1. Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin, Lebesguen ensisijisen mielenkiinnon päämääränä oli sd ikn integrli, jok olisi määritelty kikille relikselin kompktill välillä määritellyille rjoitetuille funktioille. 1.1. Riemnnin integrli. Plutetn mieleen Riemnnin 2 käyttämä määritelmä integrlille: Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis välin [, b] jko päätepisteitä lukuunottmtt pistevierisiin suljettuihin osväleihin [x k 1, x k ], missä jokinen osväli on merkitty ntmll siltä piste t k. Snotn, että merkitty jko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} on δ-hieno, δ > 0, jos T := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Rjoitetun funktion f : [, b] R merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on n R T := f(t k )(x k x k 1 ). Nyt funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R T I < ε. Luku I on funktion f Riemnnin integrli välillä [, b] j sitä merkitään f(x) dx. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään funkioon f liittyvien l- j yläporrsfunktioiden vull. Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n 3 l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1) (2) j (3) (4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. 1 Henri Léon Lebesgue (1875 1945); integrli väitöskirjss [12] vuonn 1902. 2 Bernhrd Riemnn (1826 1866); integrli 1854. 3 Jen-Gston Drboux (1842 1917); integrli 1875. 1
Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, n n s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). Funktion f Drboux n l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv 4, jos f(x) dx = f(x) dx. 2 f(x) dx := inf P P S P, Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1) (4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1.1. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. Riemnn-/Drboux-integroituvn funktion f Riemnnin integrli j Drboux n integrli yhtyvät. 1.2. Lebesguen integrli. Lebesguen oivllus integrlin käsitteen prntmiseksi oli käyttää funktion rvokselill (eli y-kselill) tihenevää jko rgumenttikselin (eli x-kselin) jon sijst. Riemnnin j Drboux n käyttämissä summiss on selvästi ongelmi epäjtkuvuspisteiden lähellä: jos funktioll f on epäjtkuvuuspiste välillä [x k 1, x k ], poikkevt tätä osväliä vstvt termit Drboux n ylä- j lsummss toisistn pljon. Jos epäjtkuvuuspisteitä on pljon, vikutt hyvin mhdolliselt, että Drboux n ylä- j lsummien välinen ero pysyy suuren, joten tällinen funktio ei ole Riemnn-integroituv. Kun jko tehdään y-kselill tälliselt ongelmlt vältytään (ktso ll olevi esimerkkejä, vrsinkin Dirichlet n funktiot). Välejä [y k, y k+1 ), 0 k < n, vstviin lkukuvjoukkoihin Lebesgue liitti summt E k := f 1 ([y k, y k+1 )) = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } n 1 n 1 σ Π := y k m(e k ) j Σ Π := y k+1 m(e k ), k=0 missä luvut A j B vlitn niin, että A < f(x) < B k=0 kikille x [, b], j välit [y k, y k+1 ], 0 k < n muodostvt y-kselin välin [A, B] jon Π. 4 Kurssill Anlyysi 2 nimitykset ovt sttneet oll Riemnnin l- j yläintegrli, j Riemnnintegroituv.
