf N ) < ", kun N on riittävän iso, niin huomaamme, että [ n2n n 2. Osoitetaan seuraavaksi, että B. Olkoon X suljettu. Valitsemme U k = k 1 = fx 2 X : d(x; ) < 1 k g : Tällöin jokainen U k on avoin ja = \ k2n U k. Lauseen 3.3 nojalla lim (U k n ) = lim (U k ) () = () () = 0 : k!1 k!1 Jos " > 0, valitsemalla F = ja k riittävän suureksi, näemme että F U k ja (U k n F ) < ". Siten sisältää kaikki suljetut joukot, josta seuraa välittömästi Lemman 5.11 nojalla, että B. Olemme näyttäneet, että lauseen väite pätee siis ainakin kaikille Borel-joukoille. Yleinen tapaus seuraa tästä Borel-säännöllisyyden nojalla (yksityiskohdat: harjoitustehtävä). Lause varuuden R n Borel-säännöllinen ja lokaalisti äärellinen ulkomitta on Radon-ulkomitta 20

22 Todistus. Olkoon U R n avoin ja R n. Pitää osoittaa, että (11) (12) (U ) = supf (K) : K U on kompaktig ; () = inff (U ) : U avoin, Ug : Väite (12) seuraa välittömästi lauseen 5.10 väitteestä 2, kun valitaan 2 U i = B(0; i), i = 1; 2; : : :. Väitteen (11) todistamiseksi oletetaan aluksi, että (U ) < 1. Lauseen 5.10 nojalla on suljettu S U, siten että (U n S) < ". Joukko 3 F n = S \ B(0; n) on kompakti kaikilla n 2 N ja lauseen 3.3 nojalla lim n!1 (U n F n ) = (U n S) < ", joten väite (11) on todistettu tapauksessa (U ) < 1. Mikäli (U ) = 1, sovelletaan ylläolevaa joukkoon U n = U \ B(0; n) jokaisella n 2 N: Valitaan kompaktit F n U n s.e. (F n ) > (U n ) 1. Koska lim n!1 (U n ) = (U ) = 1, saamme niinikään sup n2n (F n ) = 1. Ylläolevasta seuraa erityisesti: Seuraus Lebesguen ulkomitta L n on Radon ulkomitta. 5.3 Caratheodoryn konstruktio Kuten harjoitustehtävänä osoitetaan, peiteluokan ja esimitan avulla määritellystä ulkomitasta ei yleensä tule kovin säännöllistä (esim. Borel ulkomittaa). sia voidaan korjata hienontamalla ulkomitan konstruktiota. Seuraavan määritelmän menetelmää kutsutaan Caratheodoryn konstruktioksi. Määritelmä Olkoon (X; d) metrinen avaruus, K P(X) sen peiteluokka ja : K! [0; 1] esimitta. Oletetaan lisäksi, että myös K = fe 2 K : diam(e) < g on peiteluokka kaikilla > 0. Olkoon peiteluokasta K ja esimitasta konstruoitu ulkomitta, t.s Olkoon kaikilla X. () = inff ( k ) : k 2 K ; [ 1 k g : () = lim #0 () = sup >0 2 B(x; r) on avoin x keskinen ja r säteinen pallo. 3 B(x; r) on suljettu x keskinen ja r säteinen pallo. 21 ()

