Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216

Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Pro grdu-tutkielm, 44 sivu Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mliskuu 216 Tutkielmss trkstelln ensin Riemnnin integrli j sen ongelmi rjnkäyntitilnteiss. Suurin ongelm rjnkäynnissä on, että Riemnnintegrlien jonon rj-rvo ei välttämättä in ole sm kuin rjfunktion Riemnn-integrli. Lisäksi todetn, että Riemnn-integroituvien funktioiden joukko on melko pieni. Seurvn esitellään porrsfunktioiden integrli ominisuuksineen. Tämän jälkeen perehdytään Riemnn-integroituvien funktioiden luokk suurempn yläfunktioiden luokkn L + j lisäksi osoitetn, että Riemnn-integroituvt funktiot kuuluvt yläfunktioiden luokkn. Yläfunktioiden luokn esittelyn jälkeen määritellään Lebesguen integrli j perehdytään sen ominisuuksiin. Lebesguen integrli määritellään Rieszin määritelmän mukn, sillä se on tiivistetympi, suorviivisempi j joht nopemmin sin ytimeen kuin Lebesguen lkuperäinen määritelmä. Lisäksi ljennetn yläfunktioiden luokk Lebesgue-integroituvien funktioiden luokkn L j osoitetn tämän olevn selvästi suurempi kuin yläfunktioiden luokk. Viimeisessä kppleess perehdytään Lebesguen integrlin rjnkäyntiin monotonisen konvergenssin luseen j dominoidun konvergenssin luseen vull. Dominoidun konvergenssin luse on yksi Lebesguen integrlin tärkeimmistä tuloksist. Tiivistetysti konvergenssiluseiden snom on, että integroinnin j rjnkäynnin järjestystä voidn viht.

Sisältö 1 Johdnto 1 2 Riemnnin integrli 3 2.1 Ylä- j lintegrli........................ 3 2.2 Riemnnin integrli....................... 4 2.3 Lebesguen ehto.......................... 6 2.4 Riemnnin integrlin ongelmt................. 1 3 Lebesguen integrli 18 3.1 Porrsfunktio........................... 18 3.2 Luokk L + j Lebesguen integrli............... 24 3.3 Luokk L............................. 29 4 Lebesguen integrlin konvergenssiluseet 35 Lähdeluettelo 44

1 Johdnto Skslinen mtemtikko Bernrd Riemnn (1826-1866) hvitsi vuonn 1854 tutkimuksessn, että Cuchyn integrlin määritelmän jtkuvuusehto voidn korvt sellisell hiemn heikommll vtimuksell, että kikkien Cuchyn summien tulee supet yksikäsitteisesti rj-rvoon. Tässä tutkielmss Riemnn-integrlin määritelmä esitetään kuitenkin hiemn nykyikisemmss muodoss ylä- j lsummien vull, tällisess muodoss sen ensikert julkisi vuonn 1875 rnsklinen mtemtikko Gston Drboux (1842-1917). Vuonn 192 rnsklinen mtemtikko Henri Lebesgue (1875-1941) esitti täydentävän luonnehdinnn Riemnn-integroituville funktioille. Tämä Lebesguen ehton tunnettu luse kuuluu seurvsti: Välillä [, b] määritelty rjoitettu relirvoinen funktio f on Riemnnintegroituv jos j vin jos funktio f on jtkuv melkein kikkill. Riemnnin integrlin määritelmä osoittutui kuitenkin yleisemmin trksteltun riittämättömäksi. Riemnnin integrlin puutteet voi krkesti tiivistää khteen pääkohtn. Ensinnäkin Riemnnin integrlin määritelmä soveltuu vin hrvoin käyttöön, toisin snoen Riemnn-integroituvien funktioiden luokk on pieni. Toinen hiemn hsteellisempi ongelm hvitn rjnkäynnissä. Nimittäin jos funktiot f 1, f 2,... ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j lim f n (x) = f(x) välillä [, b] niin yhtälö lim ei välttämättä pidä pikkns. f n (x) dx = lim f n(x) dx Vuonn 192 väitöskirjssn Henri Lebesgue esitti omn versions integrlist; Lebesguen integrlin. Suurin ero Lebesguen integrlill verrttun iempiin integrointimenetelmiin on, että Lebesguen integrli trkstelee integroituvuutt mlijoukon perusteell, kun ts iemmiss integroituvuutt on trksteltu lähtöjoukon perusteell. Lebesguen integrli noj vhvsti Lebesguen kehittämään käsitteeseen Lebesguen mitt, mikä loikin pohj uudelle mtemtiikn os-lueelle, mittteorille. Unkrilinen mtemtikko Frigyes Riesz (188-1956) esitti vuonn 192 omn, tässä tutkielmsskin käytetyn, version Lebesguen integrlist. Rieszin menetelmän 1

käytön perustn on, että se on tiivistetympi, suorviivisempi j joht nopemmin sin ytimeen, kuin Lebesguen esittämä muoto. Lisäksi Rieszin menetelmässä ei trvitse vedot mittteorin, vn se vtii vin perustiedot pistejoukoist. Lebesguen integrlin rjnkäyntiä trkstelln konvergenssiluseiden vull. Monotonisen konvergenssin luseell on selviä yhteneväisyyksiä yläfunktioiden luokn L + integrlin määritelmän knss j voidnkin olett, että määritelmä on kehitetty kyseisen luseen vull. Monotonisen konvergenssin luseen todisti vuonn 196 itlilinen mtemtikko Beppo Levi (1875-1961) j siksi luse tunnetn myös Beppo Levin luseen. Monotonisen konvergenssin luseen vtimus jonon (f n ) n=1 monotonisest ksvmisest osoittutuu välillä todell hnklksi j siksi Lebesguen integrlin tärkeimpänä ominisuuten pidetäänkin Lebesguen vuonn 198 todistm dominoidun konvergenssin lusett. Tässä luseess funktiojonoll ei ole monotonisen ksvmisen vtimust, vn ei-monotonisen jonon funktioiden on oltv rjoitettuj integroituvll funktioll melkein kikkill. Tätä lusett kutsutn toisinn myös Lebesguen dominoidun konvergenssin luseeksi. [4] 2

2 Riemnnin integrli Tässä luvuss kerrtn ensin trvittvi määritelmiä j merkintöjä, jott voidn päätyä Riemnnin integrlin määritelmään. Tämän jälkeen käydään läpi tutkielmss trvittvi Riemnnin integrlin ominisuuksi j lopuksi trkstelln Riemnnin integrliin liittyviä epäkohti. Kppleen khdess ensimmäisessä osioss lähteenä käytetään pääsiss lähdettä [1] j khdess jälkimmäisessä lähdettä [4]. 2.1 Ylä- j lintegrli Määritellään ensin välin jko sekä välin jko vstvt ylä- j lsumm, jonk jälkeen kerrtn ylä- j lintegrlin määritelmät. Näiden määritelmien oletetn olevn lukijlle tuttuj, mutt merkinnät vihtelevt usein kirjoittjn mukn, joten määritelmät ovt lähinnä selvennys tutkielmss käytettävistä merkinnöistä. Määritelmä 2.1. Olkoon [, b] suljettu j rjoitettu väli relilukujen joukoss R. Välin [, b] joksi snotn äärellistä j järjestettyä joukko P = { = x < x 1 < < x n = b}, missä pisteet x, x 1,..., x n ovt välin [, b] jkopisteitä. Tällöin jon P normi on P = sup{x j x j 1 : 1 j n}. Määritelmä 2.2. Olkoon funktio f : [, b] R määritelty j rjoitettu suljetull välillä [, b] j olkoon P = { = x x 1 x n = b} välin [, b] jko. Nyt kikille k = 1, 2,..., n on m k = inf{f(x) : x [x k 1, x k ]} j M k = sup{f(x) : x [x k 1, x k ]}. Tällöin funktion f jko P vstv yläsumm on U(f, P ) = n M k (x k x k 1 ). 3