Jott Lebesguen määrittelemät summt σ Π j Σ Π olisivt mielekkäitä, pitää joukoill E k oll hyvin määritelty (pituus-)mitt. Huom, että geometrisesti σ Π (vstvsti Σ Π ) on jon Π j lkukuvjoukkojen E k ntm lrj (vstvsti ylärj) funktion f kuvjn rjoittmn lueen pint-llle (kun f 0). Joukkojen E k määrittelyn sekä lukujen A j B vlinnn nojll joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 k=0 E k. Lebesgue osoitti väitöskirjssn, että kun f on mitllinen funktio, niin joukot E k ovt mitllisi, j että tällöin jko Π tihennettäessä (eli kun y k+1 y k 0) Lebesguen summt σ Π j Σ Π lähestyvät sm rvo, funktion f Lebesguen integrli yli välin [, b], jot merkitään f(x) dm(x).5 [,b] Lebesgue setti väitöskirjssn vuonn 1902 tvoitteeksi (ks. [12, luku I, koht 1] j [13, luku VII, koht II]), että jokiselle rjoitetulle joukolle E R voitisiin määritellä (pituus-)mitt m(e) 0 niin, että 1 m(e) 0 jollekin joukolle; 2 m(e + ) = m(e) kikille R (tässä E + := {x + x E}); 3 m ( E k) = m(e k), kun joukot E k ovt preittin pistevierit. Muutm vuott myöhemmin hvittiin, ettei näitä kolme ehto sd toteutumn kikille joukoille; joitkin hnkli, ns. epämitllisi joukkoj pitää jättää trkstelujen ulkopuolelle. Funktiot snotn mitlliseksi, jos Lebesguen summiss esiintyvät joukot ovt mitllisi. Pltn Lebesguen summiin. Ensinnäkin, niillä on vstv monotonisuusominisuus suhteess jkojen tihentämiseen kuin Riemnnin summill: (5) kun Π Π, on σ Π σ Π j Σ Π Σ Π. Nimittäin, jos lisätään yksi jkopiste y, jolle y k < y < y k+1. Uudet jkopisteet ovt nyt y j = y j, kun 0 j k, y k+1 = y j y j = y j 1, kun k + 2 j < n + 1. Joukko E k hjo nyt pistevieriden joukkojen yhdisteeksi E k = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } = {x [, b] R y k f(x) < y } {x [, b] R y f(x) < y k+1 } = E k E k+1 Kun 0 j < k ti k + 2 j < n + 1, on E j = E j 1. Kosk y k = y k, y k+1 = y > y k j y k+2 = y k+1 > y, on Lebesguen summien termeille y k m(e k ) j y k+1 m(e k ) j y k m(e k ) = y k (m(e k) + m(e k+1)) y k m(e k) + y k+1 m(e k+1) y k+1 m(e k ) = y k+1 (m(e k) + m(e k+1)) y k+1 m(e k) + y k+2 m(e k+1) Väitetty ominisuus (5) seur tästä. Toisekseen, l- j yläsummien erotukselle on n 1 n 1 Σ Π σ Π = (y k+1 y k ) m(e k ) λ m(e k ) = λ m([, b]), k=0 5 Lebesguen om merkintä oli sm kuin Riemnnin integrlille, f(x) dx. k=0 3
4 Kuv 1. Funtion y = f(x) kuvj, y-kselin väli y k y < y k+1 sekä sen lkukuvjoukko y k f(x) < y k+1. missä λ := mx{y k+1 y k k = 0, 1,..., n 1}. Tästä seur, että kun jko Π on riittävän tiheä (eli λ on riittävän pieni), erovt Σ Π j σ Π toisistn mielivltisen vähän. Siis sup σ Π = inf Σ Π. Π Π Tämä yhteinen rvo on Lebesguen määritelmän mukn funktion f (Lebesguen) integrli. Tästä päättelystä seur myös, että rjoitettu mitllinen funktio on integroituv. Esimerkki 1.2. Trkstelln esimerkkinä porrsfunktiot f : [0, 3] R, { 1, kun x [0, 1), j f(x) = 2, kun x [1, 3]. Kun välin [0, 3] jkopisteiksi vlitn x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, j pisteiksi ξ 1 = 1/2 j ξ 2 = 2, sdn Riemnnin summien vull 2 3 S = f(ξ k ) (x k x k 1 ) = 1 1 + 2 2 = 5 = f(x) dx. Lebesguen integrli määrättäess jko suoritetn funktion rvojoukoss eli y- kselill, ei x-kselill. Tässä tpuksess funktion rvojoukko f([0, 3]) = {1, 2} =: {y 1, y 2 }. Määrätään näiden rvojen lkuvjoukot: f 1 ({y 1 }) = [0, 1) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = [2, 3] =: E 2. Lebesguen integrlille käytetään Lebesguen summi 2 Σ = y k m(e k ) = 1 1 + 2 2 = 5. Tässä m(e k ) trkoitt joukon E k pituusmitt, mikä välin [, b] tpuksess on välin pituus b. 0
