5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ), missä P = {x 0, x 1,, x n } on välin [, b] jko j ξ k [, +1 ], on rj-rvo, kun jko P tiennetään (trkemmin: kun P := mx 1 k n (+1 ) 0) 26 Kun f on Riemnn-integroituv, on Riemnnin summien rj-rvo f(x) dx Tämän mukisesti integrli f(x) dx voidn pproksimoid Riemnnin summill S P Yksinkertisuuden vuoksi on syytä tyytyä tsväliseen jkoon j välipis- teet ξ k knntt vlit järjestelmällisesti ; vlitn vikk ξ k = kikille k {1,, n} Kun väli [, b] jetn n ytä pitkään osväliin, on = +k, 0 k n, missä := (b )/n =, j päädytään summiin S n := f( ) = b ( f + (k 1) b ) n n Riemnnin summien käyttö integrlin pproksimointiin ei ole erityisen teokst; jtkuvsti derivoituvlle funktiolle f vire S n on suuruusluokk = 1 n (todistus: HT) 52 Puolisuunniksmenetelmä [4, 61b], [11, 133] Jtkuvn funktion integrlin pproksimointiin luonnollisen tuntuinen yritys on korvt funktion f kuvj puolisuunnikkill, ts kuvjn pisteitä (, f( )) j (, f( )) ydistävä kri korvtn jnll Merkitään yksinkertisuuden vuoksi y k := f( ) Välillä [, ] olkoon g(x) := y k 1 + y k y k 1 (x ) Funktion g integrli yli välin [, ] on g(x) dx = y k + y k 1 ( ) 2 Kun välin [, b] jko on tsvälinen, = + k, päädytään likirvoon g(x) dx = g(x) dx = 2 (y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + + 2 y n 1 + y n ) Vireen g(x) dx rvioimiseksi oletetn, että f on kdesti differentioituv, j että sen toinen derivtt on rjoitettu, f (x) C 2 kikille x [, b] 25 Viimeksi muutettu 1822012 26 Loogisesti korrektimp olisi määritellä välin [, b] jko osvälien I k := [, ] muodostmksi joukoksi P = {I 1, I 2, I n } Riemnnin summi trksteltess oike käsite olisi merkitty jko {(ξ k, I k ) ξ k I k, 1 k n} 54
Funktio g on välillä [, ] pisteiden (, y k 1 ) j (, y k ) määräämä Lgrngen interpoltiopolynomi Väliltä [, ] löytyy siis piste ξ k siten, että f(x) g(x) = f (ξ k ) 2! Siis välillä [, ] on joten (x ) (x ) f(x) g(x) C 2 2! (x ) ( x), g(x) dx C 2 2! = C 2 2! (x ) ( x) dx 1 0 t ( t) dt = C 2 2! 6 3, missä viimeinen integrli lsketn mukvimmin muuttujnvidoll x = t + Siis g(x) dx (f(x) g(x)) dx n C 2 12 3 = C 2 (b ) 2 12 53 Simpsonin menetelmä [4, 61b], [11, 133/HT 4], [12, 35] Simpsonin menetelmä prnt puolisuunniksmenetelmää niin, että nyt välillä [, ] funktion f kuvj korvtn prbelin krell Kuten edellä olkoon y k := f( ), 0 k n Asetetn := + 2 j ȳ k := f( ), 1 k n Pisteiden (, y k 1 ), (, y k ) j (, ȳ k ) määräämä Newtonin interpoltiopolynomi on g(x) = y k 1 + 1 (x ) + 2 (x ) (x ), missä 1 = y k y k 1 j 2 = ȳ k y k 1 y k y k 1 Kun välin [, b] jko on tsvälinen, = + k, on = = 2, joten 1 = y k y k 1 j 2 = 2 2(ȳ k y k 1 ) (y k y k 1 ) 2 Suorviivisell lskull sdn (tsväliselle jolle) g(x) dx = 6 (y k 1 + 4 ȳ k + y k ) Integrlille f(x) dx sdn siis likirvo = 2 y k 2ȳ k + y k 1 2 g(x) dx = 6 (y 0 + 2 y 1 + + 2 y n 1 + y n + 4 ȳ 1 + + 4 ȳ n ) 55
