Sarjat ja integraalit

Transkriptio

1 Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos

2 Eteneminen pvm luku v , 2.2 v , 2.4 v , 3.1 v v 15 4 v v v v Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

3 Viime viikon laskuharjoituksissa (Harjoitus 2, tehtävä 3) laskareissa ja myöskin netistä löytyvässä mallivastauksessa näkyy oikeana ratkauksena x k = 1/ log k. On totta, että Leibnizin nojalla alternoiva summa suppenee tällä ratkaisulla, mutta en ainakaan itse näe selvää perustelua sille, että raja-arvo k:n lähestyessä ääretöntä yhtälölle (k s ) (1/ log k) lähenisi ääretöntä. Mielestäni valitsemalla k:n potenssin tarpeeksi pieneksi, esim s = > 0, ei tulon ensimmäinen termi ainakaan selvästi lähene ääretöntä nopeampaa kuin termi y = log k. Täten väittäisin, että tarpeeksi pienillä s:n arvoilla lim(k s ) (1/ log k) = 0, kun k. Pystytkö todistamaan väitteeni vääräksi ja mallivastauksen oikeaksi? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

4 Viime viikon laskuharjoituksissa (Harjoitus 2, tehtävä 3) laskareissa ja myöskin netistä löytyvässä mallivastauksessa näkyy oikeana ratkauksena x k = 1/ log k. On totta, että Leibnizin nojalla alternoiva summa suppenee tällä ratkaisulla, mutta en ainakaan itse näe selvää perustelua sille, että raja-arvo k:n lähestyessä ääretöntä yhtälölle (k s ) (1/ log k) lähenisi ääretöntä. Mielestäni valitsemalla k:n potenssin tarpeeksi pieneksi, esim s = > 0, ei tulon ensimmäinen termi ainakaan selvästi lähene ääretöntä nopeampaa kuin termi y = log k. Täten väittäisin, että tarpeeksi pienillä s:n arvoilla lim(k s ) (1/ log k) = 0, kun k. Pystytkö todistamaan väitteeni vääräksi ja mallivastauksen oikeaksi? L Hopital n mukaan lim k k s log k = lim sk s 1 k 1/k = lim k sks = Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

5 Funktiokäsite 1. Lemma Tarkoittaako tämä käytännössä, että mitä tiheämpi jako, sitä pienempi yläsumma ja sitä suurempi alasumma? kyllä 2. Tarkoittaako Riemann integraalin määritelmä, että on olemassa sellainen jako, että ylä- ja alaintegraali ovat yhtäsuuret, ts. onko totta, että Riemann integroituva funktio ei ole välttämättä integroituva kaikilla määrittelyvälin jaoilla? Jos näin on, onko olemassa "idioottivarmaa"tapaa jakaa määrittelyväli niin, että funktio saadaan osoitettua Riemann integroituvaksi? (Esim. väli [-a,b] jakopisteinä k/n, missä k= -an,...,bn??) 3. Esimerkki Esimerkin lopussa on arvio -1<=alasumma<=alaintegraali<=yläintegraali<=yläsumma=- 1+3*epsilon Miten tästä seuraa, että alaintegraali=yläintegraali=-1? Ainoa luku, joka toteuttaa epäyhtälön 1 x 1 + ɛ kaikilla ɛ > 0 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

6 Jaot ja intergraalin määritelmä Määritelmä Mitä tarkoitetaan jaon D tihennyksellä D? Millaisessa tilanteessa D käytetään ja miten D määritetään? Mikäli Don äärellinen, voiko D olla ääretön? Huomautus Mikäli ala- ja yläsumma ovat yhtäsuuret, niin mitä se kertoo funktiosta itsestään? S D (f ) s D (f ) = n k=1 [ ] x k x k 1 sup f (x) inf f (x) x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] joten sup x [xk 1,x k ] f (x) inf x [xk 1,x k ] f (x) = 0, joten funktio on paloittain vakio. Voisiko käydä jonkun esimerkin riemannin ehdosta? ks. L3.0.27, ; jos ylä/alasumman voi laskea, ei tarvitse Riemannin ehtoa; vrt. myös Cauchyn ehto = 0 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

7 Opiskelujärjestelyt... eikä esim. ylä/alasummatkaan avaudu luentomonisteen pohjalta, niin eipä se Riemann siitä sen paremmin. Jos mahdollista, niin voisiko ottaa vielä esimerkin ke luennolla tästä? Esimerkki mistä? Laajempi materiaali: Harjulehto, Klén, Koskenoja, Analyysi Kuulin, että viime vuonna oli ollut määrätyissä ryhmissä laskemista ja se on varmasti hyvä juttu. Miksi siitä luovuttiin? Viime vuonna erillainen suorittamiskäytäntö. Työskentelyryhmiä voisi muodostaa halukkaista tauon aikana. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

8 Analyysin peruslaus I Laske F (x) ja F (x) kun F (x) := 1. f (x) := x 2. f (x) := ax 2 + bx + c 3. f (x) := e x2 x 0 f (x) dx, ja Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

9 Analyysin peruslaus I Laske F (x) ja F (x) kun F (x) := 1. f (x) := x 2. f (x) := ax 2 + bx + c 3. f (x) := e x2 x 0 f (x) dx, ja HUOM! Oletuksena vain, että f on jatkuva (pisteessä x). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6

10 Analyysin peruslaus LI Olette käyttäneet satoja/tuhansia kertoja! Mm. edellisessä tehtävässä... Jos F = f niin b a f (x) dx = F (b) F (a). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 1. huhtikuuta / 6