TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu tutkielma. Soile Linja. Ketjumurtoluvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gru tutielm Soile Lij etjumurtoluvuist Mtemtii tilstotietee j filosofi litos Mtemtii Tououu 7

Tmeree ylioisto Mtemtii tilstotietee j filosofi litos LINJA SOILE: etjumurtoluvuist Pro gru tutielm 54 s Mtemtii Tououu 7 Tiivistelmä Tässä tutielmss trstell etjumurtoluuj iie omiisuusi seä yhtä etjumurtoluuje sovellust Pelli yhtälöä Esimmäisessä luvuss tutit äärellisiä etjumurtoluuj Esi esitetää äitä etjumurtoluuj osevi eseisiä määritelmiä Lousi toistet että joie ysiertie äärellie etjumurtoluu esittää rtioliluu j että joie rtioliluu ts vst ysiertist äärellistä etjumurtoluu Toisess luvuss määritellää etjumurtoluuje overgetit Lisäsi toistet luse jo t meetelmä overgettie muoostmisesi Toise luvu louss trstell luseit joiss esitetää overgettie täreimiä omiisuusi olmess luvuss äsitellää äärettömie etjumurtoluuje seä irrtioliluuje vstvuutt Tässä luvuss osoitet että joie ysiertie ääretö etjumurtoluu vst irrtioliluu j että vstvsti joie irrtioliluu voi esittää ysiäsitteisesti ysiertise äärettömää etjumurtoluu olme luvu lousi erehytää irrtioliluuje rosimoitii Neljäe luvu luss määritellää vrttiset irrtioliluvut j trstell iie omiisuusi Luvu toisess yälässä osoitet vrttiste irrtioliluuje j jsolliste etjumurtoluuje välie yhteys Lisäsi eljäessä luvuss osoitet reusoituje vrttiste irrtioliluuje j täysi jsolliste etjumurtoluuje vstvuus Tutielm viimeisessä luvuss erehytää Pelli yhtälöö Alusi trstell miä sem etjumurtoluuje overgeteill o Pelli yhtälöä rtistess Lousi määritellää Pelli yhtälö erusrtisu j tutit yhtälö iie ositiiviste rtisuje muoostmist Tutielm äälähteiä o äytetty eeth H Rosei teost Elemetry Numer Theory Its Alitios Clvi T Logi teost Elemetry Itroutio to Numer Theory seä Dvi M Burtoi teost Elemetry Numer Theory

Sisältö Johto Äärelliset etjumurtoluvut Äärellisii etjumurtoluuihi liittyviä äsitteitä Äärelliset etjumurtoluvut j rtioliluvut overgetit 7 overgettie muoostmie 7 overgettie omiisuusi 9 Äärettömät etjumurtoluvut 5 Äärettömii etjumurtoluuihi liittyviä äsitteitä 5 Äärettömät etjumurtoluvut j irrtioliluvut 6 Irrtioliluuje rosimoiti 4 Jsolliset etjumurtoluvut 8 4 vrttiset irrtioliluvut 8 4 Jsolliste etjumurtoluuje omiisuusi 4 Täysi jsolliste etjumurtoluuje omiisuusi 9 44 Luvu jsollie etjumurtoluuesitys 44 5 Pelli yhtälö 47 5 overgetit j Pelli yhtälö 47 5 Pelli yhtälö rtisemie: erusrtisu j ii rtisut 49 irjllisuus 54

Johto Tämä tutielm äsittelee etjumurtoluuj j iie omiisuusi Tutielmss esitytää ääosi ysiertisisi utsuttuihi etjumurtoluuihi Esimmäisessä luvuss tutit äärellisiä etjumurtoluuj Esi esitetää äihi etjumurtoluuihi liittyviä eseisiä määritelmiä Lousi toistet että joie ysiertie äärellie etjumurtoluu esittää rtioliluu j että joie rtioliluu ts vst ysiertist äärellistä etjumurtoluu Toisess luvuss tutit etjumurtoluuje overgettej Esi esitetää overgettie määritelmä seä luse jo t meetelmä overgettie muoostmisesi Toise luvu louss trstell luseit joiss esitetää overgettie täreimiä omiisuusi olms luu äsittelee äärettömiä etjumurtoluuj Luvuss selvitetää erityisesti äie etjumurtoluuje seä irrtioliluuje vstvuutt Tässä luvuss osoitet että joie ysiertie ääretö etjumurtoluu uv irrtioliluu j että vstvsti joie irrtioliluu voi esittää ysiäsitteisesti ysiertise äärettömää etjumurtoluu olme luvu lousi erehytää irrtioliluuje rosimoitii etjumurtoluvu overgeteill o merittävä sem tässä rosimoiiss Neljäe luvu luss määritellää vrttiset irrtioliluvut j trstell iie omiisuusi Luvu toisess yälässä osoitet vrttiste irrtioliluuje j jsolliste etjumurtoluuje välie yhteys olmess yälässä osoitet reusoituje vrttiste irrtioliluuje j täysi jsolliste etjumurtoluuje vstvuus Lousi trstell luvu etjumurtoluuesitystä Tällöi oletet että luu o ositiivie ooisluu jo ei ole täyellie eliö Tutielm viimeisessä luvuss erehytää Pelli yhtälöö Pelli yhtälö x y o ysi etjumurtoluuje eseisimmistä sovellusist Viiee luvu luss tutit luvu jsollise etjumurtoluuesityse overgettie j Pelli yhtälö rtisuje välistä yhteyttä Lousi trstell vielä Pelli yhtälö iie rtisuje muoostmist Tällöi hyöyetää itsi luvu jsollise etjumurtoluuesityse overgettej myös esityse jso ituutt Luijlt ootet luuteori erusäsitteie j tuloste tutemist Lisäsi oletet lyysi erussioie hllit Tutielm äälähteiä o äytetty eeth H Rosei teost Elemetry Numer Theory Its Alitios Clvi T Logi teost Elemetry Itroutio to Numer Theory seä Dvi M Burtoi teost Elemetry Numer Theory

Äärelliset etjumurtoluvut Äärellisii etjumurtoluuihi liittyviä äsitteitä Tässä yälässä esitetää määritelmiä jot osevt äärellisiä etjumurtoluuj Lisäsi esitetää meritä joll äitä äärellisiä etjumurtoluuj voi uvt lyhyemmi Määritelmä Äärellisellä etjumurtoluvull troitet luseett missä o reliluu j O ovt ositiivisi reliluuj Määritelmä Luseee reliluuj sot etjumurtoluvu osimittäjisi Määritelmä Äärellistä etjumurtoluu sot ysiertisesi jos o ooisluu j ovt ositiivisi ooisluuj Äärelliselle etjumurtoluvulle otet yt äyttöö lyhyemi merität ; Äärelliset etjumurtoluvut j rtioliluvut Seurvsi selvitetää äärelliste etjumurtoluuje j rtioliluuje välistä yhteyttä Voi imittäi osoitt että ysiertiset äärelliset etjumurtoluvut uvvt rtioliluuj j että rtioliluvut ts voi irjoitt ysiertisi äärellisiä etjumurtoluui