Vireen g(x) dx rvioimiseksi oletetn, että f on neljä kert differentioituv, j että sen neljäs derivtt on rjoitettu, f (4) (x) C 4 kikille x [, b] Olkoon välillä [, ] pisteisiin (, y k 1 ), (, y k ), (, ȳ k ) j (, f ( )) liittyvä Hermiten interpoltiopolynomi, ts on enintään stett neljä olev polynomi, jolle ( ) = y k 1, ( ) = y k, ( ) = ȳ k j ( ) = f ( ) Tällöin (x) = g(x) + c k (x )(x )(x ), x [, ], sopivlle vkion c k rvolle (jot jtkoss ei trvit) Suorll lskull (muuttujnvidoll x = (/2) t +, 1 t 1) todetn, että (x )(x )(x ) dx = 0 Tästä seur, että vire g(x) dx = Hermiten interpoltioss syntyvä vire on (x) dx f(x) (x) = f (4) (ξ) (x )(x )(x ) 2, 4! jollekin ξ [, ] Oletuksen nojll (j muuttujnvidoll x = (/2) t +, 1 t 1) sdn (x) dx C 4 (x )(x )(x ) 2 dx 4! = C 1 4 5 4! 32 (t + 1) (t 1) C 4 t2 dt = 4! 120 5 Siis 1 C 4 g(x) dx n 4! 120 5 = C 4 (b ) 4 2880 Huomutus 51 Vikk Simpsonin menetelmä on trkempi kuin puolisuunniksmenetelmä, käytetään puolisuunniksmenetelmää osn muit vrsin toimivi integrointimenetelmiä (esimerkiksi Rombergin menetelmä, [11, 137] ti [12, 38]) 56
6 Differentiliytälöiden rtkisemisest 61 Eulerin murtoviivmenetelmä [2, 113], [5, luku XI, 3] (Cucyn j Lipscitzin menetelmä), [13, luku 8, 31] Vikk Eulerin murtoviivmenetelmää ei eikon trkkuutens vuoksi juurikn käytetä, on sitä yvä trkstell luksi, kosk se on erittäin elppo ymmärtää geometrisesti Pyritään määräämään likirvot lkurvotetävän (61) y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 rtkisulle y = y(x) Jos derivtt y (x) korvtn erotusosmäärällä y(x+) y(x), ts käytetään tieto y y(x + ) y(x) (x), kun on pieni, niin trksteltv differentiliytälö korvutuu ytälöllä y(x + ) y(x) = f(x, y(x)) eli y(x + ) = y(x) + f(x, y(x)) Tätä ytälöä voidn käyttää likirvojen lskemiseen seurvsti: Alkuedon nojll y(x 0 ) = y 0 Siis y(x 0 + ) = y(x 0 ) + f(x 0, y(x 0 )) = y 0 + f(x 0, y 0 ) Asetetn x 1 := x 0 + j y 1 := y 0 + f(x 0, y 0 ) Tästä sdn y(x 1 +) = y(x 1 )+ f(x 1, y(x 1 )) = y 1 + f(x 1, y 1 ) Yleisesti, kun k = 0, 1,, n, sdn lkurvotetävän rtkisulle y = y(x) likirvot pisteisiin x = := x 0 + k kvll (62) y k+1 := y k + f(, y k ) Geometrisesti tämä Eulerin murtoviivmenetelmä voidn tulkit seurvsti: Alkuetkellä x = x 0 lädetään pisteestä (x 0, y 0 ) suuntn f(x 0, y 0 ) (ti trkemmin tsovekktorin (1, f(x 0, y 0 )) suuntn) j kuljetn ikyksikköä; päädytään pisteeseen (x 1, y 1 ) = (x 0 +, y 0 + f(x 0, y 0 )) = (x 0, y 0 ) + (1, f(x 0, y 0 )) Tedään suunnn trkistus: pisteestä (x 1, y 1 ) pitää jtk suuntn f(x 1, y 1 ) Differentiliytälöiden kurssill [DY] osoitetn, että kun D R 2 on