Esimerkki 1.3. Stndrdi esimerkki ei-riemnn-integroituvst funktiost on ns. Dirichlet n funktio f D : [0, 1] R, jolle { 1, kun x Q [0, 1], j f D (x) = 0, muuten. Kun edellistä ide sovelletn Dirichlet n funktioon f D, sdn f D ([0, 1]) = {0, 1} =: {y 1, y 2 } j f 1 ({y 1 }) = [0, 1] \ (Q [0, 1]) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = Q [0, 1] =: E 2. Vstv Lebesguen summ on 2 Σ = y k m(e k ) = 0 m(e 1 ) + 1 m(e 2 ). Joukon E 1 mitst ei trvitse välittää. Joukon E 2 mitksi osoittutuu noll, joten Lebesguen integrliksi sdn f D (x) dm(x) = 0. [0,1] 1.3. Lebesguen ulkomitt j sisämitt. Jott Lebesguen ide integrlin määräämiseksi stisiin toimivksi, pitäisi kikkien joukkojen kokoelmst void tunnist mitlliset joukot. Tätä vrten Lebesgue määritteli kikille rjoitetuille joukoille E R ulkomitn m (E) j sisämitn m (E). 6 Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Avoimen joukon A R mitn määritteleminen on helppo: Nimittäin, on olemss yksikäsitteisesti määrätyt voimet välit I j, j J N, joiden pisteviers yhdiste A on, A = j J I j. Tällöin m(a) := j J m(i j). Huom, että jos tson R 2 voimille osjoukoille tilnne on hnklmpi; tson voint osjoukko ei välttämättä voi esittää vstvll tvll tson vointen välien (eli suorkiteiden) yhdisteenä. Kompktille (epätyhjälle) joukolle K R voidn menetellä seurvsti: Olkoot := inf K j b := sup K. Tällöin, b K, joten [, b] \ K on relikselin voin joukko, j luonnollisen mitn tälle joukolle nt m(k) := (b ) m([, b] \ K). Huom, että tätäkään määrittelytp ei voi yleistää kovin suorviivisesti tson kompkteille osjoukoille. Tämä määritelmä kompktin joukon mitksi on kuitenkin hnkl käyttää. Jos K on toinen kompkti joukko, niin tätä vstvt luvut j b ovt yleensä eri luvut kuin j b. Jos esimerkiksi K K, niin miten edellisen määritelmän perusteell näytetään, että m(k) m(k )? (Avoimille joukoille tämä on helppo. Osoit!) Entä, jos K j K ovt pistevierit, niin miten osoitetn, että m(k K ) = m(k) + m(k )? (Avoimille joukoillekin tämä vtii hiemn tekemistä, smoin vstv väite numeroituvlle pistevierlle yhdisteelle.) Tärkeä oivllus on osoitt seurv putulos 6 Lebesgue ei lähtenyt mitn määrittelyyn ivn tyhjästä. (Mrie Ennemond) Cmille Jordnilt (1838 1922) oli jo peräisin joukon Jordnin sisältö 1892 (joukko on Jordn-joukko, jos sen Jordnin ulkosisältö on sm kuin sen Jordnin sisäsisältö; yhtäpitävästi: joukon reun on nollmittinen). Myös (Félix Édourd Justin) Émile Borel (1871 1956) oli trvinnut ennen Lebesgueä relikselin Borelin joukoille määriteltyä mitt (1894 j 1898). 5
([17, Kp. III, 2]): kun I R on rjoitettu voin väli siten, että K I, niin m(i \ K) = m(i) m(k). Näin määriteltynä mitll on seurvt jtkuvuusominisuudet (ks. [17, Kp. III, 2, Stz 4] j [17, Kp. III, 2, Stz 5]; todistmist knntt yrittää): Luse 1.4. Kun A R on rjoitettu j voin, on m(a) = sup{m(k) K on kompkti j K A}. Luse 1.5. Kun K R on kompkti, on m(k) = inf{m(a) A on voin j K A}. Lebesgue määritteli ulkomitn m (E) j sisämitn m (E) jokiselle rjoitetulle joukolle E R settmll m (E) := inf{m(a) A on voin j A E}, m (E) := sup{m(k) K on kompkti j K E}. Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Mitlliselle joukolle E setetn m(e) = m (E) = m (E), joukon E mitt. Mitt- j integrliteorin kurssill käytetty mitllisuuden määritelmä on peräisin Crthéodoryltä. 7 Crthéodoryn määritelmä mitllisuudelle on osoittutunut hyväksi vrsinkin khdest syystä: Ensinnäkin, siinä mitllisuus määritellään vin ulkomitn vull; ei trvit kht erilist puvälinettä. Toisekseen, se toimii yhtä hyvin bstrktin ulkomitn tilnteess. Edellisten luseiden nojll rjoitetulle, voimelle joukoll A R j kompktille joukolle K R on m (A) = m(a) j m (K) = m(k). Kosk trivilisti m (A) = m(a) j m (K) = m(k), ovt relikselin rjoitetut, voimet joukot j kompktit joukot mitllisi. Ulkomitn subdditiivisuus on melko helppo todist (kuten kurssill tehdään): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj, niin m (E) j N m (E j ). j 6 Sisämitlle vstv ominisuus on mutkikkmpi ([17, Kp. III, 3, Stz 6]): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj j joukot E j ovt prittin pisteviert (E j E k =, kun j k), niin m (E) j N m (E j ). Edellisestä epäyhtälöprist seur, että jos E j, j N, ovt mitllisi j prittin pistevierit j E := j N E j on rjoitettu, niin E on mitllinen j m(e) = j N m(e j ). 7 Constntin Crthéodory (1873 1950). Määritelmä (j yhteys Leebesguen lkupeäräiseen mitllisuuteen) löytyy inkin Crthéodoryn 1918 julkistust oppikirjst [5, n 257, Stz 6]. Crthéodoryltä on peräisin myös bstrktin ulkomitn käsite.