Luse Joie ysiertie äärellie etjumurtoluu esittää rtioliluu Toistus vrt 5 s 469 Toistet luse iutioll u ysiertie äärellie etjumurtoluu o muoto ; os lusee vst rtioliluu o väite tosi tässä tusess Oletet sitte että u o ositiivie ooisluu ii ysiertie etjumurtoluu ; esittää rtioliluu i u o ooisluu j ovt ositiivisi ooisluuj Oloo yt ooisluu j oloot ositiivisi ooisluuj Meritää että ; ; Iutio oletuse erusteell etjumurtoluu ; esittää rtioliluu Näi olle o olemss selliset ooisluvut r j s että ; r s Silloi siis r s ; r s r Selvästi ähää että lusee r s r vst rtioliluu jote väite o tosi rvoll Iutioerittee mu väite o siis tosi Huomutus s 5 s 469 Läheteosess lusee 7 toistusess vrt tutielm lusee toistus yhtälö tilll itäisi oll yhtälö ; ; Luse Joie rtioliluu voi esittää ysiertise äärelliseä etjumurtoluu Toistus vrt s 8 84 Oloo rtioliluu j oloo > Tällöi Euleiee lgoritmi erusteell voi irjoitt

r r r r r r < r < < r < r < r < r M r r < r < r r r r Näissä yhtälöissä luvut ovt ositiivisi ooisluuj os joie jojääös r o ositiivie ooisluu Esittämällä yhtälöt murtoluumuooss s r r r r r r r r r r r r r M r r u toisess yhtälössä esitetty luseee r rvo sijoitet esimmäisee yhtälöö voi meritä r r r Sijoittmll olmess yhtälössä esitetty luseee r r rvo yhtälöö s r r Jtmll tällä tvll huomt että 4

O Näi olle ; jote joie rtioliluu voi esittää ysiertise äärelliseä etjumurtoluu Huomutus Rtioliluvu esitys ysiertise äärelliseä etjumurtoluu ei ole ysiäsitteie sillä etjumurtoluvu viimeistä termiä voi muutt Jos > voi viimeie termi irjoitt muooss Tätä yhtälöä äyttämällä voi eellee meritä että Jos ii silloi Näi olle ; ; ; ; Joisell rtioliluvull o si etjumurtoluuesitystä site että toisess o rillie määrä j toisess rito määrä termejä Vrt s 85 Trstell lusett hviollistv esimeriä Esimeri Muoostet rtioliluvu 9 etjumurtoluuesitys Euleiee lgoritmi vull s yhtälöt 9 5 9 5 4 5 4 4 4 Muomll yhtälöitä lusee toistusess esitetyllä tvll j sijoittmll äi sut yhtälöt hvit että 5

9 9 5 9 9 5 4 5 5 4 4 Näi olle 9 ; 4 Huomutuse erusteell tieetää että 9 ; 4 ; 6

overgetit overgettie muoostmie etjumurtoluuesitys voi tist hlutu termi jälee Tämä tisemie t ihee seurv määritelmää Määritelmä etjumurtoluu ; missä utsut etjumurtoluvu ; overgetisi Tätä overgetti meritää symolill C Seurvss luseess esitetää meetelmä joll etjumurtoluuje overgettej voi muoost Luse Oloo reliluu j oloot ositiivisi reliluuj Määritellää joot j reursiivisesti yhtälöillä j u Silloi overgetti C toteutt yhtälö C Toistus vrt 5 s 47 47 Toistet luse iutioll u ii u ii tällöi C C ; Näi olle väite o tosi u j 7

Oletet sitte että väite o tosi luvu ositiivisill ooisluurvoill joille ätee < Tällöi siis C ; 4 Reursioyhtälöie erusteell ähää että reliluvut j riiuvt iost luvuist Näi olle reliluu voi orvt rvoll yhtälössä 4 Iutio oletuse erusteell s siis C ; ; Ê Á Ë Ê Á Ë ˆ ˆ Väite o siis tosi rvoll jote iutioerittee mu väite o tosi Huomutus Luvut yhtälöillä j j voi myös määritellä vihtoehtoisesti u vrt 4 s 4 Trstell overgettie muoostmist seurv esimeri vull Esimeri Luvu 57 etjumurtoluuesitys o 4; Tämä etjumurtoluuesityse ii overgetit voi määrittää luseess esitettyje reursioyhtälöie vull Tällöi 4 4 9 9 4 8

9 5 4 57 4 5 overgetit C 4 vstvt siis yhtälöitä 4 C 4 C C 5 j C4 4 4 9 57 C overgettie omiisuusi Tässä yälässä esitetää overgettej osevi luseit Esitettyjä tulosi äytetää ositti myös muiss luvuiss Luse Oloo overgetti Silloi u C etjumurtoluvu ; Toistus vrt 5 s 47 Toistet luse iutioll u ii lusee reursioyhtälöie erusteell s jote väite toteutuu tässä tusess Oletet sitte että väite o tosi luvu ositiivisill ooisluurvoill joille ätee < Tällöi siis Reursioyhtälöie seä iutio oletuse erusteell s jote väite o tosi rvoll Iutioerittee mu väite o tosi Trstell sitte lusee seuruse stvi tulosi 9

Seurus Oloo C ysiertise etjumurtoluvu ; overgetti Oloot lisäsi ooisluvut j määritelty ute luseess Tällöi ooisluvut j ovt suhteellisi luluuj Toistus vrt 5 s 47 474 Oloo Lusee erusteell tieetää että Näi olle jolloi siis j Tästä seur että os siis ovt luvut j eseää jottomi Seurus osoitt että ysiertise etjumurtoluvu overgetit ovt i suistetuss muooss Trstell vielä toist lusee seurust Seurus Oloo C ysiertise etjumurtoluvu ; overgetti Silloi u Lisäsi o voimss C C u C C Toistus vrt 5 s 474 Lusee mu Jmll tämä yhtälö uolitti luvull s C C jote esimmäie yhtälö o voimss Trstelemll erotust C C huomt että

C C 5 Reursioyhtälöie erusteell tieetää että j Lisäsi lusee erusteell tieetää että Näitä yhtälöitä äyttämällä s yhtälö 5 oieuoleise luseee osoittj muotoo Näi olle C C jote toie yhtälö o voimss Huomutus s 5 s 474 Läheteose seurusess vrt tämä tutielm seurus esiityee ysiertise etjumurtoluvu ; tilll itäisi oll etjumurtoluu ; Seurvsi esitetää overgettie osoittji j imittäjiä osevt luseet Luse Oloo ; C etjumurtoluvu ; overgetti j oloo > j Silloi o voimss yhtälö ; Toistus vrt 4 s j s 85 86 hrjoitustehtävä Toistet luse iutioll u ii huomutuse meritöje erusteell Tässä tusess väite o siis tosi Oletet sitte että ; m m m m

missä luu m o iiitetty j m < Tällöi iutio oletuse j reursiovoje erusteell s m ; m m m ; m m m m m m m m m m m m m Siis iutioerittee mu väite o tosi Luse 4 Oloo C ; etjumurtoluvu ; overgetti j oloo Silloi o voimss yhtälö ; Toistus vrt s 7 Toistet luse iutioll u ii Tässä tusess väite o siis tosi Oletet sitte että > j ; Reursiovoje j iutio oletuse erusteell s m È Í ; ; Î Siis iutioerittee mu väite o tosi Luse 5 Oloo ysiertise etjumurtoluvu ; overgeti imittäjä Silloi u j u > ii erisuuruus o ito Lisäsi i u

