Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että seuraava sarja hajaantuu ( ) = + +... 3. Osoita, että geometrinen sarja aq = a + aq + aq 2 +... =0 suppenee jos ja vain jos q <. Määritä myös sarjan summa. 4. Lase sarjan summa. ( ) + 4 5. Suppeneeo sarja ( + 2 ) 6. Osoita Cauchyn riteerin avulla, että sarja 7. Osoita, että jos 2 suppenee. a on suppeneva positiiviterminen sarja ja m = inf{m R n a M aiilla n Z + } niin m on sarjan summa. Kävisiö minimi suurimman ylärajan paialle? 8. Osoita, että sarja suppenee jos ja vain jos s >. s 9. Todista vertailuperiaate. 0. Tuti suppeneovato sarjat a, missä
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24. a = 2. a = ( ) e 3. a = (+) 2 4. a = 2 2 5. a = ln 6. a = ( ) + ( a), a > 7. a = 2 + 8. a = + 9. a = 3! + ln 0. a = ( ). a = + 2. a = sin( ) 2. Oloon a sarja, jossa a 2 = 3 ja a 2 = 2 3 Tarastelee sarjaa molemmilla suhdetesteillä. 2. Oloon a sarja, jossa a 2 = 2 2 ja a 2 = 3 2 Tarastelee sarjaa molemmilla juuritesteillä. 3. Missä seuraavassa päättelyssä on virhe? Kosa a = > 0 ja a + a = + = + < aiilla Z +, niin suhdetestin nojalla harmoninen sarja suppenee. 2
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 3 / 24 4. Tuti suppenevato sarjat itseisesti. ( ) 3 2. 3. 4 +7 ( ) + cos 3 2 + 2 5. Ehdollisesti suppeneva sarja voidaan järjestellä suppenemaan mitä tahansa reaaliluua ohti. Voidaano ehdollisesti suppenevan sarjan termit järjestellä uudelleen siten, että uudelleenjärjestetty sarja suppenee itseisesti? 6. Tiedetään, että ln 2 = + +.... Miten voidaan lasea luvulle ln 2 2 3 4 liiarvo, jona virhe on pienempi uin 0,0. 7. Osoita, että alternoiva sarja 2 + 2 2 3 + 3 2... n + n 2... hajaantuu. Misi Leibnitzin lausetta ei voi äyttää tämän sarjan suppenemistarasteluun, vaia lim a = 0? 8. Lase sarjojen ( 2 3 ) ja ( 3 (+) 3 ) Cauchyn tulosarjan viides termi. Suppeneeo Cauchyn tulosarja ja jos suppenee, niin miä sen summa on? 9. Lase summa x, un x <. Lase sitten sarjaehitelmä funtiolle ( x) 2. =0 20. Määritellään ahden itseisesti suppenevan sarjan a ja b tulosarjan c :s termi c = a b. Antaao tämä määrittely saman tulosarjan uin Cauchyn tulosarja? Missä mielessä tämä tulosarjan määrittely on huonompi uin Cauchyn tulosarjan määrittely? 2. Ovato seuraavat väittämät totta?. Jos sarjat a ja b hajaantuvat, niin niiden summasarja hajaantuu. n 2. Jos lim a = L <, niin sarja suppenee. n (a + b ) 3
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 4 / 24 3. Jos a c > 0 aiilla Z +, niin sarja 4. Jos sarja 5. Jos sarja 6. Jos sarja a hajaantuu. a suppenee ja a > 0, niin sarja a suppenee ja a > 0, niin sarja a 2 suppenee. a suppenee. a suppenee, a > 0 ja jono (b ) on rajoitettu, niin sarja (a b ) suppenee itseisesti. 7. Jos sarja a hajaantuu ja a > 0, niin sarja 8. Jos sarja a suppenee ja a > 0, niin sarja a a suppenee. hajaantuu. 4
