Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8, D Piirretään korkeusjn = D kärjestä knnlle = 8,. Muodostuvst suorkulmisest kolmiost D sdn ytälö sin 38 = = sin 38 6,8 =,18 6,8 Kolmion lksi sdn kolmio, = 0,5 8, sin 38 6,8 = 17,16 17. Vstvll tvll voidn menetellä yleisen vinokulmisen kolmion (suor, terävä ti tylppä) ln määrittämisessä. Merkitään kolmion sivuj,, sekä niiden vstisi kulmi,,. Trkstelln kolme erityyppistä tilnnett. = 90 = D Kulm terävä Kulm suor Kulm tylppä sin = sin = sin 90 = 1 sin 180 = = sin = = sin = sin Hvitn, että kolmion muodost riippumtt kolmion l on in 180 = 1 = 1 sin, missä on sivujen j välinen kulm. Trkstelemll vstvsti kulmn semst kulmi j sdn vstvsti kolmion llle = 1 sin = 1 sin. Luse, kolmion l: Kolmion l on puolet kden sivun j niiden välisen kulmn sinin tulost. = 1 sin = 1 sin = 1 sin. 1
Esimerkki: Lske kolmion l. l on 1 7 9 sin 7 30. 9 7 7 Esimerkki: Lske kolmion l j kulm. l on 1 30 36 sin 3, 90. 30 19 Rtkistn kulm pint-ln lusekkeest, sillä = 1 30 36 sin 3, = 1 3, 19 36 sin 36 sin = 30 sin 3, = 0,860 57,8. 19 Esimerkki: Lske kulm, kun kolmion l on 1. l on 1 1 6 8 sin = 1, jost sin = = 0,5 j edelleen = 30 TI = 0. 6 8 6 8 Edellä on osoitettu, että kolmion l on = 1 sin = 1 sin = 1 sin. Jetn ytälöt luvull 1, jolloin sdn sin sin sin = = sin = sin = sin. Luse, Siniluse: Kolmioss sivun j sivun vstisen kulmn sinin sude on vkio sin = sin = sin. Luse voidn esittää myös muodoss : : = sin : sin : sin. Mitä jälkimmäinen esitysmuoto trkoitt? Vinokulminen kolmio voidn siis rtkist käyttämällä sinilusett, kun kolmiost tunnetn 1. Kksi kulm j yksi sivu ti. Kksi sivu j toisen sivun vstinen kulm (md. eri kolmiot!)
Esimerkki: Kolmion kksi kulm ovt 7, j 71,5 sekä pisin sivu 8. Lske kolmion muut ost. Kolmion kolms kulm on 180 7, 71,5 = 61,3, siis = 61,3. Suurimmn kulmn vstinen sivu on pisin. Siniluseen nojll = 8 sin 7, sin 71,5, = 8 sin 61,3 sin 71,5 6. 7, 71,5 8 Esimerkki: Kolmion kksi kulm ovt 60 j 5 sekä pienimmän kulmn vstinen sivu 10. Lske trkk rvo sen sivun pituudelle, jonk vstinen kulm on 60. Piirretään luksi kolmio nnetuill tiedoill. Huom, että pienin kulm on 5. 5 x Sinilusett yödyntäen sdn: 10 sin 5 = x x = sin 60 10 sin 60 sin 5 = 5 6. 10 60 Esimerkki: Lske kulmt j sekä sivu. Sinilusett käyttäen, sdn: = 10 sin 3,0, jost sin =, sin sin 3,0 10 j edelleen 5,6 ti 180 5,6 = 17,. Näin ollen on stu kksi eri tpust: 10 5,6 3,0 10 3,0 Kun = 5,6, niin = 180 5,6 3,0 = 95, j tällöin 10 17, 3,0 sin 95, = 10 10 sin 95,, jost = 19. sin 3,0 sin 3,0 Kun = 17,, niin = 180 17, 3,0 = 0,6 j tällöin sin 0,6 = 10 10 sin 0,6, jost = 6,6. sin 3,0 sin 3,0 3
Kosiniluse Trkstelln seurvksi kolmion kulmn vstisen sivun pituuden riippuvuutt kulmn suuruudest j kolmion muiden sivujen pituuksist. Kolmion kärjestä knnlle piirretyn korkeusjnn D = kntpiste D on kn- nll ti sen jtkeell riippuen siitä onko kulm = terävä vi tylppä. Sdn kolme tpust: D Tpus 1: Kun kulm < 90, niin = p = p, jost = p + p = + p. Kosk p = os, niin on p = os j p p näin ollen D = + os. Tpus : Kun kulm > 90, niin = p = + p, jost = p + + p = + + p. 180 Kosk p = os 180 = os, niin on p = os j näin ollen = + + os = + os. D p Tpus 3: Kun kulm = 90, niin Pytgorn nojll = +. Tämä voidn kirjoitt myös muodoss = = + os 90, sillä os 90 = 0. = 90
Hvitn, että kikill kulmn rvoill pätee ytälö = + os, jot snotn kosiniluseeksi. Luse, Kosiniluse: Kolmioss on = + os, = + os, = + os. Jos kulm = 90, kosiniluse on Pytgorn luse = +, eli Pytgorn luse on kosiniluseen erikoistpus. Miten perustelisit Pytgorn luseen käänteisluseen kosinilusett käyttäen? Vinokulminen kolmio voidn rtkist kosinilusett käyttäen silloin, kun kolmiost tunnetn 1. Kikki sivut ti. Yksi kulm j kksi sivu Esimerkki: Kolmioss 60 steen kulmn viereiset sivut ovt j 6. ) Lske kolms sivu x, ) Kuink suuret ovt muut kulmt (, )? x ) Käytetään kosinilusett 60 steen kulmlle 60 j sdn ytälö x = + 6 6 os 60 = 16 + 36 8 1 6 x = 8 = 7 ) Siniluseen nojll = 7 sin 60, jost sin = = 3 j sin sin 60 7 7 0,9 (ti 139,1 ). Tällöin 79,1 (ti 19,1 HYL). Esimerkki: Kolmion sivut ovt,5 j 6. Kuink suuri on sen pienin kulm? Kolmioss lyintä sivu vst pienin kulm. Kosiniluseen nojll = 5 + 6 5 6 os os = jost kulmksi sdn 1,. 5 6 16 5 36 60 = 3, 5
Esimerkki: Lske r-säteisen ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kdeksnkulmion sivun s pituus. Kosk sivu s vstv keskuskulm on = 360 8 = 5, Niin s = r + r r r os 5 = r r 1 = r, jost r 5 r s s = r. 6