Toistus vrt 4 s 8 os viimeie väite o esimmäise väittee selvä seurus Toistet lusee luos iutioll os ii esimmäie väite o tosi u Oletet sitte että väite o tosi i u o sellie ooisluu että m j m < os ysiertise etjumurtoluvu m termi o ositiivie ooisluu o voimss eäyhtälö m Reursiovoje j eäyhtälö m erusteell > m m m m m m jote väite o tosi rvoll m Siis iutioerittee mu väite o tosi Seuruse j lusee 5 vull voi toist seurv rillisesti j rittomsti iesoituj overgettej osev tulos Luse 6 Ysiertise etjumurtoluvu ; overgetit toteuttvt eäyhtälö C < < C < L < C < L < C C Toistus vrt 4 s 8 9 Seuruse mu C C u u luu o rillie o yllä olev yhtälö oie uoli selvästi ositiivie Tällöi o siis voimss C > C jote rillisesti iesoiut overgetit muoostvt iosti svv joo u luu o rito o yhtälö oie uoli vstvsti egtiivie Tällöi s eäyhtälö C < C jote rittomsti iesoiut overgetit muoostvt iosti väheevä joo overgetti C o siis joo suuri rillisesti iesoitu ti iei rittomsti iesoitu overgetti sitä mu ui luu o rillie ti rito Oletet sitte että luu h o rito j luu rillie Jos h < ii h os o rito luu o voimss eäyhtälö

Seuruse erusteell C C C h C < os luu o rillie j lusee 5 mu tulo > olle s eäyhtälöetju C C > C h Jos oletet että h > ii tällöi o voimss h u eellä esitetty erustelu toistet äyttämällä luvu sij luu h s jällee C h > C Näi o siis osoitettu että joie rittomsti iesoitu overgetti o joist rillisesti iesoitu overgetti suuremi Esimeri Trstell vielä esimeri etjumurtoluvu 4; overgettej u overgetit muutet esimlimuotoo s 9 C 4 C 4 5 C 4 57 C 4 4 j C4 4846 5 Lusee 6 muisesti o siis selvästi voimss C 4 4 < C 4 < C 4846 < C 44 < C 45 4

Äärettömät etjumurtoluvut Luvuss erehytää äärettömii etjumurtoluuihi j trstell iie omiisuusi iemmi esitettyje tuloste vull Tässä luvuss hyöyetää etei overgettej osevi luseit Äärettömii etjumurtoluuihi liittyviä äsitteitä Alusi esitetää määritelmiä jot osevt äärettömiä etjumurtoluuj Määritelmä Äärettömällä etjumurtoluvull troitet luseett 4 O missä j ovt reliluuj Määritelmä Ysiertisell äärettömällä etjumurtoluvull troitet luseett 6 missä o ooisluu j O ovt ositiivisi ooisluuj Tässä luvuss äsitellää luseee 6 ltisi ysiertisi äärettömiä etjumurtoluuj Näie etjumurtoluuje termejä utsut osimittäjisi ute äärellisilläi etjumurtoluvuill Ysiertiselle äärettömälle etjumurtoluvulle 6 otet yt äyttöö meritä ; 5

Äärettömät etjumurtoluvut j irrtioliluvut Pyälässä äsiteltii ysiertiste äärelliste etjumurtoluuje j rtioliluuje vstvuutt Tässä yälässä osoitet uolest ysiertiste äärettömie etjumurtoluuje j irrtioliluuje välie yhteys Alusi toistmme lusee jo t ihee määritellä overgettie rjrvo ysiertise äärettömä etjumurtoluvu rvosi Tässä esimmäisessä j yälä muiss toistusiss voi hyöytää luvuss esitettyjä etjumurtoluuje overgettej osevi voj os äie voje johtmie oli riiumto etjumurtoluvu äärellisyyestä Näi olle vt ovt voimss myös äärettömillä etjumurtoluvuill u iesie ylärjt oistet Luse Oloo ; ysiertie ääretö etjumurtoluu j oloo C se overgetti Silloi o olemss sellie reliluu että lim C Æ Lisäsi määritellää että ; Toistus vrt 4 s Lusee 6 erusteell tieetää että C C < <L < C4 > C > C5 C > L Lisäsi o voimss eäyhtälö C < C u h o rillie j o rito luu Tällöi joo > h C rillisesti iesoituj overgettej o iosti svv j ylhäältä rjoitettu luvull C jote se o sueev Vstvsti rittomsti iesoiut overgetit muoostvt iosti väheevä joo C jo o lhlt rjoitettu luvull C > Siis myös tämä joo o sueev Näi olle lyysi tuloste erusteell o olemss selliset reliluvut j että lim C j Æ lim C Æ Osoitet yt rj rvoje j yhtäsuuruus Tämä seuruse lim C Æ 6

j luu voi määritellä äärettömä etjumurtoluvu ; rvosi Seuruse j lusee 5 mu o voimss < C C Sisi Æ lim C C jote o voimss yhtälö Meritsemällä o siis osoitettu että ii overgetit sueevt ohti rj rvo Lisäsi voi määritellä että ; Luse Oloo ; ysiertie ääretö etjumurtoluu j ; meritää että Silloi luu o irrtioliluu Toistus vrt 4 s Lusee erusteell tieetää että luu o C yhteie iosti svv joo C j iosti väheevä joo rj rvo Näi olle luu sijitsee overgettie C j C välissä Tämä tieo j seuruse erusteell o voimss < C < C C Tehää sitte vstoletus että o rtioliluu Meritää että missä j ovt ooisluuj j > Tällöi s < C < ertomll eäyhtälö luvull > s eellee os ii < < < < Vlitsemll ooisluu jo o s 7

< < < Tästä seur ristiriit sillä erotus o ooisluu Näi olle vstoletus o vääri Luu o siis irrtiolie Eellä o osoitettu että joie ysiertie ääretö etjumurtoluu vst irrtioliluu Tutit sitte irrtioliluuje esittämistä ysiertiste äärettömie etjumurtoluuje vull Luse Oloo irrtioliluu j meritää että Määritellää lisäsi joo reursiivisesti yhtälöillä Î u Silloi luu o ysiertise äärettömä etjumurtoluvu ; rvo Toistus vrt 5 s 48 48 Reursiivisest määritelmästä ähää että o ooisluu iill luvu rvoill Iutioll voi lisäsi osoitt että luu o irrtiolie i u j että tämä seuruse luu o olemss Yhtälö erusteell luu o irrtiolie Näi olle o voimss Î äyttämällä reursiivist määritelmää s yhtälö O siis osoitettu että luu o olemss Oletet sitte että luu o irrtiolie Tämä seuruse luu o olemss Voi helosti hvit että myös luu o irrtiolie Yhtälöstä seur imittäi että 7 8

Jos olisi rtioliluu ii myös olisi rtioliluu os o irrtioliluu j o ooisluu ii o voimss ehto Tällöi tieetää että < Vähetämällä tästä eäyhtälöstä luu < s < < Eellä esitety erusteell o voimss jote tällöi > Î u Näi olle ii ooisluvut ovt ositiivisi äyttämällä toistuvsti v 7 hvit että ; ; M ; O Seurvsi osoitet että etjumurtoluvu ; rvo lähestyy luu u luu sv rjtt Lusee toistuse erusteell tieetää että ; missä o etjumurtoluvu ; j overgetti Sisi j j 9