23 Lause Määritelmän antama kuvaus : P(X)! [0; 1] on Borelin ulkomitta. Se on Borel-säännöllinen, mikäli peiteluokan P alkiot ovat Boreljoukkoja. Todistus. Koska K 1 K 2, jos 1 2, niin 1 () 2 () kaikille X, joten () on hyvin määritelty. Edelleen kaikilla > 0 on (?) = lim #0 (?) = 0, () = lim #0 () lim #0 (B), jos B. Samoin () = lim () lim #0 #0 ( i ) = ( i ) = ( i ) ; jos [ 1 i. Kuvaus on siis ulkomitta. Osoitetaan Borelin ulkomitaksi käyttämällä lauseen 5.9 ehtoa. Olkoon ; B X ja dist(; B) > 0 ja olkoon 0 < < dist(; B), sekä E i 2 K siten, että Määrittelemällä [ B 1[ E i : I = fi 2 N : E i \ 6=?g ; I B = fi 2 N : E i \ B 6=?g : ovat I ja I B erillisiä ja [ i2i E i, B [ i2ib E i. Siten X X (13) () + (B) (E i ) + (E i ) i2i i2i B (E i ) : Ottamalla infimum yli kaikkien joukon [ B peitteiden [ i E i, E i 2 K, arviosta (13) seuraa, että () + (B) ( [ B). Koska tämä pätee kaikilla 0 < < dist(; B), saadaan () + (B) = ([ B), joten on Borel-ulkomitta Lauseen 5.9 nojalla. Oletetaan lopuksi, että peiteluokka K koostuu pelkistä Borel-joukoista. Olkoon X. Valitaan jokaisella n 2 N, joukot E n;i 2 K, i 2 N siten että [ 1 E n;i ja (14) Tällöin joukko (E n;i ) 1=n () + 1 n : E = \ 1[ n2n on Borel-joukko, E. rvion (14) nojalla on lisäksi 1=n (E) 1=n () + 1 n kaikilla n 2 N, joten antamalla n! 1, saadaan (E) = () eli on Borelsäännöllinen. 22 E n;i

24 5.4 Hausdorffin ulkomitta Määritelmä Olkoon X separoituva metrinen avaruus 0 < s < 1, K = P(X) ja (E) = diam(e) s, kun E 2 K. Määritellään kaikilla X ja 0 < 1, ja edelleen H s () = inff diam( k ) s : k 2 K ; [ 1 k g : H s () = lim H s () = sup #0 >0 () : Ulkomittaa H s kutsutaan s-ulotteiseksi Hausdorffin ulkomitaksi. Lauseen 5.15 nojalla se on Borelin ulkomitta. Koska 4 diam() = diam() ja kaikilla X, voidaan määritelmää muuttamatta korvata K kaikilla avaruuden X suljetuilla joukoilla. Täten Lauseesta 5.15 seuraa myös, että H s on Borel-säännöllinen. Huomautuksia. 1. Sopimalla että x 0 = 1 kaikilla x 0 = 1, ja että diam(?) 0 = 0 voidaan ylläolevaa määritelmää soveltaa myös kun s = 0. Osoittautuu (harjoitustehtävä), että tällöin H 0 on lukumääräulkomitta avaruudessa X. 2. Jos H s () > 0, niin H t () = 1 kaikilla 0 t < s. Määritellään kaikille X dim H () = inffs 0 : H s () = 0g = supfs 0 : H s () = 1g : (tässä inf? = 1, sup? = 0). Lukua dim H () kutsutaan joukon Hausdorffin ulottuvudeksi. 3. Jos X = R n, niin H n = cl n, missä c = c(n) on vakio. Edelleen, jos 0 < k < n, k 2 N, niin ulkomittaa H k voidaan käyttää mittaamaan avaruuden R n sileiden k-ulotteisten pintojen kokoa ja se yhtyy näiden luonnolliseen k- ulotteiseen tilavuuteen. Erityisesti sileän käyrän K R n tapauksessa, H 1 (K) on käyrän K pituus. 4. On kuitenkin paljon joukkoja R n, joille s = dim H () =2 N. Tällöin voi olla H s () = 0, H s () = 1 tai 0 < H s () < Ulkomittaa H s 1 kutsutaan s-ulotteiseksi Hausdorffin sisällöksi. Hausdorffin ulottuvuus voidaan määritellä myös ulkomitan H s 1 avulla (harjoitustehtävä) Esimerkki rvioidaan Cantorin kolmasosajoukon (k.s. Esimerkki 2.5) C [0; 1] Hausdorffin mittaa ja ulottuvuutta: 4 Tässä on joukon sulkeuma. 23

