Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja

Transkriptio

1

2 Sisällys Alkusnt Tehtävien rtkisuj Vektorit (MAA) Vektoreill lskeminen Vektorit geometrin käytössä 9 Vektorit koordintistoss Lisätehtäviä Todennäköisyys j tilstot (MAA) Tilstot Todennäköisyys Todennäköisyysjkum 7 Lisätehtäviä 87. pinos 00 Pvo Jäppinen, Alpo Kupiinen, Mtti Räsänen j Kustnnusoskeyhtiö Otv Titto: Pvo Jäppinen Kopiointiehdot: Tämä teos on opettjn ops/opettjn kirj. Teos on suojttu tekijänoikeuslill (0/). Tekstisivujen vlokopioiminen on kielletty, ellei vlokopiointiin ole hnkittu lup. Trkist, onko oppilitoksellnne voimssolev vlokopiointilup. Lisätietoj luvist j niiden sisällöstä nt Kopiosto ry, Teoksen kikkien klvopohjien j kokeiden vlokopiointi opetuskäyttöön on sllittu, mikäli oppilitoksellnne on voimssolev vlokopiointilup. Teoksen ti sen osn digitlinen kopioiminen ti muuntelu on ehdottomsti kielletty. Alkusnt Tämä ineisto liittyy pitkän mtemtiikn oppikirjn Lukion Clculus :een j se on trkoitettu helpottmn opettjn työtä j nopeuttmn tehtäviin tutustumist. Aineisto sisältää kurssien Vektorit j Todennäköisyys j tilstot tehtävien rtkisuj. Lähes kikkien tehtävien rtkisut on esitetty. Mukn ei kuitenkn ole otettu ivn kikkein helpoimpi tehtäviä, joiss hrjoitelln vin käsitteiden käyttöä j jotk ovt melko meknisi. Sitä vstoin kikki soveltmist, nlysointi ti todistmist edellyttävät tehtävät on rtkistu. Tehtävien rtkisuihin on pyritty liittämään snllist selvitystä j hvinnollistvi piirroksi. Tvoitteen on, että myös oppilt tottuvt esittämään trpeelliset perustelut j ltimn vstuksens niin, että siitä käy ilmi, miten rtkisu on jteltu. Tämä edellyttää usein juuri täydentävän snllisen selvityksen j selkeiden piirrosten käyttöä. Kesäkuuss 00 Tekijät Pinopikk: Otvn Kirjpino Oy Keuruu 00 ISBN X

3 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Tehtävien rtkisuj Vektorit Nimityksiä j merkintöjä. ) D on (, ). ) D on ( 7, ). 7. C on (, ) ti (, ). D'' C A y D' B x y C' A C'' B x 8. ) CB HE GF ) Vektori vstn kohtisuorss ovt vektorit AB, DC, BF, CG, DH, HG, AE j EF sekä näiden vstvektorit. c) Kikki särmävektorit ovt vektorin pituisi. H D C G A E F B Vektoreill lskeminen Vektoreiden summ j erotus. Tiedetään, että j. ) Kun, niin + 8 j. +

4 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj ) Kun, niin + j 8. + c) Kun, vektoreiden + j pituudet sdn suorkulmisest kolmiost hypotenuusn pituuten: ) AB+ BC, loppupiste (, ) ) AC+ AD, loppupiste (, ) c) BA AC, loppupiste (, ) d) AD CD, loppupiste (, ) e) BD CD BC voidn jtell summn BD + DC+ CB 0, loppupiste origo c) ) y D C ) d) B A e) x. Jott kone lentäisi suorn pohjoiseen, sitä on ohjttv kuvn mukisesti pohjoissuunnst länteen. Poikkem pohjoissuunnst sdn yhtälöstä 7 sin α, jost α 8, 0. Lentokoneen nopeus mhn nähden on 0 v 0 7 km/h km/h. (0 m/s) 7 km/h 0 km/h α v. ) BD c) EG + e) HC c ) FG d) HA c f) AG + + c. ) DE + c c) FA + c e) DF c ) EC + c d) CF c f) EF + c

5 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj D. Termejä siirtämällä yhtälö AB DC AD BC muunnetn muotoon AB+ BC AD+ DC. Tämä nähdään todeksi, kosk yhtälön kumpikin puoli edust vektori AC. 7. ) ) c) A B C 7 N 0 N 7 N x 7 N x 0 N 0 N ) Summvektorin suuruus on 0 N 7 N 0 N. ) x N 0 N c) Summvektori sdn kosiniluseell: x cos Tulokseksi tulee x 70 N. 8. Nopeudet voidn lske yhteen vektorein. Veneen todellist nopeutt esittää kuvioss vektori AD. Suorkulmisest kolmiost ABC lsketn ensin D terävät kulmt j hypotenuus. Sdn BAC,0 m/s 9,7, ACB 70, j AC 7,. Kolmiost C ACD lsketn kosiniluseell sivu AD. Kulm ACD + 9,7,7 j sivu AD 9,8. Siniluseell sdn kulm CAD,. Tällöin, m/s veneen kulkusuunt esittävä kulm BAD. Veneen nopeus on 9, m/s. A 7,0 m/s B Vektorin kertominen luvull 8. ) Kun + 0, niin j. ) Kun 0, niin j. c) Kun + 0, niin, joten j. d) Kun +, niin, joten j.

6 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9. Yhtälö + voidn kirjoitt muotoon, mikä osoitt, että vektorit j ovt smnsuuntiset. 0. Yhtälö ( + ) + voidn kirjoitt muotoon, mikä osoitt, että vektorit j ovt vstkkissuuntiset.. Jos + olisi nollvektori, niin olisi. Mutt tällöin j olisivt yhdensuuntisi, mikä on vstoin lähtötietoj. Siis vektori + ei ole nollvektori.. Jos vektorit j + olisivt yhdensuuntiset, niin olisi sellinen reliluku t, että t( + ). Tällöin olisi t + t j t + t, jost ( t ) ( + t). Luku t ei voi oll, muutoin olisi 0 j 0. Siis luvull t voi jk, jolloin sdn. Tämä merkitsee, että j oli- + t t sivt yhdensuuntiset. Se on kuitenkin vstoin lähtötietoj. Niinpä ei ole sellist luku t, että t( + ). Siksi vektorit j + ovt erisuuntiset... Kosk vektorin kerroin on positiivinen, on. Toislt. Näin on väite todistettu oikeksi. Komponentit j knt. Täydennetään kuvio suunnikkksi, jonk lävistäjänä on vektori OC j jonk sivut ovt vektoreiden OA j OB y B' C ' ' suuntiset. Vektorit OA j OB ovt vditut komponentit. Loppupisteet ovt vstvsti (, ) j (0, ). B O A A' x 7. Piirretään vektorin u lkupisteen kutt suorien l j s suuntiset suort j täydennetään kuvioon suunniks oheisen piirroksen mukisesti. Vektorit u j u ovt vditut komponentit. l s u l s l u u s

7 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 7 8. ) k + täsmälleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että k + t( ) eli k + t t. Kntvektoriesityksen yksikäsitteisyydestä seur, että k t j t. Sdn t, jolloin myös k. ) + k täsmälleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että + t( k ) eli + tk t. Kntvektoriesityksen yksikäsitteisyydestä seur, että tk j t. Sdn t, jolloin k. c) k + + k täsmälleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että k + t( + k) eli k + t + tk. Kntvektoriesityksen yksikäsitteisyydestä seur, että k t j tk. Sdn t, k 0, jolloin k j 9 k k k ±. Tpuksess k 0 päädytään yhtälöön, jok on ristiriidss sen oletuksen knss, että vektorit j ovt erisuuntiset. 9. Vektorit + ( k + ) j k + ovt vstkkissuuntiset, kun on sellinen negtiivinen reliluku t, että + ( k + ) t( k + ). Sdn + ( k + ) tk + t j kerroinvertilull tk j k + t. Tästä k(k + ) j edelleen k + k 0. Juurist k vst negtiivist t:n rvo. 0. Yhtälö + c 0 voidn kirjoitt muotoon ( c) c, mikä osoitt, että c c. Tämä ts merkitsee yhdessä vektoreiden, j c yhteisen lkupisteen knss, että vektoreiden, j c kärjet ovt smll suorll. c c c. Yhtälö 7c 0 voidn kirjoitt muotoon 7c. Se merkitsee, että on :n j c :n määräämässä tsoss eli silloin kikki vektorit, j c ovt smss tsoss.. Vektorit ( k ) + ( k + ) j ( + k ) + ( k ) ovt smnsuuntiset, jos on sellinen positiivinen luku t, että ( k ) + ( k + ) t( ( + k ) + ( k ) ). Kertoimien vertilull sdn ehdot k t( + k) j k + t(k ). Yhtälöprin rtkisu on k j t. Kysyttyjä relilukuj k ei siis ole.. On löydettävä luvut t j s niin, että + t( + ) + s( ). Sdn t + s + ( t + s) + ( t s). Kertoimien vertilu nt yhtälöprin Sen t s.