Vstvsti funktion f jko P vstv lsumm on n L(f, P ) = m k (x k x k 1 ). Huomutus 2.3. Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu j P välin [, b] jko. Tällöin funktion f jko P vstvlle ylä- j lsummlle pätee U(f, P ) L(f, P ). Määritelmä 2.4. Olkoon P kokoelm suljetun välin [, b] jkoj. Rjoitetun funktion f yläintegrli yli välin [, b] on f(x) dx = inf{u(f, P ) : P P}. Vstvsti määritellään funktion f lintegrli yli välin [, b] ylä- l- f(x) dx = sup{l(f, P ) : P P}. Huomutus 2.5. Suljetun välin [, b] rjoitetulle funktiolle f pätee in ylä- f(x) dx l- f(x) dx. 2.2 Riemnnin integrli Toisin snoen jos f(x) dx ti f. Seurvksi määritellään Riemnnin integrli j joitkin tutkielmss trvittvi Riemnnin integrlin ominisuuksi. Näiden ominisuuksien oletetn olevn lukijlle tuttuj Anlyysin kursseist, joten todistukset sivuutetn. Määritelmä 2.6 (Riemnnin integrli). Välillä [, b] määritelty rjoitettu funktio f on Riemnn-integroituv, jos funktion f ylä- j lintegrlit ovt yhtäsuuret. Riemnnin integrlist käytetään merkitään ylä- f(x) dx = l- 4 f(x) dx,

niin funktion f Riemnn-integrli yli välin [, b] on f(x) dx = Lisäksi määritellään f = ylä- f(x) dx = l- f(x) dx = f(x) dx b j f(x) dx. f(x) dx =. Lemm 2.7. Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu j olkoon c jokin piste voimell välillä ], b[. Tällöin funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b] jos j vin jos funktio f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c,b]. Jos nämä ehdot toteutuvt, niin tällöin funktion f Riemnn-integrli yli välin [, b] on yhtäsuuri kuin summ funktion f Riemnn-integrleist yli välien [, c] j [c, b], toisin snoen f(x) dx = c f(x) dx + c Todistus. Ktso lähteestä [1] luse 7.4.1. f(x) dx. Luse 2.8 (Anlyysin perusluse). (1) Olkoot funktiot F, f : [, b] R j olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Jos kikill välin [, b] pisteillä x funktion F derivtt F (x) on yhtä suurt kuin funktio f(x), niin f(x) dx = F (b) F (). (2) Olkoon funktio f : [, b] R Riemnn-integroituv välillä [,b] j olkoon F (x) = x f(y) dy, kikill välin [, b] pisteillä x. Tällöin funktio F on jtkuv välillä [,b]. Mikäli funktio f on jtkuv josskin välin [, b] pisteessä c, niin funktio F on derivoituv pisteessä c j funktion F derivtt pisteessä c on yhtä suuri kuin funktion f rvo smss pisteessä, toisin snoen F (c) = f(c). Todistus. Ktso lähteestä [1] luse 7.5.1. 5

2.3 Lebesguen ehto Määritellään luksi nollmittisuus. Nollmittisuutt trvitn muotoiltess Lebesguen ehto Riemnn-integroituvuudelle. Tämän jälkeen todistetn, että nollmittisten joukkojen yhdiste on nollmittinen. Seurvksi määritellään funktion ylärj-rvo, lrj-rvo j heilhtelu tietyssä pisteessä. Lisäksi todistetn kksi heilhteluun liittyvää lemm, joist jälkimmäinen tiivistetysti snoo, että kompktiss joukoss jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Näitä lemmoj trvitn Lebesguen ehdon todistmiseen. Lopuksi todistetn Lebesguen ehto Riemnn-integroituvuudelle. Määritelmä 2.9. Joukko A R on nollmittinen, jos kikill ε > on olemss jono rjoitettuj voimi välejä I k R, kun k N, jotk peittävät joukon A j joiden välinpituuksien I k summ on pienempi ti yhtäsuuri kuin ε. Toisin snoen jos A I k j I k < ε. Lemm 2.1. Nollmittisten joukkojen numeroituv yhdiste on nollmittinen. Todistus. Olkoon yhdiste A = n=1 A n, missä kikki joukot A n ovt nollmittisi. Olkoon ε >. Kosk joukko A n on nollmittinen kikill n = 1, 2,..., on olemss selliset rjoitetut voimet välit I nk, missä k = 1, 2,..., että Tällöin A n A = k,n=1 I nk A n n=1 I nk = j n=1 n=1 Siis joukko A on myös nollmittinen. I nk = I nk I nk ε 2 n. k,n=1 n=1 I nk ε 2 n = ε. j 6

Määritelmä 2.11. Olkoon funktio f : [, b] R j olkoon piste c [, b]. Tällöin funktion f ylärj-rvo on j lrj-rvo on lim sup f(x) = lim sup{f(x) : [, b] [c δ, c + δ]} x c δ lim inf x c f(x) = lim δ inf{f(x) : [, b] [c δ, c + δ]}. Lisäksi funktion f heilhtelu pisteessä c on Tällöin on in ω(f; c). ω(f; c) = lim sup f(x) lim inf f(x). x c x c Lemm 2.12. Funktio f : [, b] R on jtkuv pisteessä x [, b], jos j vin jos ω(f; x) =. Todistus. Oletetn, että funktio f on jtkuv pistessä x. Olkoon ε >. Tällöin on sellinen δ >, että kikille y [, b], joille x y < δ, on f(x) f(y) < ε 2. Näin ollen sup f(x) < ε + f(x) j inf f(x) > ε + f(x), missä pienin ylärj 2 2 j suurin lrj ovt väliltä [, b] [x δ, x + δ]. Tällöin ω(f; x) < ε j kosk ε on mielivltinen, niin ω(f; x) =. Oletetn, että ω(f; x) =. Kikill ε > on sellinen δ >, että sup f(z) inf f(z) < ε, missä pienin ylärj j suurin lrj ovt väliltä [, b] [x δ, x + δ]. Nyt kun y [x δ, x + δ], niin f(x) f(y) < ε. Joten funktio f on jtkuv pisteessä x. Lemm 2.13. Jos kikill suljetun välin [, b] pisteillä c pätee ω(f; c) = lim sup f(x) lim inf f(x) < ε, x c x c niin on olemss sellinen δ >, että kikill välin [, b] pisteillä x j y, joille x y < δ on f(x) f(y) < ε. 7

Todistus. Kikill c [, b] on olemss sellinen δ c >, että sup f(x) inf f(x) < ε, missä pienin ylärj j suurin lrj ovt välilllä [, b] [c 2δ c, c + 2δ c ]. Siis, jos x, y [, b] [c 2δ c, c + 2δ c ], niin f(x) f(y) < ε. (1) Kosk väli [, b] on kompkti, se voidn peittää äärellisellä määrällä voimi välejä ]c k δ ck, c k + δ ck [, missä k = 1, 2,..., n. Olkoon δ = min{δ 1,..., δ n }. Jos nyt x, y [, b] ovt selliset, että x y < δ j x ]c k δ ck, c k +δ ck [, niin y ]c k 2δ ck, c k +2δ ck [. Tällöin epäyhtälöstä (1) seur, että f(x) f(y) < ε. Luse 2.14 (Lebesguen ehto). Olkoon funktio f : [, b] R rjoitettu j olkoon joukko D funktion f epäjtkuvuuskohtien joukko välillä [, b]. Funktio f on Riemnn-integroituv jos j vin jos joukko D on nollmittinen. Todistus. Nyt siis joukko D on funktion f epäjtkuvuuskohtien joukko välillä [, b] eli lemmn 2.12 nojll voidn kirjoitt, että D = m=1 D m, missä { D m = x [, b] : ω(f; x) 1 } m j ω(f; x) = lim sup c x f(c) lim inf c x f(c). Osoitetn, että joukko D m on nollmittinen kikill luonnollisill luvuill m, jos funktio f on Riemnn-integroituv. Kosk funktio f on Riemnn-integroituv, niin kikill ε > on olemss sellinen välin [, b] jko P = { = x < x 1 < < x n = b}, että U(f, P ) L(f, P ) < ε m. Tällöin voimet välit ]x, x 1 [, ]x 1, x 2 [,..., ]x n 1, x n [ voidn jk khteen ryhmään, niihin jotk leikkvt joukko D m j niihin, jotk eivät leikk joukko D m. Käytetään näistä ryhmistä jtkoss sellisi nimityksiä, että ryhmä 1 ovt ne voimet välit, jotk leikkvt joukko D m j ryhmä 2 ovt 8

välit, jotk eivät leikk joukko D m. Tällöin, kun M j = sup{f(x) : x j 1 x x j } j m j = inf{f(x) : x j 1 x x j } niin U(f, P ) L(f, P ) = 1(M j m j )(x j x j 1 ) + 2(M j m j )(x j x j 1 ) < ε m, missä summ 1 trkoitt ryhmään 1 kuuluvien välien pituuksien summmist j summ 2 trkoitt vstvsti ryhmään 2 kuuluvien välien pituuksien summmist. Ryhmän 1 väleille pätee M j m j 1 m, joten 1 1(x j x j 1 ) 1(M j m j )(x j x j 1 ) < ε m m. Niinpä ryhmän 1 välinpituuksien summ on pienempää kuin ε, toisin snoen 1(x j x j 1 ) < ε. Toislt ts ryhmän 1 voimet välit peittävät joukon D m. Tällöin joukko D m on nollmittinen j edelleen lemmst 2.1 seur, että yhdiste D on myös nollmittinen. Oletetn, että joukko D on nollmittinen. Tällöin myös jokinen joukko D m, missä m on luonnollinen luku, on nollmittinen. Osoitetn, että joukko D m on kompkti. Kosk joukko D m on kompktin joukon [, b] osjoukko, riittää näyttää, että joukko D m on suljettu välillä [, b]. Yhtäpitävästi riittää näyttää, että joukon D m komplementti [, b]\d m on voin välillä [,b]. Olkoon t [, b]\d m. Tällöin joukon D m määritelmän perusteell ω(f; t) = lim sup f(x) lim inf f(x) < 1 x t x t m. Ylä- j lrj-rvojen määritelmien perusteell, kikill ε > on olemss selliset δ 1 > j δ 2 >, että jos z [, b] ]t δ 1, t + δ 1 [, niin j jos z [, b] ]t δ 2, t + δ 2 [ niin f(z) < lim sup f(x) + ε x t 2, f(z) > lim inf x t f(x) ε 2. Olkoon nyt δ = min{δ 1, δ 2 } j z [, b] ]t δ, t + δ[. Tällöin lim inf x t f(x) ε 2 < f(z) < lim sup f(x) + ε x t 2. 9