25 Olkoon s > 0. Jokaisella k 2 N, on C C k = [ 2k I k;i, missä diam(i k;i ) = 3 k. Huomataan siis, että (15) H s (C) 2k 3 sk kun 0 < 3 k <. Valitsemalla s 0 = log 2= log 3, saamme H s0 2 k 3 k log 2= log 3 = 1 kaikilla > 0 ja edelleen H s0 (C) 1. Erityisesti siis dim H (C) s 0. Lauseen 5.6 todistusta mukaellen, voidaan todistaa että tämä on itse-asiassa paras mahdollinen arvio. Toisin sanoen, H s0 (C) = 1 ja siten dim H (C) = s 0 = log 2= log 3 (harjoitustehtävä). 6 Integraali Merkintöjen yksinkertaistamiseksi tässä luvussa oletamme ilman eri mainintaa, että (X; ; ) on mitta-avaruus. 6.1 Yksinkertaisen funktion integraali Määritelmä Joukon X karakteristinen funktio eli indikaattori on : X! R, (16) (x) = 8 < : 1 jos x 2 ; Toisinaan käytetään myös merkintää 1. 0 jos x 2 X n : 2. Kuvaus f : X! R on yksinkertainen, jos se voidaan esittää äärellisenä lineaarikombinaationa :n alkioiden karakterisista funktioista eli jos (17) f = kx a i i ; missä i 2, a i 2 R. Merkitään kaikkien yksinkertaisten funktioiden kokoelmaa symbolilla Y ja kaikkien ei-negatiivisten yksinkertaisten funktioiden kokoelmaa symbolilla Y Yksinkertaisen funktion f P k = a i i 2 Y + integraali (mitan -suhteen) yli joukon E 2 on E f d = kx a i (E \ i ) : 4. Esitys (17) ei ole yksikäsitteinen. Määritelmä on kuitenkin hyvin asetettu, eli se ei riipu annetusta esityksestä (harjoitustehtävä). 24

26 5. Jokaisella f 2 Y on normaaliesitys: f = kx a i i ; missä i 2 ovat erillisiä, a i 6= a j kun i 6= j, ja X = [ k i (harjoitustehtävä). Esimerkki 6.2. Jos f = Q : R! R, niin f 2 Y ja R f dl = 1 L(Q) + 0 L(R n Q) = = 0 : Huomaa, että f ei ole Riemann-integroituva! Lause 6.3. Jos E n 2, n 2 N ovat erillisiä ja jos f 2 Y +, niin [ ne n f d = Todistus. Olkoon f = P k a i i. Suoraan määritelmien perusteella ja summausjärjestystä vaihtamalla [ ne n f d = = kx n=1 a i ( i \ [ n2n E n ) = kx n=1 a i (E n \ i ) = Välittömänä korollaarina lauseelle 6.3 saadaan E n kx n=1 n=1 Seuraus 6.4. Jos f 2 Y +, niin kuvaus! [0; 1], on mitta -algebrassa. R E E 7! E f d E n f d a i (E n \ i ) Todistus. -additiivisuus erillisille joukoille seuraa Lauseesta 6.3 ja selvästi f d 0 kaikille E 2, sekä joten väite seuraa.? f d = kx a i (? \ i ) = 0 ; Huomautuksia. Seurauksen 6.4 ja lauseen 4.3 nojalla yksinkertaisen funktion f 2 Y + integraalilla on muun muassa seuraavat perusominaisuudet: 25

27 1. Jos E; F 2 ja E F, niin E f d F f d : 2. Jos E n 2, E 1 E 2, niin f d = lim [ ne n n!1 f d : E n 3. Jos E n 2, E 1 E 2 ja R E n f d < 1 jollakin n 2 N, niin f d = lim \ ne n n!1 f d : E n Osoitetaan vielä yksinkertaisen funktion lineaarisuus integrandin suhteen. Lause 6.5. Olkoon f; g 2 Y + ja 0 ; 1. Silloin f + g 2 Y + ja (18) E (f + g) d = E f d + Jos f(x) g(x) kaikilla x 2 E 2, niin (19) E f d E E g d : Todistus. Olkoon funktiolla f ja g normaaliesitykset f = kx a i i ; g = g d kaikilla E 2 : mx j=1 b j Bj : Tällöin f + g = P k a i i + P m j=1 b j Bi, joten selvästi f + g 2 Y. Jos E 2, suoraan integraalin määritelmän perusteella saamme E + (f + g) d = mx j=1 k X b j (B j \ E) = a i i + kx mx j=1 a i ( i \ E) + b j Bi 1 d = mx j=1 kx a i ( i \ E) b j (B j \ E) = E f d + rvion (19) todistamiseksi, olkoon C i;j = i \ B j, a i;j = a i ja b i;j = b j, kun 1 i k, 1 j m. Sillon funktiolla f ja g on esitykset f = g = ja lisäksi a i;j b i;j kaikilla i; j. Täten E f d = ja väite seuraa kx mx j=1 kx mx j=1 kx mx j=1 a i;j (C i;j \ E) 26 a i;j Ci;j b i;j Ci;j kx mx j=1 b i;j (C i;j \ E) = E g d ; E g d :