lue, (x 0, y 0 ) D j f : D R on jtkuv siten, että D 2 f on jtkuv, niin lkurvotetävällä (61) on yksi j vin yksi rtkisu y, jok on määritelty (voimell) mksimlisell välillä I Kun j n ovt niin pienet, että = x 0 + k I kikille k {0, 1,, n}, voidn Eulerin menetelmällä (62) lskettuj rvoj y k verrt trkn rtkisun rvoiin y( ) Voidn osoitt (ks esim [2, 1131], [13, luku 8, 31]), että 27 y( ) y k = O() 62 Tylorin keitelmän käyttö Kvn (62) voidn päätyä seurvllkin tvll: Sovelletn Tylorin keitelmää funktioon y( + ): y(+1 ) = y( + ) = y( ) + y ( ) + R 1 (), missä kksi kert differentioituvlle funktiolle y jäännöstermi R 1 () = O( 2 ) 27 Muist ([A3]): ilmisu F () = O( p ), kun 0 trkoitt, että on olemss vkiot M j δ > 0 siten, että F () M p, kun δ Jos on ilmeistä, että 0, käytetään usein vin merkintää F () = O( p ) 57
Kun jäännöstermi R 1 () jätetään uomiott, päädytään differentiliytälön (61) nojll ytälöön y(+1 ) = y( ) + f(, y( )) Tätä Tylorin keitelmäide voidn viedä pidemmälle Kun ensimmäisen Tylorin polynomin sijst käytetään toist Tylorin polynomi, sdn y(+1 ) = y( + ) = y( ) + y ( ) + 1 2 y ( ) 2 + R 2 (), missä kolme kert differentioituvlle funktiolle y jäännöstermi R 2 () = O( 3 ) Differentiliytälöstä (61) sdn ketjusäännön vull y (x) = d f f f(x, y(x)) = (x, y(x)) + dx x y (x, y(x)) y (x) Kun jäännöstermi R 2 () jätetään uomiott, päädytään ytälöön y(+1 ) = y( ) + f(, y( )) + 2 2 ( f x (, y( )) + f ) y (, y( )) f(, y( )) Jos tätä kv käytetään kvn (62) sijst rtkisun y likirvojen y k määräämiseen, on vire y( ) y k = O( 2 ) [2, 114], [13, luku 8, 31], [11, 143] 58 63 Prnnettu Eulerin menetelmä [2, 115], [13, luku 8, 32] Jos lkurvotetävän (61) differentiliytälö integroidn yli välin [, +1 ] (j jkopisteet ovt edelleen tsväliset, = x 0 + k ), päädytään integrliytälöön y(+1 ) = y( ) + + f(t, y(t)) dt Jos tämä integrli lsketn Riemnnin summn + f(t, y(t)) dt f(, y( )), päädytään jälleen Eulerin murtoviivmenetelmään (62) Jos integrlin lskemiseen käytetään puolisuunniksmenetelmää, sdn y(+1 ) y( ) + 2 (f(, y( )) + f(+1, y(+1 )) Jos tässä rvot y( ) korvttisiin diskretoiduill rvoill y k, esiintyisi määrättävä uusi rvo y k+1 kuitenkin nklsti myös ytälön oikell puolell Jos tämä ongelm rtkistn korvmll y k+1 Eulerin murtoviivmenetelmästä (62) stvll rvoll y k+1 = y k + f(, y k ), päädytään ytälöön y k+1 = y k + 2 (f(, y k ) + f( +, y k + f(, y k )) Tään kvn perustuv lkurvotetävän (61) rtkisujen likimääräinen määrääminen tunnetn prnnettun Eulerin menetelmänä Tällekin vire y( ) y k = O( 2 ) Tylorin keitelmän käyttöön verrttun prnnetun Eulerin menetelmän etun on, että siinä ei trvitse lske funktion f osittisderivttoj