Näin ollen jokiselle y [, b] ]t δ, t + δ[ on j lim inf x t lim inf x t f(x) ε 2 f(x) ε 2 lim sup z y lim inf z y Siispä, jos y [, b] ]t δ, t + δ[ niin f(z) lim sup f(x) + ε x t 2 f(z) lim sup f(x) + ε x t 2. ω(f; y) = lim sup f(z) lim inf f(z) ω(f; t) + ε. z y z y Olkoon nyt ε < 1 m ω(f; t). Tällöin ω(f; y) < 1 m j siten y [, b]\d m. Siispä [, b]\d m on voin. Kosk joukko D m on kompkti j nollmittinen, niin on olemss sellinen välin [, b] ositus P = { = x < x 1 <... < x n = b}, että 1(x j x j 1 ) < 1 m, missä 1 on kuten edellä. Olkoot ryhmät 1 j 2 joukolle D m kuten edellä j olkoon joukko K ryhmän 2 voimien välien yhdiste. Tällöin jos piste x kuuluu yhdisteeseen K, niin ω(f; x) < 1. Nyt lemmn m 2.13 perusteell on olemss sellinen δ >, että jos pisteet x j y kuuluvt joukkoon K j x y < δ, niin f(x) f(y) < 1. Olkoon välin [, b] osituksen P hienonnus ositus P = { = y < y 1 <... < y k = b}, jonk normi P m on pienempi kuin δ. Tällöin U(f, P ) L(f, P ) = 1(M j m j )(y j y j 1 ) + 2(M j m j )(y j y j 1 ) < 2M 1(x j x j 1 ) + b m < 2M + b, m missä 1 j 2 ovt kuten edellä j M on suurempi itseisrvoist M j j m j summss 1. Kosk tämä on tott kikill m N, niin funktio f on Riemnn-integroituv. 2.4 Riemnnin integrlin ongelmt Seurvksi trkstelln joitin Riemnnin integrliin liittyviä ongelmtilnteit. Aluksi todetn, että Riemnn-integroituvien funktioiden joukko 1

on kohtlisen pieni. Tätä ilmennetään Dirichlet-funktion vull. Riemnnintegroituvi funktioit trksteltess ilmenee myös rjnkäyntiongelmi. Jonolle (f n ) n=1 Riemnn-integroituvi funktioit ei välttämättä in ole tott, että lim f n (x) dx = lim f n(x) dx. Rjnkäyntiongemi hvinnollistetn neljän esimerkin vull. Ensimmäisen esimerkin vull todetn, että Riemnn-integrlien jonon rj-rvo ei välttämättä in ole sm kuin rjfunktion Riemnn-integrli. Toisess esimerkissä hvitn, että rjfunktio f(x) = lim f n (x) ei ole Riemnnintegroituv, vikk funktio f n on kikill rvoill n. Viimeisissä rjnkäyntiongelmiin liittyvissä esimerkeissä huomtn, että Riemnn-integrlien jonoll ( f n(x) dx) n=1 ei ole rj-rvo. Lopuksi trkstelln ongelmi nlyysin perusluseess j löydetään funktio, jok on rjoitettu, mutt ei Riemnn-integroituv. Esimerkki 2.15. Olkoon funktio g(x) Dirichlet-funktio; g : [, 1] R j { 1, kun x Q g(x) =, kun x R \ Q. Näytetään että, Dirichlet-funktio ei ole Riemnn-integroituv. Olkoon P = { = x x 1 x n = 1} välin [, 1] jko. Nyt kikille k = 1, 2,..., n on m k = inf{g(x) : x [x k 1, x k ]} = j M k = sup{g(x) : x [x k 1, x k ]} = 1. Tällöin funktion g jko P vstv yläsumm on n n U(g, P ) = M k (x k x k 1 ) = 1(x k x k 1 ) = x n x = 1 = 1 j lsumm on n n L(g, P ) = m k (x k x k 1 ) = (x k x k 1 ) =. 11

Joten funktion g yläintegrli yli välin [, 1] on 1 j lintegrli on. Kosk funktion g ylä- j lintegrlit ovt erisuuret, funktio g ei ole Riemnnintegroituv. Funktion g integroitumttomuus voidn todist myös Lebesguen ehdon (luse 2.14) vull, sillä funktio g on epäjtkuv kikill x [, 1]. Myöhemmin huomtn, että vikk Dirichlet-funktio ei ole Riemnn-integroituv on se kuitenkin Lebesgue-integroituv j Lebesgue-integroituvien funktioiden joukko on siis suurempi kuin Riemnn-integroituvien funktioiden joukko. Seurvt neljä esimerkkiä ilmentävät Riemnnin integrlin rjnkäyntiongelmi: Esimerkki 2.16. Olkoon f n : [, 1] R, kun n = 1, 2,... j 2n 2 x, kun x 1 2n f n (x) = 2n 2n 2 x, kun 1 x 1 2n n, kun 1 x 1. n y 2 f 2 1.5 1.5 f 1.5 1 x Kuvss funktio f n, kun n = 1, 2. 12

Funktioiden f n Riemnn-integrlien jonon rj-rvo ei ole sm kuin rjfunktion Riemnn-integrli, toisin snoen lim f n (x) dx lim f n(x) dx. Näytetään, että funktiot f n lähestyvät noll kikill välin [, 1] pisteillä x. Kun x =, niin f n () = kikill rvoill n. Tällöin lim f n() =. Olkoon nyt < x 1 j ε >. Kun x 1 n, niin f n() = kikill rvoill n. Kun vlitn sellinen luonnollinen luku N, että N 1 x, niin f n (x) = < ε in, kun n N. Tällöin kikill välin [, 1] pisteillä x funktiojono (f n ) n=1 suppenee kohti noll. Siis kikill x [, 1] j tällöin lim f n(x) =, Toislt lim f n(x) dx =. f n (x) dx = = 2n / 1 2n = n 2 2n 2 x dx + n 2 x 2 + / 1 n n 1 2n 1 2n 1 4n + 2n 1 2 n n2 = 1 4 + 2 1 1 + 1 4 = 1 2, 2n 2n 2 x dx + (2nx n 2 x 2 ) 1 n ( ) 2 ( 1 2n n dx 1 2n n2 ) 1 4n 2 jolloin lim f n (x) dx = 1 2. 13

Siis lim f n (x) dx = 1 2 = lim f n(x) dx, toisin snoen funktioiden f n integrlien jonon rj-rvo ei ole sm kuin rjfunktion integrli. Esimerkki 2.17. Olkoot r 1, r 2,..., r n,... välin [, b] rtionliluvut j olkoon f n (x) = { 1, kun x = r k, k = 1, 2,..., n, muulloin. Funktion f n epäjtkuvuuspisteiden joukko {r 1, r 2,..., r n } on nollmittinen, joten funktio f n (x) on Riemnn-integroituv Lebesguen ehdon (luse 2.14) nojll j f n(x) dx =. Toislt funktio { f(x) = lim f n (x) = 1, kun x Q, kun x R \ Q on Dirichlet-funktio j esimerkin 2.15 perusteell funktion yläintegrli on 1 j lintegrli on. Kosk yläintegrli on erisuuri kuin lintegrli, niin funktio f ei ole Riemnn-integroituv. Esimerkki 2.18. Olkoon funktio f n : [, b] R, kun n = 1, 2,... j { n 1, kun x [, b] b f n (x) =, muulloin. Nyt (f n ) n=1 on siis jono Riemnn-integroituvi funktioit. Kuitenkin j tällöin f n (x) dx = lim n 1 b = n 1 (b ) = n b f n (x) dx =, toisin snoen jono ( f n) n=1 hjntuu. Näin ollen ei ole voimss. lim f n (x) dx = lim f n(x) dx 14