C missä osoittj o sieveetty äyttämällä lusett os > ii tieetää että C Lusee 5 mu < u luu sv rjtt Sisi Näi olle lusee lähestyy rvo lim C Æ ts luu o ysiertise äärettömä etjumurtoluvu ; rvo Huomutus s 5 s 48 48 Läheteosess lusee 5 toistuse vrt tutielm lusee toistus louss o viitttu ehtoo > Viittus itäisi oll ehtoo Luse 4 Jos si ysiertist ääretötä etjumurtoluu ; j ; esittävät sm irrtioliluu ii u Toistus vrt 5 s 48 48 Oloo ; os C j C ii lusee erusteell tieetää että < < os ooisluu o s eäyhtälö eellee muotoo < < Täte o voimss sillä Î Lisäsi tieetää että ; ;

; ; lim Æ ˆ Á Á Ë Ê Æ ; lim ; lim Æ ; Oletet että ; ; Tämä oletuse j äytettyje meritöje erusteell huomt että Î j ; ; Näi olle o voimss ; ; Oletet sitte että j ; ; äyttämällä sm äättelyä ui eellä hvit että j ; ; Tällöi siis ; ; Iutiot äyttäe o siis osoitettu että u Huomutus s 5 s 48 48 Läheteosess lusee 6 toistuse vrt tutielm lusee 4 toistus yhteyessä o viitttu läheteose luseesee vrt tutielm luse 6 Viittus itäisi oll teose luseesee vrt tutielm luse Lisäsi toistusess itäisi yhtälö ; ;

tilll oll yhtälö ; ; Luseie j 4 erusteell osoittutuu että joie irrtioliluu voi esittää ysiäsitteisesti ysiertise äärettömää etjumurtoluu Esimeri Oloo 9 Muoostet tämä irrtioliluvu etjumurtoluuesitys äyttäe lusee reursioyhtälöitä Tällöi Î 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 Í 9 6 Í 4 Î 9 6 4 9 6 Î 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 os ii 4 j äi s 9 6; 4 4 4 Tämä etjumurtoluu sisältää osimittäjie jso jo toistuu jtuvsti Sisi sitä utsut jsollisesi etjumurtoluvusi Jsollisii etjumurtoluuihi lt luvuss 4 Irrtioliluuje rosimoiti Seurvss trstell irrtioliluuje rosimoiti rtioliluuje vull Voi imittäi osoitt että irrtioliluvu etjumurtoluuehitelmä overgetit ovt luvu rhit rtiolisi rosimtioit Prhll rtiolisell rosimtioll troitet että overgetti o lähi sellisist luvu rtiolisist rosimtioist joie imittäjä ei ole suuremi ui yseessä olev overgeti imittäjä

Luse 5 Jos o irrtioliluu ii o olemss äärettömä mot sellist rtioliluu että < Toistus vrt 5 s 484 Oloo luvu etjumurtoluuesityse overgetti Tällöi lusee toistuse erusteell tieetää että < os lusee 5 erusteell < u ii eellä esitetty eäyhtälö s muotoo < Näi olle luvu overgetit vstvt iitä rtioliluuj jot täyttävät lusee ehot Seurvsi esitetää ilm toistust uluse jot trvit lusee 6 toistusess Auluse Jos j ovt sellisi ositiivisi ooisluuj että j ii Toistus s 5 s 9 Luse 6 Oloo irrtioliluu j oloot j j j luvu ysiertise äärettömä etjumurtoluuesityse overgettej Jos r j s ovt ooisluuj j s > j jos o sellie ositiivie ooisluu että s r < ii s Toistus vrt 5 s 484 485 Tehää vstoletus että mutt s < Trstell yhtälöryhmää s r < x y r x y s 8

errot esimmäie yhtälö luvull j toie luvull tämä jälee toie yhtälö esimmäisestä Tällöi s j väheetää y r s Lusee erusteell tieetää että Tätä yhtälöä äyttämällä hvit että y r s errot sitte esimmäie yhtälö luvull j toie luvull j väheetää esimmäie yhtälö toisest Tällöi s x s r u äytetää jällee lusee tulost s yhtälö x s r Seurvsi osoitet että x j y Jos x ii silloi s r os ii ulusee erusteell s Tästä seur että s miä o ristiriit Näi olle x Jos ts y ii tällöi ovt voimss yhtälöt r x j s x Näie yhtälöie seä eho x ojll s s r x x x x Tämä o ristiriiss oletuse ss jote y Osoitet sitte että luvut x j y ovt erimerisiä Oletet esi että y < Yhtälöstä x s y seur tällöi että x > os x > j > Jos ts oletet että y > ii eäyhtälöetju y s > erusteell tieetää että x s y < Näi olle x < sillä > Lusee erusteell tieetää että luu sijitsee overgettie j välissä Tällöi o siis voimss joo eäyhtälö < < ti eäyhtälö < < ummssi tusess huomt että luvut j ovt erimerisiä 4

Yhtälöryhmä 8 erusteell tieetää että s r x y x y x y Eellä esitettyje äätelmie ojll tieetää että luvut x j y ovt smmerisiä Näi olle iie summ itseisrvo o sm ui itseisrvoje summ os x ii yt s r x y x Tästä seur ristiriit oletuse ss O siis osoitettu että vstoletus o vääri j väite oiei Huomutus s 5 s 484 485 Läheteosess lusee 8 toistusess vrt tutielm lusee 6 toistus o tehty oletuset s j y Oletuste uuluisi oll muoto x j y Lisäsi toistuse louosss o viitttu teose luseesee vrt tutielm luse 6 Viittus itäisi oll läheteose luseesee vrt tutielm luse Seurus Oloo irrtioliluu j oloot j luvu ysiertise äärettömä etjumurtoluuesityse overgettej Jos r s o rtioliluu missä r j s ovt ooisluuj j s > j jos o sellie ositiivie ooisluu että j j ii s > r s < Toistus vrt 5 s 485 Tehää vstoletus että s j r s < ertomll eäyhtälö luvull s j huomioimll ehto s hvit että r s < s 5

os s > ii eellä esitety erusteell o voimss s r < mistä seur ristiriit lusee 6 äätelmä ss Vstoletus o siis vääri j väite oiei Trstell vielä millä eholl irrtioliluvu rtiolie rosimtio o tämä irrtioliluvu ysiertise äärettömä etjumurtoluuesityse overgetti Luse 7 Oloo irrtioliluu j oloo r s rtioliluu missä r j s ovt ooisluuj s > j r s Jos rtioliluu r s toteutt eho r < s s ii r s o luvu ysiertise etjumurtoluuesityse overgetti Toistus vrt 5 s 486 Tehää vstoletus että r s ei ole luvu etjumurtoluuesityse overgetti Näi olle o olemss selliset overgetit j että s < Lusee 6 seä oletuse r s < s erusteell tieetää että tällöi Jmll eäyhtälö uolitti luvull r s r s < s s > s < s < s os r s erotus r s r s o ollst erov ooisluu Täte o voimss eäyhtälö Tämä tieo j olmioeäyhtälö erusteell s eellee 6

s Eellä esitetystä seur että Näi olle o voimss s r s r s s r s < s s < s s s s > r s r s r s mistä seur että > s Tämä o ristiriit oletuse ss Vstoletus o siis vääri j väite oiei 7