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 5 / 24 Vaativampia tehtäviä 22. Osoita, että sarja (a a + ) suppenee jos ja vain jos jono (a ) suppenee. Miä on telesooppisarjan summa? 23. Osoita indutiolla, että s 2 n = 2 n + n 2 Miten tämän avulla voidaan päätellä, että harmoninen sarja hajaantuu? 24. Osoita, että jos b on suppenevan positiivitermisen sarjan a uudelleenjärjestely, niin se suppenee. 25. Osoita edellisen tehtävän avulla, että suppenevan positiivitermisen sarjan termien uudelleenjärjesteleminen ei vaiuta sarjan summaan. 26. Todista integraalitesti. 27. Todista edellisen tehtävän avulla, että Riemannin zeta-funtion ζ :], [ R ζ(p) = arvoille saadaan arvio p 28. Voidaano sarja p ζ(p) + p a, missä a 2 = ja a 2 = 2 saada termien järjestelemisellä suppenemaan ohti mielivaltaista reaaliluua? 29. Lase arvio sille, että uina monta termiä täytyy harmonisesta sarjasta ottaa, että osasumman arvo on suurempi uin 0. 30. Todista, että ahden itseisesti suppenevan sarjan tulosarja suppenee itseisesti. 5
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 6 / 24 3. Osoita, että osa e = =0!, niin e2 = =0 2. (Muista, että 0! = )! 32. Eulerin todistus aluluujen äärettömälle luumäärälle. Tee vastaoletus, että jouo {p, p 2,..., p n } sisältäisi aii aluluvut. Lase summat s i = p =0 i missä i =, 2,..., n. Lase sen jäleen tulo n s i = s s 2 s n i= 33. Tiedetään, että alternoivan harmonisen sarjan ( ) + summa on ln 2. Lase sen termien uudelleenjärjestelyn summa. 2 4 + 3 6 8 + 5 0 2 +... + 2 2 +... 6
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 7 / 24 Vihjeitä perustehtäviin Tehtävä. Osoita ensin, että saadulle telesooppisarjalle. =. Lase sitten n:s osasumma (+) + Tehtävä 2. Tarastele n:ttä osasumma parillisilla ja parittomilla n:n arvoilla. Tehtävä 3. Kerro n:s osasumma s n = a + aq +... + aq n q:lla ja vähennä ne puolittain. Tehtävä 4. Käytä edellistä tehtävää. Tehtävä 5. Muista, että e = lim ( + ). Tehtävä 6. Todista arvio 2 ja äytä sitä. Tehtävä 7. Oletusen perusteella sarjalla on summa s. Osoita, että väitteet m > s ja m < s ovat epätosia. Tehtävä 8. Käytä integraalitestiä, un p > ja p =. Arvioi tapausia p < majorantti- ja minoranttiperiaatteella. a Tehtävä 9. Oletusten perusteella raja-arvo lim b muodosta sopivat majorantti- ja minoranttisarjat. = c. Valitse ɛ sopivasti ja Tehtävä 0. 2. Käytä Leibnizin lausetta. 3. Koeile juuritestillä. 4. Käytä suhdetestiä.. Koeile minoranttisarjana harmonista sarjaa. 5. Todista osittaisintegroinnin avulla, että ln x x dx = 2 (ln x)2. 6. Leibnizin lause ja arvio lim a =. 7. Arvioi majoranttiperiaatteella. 8. Muista, että neliöjuuri on aidosti asvava funtio ja äytä )- ohtaa. 9. Käytä suhdetestiä. 0. Käytä Leibnizin lausetta.. Lavenna termiä, niin että pääset eroon neliöjuurista osoittajassa. 2. Todista ja äytä arviota x > sin x, un x > 0. 7
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 8 / 24 Tehtävä. Tarastele termien suhteen raja-arvon olemassaoloa. Tehtävä 2. Tarastele juuren raja-arvon olemassaoloa. Tehtävä 3. Mieti täyttyvätö aii suhdetestin oletuset. Tehtävä 4.. Arvioi majoranttiperiaatteen avulla. 2. Tuti termien raja-arvoa. 3. Muista, että cos x. Tehtävä 5. Tee vastaoletus tai äytä teorian lausetta: sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarja suppenevat. Tehtävä 6. Käytä Leibnizin lauseen seurausta s s n < a n+. Tehtävä 7. Tuti voio sarja supeta itseisesti tai ehdollisesti. Tätä varten tarastele positiivisten termien sarjaa ja negatiivisten termien sarjaa. Tehtävä 8. Muista, että Cauchyn tulosarjan :s termi on c = a b + a 2 b +... + a b. Suppenemistarastelua varten lase sarjojen summat. Tehtävä 9. Sarja on geometrinen sarja, joten sen summan voi lasea tehtävä 3 menetelmällä. Lase sitten Cauchyn tulosarja, un sarja errotaan itsellään. Tehtävä 20. Lase tulosarjojen arvot. Tehtävä 2.. Ota mielivaltainen hajaantuva sarja ja mieti että ono sen ja mielivaltaisen hajaantuvan sarjan summa aina hajaantuva sarja. 