Esimerkki 2.19. Olkoon funktio f n : [, 1] [, [, kun n = 1, 2,... j f n (x) = ( 1) n nχ ], 1 n ](x). y 2 f 2 1.5 1.5 f 2.5 1 x.5 1 f 1 Kuvss funktio f n, kun n = 1, 2. Kun n lähestyy ääretöntä, niin funktion rvo f n (x) lähestyy noll kikill x R j f n (x) dx = = ( 1) n. ( 1) n nχ ], 1 ](x) dx n Jonoll ( f n) n=1 ei siis ole rj-rvo j yhtälö ei ole tott. lim f n (x) dx = lim f n(x) dx 15

Osion viimeisessä esimerkissä esitetään eräs Riemnnin integrlin ongelmist nlyysin perusluseess. Ensin kuitenkin määritellään yleinen Cntorin joukko E. Määritelmä 2.2 (Yleinen Cntorin joukko). Olkoon ( n ) n=1 sellinen jono positiivisi relilukuj, että n=1 n = ε < 1. Poistetn välin [, 1] keskeltä termin 1 mittinen voin väli, jolloin sdn kksi suljettu väliä. Tämän jälkeen poistetn näiden khden suljetun välin keskeltä termin 2 2 pituiset voimet välit, jolloin sdn 2 2 suljettu väliä. Nyt kikkien 2 2 suljetun välin keskeltä poistetn termin 3 2 2 pituiset voimet välit, jolloin sdn 2 3 suljettu väliä. Näin jtketn, kunnes on 2 n 1 suljettu väliä, joiden jokisen välin keskeltä poistetn termin n pituiset voimet välit. Tällöin sdn 2 n 1 suljettu joukko E = i=1e i, missä E i ovt viheen i suljetut välit. Joukko E ei siis sisällä yhtään voint väliä. Tätä joukko E kutsutn yleiseksi Cntorin joukoksi. n = 1 n = 2 n = 3 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Kuvss näkyvät kolme ensimmäistä vihett voimien välien poistmisest eli tilnteet, kun n = 1, 2, 3. Yleinen Cntorin joukko E ei voi oll nollmittinen, sillä poistettujen välien yhteenlskettu pituus on 2 i 1 i 2 = i 1 i = ε < 1. i=1 Toisin snoen väli [,1] olisi peitetty numeroituvll määrällä välejä, joiden yhteispituus on pienempi kuin 1, mikä ei voi pitää pikkns. i=1 16

Esimerkki 2.21. Olkoon E yleinen Cntorin joukko välillä [, 1], jok ei ole nollmittinen. Oletetn, että voin väli ], b[ on poistettu väliltä [, 1] muodostettess joukko E. Määritellään funktio f seurvsti Derivoimll funktio f sdn f (x) = (x ) 2 sin f (x) = 2(x ) sin 1 x. 1 x cos 1 x. Tällöin f (x) = äärettömän moness pisteessä x ], b[. Olkoon sellinen luku c, että { + c = sup x : < x + b } 2, f (x) =. Määritellään sellinen funktio F : [, 1] R, että F (x) = jokisess joukon E pisteessä j jokisell voimell välillä ], b[, jok on poistettu väliltä [, 1] muodostettess joukko E, on f (x), kun < x + c F (x) = f ( + c), kun + c x b c f b (x), kun b c x b. Tällöin funktio F on jtkuv j derivoituv kikkill välillä [, b]. Nyt derivtt F on rjoitettu, sillä f (x) 3 j näin ollen F (x) 3. Derivtn F määrittelyn j tunnetun rj-rvon lim y y sin 1 y = perusteell F (x) =, kun x E. Jos x E, niin piste x on joukon [, b]\e ksutumispiste. Ksutumispisteen j yleisen Cntorin joukon määritelmien perusteell jokisell joukon [, b]\e ksutumispisteellä x E j kikille ε > on sellinen y / E, jolle x y < ε j F (y) = 1. Näin ollen derivtt F ei voi oll jtkuv missään joukon E pisteessä. Siten derivtn F epäjtkuvuuspisteiden joukko on E, jok ei ole nollmittinen. Siksi Lebesguen ehdon (luse 2.14) perusteell derivtt F ei ole Riemnn-integroituv. 17

3 Lebesguen integrli Tässä kppleess perehdytään ensin porrsfunktioiden integrliin j sen ominisuuksiin. Tämän jälkeen määritellään Riemnn-integroituvien funktioiden luokk suurempi yläfunktioiden luokk L + sekä Lebesguen integrli. Osoitetn myös, että yläfunktioiden luokk L + on todell suurempi kuin Riemnn-integroituvien funktioiden luokk. Lopuksi ljennetn luokk L + Lebesgue-integroituvien funktioiden luokkn L, jok sisältää sekä negtiivisell luvull kerrottuj, että toisistn vähennettyjä yläfunktioit. Tässä kppleess pääsillisen lähteenä on lähde [4], mutt jonkin verrn käytetään myös lähteitä [2] j [5]. 3.1 Porrsfunktio Kppleen ensimmäisessä osioss määritellään porrsfunktio j sen integrli. Lisäksi esitellään porrsfunktion integrlin perusominisuuksi j määritellään mitä trkoitt, kun jokin ominisuus pätee melkein kikkill. Tämän jälkeen todistetn ensimmäinen j toinen perusluse sekä lemm, joihin viittn myöhemmin esiintyvien luseiden todistuksiss. Määritelmä 3.1. Olkoon joukko E joukon X osjoukko. Tällöin joukon E krkteristinen funktio, on { 1, kun x E χ E (x) =, kun x X \ E. Määritelmä 3.2. Relirvoist funktiot s snotn porrsfunktioksi, jos on olemss sellinen suljetun välin [, b] jko P = { = x < x 1 < < x n = b}, että jokisell voimell osvälillä I k =]x k 1, x k [ funktio s on vkio. Porrsfuktio s voidn esittää muodoss s(x) = n k χ Ik (x), 18

missä χ Ik on joukon {I k : k = 1,..., n} krkteristinen funktio j jono ( k ) n on relilukujen joukon osjoukko. Porrsfunktion s integrli yli välin [, b] on s(x) dx = n k I k, missä I k on välin ]x k 1, x k [ pituus, toisin snoen I k = x k 1 x k. Luse 3.3. Olkoot funktiot s j t välin [, b] porrsfunktioit j olkoon luku c reliluku. Tällöin myös funktiot s + t j cs ovt porrsfunktioit j niillä on seurvt ominisuudet (1) s(x) + t(x) dx = s(x) dx + (2) cs(x) dx = c s(x) dx (homogeenisuus) j (3) jos s, niin s(x) dx (positiivisuus). t(x) dx (dditiivisuus), Todistus. Voidn olett, että P on yhteinen osvälijko funktioille s j t. Olkoon s(x) = n kχ Ik (x) j t(x) = n b kχ Ik (x). (1) (2) s(x) + t(x) dx = = = n ( ) k + b k Ik n k I k + cs(x) dx = = c = c s(x) dx + n c k I k n k I k n b k I k s(x) dx t(x) dx 19

(3) Olkoon s(x). Toisin snoen n k χ Ik (x) kikill x [, b]. Tällöin k kikill rvoill k j s(x) dx = n k I k. Kohdst (3) sdn seurvt seurukset: Seurus 3.4. Olkoot s j t porrsfunktioit välillä [, b]. Kun { s + s(x), kun s(x) (x) =, kun s(x) < j { s s(x), kun s(x) (x) =, kun s(x) >, niin (1) s(x) dx t(x) dx, jos s t (2) s(x) dx s(x) dx (3) s+ (x) dx s(x) dx (4) s (x) dx s(x) dx. Huomutus 3.5. Huomtn, että porrsfunktion integrli onkin itsesiss sen Riemnn-integrli. Määritelmä 3.6. Olkoon joukko A relilukujen joukon R osjoukko j olkoon piste x joukoss A. Ominisuuden P (x) snotn pätevän melkein kikkill joukoss A, jos se pätee kikkill joukoss A, pitsi joukon A nollmittisell osjoukoll N. Toisin snoen P (x) on tott melkein kikkill joukoss A, jos joukko N = {x A : P (x) on epätosi} on nollmittinen. Tämä lyhennetään usein P (x) m.k. joukoss A. 2