Burkillin kirjss [4, Ch. II] mitn ominisuuksiin liittyvät trkstelut ovt huomttvsti suppemmt kuin Ntnsonin kirjss [17, Kp. III], j moness kohdin käsittely on myös puutteellist. Myös Lebesguen lkuperäinen mitn j mitllisuuden käsittely [12, Ch. I] on vrsin kursorinen. Hyvä kirjllisuustutkimuksen ihe olisi selvittää, missä määrin puutteelisi Burkillin j Lebesguen lkuperäinen esitys ovt, j miksi Ntnsonin kirjss todistukset ovt niin mutkikkit (Burkillin j Ntnsonin kirjt ovt smlt jlt, 1940- j 1950-lukujen vihteest). Lebesguen vuonn 1904 julkistut luennot [13] olisi myös hyvä ott vertiluun mukn. Crthéodoryn kirj [5] on selvästi vnhempi, mutt silti modernimpi. Helppolukuinen, vikkkn ei lyhyt lähestyminen Lebesguen mittn Lebesguen lkuperäistä lähestymistp (j siis myös sisämitt, tosin yleisemmässä usempiulotteisess tpuksess) käyttäen löytyy Jonesin kirjst [10, Ch. 2]. 1.4. Volterrn funktiost. Vito Volterrlt 8 [22] (vrt. [12, No. 29]) on peräisin esimerkki derivoituvst funktiost, jonk derivtt on rjoitettu, mutt ei Riemnn-integroituv. Jos derivtt ei ole integroituv, kdott nlyysin perusluse f (x) dx = f(b) f() merkityksensä. Lebesgue setti päämääräkseen korjt integrlin määrittelyä niin, että nlyysin perusluse pätee Volterrn funktion kltisille funktioille. Olkoon luksi f k : [, b] R, k Z +, jono mitllisi funktioit. Oletetn, että f k (x) f(x), kun k. Olkoot ε > 0 j E k,ε := {x [, b] f k (x) f(x) ε}, k Z +. Osoitetn, että (6) m(e k,ε ) 0, kun k. Tätä vrten osoitetn, että ( ) E k,ε = eli n=1 k=n ( ) ([, b] \ E k,ε ) = [, b]. n=1 Jälkimmäisessä yhtäsuuruudess inkluusio on selvä. Inkluusiot vrten olkoon x [, b]. Kosk f k (x) f(x), kun k, on olemss n Z + siten, että f k (x) f(x) < ε, kun k n. Tämä trkoitt, että x [, b] \ E k,ε, kun k n, t.s. x k=n ([, b] \ E k,ε). Siis x on vsemmn puolen yhdisteen lkio. Lebesguen mitll on seurv tärkeä ominisuus: Jos (A n ) n=1 on vähenevä jono mitllisi joukkoj (t.s. A n A n+1 ) j m(a 1 ) <, on lim n m(a n ) = m ( n=1 A n). Kun tätä sovelletn joukkoihin A n := k=n E k,ε, on n=1 A n =, joten lim n m(a n ) = m( ) = 0. Kosk E n,ε A n, seur väite (6). Konvergenssiominisuudest (6) 9 sdn helposti seurv integroinnin j rjnkäynnin vihtotulos: Olkoon (f k : [, b] R), jono mitllisi funktioit, jok suppenee pisteittäin kohti funktiot f. Oletetn, että jono (f k ) on tsisesti rjoitettu, t.s. on olemss vkio M siten, että f k (x) M kikille x [, b] j k Z +. Tällöin (7) lim k f k (x) dx = k=n f(x) dx. 8 Vito Volterr (1860 1940). 9 Konvergenssi (6) kutsutn konvergenssiksi mitn suhteen; nimitys lienee peräisin Frigyes Riesziltä (1880 1956). 7