2. Mieti, mitä väite oiein sanoo ja esi vastaesimeri. 3. Tuti sarjan termien jonon raja-arvoa. 4. Kosa sarja suppenee, niin on olemassa sellainen termi, josta lähtien aii termit ovat luua pienempiä. Sovella tähän majoranttiperiaatetta. 5. Mieti tilannetta harmonisen sarjan annalta. 6. Huomaa, että sarja a suppenee itseisesti. 7. Kesi vastaesimeri. 8. Mieti miten uuden sarjan termien jonon raja-arvo äyttäytyy. 8
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 9 / 24 Vihjeitä vaativampiin tehtäviin Tehtävä 22. Johda aava sarjan n:lle osasummalle. n Tehtävä 23. Käytä arviota a > (n n 0 + ) a =n 0 }{{} i, un a }{{} > a i termien luumäärä pienin termi aiilla = n 0, n 0 +,..., n. Tehtävä 24. Mieti miten uudelleenjärjestellyn sarjan osasummaa voidaan rajoittaa ylhäältä aluperäisen sarjan osasummilla. Tehtävä 25. Osoita, että molempien sarjojen raja-arvon täytyy olla sama luu äyttämällä edellistä tehtävää ja tehtävää 7. Tehtävä 26. Tulitse integraali ja sarjan termit pinta-aloisi ja tee arvio tällä tavoin osasummien jonon arvoja. Tehtävä 27. Käytä edellisen tehtävän johdossa äytettyä arviota n a ja lase epäoleellinen integraali. n+ n+ f(x) dx Tehtävä 28. Lase edellisen tehtävän avulla arvio sarjan positiivisten termien sarjan summalle. Tuti sitten aluperäisen sarjan uudelleenjärjestelyn osasumman äyttäytymistä. Voio se saada mielivaltaisia negatiivisia arvoja? Tehtävä 29. Käytä integraalitestissä johdettua arviota. Tehtävä 30. Huomaa, että jos sarja a suppenee itseisesti, niin myös sarja a suppenee itseisesti. =2 Tehtävä 3. Muista Newtonin binomiaava (a + b) n = n a =0 ( n ) a n b. Tehtävä 32. Muista, että joainen luonnollinen luu n > voidaan esittää ysiäsitteisesti aluluujen tulona. Muodosta siten termeistä harmoninen sarja. Tehtävä 33. Tuti mielivaltaista osasumman arvoa suluttamalla summa uudelleen. Pyri täten muodostamaan alternoivan harmonisen sarjan osasumma errottuna vaiolla 2. 9
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 0 / 24 Rataisut perustehtäviin Tehtävä. Kosa niin s n = n ( + ) = + ( + ) = + ( + ) ( + ) = + ( + ) = n Täten lim n s n = 0 =. ( + ) = ( 2 )+( 2 3 )+...+( n n + ) = n + Tehtävä 2. Jos n on parillinen, niin s n = n ( ) = 0. Jos taasen n pariton, niin s n = hajaantuu, joten sarja ei suppene. n ( ) =. Täten osajonojen summa (s n ) Tehtävä 3. Selvästi sarja hajaantuu, un q = tai q =, osa lim n aq n 0. Oletetaan siis, että q ±. Kerrotaan geometrisen sarjan n:s osasumma s n = a + aq + aq 2 +... + aq n suhteella q ja saadaan qs n = aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n+ Vähennetään nämä toisistaan ( q)s n = a aq n+ Kun q, niin ( q) 0 ja sillä voidaan jaaa. s n = a qn+ q Täten sarjan osasummien jonon suppeneminen riippuu täysin termin q n+ suppenemisesta. Kun q <, niin q n+ q n+ ±. Siis geometrinen sarja suppenee ohti summaa 0, un n. Kun q >, niin 0 a, un q <. q