Jos joukko A on siyhteydestä tuttu, voidn käyttää edelleen lyhyempää versiot P (x) m.k. Luse 3.7 (Ensimmäinen perusluse). Olkoon (s n ) n=1 vähenevä jono suljetull välillä [, b] määriteltyjä ei-negtiivisi porrsfunktioit. Tällöin jono (s n ) n=1 vähenee monotonisesti kohti noll melkein kikkill välillä [, b] jos j vin jos lim s n (x) dx =. Todistus. Oletetn, että jono (s n ) n=1 vähenee kohti rvo melkein kikkill välillä [, b]. Olkoon D n porrsfunktioiden s n epäjtkuvuuspisteiden joukko kikill rvoill n j olkoon D joukko, joss porrsfunktiojono (s n ) n=1 ei suppene kohti noll, toisin snoen D = {x [, b] : lim s n (x) }. Tällöin joukko D on nollmittinen. Olkoon D = n= D n. Nyt lemmn 2.1 perusteell joukko D on nollmittinen, sillä se on numeroituv yhdiste nollmittisi joukkoj. Kikill ε > on siis olemss sellinen jono rjoitettuj voimi välejä I n, että se peittää joukon D j I n < ε. n=1 Jos piste ξ ei kuulu joukkoon D, niin lim s n (ξ) = j on siis olemss sellinen luonnollinen luku m = m(ξ), että s m (ξ) < ε. Kosk funktio s m on porrsfunktio, niin on olemss voin väli I(ξ), jok sisältää pisteen ξ j joss funktion s m rvo on vkio s m (ξ). Suljettu väli [, b] on siis peitetty väleillä (I n ) n=1 j {I(ξ) : ξ / D}. Yhdiste {I 1, I 2,... } {I(ξ) : ξ D} on siis kompktin joukon voin peite. Välin [, b] kompktiuden nojll äärellinen määrä välejä peittää välin [, b]. Olkoon nyt p = mx{m(ξ 1 ),..., m(ξ q )}. Jos r p, niin s r < ε joukoss A = I(ξ 1 ) I(ξ 2 ) I(ξ q ), sillä joukon D komplementtijoukoss D C funktio s n vähenee kohti rvo. Relilukujen joukon R voimen joukkon A voidn esittää pistevieriden välien 21

I 1,..., I m äärellisenä yhdisteenä. Edelleen, jos M = sup{s 1 (x) : x [, b]}, niin s r (x) s 1 (x) M j siksi s r (x) dx M( I n1 + + I nk ) + ε( I 1 + + I m ) Mε + ε(b ) = ε(m + b ). Kosk tämä on tott kikille ε >, niin lim s n (x) dx =. Olkoon s n(x) dx, kun n. Kosk s n kikill n N j jono (s n ) n=1 on vähenevä, niin kikill suljetun välin [, b] pisteillä x on olemss rj-rvo f(x) = lim s n (x). Määritellään sellinen funktio f : [, b] [, [, että f(x) = lim s n (x) j näytetään, että f(x) = melkein kikkill välillä [, b], toisin snoen että joukko P = {x [, b] : f(x) > } on nollmittinen. Olkoon P m = {x [, b] : f(x) 1 m } j P = m=1 P m. Joukon P nollmittisuuden osoittmiseksi riittää näyttää, että jokinen P m on nollmittinen. Olkoon n luonnollinen luku. Kosk s n f, niin funktion rvo s n (x) 1 m, kun piste x kuuluu joukkoon P m. Porrsfunktion määritelmän perusteell joukko P m voidn peittää äärellisellä määrällä sellisi välejä, että jokisell välillä s n on vkio j suurempi ti yhtä suuri kuin 1 m. Olkoon näiden välien kokonispituus l n. Tällöin s n (x) dx l n m. Olkoon ε >. Kosk integrlin s n(x) rvo lähestyy noll, kun n lähestyy ääretöntä, niin riittävän suurell rvoll n integrli s n(x) on pienempi kuin ε m j siis välien kokonispituus l n on pienempi kuin ε. Näin ollen joukko P m on peitetty äärellisellä määrällä välejä, joiden kokonispituus on pienempi kuin ε. Tällöin joukko P m on nollmittinen. Luse 3.8 (Toinen perusluse). Olkoon jono (s n ) n=1 ksvv jono suljetull välillä [, b] määriteltyjä porrsfunktioit. Jos on olemss sellinen luku A, 22

että kikill n N on s n(x) dx A, niin jono (s n ) n=1 suppenee melkein kikkill suljetull välillä [, b]. Todistus. Oletetn, että kikki funktiot s n ovt ei-negtiivisi, muutoin voidn trkstell jono (s n s 1 ) n=1, näin voidn tehdä sillä jono(s n s 1 ) n=1 on myös ksvv j jos väite pätee jonolle (s n s 1 ) n=1, niin myös lkuperäinen jono suppenee melkein kikkill : lim s n = lim (s n s 1 + s 1 ) = lim (s n s 1 ) + s 1. Olkoon f(x) = lim s n (x) j ksvvuuden perusteell f(x) [, ]. Osoitetn, että funktiojono (s n ) n=1 suppenee melkein kikkill välillä [, b]. Yhtäpitävästi riittää osoitt, että joukko E = {x [, b] : f(x) = } on nollmittinen, sillä jos f(x) = ei ole tott millään rvoll x [, b], niin jono (s n ) n=1 suppenee kikkill välillä [, b]. Jokisess joukon E pisteessä x funktion rvo s n (x) lähestyy ääretöntä, kun n lähestyy ääretöntä. Kosk funktion s n epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmittinen kikill n, on epäjtkuvuuspisteiden joukko numeroituv. Voidn siis olett, että kikill n funktio s n on jtkuv kikkill joukoss E. Olkoon ε > j olkoon E n = {x [, b] : s n > A ε } kikill n N. Tällöin joukko E on yhdisteen n=1 E n osjoukko. Kosk funktio s n on porrsfunktio, niin joukko E n on yhdiste on äärellisestä määrästä välejä. Joukon E n välien kokonispituus l n on pienempi kuin ε, kosk Al n ε s n (x) dx A. Pyritään siis osoittmn, että yhdiste n=1 E n voidn peittää numeroituvll määrällä välejä, joiden kokonispituus on pienempi kuin ε. Kosk joukko E n on joukon E n+1 osjoukko, niin erotus E n+1 \E n voidn esittää yhdisteenä erillisistä väleistä, joit on äärellinen määrä, sillä kuten edellä todettiin, niin joukko E n on yhdiste on äärellisestä määrästä välejä, kosk funktio s n on porrsfunktio. Kosk n=1 E n = E 1 (E 2 \E 1 )..., niin yhdiste n=1 E n voidn esittää yhdisteenä numeroituvst määrästä erillisiä välejä. Ensin otetn välit joukost E 1, sitten välit joukost E 2 \E 1, tämän jälkeen välit jotk kuuluvt joukkoon E 3 \E 2 j niin edelleen. Jos joukko E n+1 \E n 23

on tyhjä, niin trkstelln tyhjää joukko kuten väliä. Tämän jonon ensimmäiset n väliä kuuluvt joukkoon E n, joten niiden kokonispituus on oltv pienempi kuin l n, jok on pienempi ti yhtä suuri kuin ε. Kosk ε >, on mielivltinen, niin joukko E on nollmittinen. 3.2 Luokk L + j Lebesguen integrli Tämän osion luss määritellään yläfunktioiden luokk L + sekä Lebesguen integrli. Tämä Lebesguen integrlin määritelmä, ei ole Henri Lebesguen lkuperäinen 19-luvun luss esitelemä määritelmä vn hiemn myöhemmin Frigyes Rieszin esittämä versio. Tämän jälkeen esitellään Lebesguen integrlin ominisuuksi j lopuksi osoitetn, että yläfunktioiden luokk L + on vähintään yhtäsuuri kuin Riemnn-integroituvien funktioiden luokk j jop selvästi suurempi. Määritelmä 3.9. Funktio f : [, b] R, missä R = R {, }, kuuluu luokkn L +, toisin snoen funktio f on yläfunktio, jos on olemss sellinen ksvv jono välillä [, b] määriteltyjä porrsfunktioit (s n ) n=1, että (1) jono ( s n(x) dx) n=1 on rjoitettu j (2) f(x) = lim s n (x) melkein kikkill välillä [, b]. Huomutus 3.1. (1) Jos funktio f kuuluu luokkn L +, niin toisest peusluseest (luse 3.8) seur, että funktio f on äärellinen melkein kikkill välillä [, b]. Toisin snoen joukko {x [, b] : f(x) = ± } on nollmittinen. (2) Olkoon f L + j olkoon (s n ) n=1 ksvv jono porrsfunktioit, jotk määrittävät funktion f kuten edellisessä määritelmässä. Tällöin s 1 (x) dx s 2 (x) dx s n (x) dx... A, jollin vkioll A. Siksi lim s n(x) dx on olemss j äärellinen. Tämän vuoksi Lebesguen integrli f(x) dx määritellään porrsfunktion integrlin s n(x) dx rj-rvon. 24