Olkoon ε. Jetn väli [, b] osiin [, b] = E k,ε C k,ε, missä C k,ε := {x [, b] f k (x) f(x) < ε}. Tällöin f k (x) f(x) dx = f k (x) f(x) dx + E k,ε f k (x) f(x) dx =: I k,ε + J k,ε. C k,ε Integrlille I k,ε on I k,ε E k,ε ( f k (x) + f(x) ) dx 2M m(e k,ε ). Integrlille J k,ε on J k,ε C k,ε ε dx ε dx = ε (b ). Tiedon (6) nojll on olemss k ε Z + siten, että m(e k,ε ) < ε, kun k > k ε. Tällöin f k (x) f(x) dx 2M ε + ε (b ). Väite (7) seur tästä helposti (kunhn tiedettäisiin, että f on mitllinen). Oletetn nyt, että f : [, b] R on derivoituv funktio. Oletetn, että f (x) on olemss j f on rjoitettu. Tällöin f on Lebesgue-integroituv j [12, N:o 28] (8) f (x) dx = f(b) f(). Väite seur helposti konvergenssist (7). Ljennetn f välille [b, b + 1] settmll f(x) = f(b) + f (b) (x b). Jono (f k ) määritellään erotusosmäärien vull f k (x) := f(x+1/k) f(x). Kosk f on derivoituv, on lim 1/k k f k (x) = f (x). Differentililskennn välirvoluseest seur, että jono (f k ) on tsisesti rjoitettu. Väitteen viimeistely voidn tehdä vikk Riemnnin integrlin vull, kosk derivoituvn funktion f on jtkuv. (Yksityiskohdt jätetään lukijlle.) 8 1.5. Lebesguen l- j yläintegrlit. Oletetn nyt, että f : [, b] R on rjoitettu funktio. Olkoot A j B siten, että A < f(x) < B kikille x [, b]. Aiemmin funktion f Lebesguen integrliin määritelmän kohdll tehty mitllisuusoletus ei Lebesgue-integroituvuudelle ole vin riittävä ehto, se on myös välttämätön. Tämän näkemiseksi määritellään integrli hiemn yleisemmin jäljitellen Drboux n integrlin määritelmää. Snotn, että mitllisten joukkojen kokoelm D = {E 1,..., E n } on välin [, b] mitllinen jko, jos (i) joukot E k ovt mitllisi; (ii) joukot E k ovt preittin pistevierit; j (iii) E 1 E n = [, b]. Mitlliseen jkoon D liittyen määritellään m k := inf{f(x) x E k } j M k := sup{f(x) x E k }, kun 1 k n. Vstvn tpn kuin Drboux n summt määritellään Lebesguen l- j yläsummt n n σ D := m k m(e k ) j Σ D := M k m(e k ). Tvnomiseen tpn on osoitettviss, että kun jko D tihennetään, lsummt σ D ksvvt j yläsummt Σ D vähenevät. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä
rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. (Näitä päättelyitä vrten, smoinkuin l- j yläsummien määrittelyn mielekkyyden tki, jon D joukkojen E j pitää oll mitllisi; sen sijn trksteltvn funktion f ei trvitse oll mitllinen. Trkemmin: [15, VI.1].) Olkoon D kikkien välin [, b] mitllisten jkojen D kokoelm. Asetetn f(x) dm(x) := sup σ D j f(x) dm(x) := inf Σ D. D D D D [,b] Näitä lukuj kutsutn funktion f Lebesguen lintegrliksi j vstvsti yläintegrliksi yli välin [, b]. Näille on siis f(x) dm(x) f(x) dm(x). Jos [,b] [,b] f(x) dm(x) = [,b] [,b] [,b] f(x) dm(x), snotn, että f on Lebesgue-integroituv. Integrlien yhteistä rvo kutsutn funktion f Lebesguen integrliksi j merkitään f(x) dm(x). [,b] Hiemn edellä ollutt Lebesguen esitystä mukillen nähdään, että jokinen rjoitettu (Lebesguen mielessä) mitllinen funktio on Lebesgue-integroituv välillä [, b] myös tässä yleisemmäkin mielessä. Myös käänteinen tulos pätee: jos rjoitettu funktio f on Lebesgue-integroituv (tässä yleisemmässä mielessä) välillä [, b], niin f on mitllinen (Lebesguen mielessä). Tämän (iden) selvittämiseksi olkoon D n, n Z +, jono välin [, b] mitllisi jkoj siten, että vstville l- j yläsummille on Σ Dn σ Dn 0, kun n. Olkoot jkoon D n liittyvät joukot E k = E n,k, 1 k N n, luvut