8 8 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9 rtkisu on t j s, joten kysytty komponenttiesitys on 9 + ( + ) ( ).. On löydettävä luvut t j s niin, että + 8 t( + ) + s( + ). Sdn t + s + 8 ( t + s) + (t + s). Kertoimien vertilu nt yhtälöprin t + s 8. Sen rtkisu on t j s, joten kysytty komponenttiesitys on + 8 ( + ) ( + ).. Merkitään + c t( + c ) + s( + c ) + r( + c ). Sdn yhtälöryhmä t + s + r, t s r j t + s + r. Kertoimet ovt, j, joten + c ( + c ) + ( + c ) ( + c ).. Piirretään mäenlskijn pinopisteestä mäen suuntinen sekä sitä vstn kohtisuor suor j täydennetään kuvio suorkulmioksi oheisen kuvn mukisesti. Tällöin löytyvät mäkeä vstn kohtisuor komponentti G j mäen suuntinen komponentti G. α G G α G Olkoon mäen kltevuuskulm α. Silloin kuvn α :ll merkityt kovert kulmt ovt yhtä suuret, kosk niiden smnnimiset kyljet ovt kohtisuorss toisin vstn. Syntyneestä suorkulmisest kolmiost sdn G :n komponenttien suuruuksiksi G Gcosα j G Gsinα. Komponentti G ilmisee voimn, joll mäenlskij pin rinnettä kohtisuorsti, j sen suuruus yhdessä kitkkertoimen knss määrää kitkvoimn suuruuden. Komponentti G on lskijn pinost iheutuv mäen suuntinen voim, jok yhdessä kitkvoimn knss iheutt liikkeen kiihtyvyyden rinnettä ls. 7. Oheiseen mllikuvn on merkitty toisin vstn kohtisuort komponentit F j F, joist ensin minittu muodost voimn F knss kulmn α. Selvitetään ensin tämän kulmn suuruus. Kulm määräytyy suorkulmiseen kolmioon liittyvästä yhtälöstä 0,0 cos α, j kulmn suuruus on noin 7,. Tällöin sdn 0,0 F F piirtämällä selville komponentti F. Sen suuruus on α F F F 0,0 0,0 N 8,7 N. F

9 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9 Vektorit geometrin käytössä Jnn jkosuhde 8. Jkosuhdevektorin lusekett sovelten + OC. O B () C () A 9. Kosk PA : PB :, niin AP AB ( ). Silloin OP OA+ AP + ( ). A B P O Jkopisteluseen mukn OP j OQ. Silloin QP OP OQ ( ). A O P Q () () B. AM AB+ BM + ( + c) + + c. Piste C voi sijit jnll AB ti sen jtkeell. Ensin minituss tpuksess pisteen pikkvektori voidn lusu jkosuhdevektorin lusekett käyttäen muodoss + () () OC. 8 A C B C () () Jälkimmäisessä tpuksess sdn OC OA+ AC + ( ). O. ) Kuvion merkintöjen mukn 7 + PQ PA+ AQ + ( ) +. + ) Jkopisteluseen mukn OQ. O B () Q () () P () A

10 0 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Jkopisteluseen todistus: q OP OA+ AP OA+ AB + p + q q q + p + q p + q p + q + q q p + q p + q p + q q ( ) p + q A () q P () p B O. Kuvion merkintöjen mukn AB j BC c. Tällöin PQ PA+ AB+ BQ + + ( c ) ( + + c).. Oheisen kuvn merkinnöin OP t( + ) j BP s BD s( ), joiss t j s ovt sopivi relilukuj. Kolmiost OBP sdn vektoriyhtälö OP + BP eli t( + ) + s( ) j tästä B C P () järjestelemällä t + t s + ( s). Kertoimien vertilu nt t s j t s, joist t s. Tästä s- D () 8 O A dn tulokset: ) Piste P jk jnn BD suhteess :. ) Piste P jk lävistäjän OC suhteess : Jkopisteluseen mukn OC.Toislt BD. Kolmiost OPB sdn vektoriyhtälö OP + BP eli t OC + s BD, t, s R. Tästä edelleen t t s s + + s + ( s). Kerroinvertilu nt O D A t s t j s. Näistä s j t. Sdun t:n rvon mukn jn OC jkutuu suhteess :. B P () C ()

11 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Muit geometrisi sovelluksi 0. Kolmion pinopisteen pikkvektori on kolmsos kärkien pikkvektoreiden summst. Pikkvektoreiden lkupiste on vpsti vlittviss. Pisteestä C piirretyt kärkien pikkvektorit ovt, j 0, joten CM ( + ).. Kosk lävistäjät puolittvt toisens, puolikkisiin voidn liittää vektorit kuvn mukisesti. Silloin sdn AD u + v j BC v + u eli AD BC. Mutt se merkitsee, että nelikulmion ABCD kksi vstkkist sivu ovt yhdensuuntiset j yhtä pitkät, joten nelikulmio ABCD on suunniks. A D v u v u B C. Pisteet E j F ovt kolmion ABC khden sivun keskipisteitä, joten EF AC. Vstvst syystä HG AC. Siis H D G EF HG. Se merkitsee, että nelikulmion EFGH kksi vstkkist sivu ovt yhtä pitkiä j yhdensuuntisi, joten kyseinen nelikulmio on suunniks. Huomutus: Todistuksess voi tietenkin vedot suorn (vektoreiden vull) todistettuihin geometrin luseisiin.. Kosk AB DC, on sellinen t > 0, että DC t AB. Kosk E j F ovt lävistäjien keskipisteitä, on AE EC EF EA+ AB+ BF EF EC t AB+ DF j BF FD. Lusutn vektori EF khdell eri tvll: Lskemll yhteen puolittin sdn A t EF ( t) AB, jost EF AB. Tämä osoitt, että EF on kntsivujen suuntinen. Huomutus: Tpuksess t olisi EF nollvektori. Silloin nelikulmio ABCD olisi suunniks, kosk sen lävistäjät puolittisivt toisens. Nyt kuitenkin nelikulmio oletettiin puolisuunnikkksi, joten t:n rvo ei tule kysymykseen. D A E E C F B F C B

12 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Puolisuunnikkn yhdensuuntiset sivuvektorit ovt kuvn mukisesti j j erisuuntiset sivuvektorit c j d. Lusutn erisuuntisten sivujen keskipisteitä yhdistävä vektori x khdell tvll: c d x c + + d x x c + d Lskemll yhtälöt puolittin yhteen sdn x + j siitä x ( + ). Kosk j ovt smnsuuntiset, myös niiden summ j siksi myös x on smnsuuntinen :n j :n knss. Yhtälöstä x ( + ) nähdään lisäksi, että keskipisteiden yhdysjn on puolet kntsivujen summst.. Olkoon M kolmion ABC pinopiste j, j c siitä vstviin kärkiin piirretyt vektorit. Näiden vektoreiden pituudet ovt / vstvien medinien pituuksist. Sivuvektoreiden vull sdn + + c ( AB+ AC) ( BA+ BC) ( CA+ CB) ( AB+ AC+ BA+ BC+ CA+ CB) A (( AB+ BA) + ( AC+ CA) + ( BC+ CB)) 0 Huomutus: Tuloksen voisi perustell myös seurvsti: Kolmion pinopisteen pikkvektori on kolmsos kärkipisteiden pikkvektoreiden summst. Jos origoksi vlitn erityisesti pinopiste, on sen pikkvektori nollvektori. Silloin myös vektoreiden, j c summ on nollvektori. M C c B. OE ( + d) j OF ( + c), joten FE OE OF ( + d c). Silloin OP OF + FE ( + c) + ( + + c + d). ( + d c) A E D d P C c F B Nähdään, että P on tetredrin pinopiste. O

13 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Vektorit koordintistoss Vektorit tsokoordintistoss 9. ) r + s + t i j. Pituus on + ( ). ) r s t i. Pituus on. c) s r + t i + j. Pituus on. i + j i + j 70. ) i + j ( ) + i j i j ) i j + ( ) c i + j i + j c) c i + j c + d j d) d j d 7. Vektorit u xi + ( y + ) j j v ( + x) i+ ( x+ y) j ovt smoj trklleen silloin, kun x + x j y + x + y. Rtkisuksi sdn x j y on jokin reliluku. 7. ) PR OR OP ( i 7 j) ( i + j) i j. ) Jnn PR pituus PR + ( ) 80 c) Olkoon jnn PR keskipiste Q. Sen pikkvektori on OQ ( OP+ OR) ( i j) i j. Siis Q on (, ). Kysytyn keskipisteen voi lske myös nlyyttisessä geometriss esitetyllä tvll. 7. Vektorin ( t+ ) i tj pituus on ( t + ) + ( t) t + t +. Se s rvon, kun t + t 0 eli t:n rvoill 0 j. 7. Kun suunnikkn sivuin ovt vektorit i+ j j i j, lävistäjinä ovt vektorit + i + j j i j. Kummnkin pituus on. 7. ) i + j i + k j täsmälleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että i + j t( i + k j) eli i + j ti + kt j. Tämä toteutuu ehdoin t j kt. Sdn t, jolloin k.