64 Rungen j Kuttn menetelmä [2, 116], [12, 613 14], [13, luku 8, 32], [11, 145] Rungen j Kuttn menetelmän jotminen (j vireen rvioiminen) on vrsin mutkikst Tyydytään seurvn, yksinkertiseen euristiseen iden: Kun lkurvotetävän (61) differentiliytälö integroidn yli välin [, + ], päädytään siis integrliytälöön y(+1 ) = y( ) + + f(t, y(t)) dt Käytetään integrlin + f(t, y(t)) dt likirvon lskemiseen kv + 3 f(t, y(t)) dt µ j f(ξ j, η j ), missä pisteet ξ j vlitn väliltä [, + ] sopivsti, piste η 0 := y k j seurvt pisteet η j lsketn edellisestä (vrt prnnettuun Eulerin menetelmään) j=0 j 1 η j = η 0 + µ j,i f(ξ i, η i ), j kertoimet µ j j µ j,i ovt sopivsti vlittuj pinokertoimi Klssisess Rungen j Kuttn menetelmässä vlitn 28 j (63) j i=0 ξ 0 := 0, ξ 1 := 1 2, ξ 2 := 1 2, ξ 3 := 1, µ 1,0 := 1 2, µ 2,0 := 0, µ 2,1 : 1 2, µ 3,0 := 0, µ 3,1 := 0, µ 3,2 := 1 µ 0 := 1 6, µ 1 := 1 3, µ 2 : 1 3, µ 3 := 1 6 Toisin merkittynä päädytään seurviin kvoiin F k,1 := f(, y k ) F k,2 := f( + 2, y k + 2 F k,1) F k,3 := f( + 2, y k + 2 F k,2) F k,4 := f( +, y k + F k,3 ) (64) y k+1 := y k + 6 (F k,1 + 2 F k,2 + 2 F k,3 + F k,4 ) Voidn osoitt, että trkn rtkisun y j kvojen (63) j (64) ntmn likirvon y k väliselle vireelle on y( ) y k = O( 4 ) Todistus on vrsin työläs eikä virervioon liittyviä vkioit juuri pysty käytännössä määräämään Knntt uomt, että jos f ei riipu muuttujst y, jolloin lkurvotetävän (61) rtkiseminen merkitsee integrlin y 0 + x x 0 f(t) dt lskemist, Rungen j Kuttn menetelmä on sm kuin Simpsonin menetelmä Jos määrätyn yden määrätyn integrlin f(t) dt sijst on trve määrätä integrlifunktio x x f(t) dt, knntt lskeminen jtell lkurvotetävän y = f(x), y() = 0, rtkisemiseksi j käyttää esimerkiksi Rungen j Kuttn menetelmää sen sijn, että käytettäisiin Simpsonin menetelmää uselle eri rvolle x [, b] 28 Eri vkioiden ξ j, µ j,i j µ j vlinnoill sdn erilisi Rungen j Kuttn tyyppisiä menetelmiä 59
Toinen uomion rvoinen kot Rungen j Kuttn menetelmässä on, että siinä esiintyvät kvt käyvät sellisenn vektorirvoiselle funktiolle y, ts differentiliytälörymille (ks Bncin kiintopisteluseen 15 jälkeen ollutt lyyttä esittelyä): { y = f(x, y) 60 y(x 0 ) = y 0 missä D R n+1 = R x R n y on voin j f : D R n jtkuv funktio, jonk osittisderivtt f y j ovt jtkuvi Ytälörymänä esitettynä rtkistvn on siis y 1 = f 1 (x, y 1,, y n ) y n = f n (x, y 1,, y n ) y 1 (x 0 ) = y 0,1 y n (x 0 ) = y 0,n Lisäksi knntt muist, että korkemmn kertluvun normlimuotoinen differentiliytälö y (n) = F (x, y, y,, y (n 1) ) on ytäpitävä ytälörymän y 1 = y 2 y n 1 = y n y n = F (x, y 1,, y n ) knss, kun y 1 := y, y 2 := y,, y n 1 := y (n 1) Esittämällä korkemmn kertluvun differentiliytälö yllä olevn mukisesti differentiliytälörymänä, voidn niiden likimääräiseen rtkisemiseen käyttää Rungen j Kuttn menetelmää