4 Jsolliset etjumurtoluvut Luvuss sivuttii esimeri yhteyessä sellisi äärettömiä ysiertisi etjumurtoluuesitysiä joiss jso etjumurtoluuesityse termejä toistuu jtuvsti Tässä luvuss selvitetää tremmi äie jsollisisi etjumurtoluvuisi utsuttuje esityste omiisuusi 4 vrttiset irrtioliluvut vrttisill irrtioliluvuill o eseie sem jsolliste etjumurtoluuje äsittelyssä Seurvss esitetää tällisi irrtioliluuj osevi määritelmiä j luseit Lisäsi esitetää luetteloomisesti ilm toistusi si ulusett jot helottvt tämä yälä ääihee omiisuusie tutimist Määritelmä 4 Reliluu sot vrttisesi irrtioliluvusi jos se o irrtiolie j ooisluuertoimise toise stee yhtälö juuri ts A B C missä A B j C ovt ooisluuj j A Auluse 4 he rtioliluvu summ j tulo ovt rtiolisi Toistus s 5 s j 67 hrjoitustehtävä Auluse 4 Oloo luu ooisluuertoimise olyomi x x L x juuri Silloi o joo ooisluu ti irrtioliluu Toistus s 5 s 5 Luse 4 Reliluu o vrttie irrtioliluu jos j vi jos o olemss selliset ooisluvut > j että luu ei ole täyellie eliö j 8

Toistus vrt 5 s 49 Oletet esi että o vrttie irrtioliluu Tällöi se o selvästi irrtiolie Lisäsi määritelmä 4 erusteell o olemss selliset ooisluvut A B j C että A B C Toise stee yhtälö rtisuv erusteell tieetää että B ± B 4AC A os o reliluu ii luu B 4AC o > Toislt os o irrtiolie luu B 4AC ei ole täyellie eliö j ehto A o voimss Meritsemällä joo B B 4AC j A ti B B 4AC j A s luvulle hluttu esitys Oletet sitte että luu o muoto missä j ovt ooisluuj Oletet lisäsi että > j että luu ei ole täyellie eliö Tällöi uluseie 4 j 4 erusteell hvit että luu o irrtioliluu os o vrttie irrtioliluu Luse 4 Jos o vrttie irrtioliluu j r s t j u ovt ooisluuj ii osmäärä r s t u o joo rtioliluu ti vrttie irrtioliluu Toistus vrt 5 s 49 49 Oletet että o vrttie irrtioliluu Tällöi lusee 4 mu o olemss selliset ooisluvut > j että luu ei ole täyellie eliö j Tämä yhtälö erusteell s r s t u Èr Èt Í s Í u Î Î r s r r t u t t s u 9

r s r t u t r s r t u t t u t t u t r s t u rt r t u t r s t u t Näi olle lusee 4 erusteell osmäärä r s t u vrttie irrtioliluu Jos luvu rtioliluu o erroi o oll o osmäärä Eellä o esitetty vrttisi irrtioliluuj osevi tulosi Luseess 4 trstell vielä yhtä vrttise irrtioliluvu omiisuutt Luse 4 Oloo o vrttie irrtioliluu Silloi luu o muoto P Q missä P j Q ovt ooisluuj o ositiivie ooisluu jo ei ole täyellie eliö Q j Q P Toistus vrt 5 s 494 495 os o vrttie irrtioliluu lusee 4 mu luvulle o voimss yhtälö missä j ovt ooisluuj > j u tämä yhtälö lveet luvull s se muotoo Oloo yt P Q j Tällöi P Q j ovt ooisluuj Selvästi Q sillä Vstvsti > os > Luu ei ole täyellie eliö os luu ei ole täyellie eliö Lisäsi Q P sillä luu P voi irjoitt muooss P ± Q Seurvsi trstell vrttisii irrtioliluuihi liittyvää ojugti äsitettä seä ojugttej osevi lsusäätöjä

Määritelmä 4 Oloo vrttie irrtioliluu muoto Tällöi luvu ojugtti määritellää yhtälöllä Luse 44 Jos vrttie irrtioliluu o yhtälö Ax Bx C juuri ii yhtälö toie juuri o luvu ojugtti Toistus vrt 5 s 49 Toise stee yhtälö rtisuv mu yhtälö Ax Bx C juuret ovt muoto B ± B 4AC A Jos luu o toie äistä hest juurest ii ojugtti o toie sillä juuriluseee luvust luu B 4AC etumeri vihet muoostettess Luse 45 Oloot vrttiset irrtioliluvut j muoto j Silloi i ii iii iv Toistus vrt 5 s 49 49 Toistet osmäärää osev säätö Muut sääöt toistet vstvsti jote iie toistuset sivuutet tässä os j s osmäärälle yhtälö

Määritelmä 4 erusteell osmäärä ojugtti voi yt esittää yhtälöä ˆ Á Á Ë Ê ojugttie osmäärä ts vst määritelmä 4 mu yhtälöä os o osmäärää osev säätö tosi Huomutus 4 s 5 s 49 49 Läheteose ulusee 4 vrt tutielm luse 44 toise lsusääö uuluisi oll eiä 4 Jsolliste etjumurtoluuje omiisuusi Seurvss tutit jsollisi etjumurtoluuj seä erityisesti äie etjumurtoluuje j vrttiste irrtioliluuje välistä yhteyttä Määritelmä 4 Ääretötä ysiertist etjumurtoluu ; sot jsollisesi jos o olemss selliset ositiiviset ooisluvut N j että i u N ii Jsolliselle etjumurtoluvulle ; N N N N N N äytetää meritää ; N N N N

Esimeri 4 Ääretö etjumurtoluu 7; 5 4 4 4 troitt jsollist etjumurtoluu 7;5 4 Vstvsti esimeri ääretö etjumurtoluu 6; 4 4 4 voi irjoitt muooss 6;4 Luse 46 Oloo ysiertie jsollie etjumurtoluu muoto ; N N N N j oloo se rvo Silloi luu o vrttie irrtioliluu Toistus vrt 5 s 49 494 Oletuse erusteell Meritää että mistä seur että ; N N N N ; N N N ; N N N Näi olle lusee toistuse erusteell s yhtälö 9 missä j ovt etjumurtoluvu N ; N N si overgetti os luu vstv ysiertie etjumurtoluu o ääretö o irrtioliluu Lisäsi os yhtälö 9 voi esittää muooss määritelmä 4 erusteell luu o vrttie irrtioliluu Oletuse j esitettyje meritöje erusteell tieetää että N ; Tästä s lusee toistuse mu yhtälö N N N N missä N N j N N ovt etjumurtoluvu ; N overgettej Luu o irrtioliluu sillä se ysiertie etjumurtoluuesitys o ääretö Lisäsi os o vrttie

irrtioliluu ii eellä esitetystä yhtälöstä ähää lusee 4 erusteell että myös o vrttie irrtioliluu Esimeri 4 Oloo x ; Määritetää vrttise irrtioliluvu x rvo äyttäe u lusee 46 toistust Meritää että x ; y missä y ; ; y Näi olle y y y y y 4 y y y mistä s eellee toise stee yhtälö y y os y > ii toise stee yhtälö rtisuv vull s 9 4 y 6 6 os x ; y ii sijoittmll s x 6 9 y 6 9 7 9 9 9 6 6 6 6 Siis x Lusee 46 toistus toi eio määrittää jsollisi etjumurtoluuj vstvt vrttiset irrtioliluvut Seurvss luseess esitellää meetelmä joll uolest määritetää vrttisi irrtioliluuj vstvt etjumurtoluvut Luse 47 Oloo vrttie irrtioliluu Lusee 4 ojll o olemss selliset ooisluvut P Q j että luu voi irjoitt muooss 4