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Tehtävä 4. Kyseessä on geometrinen sarja, osa ( ) + 4 = ( 4 ). ja suhdeluu q =. Edellisen tehtävän nojalla sarja suppenee ja 4 ( ) + = ( 4 4 ) = 4 ( ) = 5. 4 Tehtävä 5. Nyt sarjan :s termi a = ( + 2 ) = ( + )2 2 2 = (( + 2 )2 ) 2 e 2 0 un. Siis sarja hajaantuu. Vaihtoehtoisesti voidaan vain huomioida, että a aiilla Z +, joten lim a 0. Tehtävä 6. Kun >, niin Täten un n, p > s n+p s n = 0 < < 2 ( ) = + ( ) n+p 2 =n+ n+p < ( ) =n+ = ( ) ( ) = = ( n n + ) + ( n + n + 2 ) +... + ( n + p n + p ) = n n + p < n 0 un n. Siis Cauchyn riteeri täyttyy ja sarja suppenee. Tehtävä 7. Kosa sarja suppeni, niin meritään, että s n s. Sarja oli positiiviterminen, joten osasummien jono (s n ) on aidosti asvava eli s n < s n+ < s aiilla n Z +. Täten osasummien jonon ylärajojen jouo on alhaalta rajoitettu ja m on olemassa. Väite m > s on selvästi epätosi, osa s on ysi osasummien jonon yläraja. Jos m < s, niin raja-arvon määritelmän muaan on olemassa n 0 Z + siten, että m < s n0, miä on ristiriidassa m:n määritelmän anssa. Täten m = s. Myös minimi äy suurimman alarajan tilalle, sillä edellisen perusteella s M, n missä M {M R a M aiilla n Z + }.
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24 Tehtävä 8. Kun p niin funtiot f p (x) = x p täyttävät integraalitestin oletuset (jatuva, vähenevä, positiivinen, un x ) ja f() = p, joten integraalitestiä voidaan äyttään. Kun p >, niin Täten sarjat c lim dx = lim c xp c Kun p =, niin p suppenevat, un p >. c/ c lim c x ( p)x = 0 p p = p dx = lim c c/ ln x Nyt ln c, un c, joten harmoninen sarja p < ja >, niin < p (p < ) hajaantuvat. hajaantuu. Nyt jos, joten minoranttiperiaatteen nojalla sarjat p Tehtävä 9. Kosa an b n c > 0, niin raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa n 0 Z + siten, että aiilla n > n 0 a n c b n < c 2 Täten ja osa b n > 0, niin un n > n 0. Täten sarja 3c 2 c 2 < a n < 3c b n 2 c 2 b n < a n < 3c 2 b n b on sarjan a majorantti ja sarja c 2 = 0 = 0 = 0 b on sarjan a minorantti (c oli vaio). Nyt majorantti- ja minoranttiperiaatetta = 0 soveltamalla saadaan väite. Tehtävä 0.. Kosa, un, niin, niin minoranttiperiaatteen nojalla sarja hajaantuu. 2
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 3 / 24 2. Leibnizin lauseen ehdot täyttyvät ja lim e = 0, joten sarja suppenee 3. Nyt (+) = + = + 0 <, joten juuritestin nojalla sarja 2 2 2 suppenee. 4. Kosa a + a nojalla sarja suppenee. = (+)2 2 2 + 2 = 2 +2+ 2 2 = 2 + + 2 2 5. Osittaisintegoinnilla saadaan, että ln x a ln x x x 0 <, niin suhdetestin dx = 2 (ln x)2 Siis dx = 2 ((ln a)2 (ln) 2 ) = 2 (ln a)2 un a. Muutin integraalitestin oletuset pätevät, joten sen nojalla sarja hajaantuu. ln 6. Kosa a 0, un ja muutin niin Leibnizin lauseen ehdot täyttyvät (totea tarasti), niin sarja suppenee. 7. Kun > 0, niin voidaan arvioida, että majoranttiperiaatteen nojalla. 8. Kosa neliöjuuri on aidosti asvava funtio, niin arvio 2 + < 2. Täten sarja suppenee + > = on voimassa. Ensimmäisessä ohdassa todistettiin minoranttisarjan hajaantuminen, joten tarasteltavain sarja hajaantuu. 9. Nyt (+)3! (+)! 3 = (+)2 3 nojalla sarja suppenee. 0. Kosa ln = 2 +2+ 3 = + 2 2 + 3 0 <, niin suhdetestin 0, un ja muutin Leibnizin lauseen oletuset täyttyvät, un, joten sarjaa suppenee.. Nyt 0 < + = + ( ++ ) majoranttiperiaatteen nojalla. < (2 ) =, joten sarja suppenee 2 3 2 2. Meritään f(x) = x sin x. Siten f (x) = cos x 0 eli f asvava ja erityisesti aidosti asvava, un x n2π, n Z. Toisinsanoen x > sin x, un x > 0. Täten myös 2 > sin( 2 ) > 0, un Z + joten sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Tehtävä. Jos = 2p, niin a 2p a 2p = 2 3 p 3 p = 3p 2 3 p = 2 3