Määritelmä 3.11 (Lebesguen integrli). Olkoon funktio f : [, b] R, jok kuuluu luokkn L +. Funktion f Lebesguen integrli yli välin [, b] on f(x) dx = lim s n (x) dx, missä (s n ) n=1 on ksvv jono välillä [, b] määriteltyjä porrsfunktioit. Huomutus 3.12. (1) Porrsfunktiot kuuluvt luokkn L +. (2) Tästä eteenpäin tutkielmss käytettävillä merkinnöillä f(x) dx j f trkoitetn Lebesguen integrli. Luse 3.13. Olkoon (s n ) n=1 ksvv porrsfunktiojono, jok määrää yläfunktion f j olkoon (t n ) n=1 ksvv porrsfunktiojono, jok määrää yläfunktion g. Oletetn lisäksi, että jonot ( s n(x) dx) n=1 j ( t n(x) dx) n=1 ovt rjoitettuj j että f = lim s n (x) j g = lim t n (x) melkein kikkill välillä [, b]. Jos f g melkein kikkill välillä [, b], niin lim s n (x) dx lim t n (x) dx Todistus. Olkoon m N. Trkstelln vähenevää jono (s m t n ) n=1. Nyt lim (s m t n ) = s m lim t n f g melkein kikkill välillä [, b]. Siksi ei-negtiivisten funktioiden vähenevä jono (s m t n ) +, joss siis in s m t n >, suppenee kohti noll melkein kikkill välillä [, b]. Ensimmäisen perusluseen (luse 3.7) perusteell sdn lim (s m t n ) + (x) dx =. Kosk s m t n (s m t n ) + niin seuruksen 3.4 nojll on (s m t n )(x) dx (s m t n ) + (x) dx. 25

Siten lusett 3.3 käyttäen sdn [ s m (x) dx lim (s m t n ) + (x) dx + = lim t n (x) dx. Nyt, kun nnetn luvun m lähestyä ääretöntä, sdn lim s n (x) dx lim t n (x) dx. ] t n (x) dx Seurus 3.14. Olkoon funktiot f j g yläfunktioit j olkoon f = g melkein kikkill suljetull välillä [, b], tällöin f(x) dx = g(x) dx. Luse 3.15. Olkoon funktiot f j g yläfunktioit j olkoon luku c positiivinen reliluku. Tällöin (1) f(x) + g(x) dx = f(x) dx + (2) cf(x) dx = c f(x) dx j g(x) dx, (3) jos f melkein kikkill välillä [, b], niin f(x) dx. Todistus. Olkoon (s n ) n=1 monotonisesti ksvv porrsfunktiojono, jok määrää yläfunktion f j olkoon (t n ) n=1 monotonisesti ksvv porrsfunktiojono, jok määrää yläfunktion g. Oletetn lisäksi, että jonot ( s n(x) dx) n=1 j ( t n(x) dx) n=1 ovt rjoitettuj j että f = lim s n (x) j g = lim t n (x) melkein kikkill välillä [, b]. (1) Nyt f(x) + g(x) = lim [s n (x) + t n (x)], joten Lebesguen integrlin 26

määritelmän (määritelmä 3.11) j luseen 3.3 (1) vull sdn [ ] f(x) + g(x) dx = lim s n (x) + t n (x) dx [ ] L.3.3 (1) = lim s n (x) dx + t n (x) dx = lim = s n (x) dx + lim f(x) dx + g(x) dx. t n (x) dx (2) Nyt cf(x) = lim cs n (x), joten Lebesguen integrlin määritelmän (määritelmä 3.11) j luseen 3.3 (2) vull sdn cf(x) dx = lim L.3.3 (2) = lim c = c lim = c cs n (x) dx f(x) dx s n (x) dx s n (x) dx (3) Olkoon funktio g nollfunktio j olkoon f g melkein kikkill välillä [, b]. Tällöin Nyt seuruksen 3.13 perusteell f(x) dx g(x) dx = g(x) dx =. Osoitetn seurvn luseen vull, että yläfunktioiden luokk L + on vähintään yhtä suuri kuin Riemnn-integroituvien funktioiden luokk. Luse 3.16. Jokinen välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio kuuluu yläfunktioiden luokkn L +. Lisäksi Riemnnin integrli sekä integrli luokss L + ovt smt. 27

Todistus. Olkoon P n sellinen välin [, b] jko, että j P n = { = x < x 1 < < x 2 n = b}, x k x k 1 = b 2 n. Määritellään porrsfunktio s n, jok liitetään tähän ositukseen eli olkoon s n = 2 n m k χ Ik, missä m k = inf{f(x) : x I k } j I k =]x k 1, x k [. Tällöin ksvv porrsfunktiojono (s n ) n=1 suppenee kohti funktioit f melkein kikkill välillä [, b]. Tällöin määritelmän 3.9 mukn funktio f on yläfunktio j Toislt lim lim s n (x) dx = s n (x) dx = l- f(x) dx. f(x) dx. Näin ollen Riemnn-integrli on yhtäsuuri kuin luokn L + integrli. Osoitetn seurvn esimerkin vull, että yläfunktioiden luokk L + on selvästi suurempi kuin Riemnn-integroituvien funktioiden luokk. Esimerkki 3.17. Olkoon funktio g : R R Dirichlet funktio eli olkoon { 1, kun x Q g(x) =, kun x R \ Q. Muistetn esimerkistä 2.15, että Dirichlet-funktio ei ole Riemnnintegroituv. Tällöin riittää osoitt, että funktio g on kuuluu luokkn L +. Kosk irrtionlilukujen joukko on nollmittinen, niin g = melkein kikkill. Luokn L + määritelmässä voidn siis vlit s n = kikill n. 28

3.3 Luokk L Vikk funktiot u j v kuuluvt luokkn L +, niin funktiot u v j u eivät välttämättä kuulu. Toislt voi oll myös seurvn esimerkin kltinen tilnne. Esimerkki 3.18. Olkoon F yleinen Cntorin joukko, jok ei ole nollmittinen. Tällöin joukon F krkteristinen funktio χ F ei kuulu luokkn L +, mutt 1 χ F kuuluu luokkn L +. Todistus. Olkoon (I n ) n=1 jono erillisiä välin [, 1] voimi välejä, jotk on poistettu muodostettess yleistä Cntorin jouko F. Oletetn, että n=1 I n = 1. Osoitetn ensin, että 1 χ 2 F L +. Olkoon (s n ) n=1 ksvv jono porrsfunktioit välillä [, 1] j olkoon s n (x) = n χ Ik (x). Kosk F = i=1e i, missä välit E i ovt suljetut välit yleisen Cntorin joukon konstruktioss, niin F C = i=1ei C = i=1i i, jolloin lim s n (x) = 1 χ F j s n(x) dx 1. Tällöin määritelmän 3.9 perusteell funktio 1 χ 2 F kuuluu luokkn L + j Lebesguen integrlin määritelmän (määritelmä 3.11) perusteell 1 χ F (x) dx = 1. 2 Väitetään nyt, että χ F L +. Tällöin Lebesguen integrlin määritelmän (määritelmä 3.11) perusteell χ F (x) dx = 1. Olkoon (s 2 n) n=1 sellinen ksvv jono porrsfunktioit välillä [, 1], että s n, lim s n (x) = χ F j lim s n (x) dx = χ F (x) dx. Kosk funktion χ F integrli on positiivinen, on oltv porrsfunktio s n, jonk integrli on positiivinen. Olkoon I sellinen voin väli, että I I k j porrsfunktio s n on positiivinen välillä I. Tällöin I F = j siis χ F (x)χ I (x) = välillä [, 1]. Näin ollen < s n (x)χ I (x) dx 29 χ F (x)χ I (x) dx =.

Tämä ei ole tott, sillä yhtälö väittää, että <. Siis χ F / L +. Trkstelln yläfunktioiden luokk L + ljemp Lebesgue-integroituvien funktioiden luokk L, jok sisältää sekä negtiivisell luvull kerrottuj, että toisistn vähennettyjä yläfunktioit. Määritelmä 3.19. Olkoon f : [, b] R. Funktion f snotn olevn Lebesgue-integroituv välillä [, b], jos on olemss selliset yläfunktiot u j v, että f = u v. Tällöin Lebesguen integrli yli välin [, b] on f = u Välillä [, b] määriteltyjen Lebesgue-integroituvien funktioden joukost käytetään merkintää L. Esitellään seurvksi Lebesgue-integroituvien funktioiden ominisuuksi. Lemm 3.2. Olkoot funktiot f j g Lebesgue-integroituvi j olkoon c reliluku. Tällöin myös funktiot f + g, cf, f, mx{f, g}, min{f, g}, f + j f ovt Lebesgue-integroituvi Todistus. Olkoot f 1, f 2, g 1, g 2 L + fuktioit, joille f = f 1 f 2 j g = g 1 g 2. v. (1) Nyt f + g = f 1 f 2 + g 1 g 2 = (f 1 + g 1 ) (f 2 + g 2 ), j kosk f 1 + g 1 L + j f 2 + g 2 L +, niin f + g L. (2) Jos c, niin cf = cf 1 cf 2, j cf 1 cf 2 L +, joten cf L. Jos c <, niin c > j cf = cf 2 ( c)f 1, joten cf L. 3