P Q missä Q > luu ei ole täyellie eliö j Q P Määritellää reursiivisesti että P Q P Î Q u Silloi ; Q P P Q Toistus vrt 5 s 495 496 Toistet esi iutioll että luvut P j Q ovt ooisluuj j että Q j Q P Tämä väite o lusee oletuste erusteell selvästi tosi u Oletet sitte että P j Q ovt ooisluuj j että Q j Q P Tällöi myös P o ooisluu sillä se voi irjoitt ooisluuje erotuse muooss Q P P Luu Q voi irjoitt reursiovoje vull muooss Q P Q Q P Q Q Q Q P P P P Q Q Iutio oletuse mu Q P Erotus P Q o uolest ooisluu Täte Q o ooisluu os luu ei ole täyellie eliö ii P Tästä seur että Q P Q Yhtälö Q P Q 5

erusteell tieetää että Q P Väittee luos o siis toistettu iutioll Toistet sitte lusett äyttämällä että ooisluvut vstvt luvu etjumurtoluuehitelmä ; termejä Jos voi osoitt että u ii ; Reursiovoje erusteell s yhtälö P Q P Q Q Q P Q P Q P P Q Q P P Q Q P P O siis osoitettu että Näi olle ; Huomutus 4 s 5 s 495 496 Läheteosess lusee iutiotoistuse vrt tutielm lusee 47 toistus louss eho P itäisi oll P Smoi toistettess että tulisi yhtälöetjuss oll luseee tilll oll lusee P P Q P P P Q P Esimeri 4 Määritetää vrttise irrtioliluvu etjumurtoluuesitys äyttäe lusee 47 reursioyhtälöitä Muoostet esi loitusrvot P Q j Selvästi Luu ei uite j luu Lvetmll luu s 6 7 9 Nyt 7 6 9 Selvästi luu 9 j luvu 9 Aloitusrvot ovt siis 6

Í 6 7 P 6 Q 9 7 j Î Í Î 9 Näie rvoje j reursioyhtälöie erusteell s P 7 P Q P 9 6 Q Q 9 P Q 7 Í 7 Í Î Î 4 P 7 5 P Q P 4 5 Q Q P 5 7 Q Î Î5 7 P 7 5 P Q P 5 5 Q Q P Q 5 7 Í 5 7 Í Î Î 5 P4 7 5 P4 Q P 5 5 5 Q4 Q P4 4 5 7 Q 4 4 Î Î5 7 os P 4 P j Q 4 Q ii lgoritmi l toist itseää Näi olle ; 4 5 5 5 ; 4 5 Esimerissä 4 osoittutui että vrttisell irrtioliluvull o jsollie etjumurtoluuesitys Toistet yt että tämä itää is yleisesti Luse 48 Oloo vrttie irrtioliluu Silloi se ysiertie ääretö etjumurtoluuesitys o jsollie Toistus vrt 5 s 497 498 Lusee 4 mu luu voi irjoitt muooss P Q 7

Lisäsi lusee 47 erusteell o voimss yhtälö ; seä reursiovt P Q u P Î Q Q P P Q u meritää että ; ii lusee toistuse erusteell luvulle s yhtälö Tällöi luvu ojugtille o lusee 45 mu voimss yhtälö Yhtälöstä s eellee ojugtille rvo u Ê ˆ Á Á Á Á Ë Æ ii Æ j Æ Tämä seuruse Æ Näi olle o olemss sellie ooisluu N että < u N os > u > ii o voimss Täte Q > u N P P > Q Q Q Reursiovoje erusteell ähää että N o siis voimss eäyhtälö Q Q P u 8

Q Q Q P < u N tieetää myös että P < P QQ miä erusteell s eellee eäyhtälö < P < Trstell ehtoj < Q j < P < jot ovt voimss u N Tällöi hvit että ooisluurille P Q o olemss vi äärellie määrä mhollisi rvoj u > N Toislt ooisluuiesejä joille o voimss N o äärettömä mot Näi olle o olemss myös selliset ooisluuiesit i j j että P i P j j Q i Q j u i < j Reursiovoje mu P Q jote i Pi Qi Pj Q j j Tämä seuruse s i j i j i j Näi olle ; i i i j i i j j ; i i i jote luvu ysiertie etjumurtoluuesitys o jsollie Huomutus 4 s 5 s 497 498 Läheteosess lusee toistusess vrt tutielm lusee 48 toistus o viitttu teose luseisii j Viittuset itäisi oll läheteose luseisii j 9 vrt tutielm luseet 47 j Smoi toistuse louss eäyhtälö P P QQ tilll itäisi oll eäyhtälö P < P QQ Vstvsti eäyhtälö Q tilll tulisi oll eäyhtälö < Q Luseiss 46 j 48 o osoitettu ysiertiste jsolliste etjumurtoluuje eseie omiisuus Ysiertiset jsolliset etjumurtoluvut vstvt vrttisi irrtioliluuj j vrttiste irrtioliluuje ysiertiset etjumurtoluuesityset ovt jsollisi 4 Täysi jsolliste etjumurtoluuje omiisuusi Tässä yälässä tutit täysi jsollisi etjumurtoluuj Täysi jsollisill etjumurtoluvuill jso l heti etjumurtoluuesityse lust 9

Määritelmä 44 Ysiertist etjumurtoluu ; sot täysi jsollisesi jos o olemss sellie ooisluu että Tällöi ; ; u Määritelmä 45 vrttist irrtioliluu sot reusoiusi jos > j < < missä luu o luvu ojugtti Seurviss luseiss seä esimerissä 44 trstell reusoituje vrttiste irrtioliluuje j täysi jsolliste etjumurtoluuje vstvuutt Luse 49 Oloo reusoitu vrttie irrtioliluu Silloi se ysiertie ääretö etjumurtoluuesitys o täysi jsollie Toistus vrt 5 s 499 5 Lusee erusteell luvu etjumurtoluuesityse termeille o voimss yhtälöt Î u Lisäsi voi meritä että Täte tieetää että u äytetää ojugttej yhtälö j seä lusett 45 s eellee Toistet yt iutioll että < < u os o reusoitu vrttie irrtioliluu j yhtälö ätee ii määritelmä 45 erusteell selvästi < < u Oletet sitte että < < Määritelmä 45 ojll > jote erityisesti Î Î Täte siis u Tämä eho iutiooletuse j yhtälö erusteell o voimss < Näi olle < < Iutioerittee mu väite o siis tosi 4