28 6.2 Positiivisen mitallisen funktion integraali Funktion f : X! R integraali on luonnollista määritellä raja-arvona (20) E f d = lim E f n d ; missä f n 2 Y ja lim n!1 f n = f. Sen varmistamiseksi, että tällainen määritelmä on hyvin asetettu (raja-arvon (20) olemassaolo ja yksikäsitteisyys), sekä sen tutkimiseksi, miten laajaan funktioluokkaan f tällainen määritelmä soveltuu, tarvitaan mitallisen funktion käsitettä, jota motivoi seuraava tulos. Lause 6.6. Funktiolle f : X! R seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: 1. f(x) = lim n!1 f n (x) kaikilla x 2 X, missä f n 2 Y. 2. f(x) = lim n!1 f n (x) kaikilla x 2 X, missä f n 2 Y ja f n+1 f n. 3. f 1 (+1); f 1 ( 1) 2 ja f 1 (B) 2 kaikille Borel joukoille B R. Todistus. On selvää, että (2) =) (1). Ehto (3) on selvästi voimassa, jos f 2 Y, sillä tällöin f saa vain äärellisen määrän arvoja ja f 1 (x) 2, kaikilla x 2 R. Implikaation (1) =) (3) osoittamiseksi, riittää näyttää että (3) on suljettu raja-arvojen suhteen. Olkoon siis f n : X! [0; 1] sellaisia funktioita, joille (3) pätee ja olkoon f(x) = lim n!1 f n (x) kaikilla x 2 X. Todistetaan aputulos: Lemma 6.7. Jos f 1 (U ) 2 kaikilla avoimilla U R ja jos f 1 (1); f 1 ( 1), niin f 1 (B) 2 kaikilla Borel joukoilla B R. Todistus. Havaitaan, että e = f R : f 1 () 2 g on -algebra. Selvästi näet f 1 (?) =? 2, joten? 2 e. Jos ; 1 ; 2 ; : : : 2 e, niin! [ [ f 1 n = n n f 1 (R n ) = X n f 1 () [ f 1 (+1) [ f 1 ( 1) 2 ; f 1 ( n ) 2 : Oletuksen mukaan e sisältää kaikki avoimet joukot. Koska se on -algebra, se sisältää välttämättä myös kaikki Borel joukot B R. 27

29 Olkoon siis U R avoin. Tällöin f 1 (U ) = 1[ 1[ 1\ n=1 m=n f 1 m (U k) 2 ; missä U k = fx 2 U : dist(x; U c ) > 1 g. Väite (1) =) (3) seuraa tästä yhdessä k Lemman 6.7 kanssa. Pitää vielä todistaa implikatio (3) =) (2). Olkoon ehto (3) voimassa funktiolle f : X! R. Merkitään I n;i = [(i 1)2 n ; i2 n [ kaikilla n 2 N; i 2 ; n2 n i n2 n : ja määritellään f n (x) = 8 >< >: (i 1)2 n ; jos x 2 f 1 (I n;i ) n; jos x 2 f 1 ([n; 1]) 1; jos x 2 f 1 ([ 1; n[) Suoraan määritelmän perusteella f n 2 Y ja samoin f n+1 f n. Jos f(x) 2 R, niin kaikilla riittävän suurilla n 2 N on f(x) 2 I n;i eräällä n2 n i n2 n, jolle f n (x) = (i 1)2 n f(x) < f n (x) + 2 n. Siten jf n (x) f(x)j! 0, kun n! 1. Jos f(x) = 1, niin f n (x) = 1 kaikilla x ja jos f(x) = 1, niin f n (x) = n! 1, kun n! 1. Siispä lim n!1 f n (x) = f(x) kaikilla x 2 X. Määritelmä 6.8. Funktiota f : X! R, joka toteuttaa jonkun (ja siis kaikki) Lauseen 6.6 ominaisuuksista, kutsutaan mitalliseksi funktioksi (mitan - suhteen). Huomautuksia. 6.6 ehto (3). 1. Yleensä mitallisen funktion määritelmäksi otetaan Lauseen 2. Määritelmä voidaan yleistää seuraavalla tavalla: Jos on avaruuden X - algebra ja e on -algebra avaruudessa Y, niin f : X! Y on mitallinen, jos f 1 () 2 aina kun 2 e. Tällä kurssilla tarkastellan kuitenkin vain ylläolevan määritelmän tilannetta, jossa siis e on Borelin -algebra avaruudessa R (sovitaan, että sekä f 1g, että f+1g ovat avoimia avaruudessa R, jolloin avaruuden R Borel joukkoja ovat kaikki muotoa B; B [ f1g; B [ f 1g; B [ f 1; 1g olevat joukot, missä B on avaruuden R Borel joukko). 3. Joukon X karakteristinen funktio on mitallinen, jos ja vain jos Jos X on topologinen avaruus, muistamme että f : X! R on jatkuva, mikäli jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Mikäli sisältää kaikki avaruuden X avoimet joukot, huomaamme Lemman 6.7 nojalla, että jatkuvat funktiot f : X! R ovat mitallisia. 28