m k = m n,k, M k = M n,k sekä N n N n g n := m n,k χ En,k j h n := M n,k χ En,k. Tällöin g n j h n ovt mitllisi funktioit, joille g n f h n. Kun jkojono (D n ) n=1 vlitn ksvvksi (miten?), on jono (g n ) n=1 ksvv j (h n ) n=1 vähenevä. Näiden jonojen rjfunktiot g j h ovt mitllisi j g f h. (Tämä on tärkeä, vn ei itsestään selvä ominisuus.) Väite seur, kun osoitetn, että g = h melkein kikkill (eli nollmittisen joukon komplementiss). Asetetn F j := {x [, b] h(x) g(x) > 1/j}. Tällöin {x [, b] h(x) g(x)} = F j. Olkoon nyt ε > 0 j j Z + kiinteä. Vlitn n niin suureksi, että Σ Dn σ Dn < ε. j=1 9
Joukoss E n,k on m n,k = g n (x) g(x) j M n,k = h n (x) h(x), joten h(x) g(x) M n,k m n,k. Toislt joukoss F j on h(x) g(x) > 1/j, joten (M n,k m n,k ) m(e n,k F j ) (h(x) g(x)) dx 1 m(e j n,k F j ). E n,k F j Kosk {E n,k 1 k N n } on välin [, b] ositus, on F j = N n (E n,k F j ), joten N n ε > Σ Dn σ Dn = (M n,k m n,k ) m(e n,k ) N n (M n,k m n,k ) m(e n,k F j ) 1 N n m(e n,k F j ) = 1 j j m(f j). Tästä seur, että m(f j ) < jε. Kosk ε on mielivltinen, on m(f j ) = 0, joten myös yhdiste j=1 F j = {x [, b] h(x) g(x)} on nollmittinen. Tässä lyhyessä trksteluss ei ole kiinnitetty huomiot siihen, onko Lebesguen l- j yläsummien vull määritelty integrli sm kuin Lebesguen lkuperäinen integrli. Trkoitus on vlott erilisi tpoj määritellä integrli. Riemnnin j Lbesguen integrlin välinen yhteys selviää yllä olevst trkstelust vrsin nopesti. Aluksi yleinen huomio. Jos Y, Y R ovt epätyhjiä, rjoitettuj joukkoj j Y Y, on sup Y sup Y j inf Y inf Y. Sovelletn tätä rjoitetun funktion f : [, b] R Drboux n j Lebesguen summien muodostmiin joukkoihin. Jokinen Drboux n summn liittyvä välin [, b] jko P osväleihin (tässä puolivoimiin väleihin [x 0, x 1 ),..., [x n 2, x n 1 ) j suljettuun väliin [x n 1, x n ]; ks. koht 1.1) on välin [, b] mitllinen jko. Osvälijolle P on lisäksi s P = σ P j Σ P = S P. Drboux n yläsummi on siis vähemmän kuin Lebesguen yläsummi, joten f(x) dm(x) = inf Σ D inf S P = f(x) dx. D D P P [,b] Vstvsti Drboux n lsummi on vähemmän kuin Lebesguen lsummi, joten f(x) dx = sup s P sup σ D = f(x) dm(x). P P D D Siis f(x) dx [,b] f(x) dm(x) [,b] [,b] f(x) dm(x) f(x) dx. Jos nyt f on Riemnn-integroituv, on f(x) dx = f(x) dx, joten yllä olevn epäyhtälöketjun nojll myös f(x) dm(x) = f(x) dm(x). Edellä olleist trksteluist seur lisäksi, että f on mitllinen. Siis Riemnn-integroituv funktio f [,b] [,b] on Lebesgue-interoituv j f(x) dx = f(x) dm(x). [,b] 1.6. Hyödyt j hitt. Lebesguen mitt j integrli ovt hiemn mutkikkmpi trkkn määriteltäväksi osin siksi, että ne trvitsevt yleisempien joukkojen mitn käsitettä kuin vin välin pituutt, suorkiteen pint-l jne. Hyötyjä on kuitenkin huomttv pljon: (i) Anlyysissä trpeellisiss rjnkäynneissä mitllisuus säilyy. 10