Yhtälöstä seur että os < < ii eellä esitety erusteell o voimss Tästä s eäyhtälö Näi olle < < < < Í Í Î os o vrttie irrtioliluu ii tällöi lusee 48 toistuse erusteell o olemss selliset ei egtiiviset ooisluuiesit i j j i < j että i j Tämä seuruse i j os i Î i j j Î j ii i j Yhtälöie i i i j j j j erusteell tieetää että i j Jtmll tätä äättelyä hvit että i j i j j että j i Tällöi ; j i ji ; j i j i ; jote luvu jsollie ysiertie ääretö etjumurtoluuesitys o täysi Huomutus 44 s 5 s 499 5 Läheteosess lusee toistuse vrt tutielm lusee 49 toistus luss o viitttu teose luseesee 8 Viittus itäisi oll luseesee 5 vrt tutielm luse Lisäsi äättelyetjuss tulisi yhtälö j tilll oll yhtälö j i Smoi yhtälö ; tilll tulisi oll yhtälö j i j ; j i ji Esimeri 44 Trstell vrttist irrtioliluu 7 5 Selvästi 7 5 ª 47 > os 7 5 ª 7 ii < 7 5 < Näi olle luu 5 7 o reusoitu vrttie irrtioliluu Lusee 49 erusteell tämä luvu etjumurtoluuesitys o täysi jsollie 4

äyttämällä sm meetelmää ui esimerissä 4 s luvulle 7 5 etjumurtoluuesitys 4 Luse 4 Oloo vrttie irrtioliluu Oloo lisäsi ysiertie täysi jsollie etjumurtoluu muoto ; j oloo se rvo Silloi luu o reusoitu vrttie irrtioliluu Toistus vrt 5 s 5 5 j s 9 lusee 8 toistus Oletuse erusteell ; Toislt voi meritä että ; Tällöi lusee toistuse erusteell tieetää että missä j ovt luvu etjumurtoluuehitelmä j overgetti Yhtälöstä seur että 4 Oloo sitte sellie vrttie irrtioliluu että ; Luvu etjumurtoluuesitysessä termit ovt luvu etjumurtoluuesitysee verrttu ääetyssä järjestysessä Meritää että ; Lusee toistuse vull s eellee että 5 missä j ovt luvu etjumurtoluuesityse j overgetti Luseie j 4 erusteell tieetää että j ; ; os j ovt overgettej e ovt seuruse erusteell suistetuss muooss Lusee erusteell tieetää että Jos ii Smoi jos ii ummssi tusess Täte luvut 4

j ovt eseää jottomi smoi ui luvut j Siis myös luvut j ovt suistetuss muooss Näi olle j Sijoittmll ämä rvot yhtälöö 5 s Tästä seur että Jmll tämä yhtälö uolitti luvull s 6 Yhtälöie 4 j 6 erusteell hvit että toise stee yhtälö x x si juurt ovt luvut j Tällöi lusee 44 erusteell Luvu täysi jsolliselle etjumurtoluuesityselle ; o uht jsollisuue vuosi voimss os ii myös ; ; > ; Näi olle > Toislt myös luvu etjumurtoluuesitys o täysi jsollie j sisältää luvu etjumurtoluuesityse termit ääetyssä järjestysessä Nyt ; ; > ; Siis myös > Lisäsi os ii < < Näi olle luu o reusoitu vrttie irrtioliluu 4

Huomutus 45 Lusee 4 toistusest seur että jos reusoiu vrttise irrtioliluvu etjumurtoluuesitys o muoto ; ii luvu etjumurtoluuesitys o muoto ; Huomutus 46 s 5 s 5 5 Läheteosess lusee toistusess vrt tutielm lusee 4 toistus o viitttu hesti teose luseesee Viittuste tulisi oll läheteose luseesee 9 vrt tutielm luse Lisäsi viittus luseesee tulisi oll viittus teose luseesee vrt tutielm luse 44 Luvu jsollie etjumurtoluuesitys Seurvsi trstell luvu etjumurtoluuesitystä soveltmll eellisessä yälässä esitettyjä tulosi Oletet että luu o ositiivie ooisluu jo ei ole täyellie eliö Tutit esi luu Î j se etjumurtoluuesitystä Luu Î o reusoitu vrttie irrtioliluu sillä Î > j < Î < missä Î o luvu Î ojugtti Lusee 49 mu luvull Î o tällöi täysi jsollie etjumurtoluuesitys Tämä etjumurtoluuesityse esimmäie termi o Näi olle Î Î missä Î Î ; ; ; Vähetämällä eellä esitetystä yhtälöstä uolitti luu s ; ; ; Tutit vielä luvu etjumurtoluuesityse osimittäjie omiisuusi trstelemll luvu Î Huomutuse 45 erusteell luvu Î etjumurtoluuesitystä etjumurtoluuesitys 44

s luvu Î etjumurtoluuesitysestä äätämällä jälimmäise esityse termit äivstisee järjestysee Tällöi siis Toislt os Î Î ; 7 Î ; ; ; ii luvu Î ääteisluvulle Î Î o voimss yhtälö ; 8 Vertilemll yhtälöitä 7 j 8 hvit että Tämä erusteell luvu etjumurtoluuesitys s yt muotoo ; Luvu etjumurtoluuesityse jsollie osuus o siis jso esimmäisestä termistä toisesi viimeisee termii sti symmetrie Lisäsi jso viimeie termi o si ert ii suuri ui etjumurtoluuesityse esimmäie termi Vrt 5 s 5 5 Luvu etjumurtoluuesitys voi muoost mm äyttäe lusee reursioyhtälöitä ute esimerissä Näitä etjumurtoluuesitysiä löytyy myös vlmiisi tuluoitu irjllisuuest s esim 5 s 66 tuluo E5 Esimeri 45 Luuje 77 j 8 etjumurtoluuesityset ovt j 77 8;6 8 9;8 45

Esimmäise esityse jso ituus o 6 Jso luos o symmetrie jso esimmäisestä termistä toisesi viimeisee termii sti Jso viimeie termi o suuruuelt siertie verrttu esityse esimmäisee termii Toise esityse jso ituus o j jso symmetrie luos uuttuu Myös yt jso viimeie j io termi o si ert ii suuri ui esityse esimmäie termi s 5 s 66 tuluo E5 46

5 Pelli yhtälö Pelli yhtälösi utsut Dioftose yhtälöä muoto x y missä luu o ositiivie ooisluu jo ei ole täyellie eliö Nimesä muisesti tälle yhtälölle etsitää ooisluurtisuj Yhtälö trivilie ooisluurtisu o x y Tässä luvuss esitytää uitei etsimää tästä trivilist rtisust oievi ositiivisi ooisluurtisuj x y Luvu etjumurtoluuesitysellä o eseie sij äie rtisuje muoostmisess Tässä luvuss oletet että luu o ositiivie ooisluu jo ei ole täyellie eliö 5 overgetit j Pelli yhtälö Pyälässä 44 äsiteltii luvu jsollist etjumurtoluuesitystä hess seurvss luseess tutit miä meritys o luvu jsollise etjumurtoluuesityse overgeteill Pelli yhtälöä rtistess Luse 5 Oloo Pelli yhtälö x y ositiivie ooisluurtisu Silloi overgetti o luvu etjumurtoluuesityse Toistus vrt s Oletuse erusteell tieetää että Tästä s eellee yhtälö missä > Tällöi tieetää että > > j että 47

os < < < ii lusee 7 erusteell o luvu etjumurtoluuesityse overgetti Luse 5 Oloo luvu etjumurtoluuesityse overgetti Silloi x y o yhe muoto x y missä < olev yhtälö rtisu Toistus vrt s os o luvu etjumurtoluuesityse overgetti ii lusee 5 toistuse erusteell o voimss eäyhtälö < Tästä seur että < 9 äyttämällä olmioeäyhtälöä j eäyhtälöä 9 s < Yhistämällä eellä esitetyt eäyhtälöt 9 j s < Väite seur tästä 48