30 5. Mitallisen funktion määritelmä yleistyy joukossa 2 määritellylle funktiolle: f on mitallinen, mikäli jokaisen Borel-joukon B R alkukuva f 1 (B) 2. Jatkossa oletamme aina, että 2, puhuttaessa mitallisesta funktiosta f :! R. Nyt voidaan viimein määritellä einegatiivisen mitallisen funktion integraali. Määritelmä 6.9. Mitallisen funktion f : X! [0; 1] integraali mitan suhteen yli joukon E 2 on f d = sup g d : g 2 Y + ; 0 g(x) f(x) kun x 2 E : E E Jos f :! [0; 1] on mitallinen, 2, määritellään kaikilla E 2, E, missä E f d = E ef d ; 8 < (21) f(x) e f(x); kun x 2 ; = : 0; kun x 2 X n : Huomautus. Määritelmä on hyvin asetettu: 0 2 Y + ja 0 f. Jos f 2 Y +, määritelmä yhtyy aiempaan määritelmään 6.1 arvion (19) perusteella. 6.3 Operaatioita mitallisilla funktioilla Lemma Jos f :! R ja f 1 (+1) 2, f 1 ( 1) 2, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. 1. f on mitallinen. 2. f 1 (U ) 2 jokaiselle avoimelle U R. 3. f 1 (]a; b[) 2 kaikilla a; b 2 R, a < b. 4. f 1 ([a; b]) 2 kaikilla a; b 2 R, a < b. 5. f 1 (]a; b]) 2 kaikilla a; b 2 R, a < b. 6. f 1 ([a; b[) 2 kaikilla a; b 2 R, a < b. 7. f 1 (]c; 1[) 2 kaikilla c 2 R. 8. f 1 ([c; 1[) 2 kaikilla c 2 R. 9. f 1 (] 1; c[) 2 kaikilla c 2 R. 29

31 10. f 1 (] 1; c]) 2 kaikilla c 2 R. Todistus. Lauseen 6.6 todistuksessa osoitettiin ehdot 1 ja 2 yhtäpitäviksi. Selvästi (2) =) (3); (7); (9). Toisaalta jokainen avoin? 6= U R voidaan esittää numeroituvana yhdisteeenä U = [ 1 n=1 ]a n; b n [, jolloin f 1 (U ) = 1[ n=1 f 1 (]a n ; b n [) ja nähdään että (3) =) (2). Samoin f 1 ([c; 1[) = 1\ n=1 f 1 ]c 1 n ; 1[ ; joten (7) =) (8). Edelleen, jos a < b, niin f 1 (]a; b[) = f 1 (]a; 1[) n f 1 ([b; 1[) ; ja havaitsemme, että (7) =) (3). Muutkin väitteet todistetaan samaan tapaan (harjoitustehtävä). Määritelmä Joukossa X määritellyn funktion f :! R positiiviosa on 8 < f(x); kun f + f(x) 0 ; (x) = : 0 muuten, ja negatiiviosa on f (x) = 8 < : f(x); kun f(x) 0 ; 0 muuten. Havaitaan, että f + ; f 0 ja f = f + f. Lemma Funktio f :! R on mitallinen, jos ja vain jos f +, f mitallisia. ovat Todistus. Oletetaan aluksi, että f on mitallinen. Tällöin (f + ) 1 (1) = f 1 (1) 2, (f + ) 1 ( 1) =? 2 ja jos c 2 R, on (f + ) 1 ([c; 1[) = 8 < : f 1 ([c; 1) ; jos c > 0 ; n f 1 (1) jos c 0 : Lemman 6.10 nojalla f + on mitallinen. Vastaavasti nähdään, että f 1 = ( f) + on mitallinen. 30