(3) Kosk f 1, f 2 L + niin mx{f 1, f 2 } L + j min{f 1, f 2 } L + j näin ollen on Lebesgue-integroituv. f = mx{f 1, f 2 } min{f 1, f 2 } (4) Kosk mx{f, g} = 1 (f + g + f g ) 2 j min{f, g} = 1 (f + g f g ), 2 niin molemmt mx{f, g} j min{f, g} kuuluvt lemmn iempien kohtien perusteell luokkn L. Itse siss sdn myös, että f +, f L. Lemm 3.21. Olkoot funktiot f j g Lebesgue-integroituvi j olkoon c reliluku. Tällöin (1) [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + (2) cf(x) dx = c f(x) dx (homogeenisuus) j (3) jos f, niin f(x) dx (positiivisuus). g(x) dx (dditiivisuus), Todistus. Nyt f = f 1 f 2 j g = g 1 g 2, missä f 1, f 2, g 1, g 2 L +. (1) Tällöin lemmn 3.2 kohdn (1) perusteell f + g = (f 1 + g 1 ) (f 2 + g 2 ) j määritelmän 3.19 j luseen 3.15 perusteell sdn [f(x) + g(x)] dx = [f 1 (x) + g 1 (x)] dx = f 1 (x) dx + [ = f 1 (x) dx = f(x) dx + [f 2 (x) + g 2 (x)] dx g 1 (x) dx f 2 (x) dx g 2 (x) dx ] [ ] f 2 (x) dx + g 1 (x) dx g 2 (x) dx g(x) dx. 31

(2) Jos c, niin lemmn 3.2 kohdn (2) perusteell cf = cf 1 cf 2 j lusett 3.15 käyttäen sdn cf(x) dx = cf 1 (x) dx = c f 1 (x) dx c [ = c f 1 (x) dx = c f(x) dx. cf 2 (x) dx f 2 (x) dx ] f 2 (x) dx Jos c <, niin lemmn 3.2 kohdn (2) perusteell cf = ( c)f 2 ( c)f 1 j tällöin luseen 3.15 vull sdn cf(x) dx = ( c)f 2 (x) dx ( c)f 1 (x) dx = ( c) f 2 (x) dx ( c) f 1 (x) dx [ ] = c f 1 (x) dx f 2 (x) dx = c f(x) dx. (3) Olkoon f = f 1 f 2. Tällöin f 1 f 2 j seuruksen 3.13 perusteell sdn Siis f(x) dx. f 1 (x) dx f 2 (x) dx. Seurus 3.22. Jos f L, niin f L j f(x) dx f(x) dx. 32

Lemm 3.23. Jos funktio f on Lebesgue-integroituv, niin on olemss sellinen jono (s n ) n=1 välin [, b] porrsfunktioit, että lim s n = f melkein kikkill j lim s n (x) dx = Todistus. Olkoon f = f 1 f 2, missä f 1, f 2 f(x) dx. L +. Määritelmän 3.9 mukn on olemss selliset ksvvt porrsfunktiojonot (t n ) n=1 j (t n) n=1, että lim t n (x) = f 1 (x) j lim t n(x) = f 2 (x) melkein kikkill välillä [, b]. Olkoon s n = t n t n. Tällöin myös porrsfunktiojono (s n ) n=1 suppenee kohti funktiot f melkein kikkill välillä [, b]. Nyt = = L. 3.21 j L. 3.3 = ey f(x) dx s n (x) dx [ f(x) sn (x) ] dx [ f1 (x) f 2 (x) t n (x) + t n(x) ] dx f 1 (x) dx t n (x) dx f 2 (x) dx + b f 1 (x) dx t n (x) dx + f 2 (x) dx t n(x) dx t n(x) dx. Luokn L + integrlin määritelmän (määritelmä 3.11) mukn epäyhtälön viimeiset termit lähestyvät noll, kun n lähestyy ääretöntä. Siis lim s n (x) dx = f(x) dx. Lemm 3.24. Olkoon funktio f Lebesgue-integroituv välillä [, b] j olkoon ε >. Tällöin on olemss (1) selliset välin [, b] yläfunktiot u j v, että f = u v, yläfunktio v on ei-negtiivinen melkein kikkill välillä [, b] j v < ε. 33

(2) sellinen porrsfunktio s j välillä [, b] Lebesgue-integroituv funktio g, että f = s + g j g < ε. Todistus. (1) Kosk funktio f on Lebesgue-integroituv, on olemss selliset yläfunktiot u 1 j v 1, että f = u 1 v 1. Olkoon (t n ) n=1 ksvv jono porrsfunktioit, jolle lim f n = v 1. Kosk t n v 1, kun n, niin on olemss sellinen luonnollinen luku N, että luseen 3.15 nojll (v 1 t N ) < ε. Olkoon nyt v = v 1 t N j u = u 1 t N. Tällöin funktiot u j v ovt yläfunktioit välillä [, b] j u v = u 1 v 1 = f. Lisäksi yläfunktio v on ei-negtiivinen melkein kikkill joukoss [, b] j v < ε. (2) Olkoon funktiot u j v selliset välin [, b] yläfunktiot, että v melkein kikkill välillä [, b], f = u v j v < ε 2. Vlitn sellinen porrsfunktio s, että (u s) < ε 2. Tällöin f = u v = s + (u s) v = s + g, missä g = (u s) v. Siispä funktio g on Lebesgue-integroituv välillä [, b] j g = ey L. 3.15 (1) (u s) v ( u s + v ) u s + < ε 2 + ε 2 = ε. v 34

4 Lebesguen integrlin konvergenssiluseet Tutkielmn viimeisessä kppleess todistetn Lebesguen integrliin liittyvät konvergenssiluseet. Aluksi kuitenkin pltn hiemn tkisinpäin j todistetn monotonisen konvergenssin luse yläfunktioille, sillä tätä tulost trvitn monotonisen konvergenssin luseen srjoille todistmiseen. Monotonisen konvergenssin luse srjoille käydään läpi ennen monotonisen konvergenssin lusett, sillä edeltävää tulost trvitn jälkimmäisen todistmiseen. Monotonisen konvergenssin luse on itlilisen mtemtikon Beppo Levin tulos vuodelt 196 j tunnetnkin myös Beppo Levin luseen. Seurvksi todistetn ylä- j lrj-rvoihin liittyvä lemm, jot trvitn dominoidun konvergenssin luseen todistmiseen. Dominoidun konvergenssin luse on Lebesguen integrlin tärkeimpiä tuloksi. Dominoidun konvergenssin luseen todisti Henri Lebesgue vuonn 198 j tämän vuoksi luseest käytetään toisinn nimeä Lebesguen dominoidun konvergenssin luse. Tiivistettynä konvergenssiluseet kertovt, että integroinnin j rjnkäynnin järjestyksen s viht. Tässä kppleess lähteenä on käytetty enimmäkseen lähteitä [2] j [5], mutt myös lähdettä [4]. Luse 4.1 (Monotonisen konvergenssin luse yläfunktioille). Olkoon (f n ) n=1 ksvv jono välin [, b] yläfunktioit j olkoon lim f n(x) A, missä A [, [. Tällöin funktiojono (f n ) n=1 suppenee kohti rjfunktiot f L + melkein kikkill välillä [, b] j f = lim Todistus. Jokiselle luonnolliselle luvulle k on ksvv porrsfunktiojono (s n,k ) n=1, jok suppenee funktioon f k. Olkoon t n sellinen porrsfunktio välillä [, b], että f n. t n (x) = mx{s n,1 (x), s n,2 (x),..., s n,n (x)}. 35

Porrsfunktiojono (t n ) n=1 on ksvv välillä [, b], sillä t n+1 (x) = mx{s n+1,1 (x),..., s n+1,n+1 (x)} mx{s n,1 (x),..., s n,n+1 (x)} mx{s n,1 (x),..., s n,n (x)} = t n (x). Toislt s n,k (x) f k (x) j funktiojono (f k ) on ksvv melkein kikkill välillä [, b], joten t n (x) mx{f 1 (x),..., f n (x)} = f n (x) m.k. x [, b]. (2) Tällöin luseen 3.13 perusteell t n f n. (3) Nyt kosk jono ( f n) n=1 on ylhäältä rjoitettu, niin myös ksvv jono ( t n) n=1 on ylhäältä rjoitettu j siis suppenee. Toisen perusluseen (luse 3.8) perusteell porrsfunktiojono (t n ) n=1 suppenee melkein kikkill välillä t n. [, b] kohti rjfunktiot f L + j tällöin f = lim Näytetään seurvksi, että f n f melkein kikkill välillä [, b]. Porrsfunktion t n (x) määritelmän mukn t n (x) s n,k (x) kikill välin [, b] rvoill x, kun n k. Kun n lähestyy ääretöntä, niin sdn epäyhtälö f k (x) f(x) m.k. x [, b]. (4) Tällöin ksvv funktiojono (f k ) on ylhäältä rjoitettu funktioll f melkein kikkill välillä [, b] j näin ollen suppenee melkein kikkill välillä [, b] kohti rjfunktiot g, jolle g f melkein kikkill välillä [, b]. Kuitenkin epäyhtälön (2) mukn t n f n melkein kikkill välillä [, b] joten, kun n lähestyy ääretöntä, niin f g melkein kikkill välillä [, b]. Toisin snoen lim f n(x) = f(x) m.k. x [, b]. f n. Kosk f = lim t n, Lopuksi osoitetn, että f = lim niin epäyhtälöstä (3) j integrlin ominisuuksist (luse 3.13) seur, että f lim 36 f n. (5)