(ii) Rjnkäynnin j integroinnin järjestyksen vihtminen on joustvmp. (iii) Moniulotteisten integrlien lskemiseen käytettävä Fubinin luseen Lebesgue-integrliversio on pljon tehokkmpi. Ks. [11, luku 8] (iv) Funktioiden f, g : [, b] R toisistn erovuutt voidn mitt vikk niiden kuvjien väliin jäävän pint-ln f g 1 := f(x) g(x) dm(x) [,b] vull. Vstv onnistuu Riemnnin integrlillkin, mutt Lebesguen integrlin vull määritellyn normin f f 1 suhteen jokinen Cychyn jono suppenee, Riemnnin integrlin suhteen ei. Ks. [11, luku 10] (v) Funktioille f, g : [, b] R voidn määritellä sisätulo (f g) := f(x) g(x) dx, jok on erittäin tärkeä Fourier-srjojen käsittelemisessä (srjt ovt muoto 0 2 + ( k cos kx + b k sin kx ), = 0, b = 2π). Riemnnin integrli on jälleen puutteellinen työväline. 1.7. Integrlej moneen lähtöön. Lebesguen lkuperäistä, ulko- j sisämittn perustuv esitystp noudttvt Lebesguen [12] j [13] lisäksi [4] (käsittely kursorist), [17] (käsittely trkk) j uudempn [10] (myös n-ulotteinen tpus). Frigyes Riesziltä [18] on peräisin menetelmä, joss lähdetään liikkeelle tutuist porrsfunktioist, j lähes välittömästi päästään Lebesguen integrliin. Rieszin om oppikirjesitys löytyy kirjst [19]. Uudempi esityksiä ovt [1], [21] (*****) j [23]. Vstv esitystp hiemn yleisemmältä knnlt ktsottun (ns. Dniellin integrli 10 ) löytyy kirjst [20]. Mitt- j integrliteorin kurssin [11] kltinen, Constntin Crthéodoryltä [5] peräisin olev ulkomittn j yleiseen mittn perustuv esitys löytyy esimerkiksi kirjoist [5], [3] j [9] ( Hence we hve presented very generl nd complete versions of number of importnt theorems nd constructions. ). Niin snottuun Rieszin esitysluseeseen perustuv esitystp liitettään joskus Nicols Bourbkiin; vrt. [7] ti [9]. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle nnetn Cuchylle 11, mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchyn todistus kuitenkin perustui funktion tsiseen jtkuvuuteen. Tämän tärkeän tuloksen todisti Heine 12 vuonn 1872. Drboux n 13 esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle vuodelt 1875. Integrlikäsitteen histori Cuchyn joist Lebesguen integrlin lkuvuosiin käsitellään kirjss [8]. Riemnnin integrli yksinkertisempi käsite liittyy nimenomn tsisuuteeen (peräisin ehkä Georg Aumnnilt [2]). Säännelty funktio 14 on tsisesti suppenevn porrsfunktiojonon rjfunktio. Yhtäpitävästi f : [, b] R on säännelty, jos j vin jos funktioll f on enintään numeroituvsti ääretön määrä epäjtkuvuuskohti, jokisess pisteessä x (, b] funktioll f on vsemmnpuoleinen rj-rvo j jokisess pisteessä x [, b) funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo. Tätä Cuchyn integrli käytetään kirjss [6]; vrt. [16]. 10 Percy J. Dniell (1889 1946): A generl form of integrl (Ann. of Mth, 19, 279), 1918. 11 Augustin-Louis Cuchy (1789 1857); integrli 1823. 12 (Heinrich) Edurd Heine (1821 1881). 13 Jen-Gston Drboux (1842 1917). 14 Rnsk. fonction réglée, engl. regulted function. Jen (Alexndre Eugène) Dieudonné (1906 1992) kutsuu säännellyn funktion integrli Cuchyn integrliksi. 11
Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mthemticl nlysis, toinen litos, viides pinos, Addison Wesley, 1981. [2] Georg Aumnn, Reelle Funktionen, Die Grundlehren der mthemtischen Wissenschften in Einzeldrstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bnd LXVIII, Springer-Verlg, 1954. [3] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner j Brin S. Thomson, Rel nlysis, second edition, ClssiclRelAnlysis.com, 2008. [4] J. C. Burkill, The Lebesgue integrl, Cmbridge trcts in mthemtics nd physics No. 40, First pperbck edition, Cmbridge University Press, 2004; lunperin julkistu 1951. [5] Constntin Crthéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, kolms (korjttu) litos, Chelse Publishing, 1968; lunperin Leipzig, 1918. [6] Jen Dieudonné, Foundtions of modern nlysis, kolms (ljennettu j korjttu) pinos, Acdemic Press, 1969. [7] Jen Dieudonné, Tretise on nlysis II, Acdemic Press, 1970 (lunperin Elements d nlyse. Tome 2, Guthier-Villrs, 1969). [8] Thoms Hwkins, Lebesgue s theory of integrtion. Its origin nd development, toinen litos, AMS Chelse Publishing, 1975 (uudelleen pinettu 2002). [9] Edwin Hewitt j Krl Stromberg, Rel nd bstrct nlysis. A modern tretment of the theory of functions of rel vrible, kolms pinos, Grdute Texts in Mthemtics 25, Springer-Verlg, 1975. [10] Frnk Jones, Lebesgue integrtion on Eucliden spces, uudistettu litos, Jones nd Brtett Publishers, 2001. [11] Tero Kilpeläinen, Mitt- j integrliteori 2003 04, pdf-dokumentti osoitteess http://www.mth.jyu.fi/ terok/opetus/mitt/ (luettu kesäkuuss 2007). [12] Henri Lebesgue, Intégrle, longueur, ire, Annli di Mtemtic, (3) 7 (1902), 231 359. [13] Henri Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, Guthier- Villrs, 1904. [14] Henri Lebesgue, Sur l recherche des fonctions primitives pr l intégrtion, R. Acc. Lincei Rend., (5), 16 1 (1907), 92 100. [15] Olli Lehto, Differentili- j integrlilskent III, Limes ry, Helsinki, 1971. [16] J. Lelong-Ferrnd, J. M. Arnudiès, Cours de mthémtiques. Tome 2. Anlyse, 4 e édition, Dunod, 1977. [17] I. P. Ntnson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überrbeitete Auflge, Akdemie-Verlg, 1961; Theory of functions of rel vrible, Volume I, New York, Rederick Ungr, 1955; Volume II, 1960; lunperin venäjänkielisenä 1949 (1. litos) j 1956 (2. litos). [18] Frigyes Riesz, Sur l intégrle de Lebesgue, Act Mth. 42:3, (1919), 191 205. [19] Frigyes Riesz j Bél Sz.-Ngy, Functionl nlysis, Dover Publictions, Inc, 1990; lunperin Leçons d nlyse fonctionelle, Acdémii Kidó, 1952; 2 e ed. 1953; engl. käännös Functionl nlysis, Frederick Ungr Publishing Co., 1955. [20] G. E. Shilov j B. L. Gurevich, Integrl, mesure & derivtive: A unified pproch, Dover Publictions, Inc, 1977; lunperin Prentice-Hll, Inc., 1966. [21] Krl Stromberg, An introduction to clssicl rel nlysis, Wdsworth Interntionl Mthemtics Series, 1981. [22] Vito Volterr, Sui principii del clcolo integrle, Giorn. Mt., 19 (1881), 333 372. (Volterrn kootut työt Opere mtemtichi: memorie e note 1 5 löytyvät JY/MAn kirjstost.) [23] Aln J. Weir, Lebesgue integrtion nd mesure, London, 1973. 12