Huomutus 5 s s Läheteosess lusee 4 toistusess vrt tutielm lusee 5 toistus itäisi eäyhtälöetju tilll oll eäyhtälöetju < < < 5 Pelli yhtälö rtisemie: erusrtisu j ii rtisut Eellisessä yälässä hvittii että Pelli yhtälö ositiiviset ooisluurtisut ovt luvu etjumurtoluuesityse overgettej Tässä yälässä trstell ui Pelli yhtälö rtisut voi ehittää Esitetää lusi erusrtisu määritelmä seä uluse jot trvit Pelli yhtälö ositiivisi rtisuj osev lusee 5 toistmisess Määritelmä 5 Pelli yhtälö erusrtisull troitet yhtälö x y ieitä ositiivist rtisu ts sellist ositiivist rtisu x y että x < x y < y iill muill ositiivisill rtisuill x y Auluse 5 Oloo luvu etjumurtoluuesityse overgetti Jos o tämä etjumurtoluuesityse jso ituus ii silloi o voimss yhtälö Toistus vrt s 4 5 u ii luvu etjumurtoluuesitys voi irjoitt muooss missä ; 49

; Lusee toistuse erusteell tieetää että Sijoittmll eellä esitettyy yhtälöö s jo sieveee eellee muotoo os luu o irrtiolie j yhtälö oie uoli ts rtiolie ii tällöi o voimss ertomll esimmäie yhtälö luvull j toie luvull j lsemll äi sut yhtälöt yhtee s Soveltmll tähä yhtälöö lusee tulost s viheitti Väite o siis tosi Seä luvu jsollise etjumurtoluuesityse overgeteill että tämä etjumurtoluuesityse jso ituuell o täreä sem Pelli yhtälö ositiivisi rtisuj muoostettess Luse 5 Oloo luvu etjumurtoluuesityse overgetti j oloo o tämä etjumurtoluuesityse jso ituus 5

i Jos o rillie ooisluu ii Pelli yhtälö x y ii ositiiviset rtisut ovt x y ii Jos o rito ooisluu ii Pelli yhtälö x y ii ositiiviset rtisut ovt x y Toistus vrt s 5 6 Lusee 5 erusteell tieetää että miä ths yhtälö x y ositiivie rtisu x y o muoto x y missä o luvu etjumurtoluuesityse overgetti u huomioi uluse 5 hvit että x y o Pelli yhtälö rtisu jos j vi jos u o rillie ooisluu ii tämä ehto toteutuu iill luvu ositiivisill ooisluurvoill Tällöi Pelli yhtälö ii ositiiviset rtisut ovt siis x y u o rito ooisluu ii yseie ehto toteutuu jos j vi jos o rillie ooisluu Tällöi Pelli yhtälö ii ositiiviset rtisut ovt x y Esimeri 5 Trstell Pelli yhtälöä x 8y Luseess esitettyje reursiovoje vull luvu 8 etjumurtoluuesitysesi s 5; os esityse jso ituus o 4 yhtälö x 8y ositiiviset rtisut ovt lusee 5 erusteell muoto x y Perusrtisu eli iei ositiivie rtisu 4 4 o x y Reursioyhtälöie erusteell s että 7 j 4 jote erusrtisu o x 7 y 4 Esimeri 5 Trstell Pelli yhtälöä x y Luseess esitettyje reursiovoje vull luvu etjumurtoluuesitysesi s ;6 os esityse jso ituus o yhtälö x y ositiiviset rtisut ovt lusee 5 erusteell muoto x y Perusrtisu eli iei ositiivie rtisu o x y Reursioyhtälöie erusteell s että 9 j 6 jote erusrtisu o x 9 y 6 Esitetää vielä ui Pelli yhtälö ii ositiiviset rtisut muoostet 5

Luse 54 Oloo y x Pelli yhtälö x y erusrtisu Silloi ii ositiiviset rtisut x y s yhtälöllä x y x y Toistus vrt 5 s 54 545 j s 8 9 Osoitet esi että x y o rtisu Lusee 45 erusteell tieetää että otessi ojugtti o ojugti otessi Näi olle x y x y x y Tällöi siis ätee x y x y x y x y x y os y x o yhtälö x y rtisu s x x y x y y x y x y x y Eellä esitety erusteell x y o rtisu Osoitet sitte että joie ositiivie rtisu o muoto x y jolli luvu ositiivisell ooisluurvoll Tehää vstoletus että X Y o ositiivie rtisu jo ei ole muoto x y os x y ii > luvu x y otessi rvot svvt mielivltise suurisi Näi olle o olemss sellie ooisluu että x y < X Y < x y ertomll tämä eäyhtälö luvull x y s < x y X Y < x y Yhtälöstä x y x y x y seur että x y x y Näi olle y x y x x y jolloi eellä esitetty eäyhtälö s muotoo 5

< x y X Y < x y Oloo sitte s t x y X Y Tällöi s t s t s t x y X Y x y x y X Y X Y Nyt siis s t o yhtälö x y rtisu Lisäsi tieetää että < x y X Y s t < x y os s t > ii < s t s t < Tästä seur että j s t s t > s s t s t > t Täte s t o ositiivie rtisu os x y o iei ositiivie rtisu ii s x j t y Tästä seur uitei ristiriit eäyhtälö s t < x y ss Siis vstoletus o vääri j väite oiei Näi olle rtisu X Y täytyy oll muoto x y jolli luvu ositiivisell ooisluurvoll Esimeri 5 Etsitää Pelli yhtälö x y olme ieitä ositiivist rtisu Esimeri 5 erusteell tieetää että iei ositiivie rtisu o x 9 y 6 Soveltmll lusett 54 s si muut ositiivist rtisu Tällöi siis x y 9 6 7 8 jote x 7 y 8 Vstvsti x y jote x 779 y 8658 9 6 779 8658 5

irjllisuus Burto Dvi M: Elemetry Numer Theory Thir Eitio WCB/MGrw Hill 997 hihi A Y: Cotiue Frtios Thir Eitio Dover Pulitios I New Yor 997 urittu Lssi: etjumurtoluvut luetomoiste Verooumetti Jyväsylä ylioisto 6 Viitttu 67 URL htt://wwwmthjyufi/~lurittu/etjumurtoluvutf 4 Log Clvi T: Elemetry Itroutio to Numer Theory Thir Eitio Pretie Hll I New Jersey 987 5 Rose eeth H: Elemetry Numer Theory Its Alitios Fifth Eitio Aiso Wesley 5 54