32 Oletetaan sitten, että f +, f ovat mitallisia. Kuten edellä, havaitaan että f 1 (1) = (f + ) 1 (1) 2, f 1 ( 1) = (f ) 1 (1) 2. Jos c 0, on f 1 ([c; 1[) = (f + ) 1 ([c; 1[) 2 ja jos c < 0, on f 1 ([c; 1[) = (f + ) 1 ([0; 1[) [ (f ) 1 ([0; c]) 2 : Siten f on mitallinen. Lause Olkoon f; g :! R mitallisia ja 5 Silloin : R! R Borel mitallinen. 1. f on mitallinen kaikilla 2 R. 2. f + g on mitallinen. 3. fg on mitallinen. 4. f on mitallinen. Todistus. Jos f = lim n!1 f n ja g = lim n!1 g n, yksinkertaisille funktioille f n ; g n 2 Y, niin f n ; f n + g n ; f n g n 2 Y kaikilla n 2 N ja f n! f, f n + g n! f + g, f n g n! fg kun n! 1. Siten f, f + g ja fg ovat mitallisia Lauseen 6.6 nojalla. Jos U R on Borel joukko, niin oletuksen nojalla 1 (U ) on Borel joukko, joten ( f) 1 (U ) = f 1 ( 1 (U )) 2. Samoin 1 (1); 1 ( 1) ovat Borel joukkoja, joten ( f) 1 (1) = f 1 ( 1 (1)) 2, ( f) 1 ( 1)f 1 ( 1 ( 1)) 2 ja näinollen f on mitallinen. Esimerkki Jos f :! R on mitallinen ja p > 0, niin myös jfj p : x 7! jf(x)j p on mitallinen. Todistus. Kuvaus : y 7! jyj p, R! R on Borel mitallinen (harjoitustehtävä) ja koska jfj p = f, niin väite seuraa lauseesta 6.13 Määritelmä Lukujonolle (a n ) 1 n=1, a n 2 R, määritellään lim inf n!1 a n = lim k!1 inffa n : n kg ; lim sup n!1 a n = lim k!1 supfa n : n kg : Toisinaan käytetään lyhyempiä merkintöjä lim n!1 a n = lim inf n!1 a n, lim n!1 a n = lim sup n!1 a n. Havaitaan (harjoitustehtävä), että lim inf n a n lim sup n a n ja että lim inf n a n = a = lim sup n a n jos ja vain jos a = lim n!1 a n. 5 on Borel mitallinen, jos 1 (1); 1 ( 1) ja 1 (B) ovat Borel joukkoja aina kun B R on Borel joukko. 31