14 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj ) i + k j ki + j täsmälleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että i + k j t( ki + j) eli i + k j tki + t j. Tämä toteutuu ehdoin tk j k t. Sdn t, k 0, jolloin k ±. Arvoll k 0 nnetut vektorit eivät ole k yhdensuuntisi vn toisin vstn kohtisuorss. 7. Olkoon O origo j P se piste, jok jk jnn A(, )B(, ) suhteess :. Jkopisteluseen nojll OA + OB i + j + (i j) OP i + j. Kysytty piste on siis P(, ) i j, joten +. Kosk vektorit j ovt vstkkissuunti- set j :n pituus on, tulee oll i + j. Kun lk pisteestä (, ), sen loppupisteen pikkvektori on i + j + ( i + j) i + 7 j. Loppupiste on siis (, 7). 78. Olkoon kysytty piste P(x, y). Tulee oll PA+ PB+ PC+ PD+ PE ( x) i + ( y) j + ( x) i + ( y) j + ( x) i + ( y) j + ( x) i + ( y) j + ( x) i + ( y) j 0 eli ( x ) i + ( y) j 0. Tämä toteutuu vin kertoimien rvoll noll eli kun x j y. Kysytty piste on (, ). 79. Olkoon piste, johon päädytään, (x, y). Määritetään sen pikkvektori. v i + j xi + y j i j + v i j + i j + i + 9 j v Päädytään pisteeseen (, 9). 80. Kun i j, i + j j c di + (d + ) j, niin + c ( + d) i + ( d ) j j + c ( d ) i + ( d + ) j. Sdut summvektorit ovt smnsuuntiset trklleen silloin, kun on sellinen luku t > 0, että ( + d) i + ( d ) j t(( d ) i + ( d + ) j) eli ( + d) i + ( d ) j t( d ) i + t( d + ) j. Vektoreiden identtisyysehto nt yhtälöprin + d t(d ) j d t(d + ) eli td d + t j td d t. Näistä t. Positiivist luku t ei siis ole olemss, joten smnsuuntisuus ei toteudu millään d:n rvoll. 8. Hetn selliset luvut t j s, että te + se eli i j t( i + j) + s( i + j) ( t + s) i + ( t + s) j. Sdn yhtälöpri t + s j t + s, jonk rtkisu on t 7 j s. Tulos on näin ollen 7e e.

15 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 8. Pikkvektoreiden i j, i j j c xi + j kärjet ovt smll suorll, jos AB t BC, t R, eli t( c ). Sijoittmll tähän nnettujen vektoreiden lusekkeet sdn sieventämisen jälkeen yhtälö i j t(( x + ) i + j) t( x + ) i + t j. Tästä t(x + ) j t j edelleen t j x. C B A c O 8. Piirretään siirtymät vektorein koordintistoon, jonk pituusyksikkö on metri. Tällöin lopullisen sijintikohdn määrää kuvn mukinen vektori y d + + c c ( i + j) + ( i + j) + (00i) d ( ) i + ( + ) j α 87,9i +, j. x Sen pituus metreinä on noin 87,9 +,. Kuvn merkitty kulm α, määräytyy yhtälöstä tn α, jost α 7,. Suunnistj on stujen tulosten 87,9 mukn noin 0 metrin päässä lähtöpikstn suunnss pohjoisest itään. 8. Vektorin i + j pituus on j vektorin i j pituus. Olkoon kysytty t 8 t t piste P. Sen pikkvektori on OP + + i + j, joten päädytään pisteeseen P +,. Merkitään x + j y j kerro- 8 t t 8 t t tn ensimmäinen yhtälö :ll j jälkimmäinen :llä. Sdn 9 0t x j y 0 0t + j edelleen yhteen lskemll x + y eli 0 x + y 0. Piste P piirtää tämän suorn, kun t s kikki relirvot. 8. Kuvn merkitty vektori AB i + j j sen pituus on. Vstvsti AC i j, j sen pituus on. Kuvn vektori p on kulmn B(, ) () puolittjn suuntinen. Kosk kulmn puolittj p jk vstisen sivun viereisten sivujen suhteess, () (i + j) + (i j) on p i + j. Kun se A(, ) 8 C(,-) jetn pituudelln 0, sdn kysytty yksikkövektori p ( i + j ). 0

16 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 8. ) Pisteen P pikkvektori on OA+ OB ( i j) + (8i + j) OP i + j. 7 7 Piste P on (, ). ) Pisteen P pikkvektori on OA+ OB ( xi + y j) + ( xi + y OP 7 7 x + x y + y Piste P on,. 7 7 j) x + x 7 O A () y + y i + 7 P j. () B 87. Kolmnten sivun on vektori c + 7i j ti sen vstvektori, ts. c ± ( 7i j). Kolmio muodostuu myös, jos c i + 8 j ti sen vstvektori, jolloin c ± ( i 8 j). 88. Pisteet A (, ), B(,0) j C(, ) ovt smll suorll, jos on sellinen reliluku t, että AB t BC eli i j t( i j ). Sdn ehdot t t j. Kosk ei ole luku t, jok toteuttisi smnikisesti molemmt ehdot, pisteet eivät ole smll suorll. t t 89. Pikkvektorin r i j kärki on pisteessä, jolle s s t t t x x j y. Edellisestä yhtälöstä sdn. s s s Sijoituksell jälkimmäiseen yhtälöön sdn x y x. Kuvjn on oheinen prelin kri välillä 0 x eli ikvälillä 0 s t s. y x

17 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 7 Pistetulo eli sklritulo 9. ) AB AD AB AD cos D C ) AB DC AB DC cos 0 9 c) AB AC AB AC cos( AB, AC) 9 d) AB BD AB BD cos( AB, BD) ( ) 9 A B 9. ) i+ j j i j, jolloin + ( ). ), i+ 07, j j i j, jolloin (,) + 0,7 ( ) 0 c) i + 7j j i, jolloin d) i j j, jolloin ( ) 0 9. ) x + 0, kun x. ) 8x 0, kun x. c) x + 0 kikill x:n rvoill, joten vektorit eivät ole kohtisuorss toisin vstn millään x:n rvoll. 97. ) cos(, ), jost (, ), 9 ) cos(, ), jost (, ) 9, 98. Kun suunnikkn sivuin ovt vektorit i j j i+ j, lävistäjinä ovt vektorit + i j i j. 8 cos(, ), jost (, ), Kolmion sivuin ovt vektorit AB i j, AC 7 i j j BC i + j. 8 + cos( AB, AC ) cos α, jost α 8,7 0 cos( AB, BC ), jost ( AB, BC) 70,. Tällöin β 80 70, 09,. Kolmion kolms kulm on 80 α β, 9. Huomutus: Jos toisess viheess lsketn vektoreiden AC j BC välinen kulm eli kolmion kulm C, sdn sille likirvo,8, jolloin kolms kulm on vstvsti 09,. y A α β B x C

18 8 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 00. ( ) cos Lskemll pistetulo vrmistetn, että vektori u i + j on kohtisuorss vektori u i + j vstn. Kysytty yksikkövektori on u i + j. Vstukseksi so- u pii myös sen vstvektori, joten tulos on ± i + j. 0. ) Kosk + j ovt toisin vstn kohtisuorss, niin niiden pistetulo on noll. Sdn ( + ) ( ) 0. Tämän rtkisu on ±. Mutt kosk j itoj vektoreit, niiden pituudet ovt positiivisi, joten. ) Kosk +, niin + eli ( + ) ( ), jost Tällöin 0 eli 0, joten j ovt toisin vstn kohtisuorss. 0. Kuvn merkintöjen mukn r + c j r c. Tällöin r c 0, sillä r c ympyrän säteinä. Kosk 0, vektorit j ovt kohtisuorss toisin vstn. Se merkitsee, että puoliympyrän sisältämä kehäkulm on suor. 0. Kuvn mukn c, joten c. Käytetään hyväksi pistetulon j vektorin pituuden välistä yhteyttä, jolloin sdn c ( c) ( c) c cosα + c. { cosα + c c Merkitsemällä, j c c sdn kosiniluse + c ccosα. 0. Jos neljäkkään sivuvektorit ovt kuvn mukisesti j, lävistäjinä ovt vektorit + j. Lsketn niiden pistetulo. ( + ) ( ). Kosk, pistetulo on noll, mikä osoitt, että lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn. +