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 4 / 24 Jos = 2p, niin a 2p a 2p 2 = 3 p = 2 3p = 2 3 2 3 p 3 p 2 3 <, joten Suhdetesti nojalla sarja suppenee. Kuitenaan raja- Täten a + a a arvoa lim + a misesta. Tehtävä 2. Jos = 2p, niin ei ole olemassa, joten Suhdetesti 2 ei anna tietoa sarjan suppene- 2p 3 = 2p 2p 3 = 2p 3 Jos = 2p, niin 2p 2 = 2p 2p 2 = 2p 2 Täten a 2 <, joten Juuritesti nojalla sarja suppenee. Kuitenin rajaarvoa lim a ei ole olemassa, joten Juuritesti 2 ei anna tietoa sarjan suppenemisesta. Tehtävä 3. Nyt a + lim a joten suhdetestiä ei voi äyttää. = lim + = lim + = Tehtävä 4.. Kosa 3 4 +7 3 4 ja sarja 3 4 suppenee geometrisena sarjana, niin aluperäinen sarja suppenee itseisesti majoranttiperiaatteen nojalla. 2. Nyt lim a = lim =, joten termin raja-arvo ei suppene ohti 2 2 nollaa. Täten sarja ei voi supeta lainaan. cos 3 3. Voidaan arvioida, että 2 + <. Täten sarja suppenee majo- 2 + 2 ranttiperiaatteen nojalla itseisesti. Tehtävä 5. Ensimmäinen tapa. Oletetaan, että a suppenee ehdollisesti. Oloon θ : Z + Z + bijetio. Miäli uudelleenjärjestely 4 a θ() suppenee
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 5 / 24 itseisesti, niin sen aii uudelleenjärjestelyt suppenevat myös itseisesti. Kosa funtio θ on bijetio, niin sillä on äänteisfuntio θ : Z + Z +. Siten sarja a θ θ() = a on sarjan a θ() uudelleenjärjestely ja siten se suppenee itseisesti, miä on ristiriita oletusen anssa. Toinen tapa. Jos sarja a suppenee ehdollisesti, niin sarjat a ja a >0 a a <0 hajaantuvat. Täten sen uudelleenjärjestelyt eivät voi supeta itseisesti, osa sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarjat suppenevat. Tehtävä 6. Leibnizin lauseen seurausena saatiin arvio s s n < a n+. Rataistaan yhtälö Täten saadaan arvio 00 n + < 00 ( ) + jona epätaruus on pienempi uin 0,0. 00 < n + n > 99. = 2 + 3... 00 ln 2, Tehtävä 7. Sarjan negatiiviset termit muodostavat sarjan 2 3 3... = joa hajaantuu. Sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos positiivisten termien muodostama sarja ja negatiivisten termien sarja suppenevat. Täten aluperäinen sarja ei voi supeta itseisesti. Sarjan positiiviset termit muodostavat sarjan + 2 2 + 3 2 +... = joa suppenee. Täten aluperäinen sarja ei voi supeta ehdollisesti. Nimittäin, jos se suppenisi ehdollisesti, niin teorian perusteella sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarja hajaantuvat. Kosa sarja ei suppene itseisesti eiä ehdollisesti, niin sen täytyy hajaantua. 2 5