33 Funktiojonolle f n :! R, n 2 N, määritellään funktiot inf n f n ; sup n f n ; lim inf n f n ja lim sup n f n asettamalla kaikilla x 2, inf f n (x) = inf f n (x) ; n n2n sup n lim inf n lim sup n f n (x) = sup f n (x) ; n2n f n (x) = lim inf n!1 f n(x) ; f n (x) = lim sup n!1 f n(x) : Lause Mitallisten funktioiden jonolle f n :! R myös funktiot inf n f n ; sup n f n ; lim inf n f n ja lim sup n f n ovat mitallisia. Todistus. Olkoon h(x) = sup n f n (x). Lemma 6.10 apuna käyttäen huomaamme, että ja edelleen kaikille c 2 R on h 1 (1) = h 1 ( 1) = 1\ 1[ m=1 n=1 1\ n=1 h 1 (] 1; c]) = fn 1 (]m; 1]) 2 ; f 1 n ( 1) 2 1\ n=1 fn 1 (] 1; c]) 2 : Siten h = sup n f n on mitallinen. Tästä seuraa edelleen funktioiden inf n f n = sup n ( f n ), sekä lim sup f n = inf sup f n ; n k2n nk lim inf n f n = sup inf f n k2n nk mitallisuus. Huomautus. Lauseen 6.16 nojalla tiedämme erityisesti, että mikäli jokainen f n :! R on mitallinen ja f(x) = lim n!1 f n (x) kaikilla x 2, niin f on mitallinen. 6.4 Integraalin perusominaisuuksia Määritelmä Ominaisuus P on voimassa mitan suhteen "melkein kaikkialla"joukossa 2 (tai "m.k. x 2 "), jos P on voimassa joukossa n N, missä N on nollamittainen (eli N 2 ja (N ) = 0). 32

34 Esimerkki Jos f :! [0; 1] on mitallinen ja R f d < 1, niin f(x) < 1 m.k. x 2. Tämä seuraa siitä, että joukko N = f 1 (1) on mitallinen, joten 1 N 2 Y + ja siten 1 (N R ) = 1 N R f d < 1 eli välttämättä (N ) = 0. Toisaalta f(x) < 1 kaikilla x 2 n N. Lemma Jos f; g :! [0; 1] ovat mitallisia s.e. f(x) = g(x) m.k. x 2, niin f d = g d : Todistus. Oletuksen perusteella f = g, joukossa nn, missä (N ) = 0. Olkoon h = P k a i i 2 Y +, h f. Määritellään eh(x) = 8 < : h(x) jos x 2 n N ; 0 jos x 2 \ N : Tällöin e h = P k a i i nn, joten e h 2 Y +. Huomataan, että e h g ja eh d = kx a i ( i n N ) = kx a i ( i ) = h d : Jokaiselle h 2 Y +, jolle h f, löytyy siis h e 2 Y +, jolle h e g ja R h d R = e h d. Siispä R g d R f d. Vaihtamalla funktioiden f ja g roolit, näemme myös että R f d R g d. Lause Olkoot f; g : X! [0; 1] mitallisia, 0 ; 1 ja ; B 2. Tällöin 1. Jos f g melkein kaikkialla joukossa, niin R f d R g d. 2. Jos B 2, niin R f d R B f d. 3. R (f + g) = R f d + R g d. Osittainen todistus. Väiteet (1) ja (2) ovat määritelmän (ja Lemman 6.19) suoria seurauksia (harjoitustehtävä). Osoitetaan seuraavaksi, että R f d = R f d. Jos h 2 Y + ja h f, niin h 2 Y + ja h f, joten Lauseen 6.5 nojalla f d (h) d = h d : Siten R f d R f. Jos 0 < < 1, saadaan välittömästi myös 1 f d = (f ) d 1 33 f d ;

35 joten haluttu väite seuraa (tapaukset = 0; 1 pitää käsitellä erikseen, harjoitustehtävä). Pitää vielä osoittaa, että R (f + g) d = R f d + R g d. Olkoon f n; g n 2 Y + siten, että f n f; g n g; f n d! g n d! f d ; g d : Tällöin f n + g n 2 Y + ja f n + g n f + g, joten Lauseen 6.5 nojalla, f + g d supf n (f n + g n ) dg lim = lim n!1 f n d + g n d n!1 = (f n + g n ) d f d + g d : Pitäisi vielä osoittaa, että R (f + g) R f R + g. Tämä ei kuitenkaan onnistu suoraan integraalin määritelmän perusteella (harjoitustehtävä: yritä!), vaan tarvitsemme tätä varten sopivan konvergenssituloksen. Todistamme seuraavaksi keskeisen Lebesguen monotonisen konvergenssin lauseen. Lause Olkoon f n :! [0; 1] mitallisia ja f n+1 f n kaikilla n 2 N. setetaan f = lim n!1 f n. Tällöin f d = lim n!1 f n d : Todistus. Koska f n f n+1 f kaikilla n, Lauseen 6.20 (1) nojalla lim n R f n d on kasvavan jonon raja-arvona olemassa ja lim n R f n d R f d. rvion R f d lim n R f n d todistamiseksi, oletetaan että (f 1 (+1)) = 0 (tapaus (f 1 (+1)) = 1 menee samaan tapaan, yksityiskohdat harjoitustehtävänä). Olkoon 0 < < 1 ja n; = fx 2 : f n (x) > f (x)g : Tällöin n; n+1; ja [ n n; = n f 1 (+1). Olkoon h 2 Y + ja h f. Koska h f n joukossa n;, lauseen 6.20 väitteistä (1) ja (2) seuraa R f n R n; h. ntamalla n! 1 ja soveltamalla Lausetta 6.3 (huomaa, että n; on mitallinen kaikilla n, harjoitustehtävä), saamme lim n!1 f n d lim n!1 h d = n; h d : Koska tämä pätee kaikille h 2 Y +, joille h f, saadaan lim n R f n d R f d. Väite seuraa antamalla! 1. 34