19 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9 0. Nelikulmio ABCD on suunniks. Kun sivuvektorit vlitn kuvn mukisesti, lävistäjät ovt + j. Kosk ne ovt kohtisuorss toisin vstn, niiden pistetulo on noll. Sdn D C ( + ) ( ) 0. Tämän rtkisu + on ±. Mutt kosk j itoj vektoreit, niiden pituudet ovt positiivisi, joten. Suunnikkn kikki A B sivut ovt näin ollen yhtä pitkiä, joten suunniks on neljäkäs. 07. Suunnikkn lävistäjinä olevt vektorit d i + 8 j j e i j ovt kohtisuorss toisin vstn, sillä niiden pistetulo + 8 ( ) 0. Edellisen tehtävän nojll suunniks on neljäkäs. d Toisin: Kosk lävistäjät ovt toisin vstn kohtisuorss j puolittvt toisens, syntyy neljä suorkulmist kolmiot. Jos e lävistäjän puolikkit merkitään kirjimin j, sdn jokisen sivun pituudeksi Pythgorn luseen mukn +. Kyseessä olev suunniks on siis neljäkäs. 08. Esimerkiksi vektori i j on kohtisuorss vektori y B OA i + j vstn, kosk niiden pistetulo on noll. A Tällöin AB t( i j), joss t määräytyy niin, että vektorinob OA+ AB ( + t) i + ( t) j pituus ( + t) + ( t) on kksi kert vektorin OA pituus B. Yhtälöstä ( + t) + ( t) sdn neliöön korottmll j sieventämällä yhtäpitävä yhtälö t, joten t ±. Tällöin OB ( ± ) i + ( m ) j, joten piste B on ( +, ) ti (, + ). 09. Kosk vektoreiden u i+ j j v ri+ j välinen kulm on 0, sdn yhtälö r + r + cos0 eli. Yhtälö voi toteutu vin ehdoll r >. Tällä r + r + 8 ehdoll sdn neliöön korottmll j sieventämällä yhtäpitävä yhtälö r + 8r + 0. Vin juuri r + kelp. *0. Vektorit, j c ovt yksikkövektoreit, :n j :n välinen kulm on 0, :n j c :n välinen kulm 0 j c. Tällöin + c ( + c) + + 9c + c c O x ,9.

20 c 0 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj *. Ehto ( p ) ( c) 0 merkitsee, että suor AP suor BC eli piste P sijitsee A:n kutt kulkevll kolmion korkeussuorll. Toisest ehdost ( p ) ( c ) 0 seur vstvsti, että P on B:n kutt kulkevll korkeussuorll. Kun pistetuloyhtälöistä poistetn sulkeet, p p c + c 0 sdn Lskemll yhtälöt p c p c + 0. yhteen tulee p p + c c 0 eli ( p c) ( ) 0. Tämän tuloksen mukn P on myös C:n kutt kulkevll korkeussuorll, joten kolmion korkeussuort (ti korkeusjnt) leikkvt toisens smss pisteessä. A c p P C c B Vektorit vruuskoordintistoss 9. Kun kolmion kärjet ovt A(0, 0, 0), B(,, ) j C(,, ), niin sivuin ovt vektorit AB i j + k, AC i + j + k j BC i + 7 j + k. Niiden pituudet ovt vstvsti + ( ) + 7, j Kosk pisimmän sivun neliö ei ole khden muun neliöiden summ, kolmio ei ole suorkulminen. 0. Kolmion khten sivun ovt vektorit AB i + j 9k AC i + j k, jolloin kolmnten sivun on BC i j + k. j cos( AB, AC) AB AC AB AC 9 0 ( AB, AC), C cos( AC, BC) AC BC AC BC ( AC, BC), A B Kolms kulm on 80 (, +, ),.. Pisteestä P(x, y, z) pisteisiin A(,, ), B(, 0, ) j C(,, 0) piirretyt vektorit ovt PA ( x) i + ( y) j + ( z) k, PB ( x) i + ( y) j + ( z) k j PC ( x) i + ( y) j + ( z) k. Niiden summ voidn sieventää muotoon PA + PB+ PC ( x) i + (9 y) j + ( z) k. Tämä on nollvektori vin, kun kikki kertoimet ovt nolli, jolloin x, y j z. Piste P on siis (,, ).

21 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Jkosuhdevektorin lusekett käyttäen sdn OB+ OA i 8 j k + ( i j + k) OP i j + k. Piste P on siis (,, ). A(, -, ) Px (, y, z) () () B(, -8, -) O(0, 0, 0). v i + j k t( i j) + s(i j + k) + r( i + j k) ( t + s r) i + ( t s + r) j + ( s r) k t + s r Kerroinvertilu nt yhtälöryhmän t s + r Sen rtkisu on t, s r. s /, r /. Sdn tulos v + c.. Särmiö on suorkulminen, jos, c j c eli jos 0, c 0 j x + 0 c 0. Sdn yhtälöryhmä x + y + z 0 Sen rtkisu on x, y + z 0. j z. Särmiön tilvuus on V c.. Kolmion sivujen AB j AC pituudet ovt j c y. Niiden välisen kulmn kosini on c 8 + cos α c. Välisen B 0 kulmn sini on silloin sin α cos α. 0 Kolmion pint-l on A, 0. A α c C. Vektoreiden OA i + j k j OB i j + k määräämän kolmion sivujen OA j OB pituudet ovt j. Niiden välisen kulmn kosini on cos γ. Välisen kulmn 7 sini on silloin sin γ cos γ. Kolmion OAB pint-l on näin ollen 7 A O γ. Lusutn nyt kolmion pinh B

22 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj t-l knt AB j korkeutt h käyttäen. Kntvektorin on pituus on 9. Kolmion pint-llle sdn yhtälö 7 8 Siitä h, AB i j + k, j sen 7 9 h. Avruussuorn yhtälöt 0. ) Suor kulkee pisteen (,, ) kutt j sen suuntvektori on i + j k, joten suorn vektoriesitys on r i j + k + t( i + j k), t R. ) Kun vektoriyhtälö kirjoitetn muotoon x i + y j + zk ( t) i + ( + t) j + ( t) k, sdn kertoimien vertilust prmetriesitys x t, y + t, z t, t R. Prmetrimuoto voidn myös kirjoitt välittömästi, kun tunnetn suorn kiinteä piste j suuntvektori. c) Kun prmetriyhtälöistä rtkistn t j merkitään sdut lusekkeet yhtä suuriksi, sdn suorn koordinttimuotoinen yhtälö x + y z. Myös koordinttimuoto sdn välittömästi tunnetust pisteestä j suuntvektorist.. Pisteet A(, 0, ), B(,, 8) j C(,, ) ovt smll suorll, jos vektorit AB j AC ovt yhdensuuntiset. Näin on trklleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että AB t AC. Sdn yhtälö i + j k t( i + j k), jot mikään reliluku t ei toteut. Siis pisteet eivät ole smll suorll.. Suorn kltevuuden xy-tsoss määrää kulmkerroin k ti suuntvektori s. Siitä, että kulmkerroin on suuntkulmn tngentti, sdn yhteys s i + k j. ) Kulmkerroin on, joten suuntvektoriksi sopii s i + j. Normlivektoriksi voidn vlit n i j sillä perusteell, että s n 0. ) Kulmkerroin on k, joten suuntvektoriksi sopii s i + k j. Normlivektoriksi käy n ki j. c) Kulmkerroin on Normlivektori on. Suuntvektoriksi käy i j ti sievempänä s i j. n i + j. Huom normlivektorin j suorn kertoimien välinen yhteys. Tulokset s i j j n i + j soveltuvt myös, vikk jompikumpi kertoimist j olisi noll.

23 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Vektoriesityksestä r i j + t(i + j), t R, nähdään, että suorn yksi piste on (, ) j suuntvektori s i + j. Normlivektoriksi voidn vlit n i j, joten suorn yhtälö on x y + c 0. Kun tähän sijoitetn kiinteän pisteen koordintit, sdn c:n rvo c. Suorn yhtälö on x y 0. x 0 t. Suorille sdn prmetriesitykset L : y + t j L : z t x + s y 7 + s z + s. Tutkitn nyt, onko sellisi lukuj t j s, jotk ntvt smn pisteen. Sdn yhtälöryhmä + t 7 + s Kksi ensimmäistä yhtälöä toteutuu, kun t ½ j 0 t + s t + s. s. Nämä luvut eivät toteut kolmtt yhtälöä. Suorill ei ole yhteistä pistettä. Jos rtkisuss hlutn käyttää vektoreit, tutkitn, onko sellisi lukuj t j s, että 0i j + k + t( i + j k) i + 7 j k + s(i + j + k). Kertoimien vertilu joht yllä esitettyyn yhtälöryhmään.. Vektoriyhtälöstä i j + k + t( i + j + k) i + 9 j + k + s(i j k) eli ( t ) i + ( + t) j + ( + t) k ( + s ) i + (9 s) j + ( s) k sdn yhtälö- t + s ryhmä + t 9 s Sen toteuttvt luvut t j s. Yhteisen pisteen + t s. pikkvektori on siis ( 0) i + ( + ) j + ( + ) k 7i + j + k, joten suorien leikkuspiste on ( 7,, ).. Suort r j + k + t( i 7 j k) j r i j + k + t( i + j + k), t R, ovt yhdensuuntiset, jos suuntvektorit ovt yhdensuuntiset eli jos on sellinen reliluku s, että i 7 j k s( i + j + k). Tästä määräytyy s, jolloin tulee oll j. Annetuist suorist toinen kulkee pisteen (0,, ) j toinen pisteen (,, ) kutt. Suort eivät yhdy, sillä näiden pisteiden välinen vektori i 7 j + k ei ole yhdensuuntinen suuntvektoreiden knss. x y z 7. Koordinttimuodost nähdään suorn piste A(,, ) j suuntvektori s i j + k. Vstvsti muodost sdn piste x + y 7 z B(, 7, ) j suuntvektori s i j k. Ainkin suort ovt yhdensuuntiset, + sillä s s. Pisteiden A j B välinen vektori on AB i + j k. Sekin on yhdensuuntinen vektoreiden s j s knss, mikä merkitsee, että kysymyksessä on sm suor.