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 6 / 24 Leibnizin lausetta ei voi äyttää tämän sarjan suppenemistarasteluun, osa termien jono ei ole vähenevä. Tehtävä 8. Suoraan Cauchyn tulosarjan termien määritelmien muaan saadaan c = a b = 2 3 ( 3 ( + ) ) = 7 3 2 c 2 = a b 2 + a 2 b = 2 3 ( 2 3 (2 + ) ) + (2 3 3 )2 ( 3 ( + ) ) = 45 3 324 c 3 = a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b = 2 3 ( 3 3 (3 + ) ) + (2 3 3 )2 ( 2 3 (2 + ) ) + (2 3 3 )3 ( 3 ( + ) ) 3 = 37 2592 + 9 486 + 7 27 = 243 7776 Geometrisen sarjan summan aavasta saadaan ( 2 3 ) = 2. Telesooppisarjalle voidaan lasea tehtävän 22 menetelmällä, että ( 3 (+) 3 ) =. Kosa molemmissa sarjoissa on vain positiivisia termejä, niin ne suppeneminen on itseistä. Täten niiden Caucyn tulosarja suppenee (jopa itseisesti) ja sen summa on 2 = 2. Tehtävä 9. Suoraan tehtävän 3 menetelmällä saadaan lasettua, että x x =, un x <. Selvästi sarja suppenee itseisesti. Lasemalla Cauchyn tulosarja sarjan tulolle itsensä anssa saadaan, että ( x) = f 2 (x) =0 Suoraan Cauchyn tulosarjan termin määrittelyn nojalla =0 Siis ( x) 2 f (x) = x o x + x x + +... + x x 0 }{{} + pl = x + x +... + x }{{} + pl = ( + )x = ( + )x, un x <. =0 6
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 7 / 24 Tehtävä 20. Kosa sarjat suppenevat itseisesti, niin voidaan meritä a = a ja b = b. Täten teorian perusteella Cauchyn tulosarjan summa on ab. Nyt n c = a b + a 2 b +... + a n b = a b + a 2 b +... + a n b = (a + a 2 +... + a n )b ab un n. Täten sarjat ovat samat. Tämän uuden määrittelyn ongelma on se, että sitä ei voida laajentaa äsittämään hajaantuvia sarjoja. Jos sarja b hajaantuu, niin uuden tulosarjan termit eivät ole lasettavissa. Cauchyn tulosarjan mielivaltainen termi on aina lasettavissa, vaia sarja hajaantuisiin. Myös ertomisjärjestysellä on väliä. Esimerisi jos sarja b hajaantuu, niin ( b )( 0) = b 0 + b 2 0... = 0 mutta sarjan ( 0)( b ) termejä ei ole määritelty. a mielivaltainen hajaan- Tehtävä 2.. Väittämä ei ole totta. Oloon tuva sarja. Tällöin summasarja a + ( a ) = (a a ) = 0 suppenee, vaia onin ahden hajaantuvan sarjan summasarja. 2. Väite on valetta. Se sanoo, että osasummien itseisarvojen jonon suppenemisesta seuraisi sarjan suppeneminen. Vastaesimerisi äy sarja 2 + 2 2 +... 7
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 8 / 24 Tällöin osasumma s n supeta. = ± aiilla n Z +, mutta selvästi sarja ei voi 3. Väite on totta. Kosa a c > 0 aiilla Z +, niin lim a 0, miäli raja-arvo on edes olemassa. Täten sarja ei voi supeta. 4. Jos sarja a, missä a > 0 aiilla Z +, suppenee, niin lim a = 0. Siis on olemassa sellainen luu 0 Z +, että 0 < a < aina, un 0. Siis a 2 < a aiilla 0. Täten sarja = 0 a 2 < = 0 a suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Kosa äärellinen määrä sarjan alun termejä ei vaiuta suppenemiseen, niin täten myös sarja a 2 suppenee. Väite on siis totta. 5. Väite ei ole totta. Sarja 2 sarja, joa tunnetusti hajaantuu. suppenee, mutta sarja 2 on harmoninen 6. Kosa jono (b n ) on rajoitettu, niin on olemassa sellainen luu M > 0, että b < M aiilla Z +. Kosa sarja a suppenee ja sen aii termit ovat positiivisia, niin se suppenee itseisesti. Nyt sarja a b = a b < M a = M( a ) = M suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, osa sarja M( a ) suppenee. Väite on siis tosi. 7. Väite ei pidä paiaansa. Sarja + + +... hajaantuu, uten teee myös sarja + + +... 8. Kosa sarja a suppenee, niin lim a = 0. Täten a, un. Kosa raja-arvo ei ole nolla, niin sarja on siis tosi. 8 a a hajaantuu. Väite