Epäyhtälöstä (4) sdn lusett 3.13 käyttäen epäyhtälö f k f, jost seur, että lim k f k f. Tämä yhdessä epäyhtälön (5) knss nt f = lim f n. Luse 4.2 (Monotonisen konvergenssin luse srjoille). Olkoon (g n ) n=1 jono ei-negtiivisi Lebesgue-integroituvi välin [, b] funktioit j oletetn, että n=1 g n <. Jos srj n=1 g n suppenee kohti funktiot g melkein kikkill välillä [, b], niin g L j g = g n = n=1 n=1 g n. (6) Todistus. Kosk funktiot g n ovt Lebesque-integroituvi, niin lemmn 3.24 perusteell kikille ε > j jokiselle n = 1, 2,... on selliset yläfunktiot u n j v n, että g n = u n v n, v n m.k. välillä [, b] j v n < ε. Olkoon ε = 1 2 n. Tällöin on selliset yläfunktiot u n j v n, että u n = g n + v n j v n < 1 2 n. Epäyhtälön v n < 1 2 n perusteell summ v n suppenee, sillä geometrinen srj n=1 [, b], niin ossummt n=1 1 suppenee. Kosk u 2 n n melkein kikkill välillä U n (x) = n u k (x) muodostvt yläfunktioiden jonon (U n ) n=1, jok on ksvv melkein kikkil- 37

l välillä [, b]. Nyt U n = L. 3.15 (1) = = L 3.15 j L. 3.21 = n n u k u k n n ( gk + v k ) g k + n v k j kosk molemmt srjt g k j v k suppenevt, niin myös integrlien jono ( U n) n=1 suppenee. Monotonisen konvergenssin luseen yläfunktioille (luse 4.1) perusteell yläfunktioiden jono (U n ) n=1 suppenee melkein kikkill välillä [, b] kohti rjfunktiot U L + j U = lim U n. Nyt joten U n = U = n Vstvsti ossummien jono (V n ) n=1, missä u k, u k. V n (x) = n v k (x), suppenee melkein kikkill välillä I kohti rjfunktiot V L + j V = v k. Nyt määritelmän 3.19 mukn funktio U V on Lebesgue-integroituv välillä [, b] j jono ( n g k) n=1 = (U n V n ) n=1 suppenee melkein kikkill välillä 38

[, b] kohti funktiot U V. Olkoon g = U V. Tällöin funktio g on Lebesgueintegroituv välillä [, b] j g M. 3.19 = U V = (u k v k ) = g k. Luse 4.3 (Monotonisen konvergenssin luse). Olkoon (f n ) n=1 ksvv jono Lebesgue-integroituvi välin [, b] funktioit j olkoon f(x) = lim f n (x). Jos lim f n <, niin f L melkein kikkill välillä [, b] j f = lim Todistus. Olkoon (f n ) n=1 ksvv jono Lebesgue-integroituvi välin [, b] funktioit j olkoon f(x) = lim f n (x). Olkoon g 1 = f 1 j g n = f n f n 1, kun n 2. Tällöin f n = n g k. Soveltmll monotonisen konvergenssin lusett srjoille (luse 4.2) jonoon (g n ) n=1 huomtn, että srj n=1 g n suppenee melkein kikkill välillä [, b] kohti summfunktiot g L j monotonisen konvergenssin luseen srjoille (luse 4.2) yhtälö (6) toteutuu. Tämän vuoksi f n kikkill välillä [, b] j g = lim f n. f n. g melkein Huomutus 4.4. Soveltmll monotonisen konvergenssin lusett jonoon ( f n ) n=1, luse toimii myös väheneville jonoille. Tällöin tulos voidn esittää seurvsti: Olkoon (f n ) n=1 sellinen vähenevä jono Lebesgue-integroituvi välin [, b] funktioit, että lim I f n > j olkoon f(x) = lim f n (x). 39

Tällöin funktiojono (f n ) n=1 kikkill välillä [, b] j suppenee kohti rjfunktiot f L melkein f = lim f n. Esimerkki 4.5. Olkoon f : [, 1] R j { x s, kun x > f(x) =, kun x =. Osoitetn, että Lebesguen integrli f(x) dx on olemss j että se s rvon 1, jos s > 1. s+1 Jos s, niin funktio f on rjoitettu j Riemnn-integroituv välillä [, 1] j Riemnn- f(x) dx = Riemnn- = 1 s + 1. x s dx Näin ollen luseen 3.16 nojll funktio f on myös Lebesgue-integroituv välillä [, 1] j f(x) dx = 1 s + 1. Jos s <, niin funktio f ei ole rjoitettu j näin ollen ei myöskään Riemnn-integroituv välillä [, 1]. Olkoon nyt f n : [, 1] R, kun n = 1, 2,... j f n (x) = { x s, kun x 1 n, kun x < 1. n Tällöin funktiojono (f n ) n=1 on ksvv j f n f kikkill välillä [, 1]. Jokinen funktio f n on Riemnn-integroituv j tällöin luseen 3.16 nojll myös Lebesgue-integroituv välillä [, 1] j f n (x) dx = 1 n = 1 s + 1 x s dx ( 1 1 ). n s+1 4

Jos s + 1 >, niin f n 1. Tällöin monotonisen konvergenssin luse s+1 (luse 4.3) nojll Lebesguen integrli f(x) dx on olemss j s rvon 1, jos s > 1. s+1 Esimerkki 4.6. (1) Olkoon f n (x) = nx n, kun x [, 1]. Tällöin lim f n = melkein kikkill j lim f n(x) dx = 1. Näin ollen lim f n (x) dx ( ) lim f n(x) dx. (2) Olkoon f n (x) = n 2 x n, kun x [, 1]. Tällöin lim f n = melkein kikkill j lim f n(x) dx =. Näin ollen lim f n (x) dx ( ) lim f n(x) dx. Edeltävässä esimerkissä kumpikn jonoist ei ollut monotoniseti ksvv eikä rjoitettu melkein kikkill. Tämän vuoksi onkin luonnollist seurvksi trkstell ei-monotonisi jonoj, jotk ovt integroituvll funktioll rjoitettuj melkein kikkill, eli todistetn dominoidun konvergenssin luse (luse 4.8). Tätä ennen kuitenkin todistetn eräs putulos: Lemm 4.7. Olkoon jono (x n ) n=1 R. Tällöin ( ) lim sup x n = lim inf xn. Todistus. Nyt jono (x n ) n=1 R, joten ( ) sup x k = inf xk k n k n kikill n N. Nyt kun otetn rj-rvot j käytetään ylä- j lrjrvojen määritelmiä (määritelmä 2.11) sdn ( [ lim sup x n = lim ) sup x k = lim k n inf k n ( xk ) ] = lim inf ( xn ). 41

Luse 4.8 (Dominoidun konvergenssin luse). Olkoon (f n ) n=1 jono Lebesgue-integroituvi välin [, b] funktioit. Oletetn, että on olemss sellinen funktio f, että lim f n = f melkein kikkill välillä [, b]. Oletetn myös, että on olemss sellinen Lebesgue-integroituv funktio g, että kikill n N on f n (x) g(x) melkein kikkill x [, b]. Tällöin funktio f on Lebesgue-integroituv välillä [, b] j f = lim f n. Todistus. Kun 1 k m, määritellään funktiot j g k,m (x) = min{f n (x) : k n m} g k (x) = inf{f n (x) : n k} (7) Tällöin lemmn 3.2 perusteell funktio g k,m on Lebesgue-integroituv välillä [, b] j vähenevä jono (g k,m ) m=k suppenee kohti funktiot g k melkein kikkill välillä [, b]. Lisäksi g k,m g melkein kikkill välillä [, b], joten luseen 3.13 nojll on g k,m ( g) >. Huomutuksest 4.4 seur, että funktio g k on Lebesgue-integroituv välillä [, b] j kikill k 1 g k = lim m g k,m g <. Alrj-rvon määritelmän (määritelmä 2.11) mukn lim g k(x) = lim inf f n(x) = f(x) m.k. x [, b]. k Kosk g k f k kikill rvoill k j jono (g k ) on ksvv, niin monotonisen konvergenssin luseen (luseen 4.3) perusteell sdn, että funktio f on Lebesgue-integroituv välilä [, b] j f = lim k g k (7) lim inf k 42 f k.