24 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 8. Pisteiden A(,, ) j B(, 7, 0) kutt kulkevn suorn prmetriesitys on x 0t, y + 8t j z t, t R. Suor koht yz-tson pisteessä, jonk x-koordintti on noll. Se svutetn t:n rvoll. Silloin y j z, joten kysytty piste on (0,, ). 9. Pisteiden (,, ) j (, 0, ) kutt kulkev vlonsäteen suuntvektori on s 8i + j 8k. Suorn prmetriesitys on näin ollen x + 8t, y t, z 8t, t R. Kun setetn z 0, sdn t ½. Silloin x 8 j y ½. Tuloksen on piste (8, ½, 0). Vstvsti kärjen (,, ) kutt kulkevlle suorlle sdn xy-tson pisteeksi (8, 8½, 0). Kärjen (0,, ) kutt kulkev suor puolestn leikk xy-tson pisteessä (, 8½, 0). Nämä kolme pistettä yhdessä pisteiden (, 0, 0), (,, 0) j (0,, 0) knss määräävät kuvn piirretyn vrjomonikulmion. x z y 0. Lentokone on tien y x + 0 ylittäessään z korkeudell h. Mllikuvn piirretyn suorkulmisen kolmion ABC kärkipisteet ovt A( x, x +0, h) A ( x, x + 0, h), B ( x, x + 0, 0) j O y B C(70, 8, 0). Vektori BC OC OB 70i + 8 j ( xi + ( x + 0) j) x C(70,8,0) ( 70 x ) i + (8 + x 0) j. Vektori AC on lentokoneen suuntvektorin i+ j k suuntinen j toislt yhtä kuin BC BA, joten sdn yhtälö t(i + j k) BC BA eli t( i + j k) ( 70 x ) i + (8 + x 0) j hk, t > 0. Vektoreiden identtisyydestä sdn ehtoryhmä t 70 x, t 8 + x 0 j t h. Näistä rtke t 0 j h 0. Kone on 0 metrin korkeudell ylittäessään tien. tie

25 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Tson yhtälöt. ) xy-tson suuntisen tson yhtälö on muoto z k vkio. Kosk piste (,, ) on tässä tsoss, yhtälö on z eli z + 0. ) yz-tson suuntisen tson yhtälö on muoto x k. Sdn x eli x 0 c) xz-tson suuntisen tson yhtälö on muoto y k. Sdn y eli y 0.. Sijoitetn yhtälöön x y + z lusekkeet x t, y t j z + t, jolloin määräytyy t. Leikkuspiste on (,, 0).. Suorn prmetriesitys on x + t, y + t j z 7 + t, t R. Selvitetään, millä t:n rvoll suorn piste on tsoss x + y + z. Yhtälöstä + t + ( + t) t sdn t. Vstv piste on (,, ). 7. Pisteiden (,, ) j (,, ) kutt kulkevn suorn suuntvektori i j k on tson normlivektori, joten tson yhtälö on muoto x y z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, on + + d 0, jost d. Tson yhtälö on näin ollen x y z Pisteet A(,, ), B(,, ), C(,, ) j D(,, ) ovt smss tsoss, jos vektorit AB i j k, AC j j AD i + k ovt smss tsoss. Näin on trklleen silloin, kun on selliset reliluvut t j s, että AB t AC+ s AD eli i j k t j + s( i + k). Huomtn, että luvut t j s toteuttvt yhtälön. Siis pisteet A, B, C j D ovt smss tsoss. 9. Vlitn suorlt x + t, y + t j z + t, t R, kksi pistettä A(,, ) (t 0) j B(0, 0, 0) (t ). Nämä j piste P(,, ) ovt tehtävän minitsemss tsoss, jolloin siinä ovt myös vektorit PA j + k j PB i j k. Normlivektori n i + j + ck on näitä vstn kohtisuorss, mistä seur pistetuloyhtälöt + c 0 j c 0. Sdn c j c. Normlivektoreit ovt kikki vektorit c i c j + ck c( i j + k), c 0. Riittää nt vstukseksi näistä yksi, esimerkiksi i j + k. 0. Tson normlivektori i j + k voidn lske edellisen tehtävän tpn. Tson yhtälö on näin ollen muoto x y + z + d 0. Kosk piste (,, ) on tässä tsoss, on d. Tson yhtälö on x y + z 0.. ) Piste (,, ) on tson r i + j + k + t( i + j) + s( i k), t, s R, piste. Vektorit i + j j i k ovt tson suuntvektorein kohtisuorss normlivektori i + j + ck vstn. Sdn yhtälöt + 0 j c 0. Normlivektoriksi voidn vlit i j + k ( ). Tson yhtälö on x y + z + d 0. Sijoittmll

26 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj tähän tunnetun pisteen koordintit sdn d. Kysytty koordinttimuotoinen yhtälö on x y + z 0. ) Tson r i j + k + t( i j) + s( i + j k), t, s R, koordinttimuodoksi sdn kuten -kohdss x + y + z 0. c) Tson r i j k + t( i + j k) + s(i + j + k), t, s R, koordinttimuodoksi sdn kuten -kohdss x y z 0.. Tson suuntvektoreiksi voidn vlit pisteiden (,, ) j (, 7, ) j toislt (,, ) j (,, ) väliset vektorit 8i + j k j i + j k. Vektoriyhtälöksi sdn r i + k + k + t(8i + j k) + s(i + j k), t, s R.. Piste P(0,, ) on pisteiden A(,, ), B(,, ) j C(,, ) määräämässä tsoss, jos on selliset luvut t j s, että AP t AB+ s AC. Sdn 8i j k t( i + j 7k) + s( i j + k). Ehto joht yhtälöryhmään t s 8 t s Sen toteuttvt luvut t j s. Tulos merkitsee, että 7t + s. piste P on pisteiden A, B j C määräämässä tsoss.. Tson x y z + 0 normlivektori on n i j k. Jos vektori n i + j + ck on tson r i + k + t( j + k) + s(i + k), t, s R, normlivektori, niin kohtisuoruusehtojen mukn + c 0 j + c 0. Voidn vlit n i j k ( ). Annettujen tsojen normlivektorit ovt yhdensuuntiset, joten myös kyseiset tsot ovt yhdensuuntiset.. Kysytty pistejoukko on jnn A(,, )B(,, ) keskinormlitso. Se kulkee keskipisteen (, 0, ½) kutt, j sen normlivektoriksi voidn vlit BA i + j + k. Tson yhtälö on muoto x + y + z + d 0. Sijoittmll tähän keskipisteen koordintit rtke d 0½. Kun yhtälö vielä kerrotn :ll, sdn tulos x + y +z 0.. Olkoon kysytty piste C. Tso x y + z 0 on jnn A(,, ) C(x, y, z) keskinormlitso. Jnn keskipiste on tson piste B x, y, ). Tson normlivektoriksi voidn vlit ( 0 0 z0 AB x + ) i + ( y ) j + ( z ) k. Kosk myös i j + k ( on normlivektori, on AB Kertoimien vertilu nt yhtälöt 0 t( i j + k ) jollkin t:n rvoll. x + t, y t j 0 0 z 0 + t. Kun lusekkeet sijoitetn tson yhtälöön, sdn + t ( t) + + t 0, jost t. Siis B x, y, z ) ( x C koordintit rtkevt yhtälöistä sdn piste (0,, ). ( y +, 0 z + j A (-,, ) B ( x,y,z) ( x, y, z), 0, ). Pisteen. Tulokseksi C