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 9 / 24 Rataisut vaativampiin tehtäviin Tehtävä 22. Tarastellaan osasummaa n s n = (a a + ) = (a a 2 ) + (a 2 a 3 ) +... + (a n a n+ ) = a a n+. Jos a n a, niin s n a a. Jos s n s, niin a n a s. Tehtävä 23. Perusasel: s 2 = + 2 = 2. Indutio-oletus: s 2 n = 2n Indutio-väitteen todistus: s 2 n+ = 2 n+ Rittää siis osoittaa, että + n 2. 2n = 2 2 n =2 n + ja pienin termi on 2 2 n, joten Täten s 2 n + n 2 2 2 n =2 n + 2 2n + =2 n + + n 2 2n 2 + =2 n +. 2. Tässä summassa on aina 2 2n 2 n termiä (2 2n 2 n ) 2 2 = 2n n 2 2 = n 2, un n asvaa rajatta. Harmoninen sarjan osasummien jono on aidosti asvava ja äseisen todistusen muaan sen osasummien jonolla on rajatta asvava osajono (s 2 n). Täten harmoninen sarja hajaantuu. Tehtävä 24. Kosa a on positiiviterminen suppeneva sarja, niin sen summa s = a rajoittaa sen osasummien jonoa ylhäältä. Täten n a < s aiilla n Z +. Kosa b on uudelleenjärjestely, niin on olemassa bijetio θ : Z + Z + siten, että a θ() = b. Nyt oloon m n = max{θ() n}, joten {b, b 2,... b n } {a, a 2,..., a mn }. Täten n m n b a < s. 9
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 20 / 24 Siis osasummien jono n b on ylhäältä rajoitettu. Myös sarja b on positiiviterminen, joten se suppenee. Tehtävä 25. Käytetään edellisen tehtävän merintöjä ja lisäsi meritään a ja a = b = b. Määrittely b = b on järevä, osa edellisen tehtävän muaan sarja suppeni ja lisäsi n b < a. Tehtävän 7 muaan b a, osa suppenevan positiivitermisen sarjan summa oli sarjan osasummien jonon pienin yläraja. Mutta vastaavasti sarja a saadaan sarjasta b uudelleenjärjestelyn avulla, joten a b. Siis a = b. Tehtävä 26. Oletuset: a positiiviterminen sarja, f(x) on positiivinen, jatuva ja vähenevä funtio aiilla x 0 Z + ja f() = a aiilla 0. Oletetaan jatossa, että 0. Tulitaan sarjan termin arvo x-aselista lähteväsi pylvään pinta-alasi, jona oreus on a ja leveys. Tulinta on järevä, osa sarja oli positiiviterminen. Määrätty integraali voidaan tulita funtion f ja x-aselin väliin jääväsi pinta-alasi (funtio f oli jatuva, joten se on myös integroituva). Kosa f oli vähenevä saadaan arvio a = f() f( + ) = a +. Täten Summataan 0 :sta n:ään a 0 +... + a n 0 + a + 0 f(x) dx +... + n Jos epäolellinen integraali a + a 2 +... + a 0 + n+ = 0 + = 0 a n+ 0 f(x) dx a + n+ n f(x) dx f(x) dx a 0 + +... + a n+ n+ = 0 + 0 f(x) dx suppenee, niin osasummien jono s n+ = a on asvava ja ylhäältä rajoitettu, joten se suppenee. Kasvavuus seuraa termien positiivisuudesta. Huomaa, että alun termejä a +a 2 +... + a 0 on äärellinen määrä, joten ne eivät vaiuta suppenemiseen. 20 a
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24 Jos epäolellinen integraali f(x) dx hajaantuu, niin osasummien jono s n = a + 0 n a 2 +... + a 0 + a asvaa rajatta, joten sarjain hajaantuu. = 0 Tehtävä 27. Kun p >, niin Lisäsi sarja p dx = lim xp c c/ ( p)x = 0 p p = p suppenee. Siten integraalitestiä todistettaessa saatu arvio n n+ p x dx n+ p =2 p saadaan muotoon p x dx p =2 = p p, un n. Siten + Yhdistämällä tuloset saadaan väite x dx p p p ζ(p) + p Tehtävä 28. Edellisestä tehtävästä saadaan arvio 2 2. Oloon (s n ) aluperäisen sarjan mielivaltaisella bijetiolla θ : Z + Z + saadun uudelleenjärjestelyn n:s osasumma. Täten 2 s n aiilla n Z +, joten uudelleenjärjestely ei voi supeta ohti luua x < 2. Itseasiassa voidaan arvioida, että missä p = n 2 p 2 s n θ(2 ) }{{} positiiviset termit osasummassa s n n+, un n parillinen ja p =, un n pariton. Epäyhtälön vasem- 2 malle puolelle saadaan harmoninen sarja, un n, joten uudelleenjärjestely hajaantuu. 2