36 Lauseen 6.20 todistuksen loppuosa. Lauseen 6.13 perusteella on olemassa jonot f n ; g n 2 Y + siten, että f n f n+1, g n g n+1, f n! f, g n! g. Tällöin myös f n + g n on kasvava funktiojono ja f n + g n! f + g. MK-lausetta ja Lausetta 6.5 soveltaen, saamme (f + g) d = lim n (f n + g n ) d = lim n f n d + lim n g n d = f d + g d : Seuraava tulos tunnetaan yleisesti Fatoun lemmana. Lause Mitallisille funktioille f n :! [0; 1], n 2 N on lim inf f n d lim inf n!1 n!1 f n d : Todistus. Muistetaan, että lim inf n!1 f n = lim n!1 g n, missä g n (x) = inf kn g k (x) on kasvava funktiojono. Siten MK-lauseen nojalla, (22) lim inf f n d = lim n!1 n!1 g n d : Toisaalta, g n f n kaikilla n 2 N, joten Lauseen 6.20 (1) nojalla saadaan (23) lim n!1 g n d lim inf n!1 Väite seuraa yhdistämällä arviot (22) ja (23). f n d : Seuraus Jos f : X! [0; 1] on mitallinen, niin on mitta E 7! E f d ; E 2 Todistus. Riittää osoitaa -additiivisuus erillisille joukoille E n 2, n 2 N. Olkoon f P n n = f Ek. Tällöin f n f n+1 ja f(x) = lim n!1 f n (x), kun x 2 [ 1 m=1e m. Siten MK-lauseen ja Lauseen 6.20 nojalla, n!1 f d = lim f n d = lim [1 m=1 E m [1 m=1 E m ja väite seuraa. = E k f d ; n!1 nx f Ek d = lim nx n!1 f Ek d Seuraus Jos f n :! [0; 1] ovat mitallisia, niin Todistus. harjoitustehtävä. n=1 f n d = n=1 f n d : 35

37 6.5 Integroituvat funktiot Määritelmä Mitallinen funktio f :! R on integroituva (joukossa tai yli joukon ), jos f + d < 1 ja Tällöin funktion f integraali yli joukon on f d = f + d f d < 1 : f d : Lemma Funktio f :! R on integroituva jos ja vain jos se on mitallinen ja jfj d < 1 : Integroituvalle funktiolle f on voimassa arvio (24) f d jfj d : Todistus. Ensimmäinen väite seuraa Lauseen 6.20 nojalla siitä, että jfj = f + + f. Edelleen, koska jfj = maxff + ; f g, niin integroituvalle f on voimassa arviot jfj d f d f + d f d f + d jfj d ; joten (24) on voimassa. Huomautus. Mitalliselle f :! R, voidaan määritellä f d = f + d f d ; jos enintään toinen integraaleista R f + d, R f d on ääretön. Tapauksessa R f + d = R f d = 1 integraalia R f d ei ole määritelty. Lause Olkoon f; g :! R integroituvia. Tällöin 1. Jos f g, m.k. x 2, niin R f d R g d. 2. f on integroituva kaikilla 2 R ja R f d = R f d. 3. f + g on integroituva ja R (f + g) d = R f d + R g d. 4. Jos E i 2 ovat erillisiä, niin [1 E i f d = 36 E i f d :