27 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 7 7. Olkoon P mielivltinen tson piste j r sen pikkvektori. n Silloin tson vektori r j normlivektori A on n ovt toisin vstn kohtisuorss, joten P ( r ) n 0. Poistmll sulkeet j siirtämällä termi r päästään tson esitykseen r n r. O 8. Olkoon s i j k Auringon säteiden suuntvektori j z piste P(x, 0, z) seinällä olev lipputngon nupin A(, 0, ) vrjo. Pisteen P pikkvektori on OP OA+ AP OA+ ts, P s A t R. Sijoittmll tähän vektoreiden koordinttiesitykset sdn yhtälö xi + zk i + j + 0k + t(i j k) j y siitä ehdot x + t, 0 t j z 0 t. Keskimmäisestä x yhtälöstä rtke t, jolloin x j z. Nupin vrjo osuu seinään pisteessä P (, 0, ). r Kulmt vruudess 8. ) Suorien y x j y x + 7 suuntvektorit ovt s i + j j s i j. Niiden väliselle kulmlle pätee cosα, joten α. Suorien välinen kulm on. 0 ) Suorien x + y 0 j x y 0 0 suuntvektoreiksi voidn vlit s i j j s i + j. Kulmlle pätee cosα, jost α, 7. Tämä on terävänä kulmn suorien välinen kulm. Huomutus: xy-tson suorien välinen kulm voidn selvittää myös lskemll suorien normlivektoreiden välinen kulm. Kohdn tpuksess normlivektorit ovt n i j j n i j. + x y + 9. Suor, z on xy-tson suuntinen j sen suuntvektori on y + z + s i j. Suorn x suuntvektori on s i + j + k. Vektoreiden väliselle kulmll pätee cosα, jost α 0, 8. Suorien välinen kulm on 77,. 70. Suorn r i j + k + t(i j) suuntvektori on s i j. Jos n i + j + ck on tson r i j + t( i + k) + s( j k) normlivektori, niin + c 0 j c 0. Nor-

28 8 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj mlivektoriksi voidn vlit n i j k ( ). Suuntvektorin j normlivektorin väliselle kulmll sdn yhtälö cosβ, jost β 9,. Kysytty kul- + m on 0,8. 7. Suorn r i + j k + t( i + j k) suuntvektori on s i + j k. Jos n i + j + ck on tson r i + j + k + t(i + j k) + s(i + j + k) normlivektori, niin + c 0 j + + c 0. Yhtälöprist sdn 9 9 j c. Normlivektoriksi voidn vlit n 9i j 9k 9 ( 9). Suuntvektorin j normlivektorin pistetuloksi tulee noll, joten suor on tson suuntinen. Suorn j tson välinen kulm on näin ollen Kosk suor on kohtisuorss tso x y + z 0 vstn, sen suuntvektori tson normlivektori i j + k. Kosk suor kulkee pisteen (,, ) kutt, sen vektoriyhtälöksi tulee r i + j + k + t(i j + k), t R. Suorn prmetriesitys on x + t, y t, z + t. Sijoitus tson yhtälöön nt ( + t) ( t) + + t 0, jost t. Leikkuspisteeksi tulee (,, ). 7. Kosk suor r j + k + t(i + j k), t R, on tson T normli, tämän tson normlivektori on n i + j k. Jos n i + j + ck on tson T normlivektori, se on kohtisuorss tson suuntvektoreit i + j j i + k vstn j sdn yhtälöt + 0 j + c 0. Normlivektoriksi voidn vlit n i + j + k. Normlivektoreiden väliselle kulmlle sdn yhtälö + cosα, jost α 8, 8. Tämä on kysytty tsojen välinen kulm Suorn r i k + t( i + j k), t R, suuntvektori on s i + j k j tson x + y 0 0 normlivektori n i + j. Vektoreiden välinen kulm on β. ) 0 + cos β cos ±, jost ti. Molemmt :n rvot sopivt rtkisuksi. 0 n 0 s ) cosβ cos + + Tpukselle β ei tule rtkisu., jost. n 0 s 0

29 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9 7 Pisteen etäisyys suorst j tsost 77. Tsojen x y z + 0 j x y z 0 normlivektorit n i j k j n i j k n ovt yhdensuuntiset, joten myös tsot ovt yhdensuuntiset. Vlitn tsost x y z + 0 jokin piste, esimerkiksi piste (, 0, ). Sen etäisyys tsost x y z 0 on d. Siis myös t sojen välimtk on. 78. Kysytty piste on tson x + y z j sille pisteen (,, ) kutt piirretyn normlin leikkuspiste. Tämän suorn suuntvektoriksi voidn vlit tson normlivektori i + j k. Normlin yhtälö on eli prmetri- x y z + muodoss x + t, y + t, z t, t R. Suorn pisteen pitää oll tsoss, joten + t + ( + t) ( t) Tästä t, jok nt kysytyksi pisteeksi (0,, ). Pisteiden (,, ) j (0,, ) välimtk on Trkistus: Etäisyysluseke nt d Jos tson normlivektori on n i + j + ck, niin sen j suuntvektoreiden pistetulot ovt nolli eli + c 0 j 0. Normlivektoriksi käy i + j + k. Tson yhtälö on x + y + z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, on d. Pisteen (8,, ) etäisyys tsost on d Jos tson normlivektori on n i + j + ck, niin sen j suuntvektoreiden pistetulot ovt nolli eli + + c 0 j + + c 0. Normlivektoriksi käy i j + k (c ). Tson yhtälö on x y + z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, on d. Origon etäisyys tsost x y + z 0 on 9. 9 x 8. ) Suorn + y z yksi piste on A(,, ) j suuntvektori s i + j + k. Vektori s j vektori P0 P ts AP0 ovt kohtisuorss toisin vstn, jolloin s ( ts AP0 ) 0. Tästä t s s AP j 0 z A P 0 ts P L O y x

30 0 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj t s AP0 s AP 0. Piste P 0 on (,, ), jolloin AP0 9i j 8k s s j s AP0 0. Vektorin s pituuden neliö on 0, joten t. Pisteen P pikkvektori on OP OA + ts i + j + k ( i + j + k) i + j k. Piste P on näin ollen (,, ). ) Pisteen (,, ) etäisyys suorst on ( + ) + ( ) + ( + ) Pisteiden A(,, ) j B(,, ) kutt kulkevn suorn suuntvektori on s i + j k. Piste P 0 on (,, ), jolloin AP i k j s AP 9. Vektorin 0 s pituuden neliö on, joten t 9 9. Silloin t s. Pisteen P 0 etäisyys suorst sdn suorkulmisen kolmion kteettin. Kosk hypotenuusn pituus on j toisen kteetin pituus, tulee toisen kteetin pituudeksi. 0 *8 Vektorin projektiot 8. Merkitään AB i + j + k j CD i j + k d. Silloin d d. Projektion pituus on. d ) Kuvn merkityt vektorit ovt i + j + k j i + j k. Silloin +. Tämä on d suorkulmisen kolmion kteetin pituus. Kosk hypotenuusn pituus on, on toisen kteetin pituus eli kysytty etäisyys 9 d. ) Suunnikkn pint-l on d.

31 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 87. Kuvn merkityt vektorit ovt i j + k j 7i + j k. Silloin Suorkulmisen kolmion kteetin pituus on 7. Kosk hypotenuusn pituus on 0 9 d 0. 9 C(,-, -), on toisen kteetin pituus eli kysytty etäisyys A(,-, ) d B(8,,-7) 88. Lsketn ensin kolmion A(,, )B(, 0, )C(,, ) kärjestä A knt BC vstn piirretty korkeus. Se on pisteen A etäisyys pisteiden B j C kutt kulkevst suorst eli vektorin BA i j + k kärjen etäisyys vektorin BC c i j + k määräämältä suorlt. Sdn c + + c. c 9 9 Tämä on toisen kteetin pituus suorkulmisess kolmioss, jonk hypotenuus on. Silloin toinen kteetti eli kolmion korkeus on. Kolmi- 9 9 on pint-l on Annetut pisteet j käyttöön otetut vektorit on nimetty kuvn esittämällä tvll. Sdn CA i j + k CB i j + k OC c i + j k (-,,-) C c A(-,, ) B(0,,-) P O Edelleen + + (i j + k) (i j + k) Kysytty projektio P sdn lskemll sen pikkvektori. i j + k. OP c + 7 i + j k + i j + k i + j k Vstus: Projektio on (,, ).