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 22 / 24 Tehtävä 29. Tehtävän 26 menettelyllä saadaan arvio n n+ dx = ln(n + ) ln = ln(n + ). x Nyt täten luu n saadaan rataistua epäyhtälöstä ln(n + ) 0 eli n e 0. Pienin luu n Z +, joa toteuttaa tämän ehdon on n 0 = 22026. Siis ainain näin monella termillä harmonisen sarjan osasumma saadaan suuremmasi uin luu 0. Tämä ei ole välttämättä pienin määrä termejä, mutta parempaan arvioon tarvittaisiin hienostuneempia menetelmiä. Tehtävä 30. Teoria-osiossa todistettiin, että jos b a suppenee itseisesti ja jos suppenee, niin niiden Cauchyn tulosarja suppenee. Jos nyt lisäsi sarja b suppenee itseisesti, niin sarjat ja niiden Cauchyn tulosarja c = a b +... + a }{{} b }{{} 0 0 Tehtävä 3. Kosa e = n=0 a ja b suppenevat myös itseisesti c suppenee. Se suppenee myös itseisesti, osa = c. n! suppenee itseisesti, niin sen Cauchyn tulosarja itsensä anssa suppenee itseisesti. Tulosarjan e 2 = c n n:s termi n=0 c n = n! 0! + (n )!! + (n 2)! 2! +... + 0! n! = n! + (n )! + 2 (n 2)! +... + (n)! = n! + n n! + n(n ) 2 +... + ( n! n! n ( n ( n ( n 0) ) 2) n) = n! + n! + n! +... + Sijoittamalla a = ja b = Newtonin binomiaavaan (a + b) n = saadaan, että 2 n yhtälöön saadaan väite. n! n =0 ( n ) a n b = ( n 0) + ( n ) + ( n 2) +... + ( n n). Sijoittamalla tämä edelliseen 22
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 23 / 24 Tehtävä 32. Kosa 2 on pienin aluluu, niin sarja s i = suppenee geometrisenä sarjana ( p i =0 p i < ) ohti summaa. Kosa summa on äärellinen ja p i aluluuja oli oletusen perusteella äärellinen määrä, niin tulo n s i = i= n p i= =0 i = n i= p i = n i= p i p i on olemassa äärellisenä. Algebrassa on todistettu tulos, että joaisella luonnollisella luvulla > on ysiäsitteinen esitys aluluujen tulona. Sisipä edellinen yhtälö summaa aiien positiivisten oonaisluujen äänteisluvut. Kosa tarasteltava sarja suppeneni ja siinä on vain positiivisiä termejä, niin sen täytyy supeta itseisesti. Täten sen termien järjestystä voidaan vapaasti vaihtaa. Uudelleenjärjestelyllä harmoniselle sarjalle saadaan esitys n = p i= =0 i = n i= p i p i Täten harmoninen sarja suppenisi, miä johtaain ristiriitaan. Täten oletus on väärä ja aluluuja on ääretön määrä. Tehtävä 33. Oloon s n tarasteltavan sarjan n:s osasumma ja oloon Z + suurin sellainen, että 3 n. Tällöin n = 3 + r, missä r {0,, 2}. Osasummaa s n voidaan siis approsimoida osasummalla s 3. Siis s n = s 3 r i= 3 + i. Nyt s 3 = 2 4 + 3 6 8 + 5 0 2 +... + 2 2 = ( 2 ) 4 + ( 3 6 ) 8 + ( 5 0 ) 2 +... + ( 2 ) 2 = 2 4 + 6 8 + 0 2 +... + 2 2 = 2 ( 2 + 3 4 + 5 6 +... + ). 23
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 24 / 24 Siis s 3 ( ( ) + ) = ln 2, un. 2 2 Jos r =, niin s n = s 3 ln 2 0, un. Jos r = 2, niin 3+ 2 s n = s 3 ln 2 0, un. 3+ 3+2 2 Täten tämä alternoivan harmonisen sarjan uudelleenjärjestely suppenee ohti luua ln 2. 2 24