32 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Lisätehtäviä Vektoreiden summ j erotus. Summ + + c + d + e on vektori, jonk lkupiste on :n lkupiste j kärki e :n kärki. + ). AC AD AB ( d ) + ( + + d. d j e c. Osnopeudet lsketn yhteen vektorein, jolloin tuloksen on sekä liikesuunt että nopeuden itseisrvo eli rtnopeus (vuhti). Nyt nopeus sdn suorkulmisen kolmion hypotenuusn. Nopeuden itseisrvo on v,0 +, m/s,m/s., m/s v,0 m/s Vektorin kertominen luvull. ) ( + ) ( ) ) ( ) ( ) +,(0,8 ) + +,, ( +,) + ( +,), ( AB AC) ( AC AB) + ( AB+ AC AB AC AC+ AB+ AB+ AC ( + + ) AB + ( + ) AC 8 AB AC AC + ) PC c) AQ + PQ PB PC + CQ+ QP c) ). ) d) e) f) 0. OR + c, RS j PQ c + ( ) c.. Vektorin d kärki on suunnikkn lävistäjäsuorll, jos vektorit DB d j BP ovt yhdensuuntiset. Nyt BP AP AB d ( d). Tämä osoitt, että DB BP. A R A O d B c Q C P Q () () D B - d S C P P

33 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Kosk + c 0, niin + c 0 j edelleen ( ) c. Tämä osoitt, että vektoreiden, j c kärkien väliset vektorit ovt yhdensuuntiset, joten kärjet ovt smll suorll. c c Komponentit j knt. Oheisen piirroksen mukisesti OA OB+ OC niin, että molemmt komponentit ovt OA:n pituisi. B 0 0 O A C v x 7 m/s. Kuvss v 7 m/s, jolloin v x m/s. v. Vektorit u j v + t eivät sovi tson kntvektoreiksi, jos ne ovt yhdensuuntisi eli jos on sellinen luku s, että + t s( ). Kosk j ovt tson kntvektorit, tulee oll s j t s. Sdn t t( ) + s( + ) ( t + s) + ( t + s). Kertoimien vertilust sdn t + s 8 j t + s, jolloin t j s. Tulos: 8 + ( ) + ( + ). Vektorit + ( k ) j ( k) + ovt vstkkissuuntiset, jos on sellinen negtiivinen luku t, että + ( k ) t( ( k) + ). Kertoimien vertilu nt ehdot t tk j t k. Tästä k k + 0, jok toteutuu vin positiivisill rvoill k ti k 7. Silloin t < 0 j vektorit ovt vstkkissuuntiset. Sellisi k:n rvoj, joill vektorit olisivt smnsuuntisi, ei ole. Jnn jkosuhde. Kolmioss ABC vektorit AE, BF j CD ovt keskijnvektoreit. Lsketn niiden summ j käytetään siinä kolmion sivuvektoreit. AE+ BF + CD ( AB+ BC) + ( BC+ CA) + ( CA+ AB) ( AB+ BC+ CA) 0 0 A F D C E B

34 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. CM CB+ BM + ( + c) + c M E c D A B C. ) Jkopisteluseen nojll OC A C () () B +. ) 8 OC OA+ AC + ( ) + A B C O. Jkopisteluseen nojll AB + AC AD. Vektorille CE sdn esitysmuoto C CE AE AC AD AC () AB+ AC AC AB AC. D Kolmion kulmn puolittj jk vstisen sivun viereisten sivujen suhteess, joten jkopisteluseen mukn c. 7 O A (7) c E (0) () B. Kolmiot BEP j DAP ovt yhdenmuotoisi (kk) mittkvss :, joten BP : PD :. Silloin jkopisteluseen mukn AB+ AD AP AB+ AD. A D P B E C 7. Oheisess kuvss AF ( + c). Kolmiost FEC sdn FE+ EC FC eli t AF+ s BC FC, t, s R. c C F E A D B

35 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj t t t Edelleen ( + c) + s( c ) ( c ) j siitä ( s) + ( + s) c c. t t Kertoimien vertilust sdn yhtälöt s j + s, joist rtke t j s. Näistä seur, että ) piste E jk sivun BC suhteess : ) piste F jk jnn AE suhteess :. Vektorit tsokoordintistoss. i + j 0 i + j 9 + c i 7 j + 9 d i + 8 j + Pituusjärjestys on,, c, d.. Olkoon vektorin 7 i + 8 j lkupiste (x, y). Kosk sen loppupiste on (, ), sdn yhteen lskemll xi + y j + ( 7i + 8 j) i j. Tästä rtke x j y 9. Alkupiste on siis (, 9).. Olkoon piste, johon päädytään, (x, y). Sen pikkvektori on x i + y j. Vektorin i j pituus on + 9, joten pisteestä (, ) tehty siirtymä on. Pikkvektori x i + y j voidn nyt lusu pisteen (, ) pikkvektorin j vektorin summn eli xi + y j i j + (0i j). Tästä rtke x j y. Päädytään siis pisteeseen (, ).. Vektorin i + m j pituus on + m. Ehto + m < m + on yhtäpitävä ehdon + m < m + m + j edelleen ehdon m > knss. Tämä ts toteutuu rvoill m >,, joten jokisell luvull m,,, vektorin i + m j pituus on pienempi kuin m +.. ) Vektorit xi + j j i j ovt yhdensuuntiset trklleen silloin, kun on sellinen reliluku t, että xi + j t( i j). Sdn ehdot t x j t. Näistä t j x. Stu x:n rvo on tehtävän rtkisu. ) Edellisen kohdn mukn vektorit xi + j j i j ovt yhdensuuntiset vin niin, että ne ovt vstkkissuuntiset, sillä t. Siksi ei ole sellist x:n rvo, joll vektorit olisivt smnsuuntiset.

36 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. Etsitään luvut t j s, joille i + j t(i j) + s(i j) (t + s) i + ( t s) j. Kertoimien vertilu nt t + s j t s, joist t j s. Komponenttiesitys on i + j (i j) (i j). 7. Pikkvektorin i + ti j + t j kärki on pisteessä ( x, y) ( + t, + t). Kun yhtälöprist x + t, y + t eliminoidn prmetri t, sdn yhtälö x + ( y + ) eli x y 0. Se esittää suor. 8. Kolmion kolms sivu on r r (sin φ + cos φ) i + (sin φ cos ) j. φ Sen pituus on (sin φ + cos φ) + (sin φ cos φ) y r r r (sin φ + cos φ). Kosk sinin neliön j kosinin neliöiden summ on, tulokseksi tulee. r x Pistetulo eli sklritulo. Vektorit xi + j j i j ovt kohtisuorss toisin vstn, kun niiden pistetulo on noll eli x 0. Tästä x.. Vektori i j vstn kohtisuorss on muiden muss vektori i + j, kosk 0. Kohtisuort yksikkövektorit ovt näin ollen ± ± (i + j).. Yhtälöprist + 8i + j j + 7i j rtke i + j j i j. Silloin cos(, ), jost kulm on noin, Kun vektoreiden i j j ri + j välinen kulm on, toteutuu yhtälö r. Sdn neliöön korottmll j sieventämällä yhtälö r + r 8r 0 j siitä r ti r. Trkistus: vin rvo r käy.. Vektori OA 7 i + 9 j vstn kohtisuor vektori on esimerkiksi 9i 7 j, joten AB t( 9i 7 j), t R. Ehdost sdn t 9 + ( 7) 7 + 9, joten AB OA t ±. Silloin y O A B x

37 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj OB OA+ AB 7i + 9 j ± (9i 7 j) (7 ± ) i + (9 m ) j. Kysytyt vektorit ovt OB i + j ti OB i + j.. ) AB AB AB ) AB AD AB AD cos 0 D c) AB BE AB BE cos0 ( ) E C d) AB BC AB BC cos 0 F A B 7. Jos smst kärjestä lkvt neljäkkään sivuvektorit ovt j, niin lävistäjinä ovt vektorit + j. Silloin ( + ) ( ) 0, sillä j ovt neljäkkään sivuin yhtä pitkiä. Kosk pistetulo on noll, lävistäjät ovt kohtisuorss toisin vstn. 8. ( + ) + ( ) sivujen neliöiden summ + + A D + B C 9. ( ) cos0 + 9 ½ ) i) F F + N 90 N 77 N ii) F F N 7 8 N 0 N ) i) s s 7, m ii) s s, + (,) m, m,9 m c) i) W F s 7, Nm 90 J ii) W F s ( 0, + 7 (,)) Nm 90 J. Oheisen kuvn merkinnöin m ( + ), joten m +. Toislt + ( + ) + + j cos(, ). Yhdistämällä nämä tiedot sdn ensin + +, joten m m +.

38 8 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj Vektorit vruuskoordintistoss. AB ( ) + ( ) + ( ). Vstvsti AC j BC. Kosk BC BA + AC, pisteet A, B, j C ovt smll suorll.. i j + k i j + k Kun i + j k j i j + k, niin ) + ( ). ) cos(, ), jost (, ),. 7. Kosk ( i + 7 j + k ) ( i + j k ) j ( i + 7 j + k ) ( i j + k ) 7 + 0, niin vektori i + 7 j + k on kohtisuorss sekä vektori i + j k että vektori i j + k vstn.. BA 7 i + j + k j BC i + j + k. Vektoreiden välinen kulm sdn yhtälöstä cos α, jost kulm α on noin 9, Olkoon vektorin x loppupiste (x, y, z). Silloin x xi + y j + zk ( i + j + k) ( x ) i + ( y ) j + ( z ) k. Kosk x :llä on sm suunt kuin vektorill i j + k, niin x t ( i j + k ), t > 0. Kosk ts x, sdn yhtälö t + ( ) + t 8 9t, jost t. Vektori x 9 (,, ) 8 8 on siis i j + k. Vertmll tätä luss stuun x :n O 8 8 esitykseen, sdn yhtälöt x, y, z. Näistä sdn loppupisteeksi ( x, y, z) (,, ). x ( x, y, z) 7. Olkoon kysytty vektori x. Se voidn lusu khden vektorin erotuksen muodoss x c ( + ). Kun tähän sijoitetn i + j + k, i j + k j c i + 7 j k j sievennetään luseke, sdn x i + 9 j k. c x

39 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj 9 8. Kolmion pinopisteen pikkvektori on OM ( + + c), joss, j c ovt kärkien pikkvektorit. Tässä tehtävässä i, 8 j j C(0,0,) 8 c k, joten OM (i + 8 j + k) i + j + k. c M B(0,8,0) Pinopiste M on siis (,, ). A(,0,0) 9. Kolmion P P kärjet ovt pisteissä (,, ), (,, ) j (,, ). Kolmion jokisen P sivun pituus on. Kolmio l voidn lske tssivuisen kolmion ln lusekett ( ) käyttäen. Alksi sdn, Kolmion kärjet ovt pisteissä O (0, 0, 0), A (½,, 0) j B (0,, ). Tällöin sivujen pituudet ovt OA +, OB + j AB +. Kolmio on siis tskylkinen. Knt OB vstn piirretty korkeusjn h sdn yhtälöstä h. Kolmion pintlksi tulee + A OB h. x z O h A B y Toisin: Vektoreiden OA i + j j OB j + k välisen kulmn kosini on pistetulo ΟΑ ΟB 0 sovelten cos γ. Kosk sin γ + cos γ j ΟΑ ΟB 0 < γ < 80, on sin γ cos γ. Tästä sinin rvoksi tulee. Kolmion pint- l on A OA OB sin γ.. Pisteiden (, ½, ) j (, ½, ) välinen vektori on s i j k. Tson vektoreit puolestn ovt i + j k j i + k. Kosk s j s, niin suor on kohtisuorss tso vstn.

40 0 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. ) + + ) c) d) 0 + Avruussuorn yhtälöt. Suorn l yhtälö on OP r u + tv, t R.. ) ) c) O c f O e O d. Vektorimuodost r i + j + t(i j), t R, sdn piirtämistä vrten suorn pisteitä: (, ), kun t 0, (, ), kun t, j trkistukseksi (0, ), kun t.. Pisteiden A(9,, ) j B(,, ) kutt kulkevn suor suuntvektori on s AB i + j + k. Vstvsti pisteiden C(,, ) j D(7,, ) kutt kulkevn suorn suuntvektori on Smoin ovt suort. s CD 8 i + 0 j + 8k. Suuntvektorit ovt yhdensuuntiset.. Suorien suuntvektorit ovt s AB 9 i j + k j s CD i + ( k ) j k. Asetetn vektoreiden pistetulo nollksi j sdn 7 k + 0. Tästä k 0.. Pisteiden A(,, 8) j B(,, 7) kutt kulkevn suorn vektoriesitys on r i + j + 8k + t(i + j + k). Pisteiden C(,, ) j D(, 0, 7) kutt kulkev suor on vstvsti r i + j + k + s(i j + k), t, s R. Leikkuskohdss pikkvektorit ovt smt: i + j + 8k + t(i + j + k) i + j + k + s(i j + k) Sdn i + 0 j + k (s t) i + ( s t) j + (s t) k. Kertoimien vertilu nt kolme ehto, jotk kikki toteutuvt, kun t j s. Yhteisen pisteen pikkvektoriksi tulee r i + j + k, joten leikkuspiste on (,, ).

41 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj x 7. Suorien y z x j + y z suuntvektorit ovt s i + j + k j s i + j k. Suuntvektorit ovt erisuuntiset, joten suort leikkvt toisens ti ovt ristikkäiset. Yhtälöpri j + y x y x toteutuu, kun x j y. Nämä ntvt kuitenkin suorille eri z:n rvot ( j ), joten yhteisiä pisteitä ei ole. Suort ovt siis ristikkäiset. 8. Säteet kohtvt, jos on selliset reliluvut t j s, että + tv OP sv OP +. Sdn yhtälö 0i + t(i + j + k) 0i + 80 j + 00k + s( i j k) t + 0 s + 0 P j siitä ehtoryhmä t s + 80 Khdest lemmst t s O yhtälöstä rtke t 0 j s 80. Nämä eivät kuitenkn toteut ylintä yhtälöä. Johtopäätös on, että säteet eivät koht toisin. P v v Tson yhtälöt. Vektori i + j k on kohtisuorss tson x y z 0 normlivektori i j k vstn, joten vektori i + j k on tson suuntinen.. ) Tso x y + 0 on z-kselin suuntinen. ) Tso x z 0 on y-kselin suuntinen. c) Tso z on x- j y-kselien suuntinen.. ) Tso x y + z 0 leikk x-kselin pisteessä, joss y z 0. Silloin x j kysytty piste (, 0, 0). Vstvsti sdn kksi muut leikkuspistettä (0,, 0) j (0, 0, ). ) Tson x y + z 0 j xz-tson yhteisissä pisteissä on y 0. Leikkuskuvioksi tulee suor x + z 0.. Suorn A(,, 0)B(,, ) suuntvektori i j k ti i j k on tson normlivektori, joten tson yhtälö on muoto x y z + d 0. Kosk piste (, 0, ) on tsoss, tulee oll d. Tson yhtälö on x y z 0.. Tson normlivektori i + j + ck on kohtisuorss vektoreit i + j + k j i + j + k vstn, joten + + c 0 j + + c 0. Voidn vlit normlivektoriksi i + j k. Tson yhtälö on silloin muoto x + y z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, tulee oll d 8. Tson yhtälö on x + y z 8 0.

42 Vektorit (MAA) Tehtävien rtkisuj. ) Pisteet A(,, ), B(,, ) j C(,, ) määräävät tson suuntvektorit AB i j + k ti i j + k j AC j k. Pisteen A pikkvektori on i + j k, joten tson yhtälöksi tulee r i + j k + t( i j + k) + s( j k), t, s R. ) Tson normlivektori i + j + ck on kohtisuorss vektoreit i j + k j j k vstn, joten + c 0 j c 0. Voidn vlit normlivektoriksi i j k. Tson yhtälö on silloin muoto x y z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, tulee oll d. Tson yhtälö on x y z 0. Toisin: Jetn koordinttimuoto x + y + cz + d 0 vkioll d 0 (jollei tso kulje origon kutt) j sdn muoto ex + fy + gz + 0. Sijoitetn tähän tunnettujen pisteiden koordintit, jolloin muodostuu yhtälöryhmä e f + g + 0 Sen rtki- e + f g + 0 e + f g + 0. sun e, f j g. Kun nämä sijoitetn yhtälöön ex + fy + gz + 0 j kerrotn se :ll, sdn tulos x y z Tson normlivektori i + j + ck on kohtisuorss sekä vektori i + j + k että pisteiden (,, ) j (,, ) kutt kulkev vektori j vstn. Siitä sdn ehtopri + + c 0 j 0. Vlitn, jolloin c. Normlivektoriksi käy i k, joten tson yhtälö on muoto x z + d 0. Kosk piste (,, ) on tsoss, on d j tson yhtälö x z 0. x y z + 8. Suor leikk xy-tson pisteessä, joss z 0. Tällöin suorn yhtälöstä sdn x 8 j y. Muut leikkuspisteet ( 9, 0, ) j ( 0,, ) sdn vstvsti. x z 9. Suorn y prmetriesitys on x t, y + t j z t, t R. Sijoitus tson yhtälöön x y + z + 0 nt prmetrin rvon t. Pisteeksi sdn ( 7, 8, ). x y + z + 0. Suorn prmetriesitys on x t, y + 7t j z + t, 7 t R. Suorn pisteitä ovt (,, ) j (0,, ). Ne molemmt ovt myös tson x + y z 0 pisteitä, joten suor on tsoss.. Suorn r i + j k + t( i + j k), t R, pisteitä ovt (,, ) j (,, ). Edellisen pisteen pikkvektori päätyy tsoon niillä prmetrien t j s rvoill, joill i + j k i + j + k + t(i + j k) + s(i + j + k). Kntvektoreiden kertoimien vertilu nt kolme ehto, jotk kikki toteutuvt, kun t 0 j s. Siis piste (,, ) on tsoss. Vstvsti nähdään, että myös piste (,, ) on tsoss (t j s ), joten koko suor on tsoss.