5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss kikill ], b[. Määritelmä 5.. Jos b on äärellisenä olemss, snotn että integrli suppenee, j merkitään = b. Kyseistä integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, b]. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn että integrli hjntuu. Funktion epäoleellinen integrli integrointivälin lrjll määritellään vstvsti. Myös tällöin integrlin snotn hjntuvn, jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen. Määritelmä 5.2. Jos on f sellinen välillä ], b] määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] kikill ], b[ j on olemss äärellinen rjrvo, + snotn että integrli 94
suppenee, j merkitään = +. Huomutus 5.. Määritelmän 5. ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, ] toteutuu, jos esimerkiksi f on jtkuv välillä [, b[. Vstvsti määritelmän 5.2 ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, b] toteutuu, jos f on jtkuv välillä ], b]. Huomutus 5.2. Yllä olev vstv huomutus voidn esittää myös muille luvun 5 määritelmille j tuloksille. Toisin snoen funktion jtkuvuus välillä I tk funktion Riemnn-integroituvuuden jokisell välin I suljetull osvälillä. Huomutus 5.3. Jos hlutn korost integrlin epäoleellisuutt ti epäoleellisuuspisteitä, voidn merkitä = b j = + +. Esimerkki 5.. Määritetään x 2 dx. Epäoleellisuuspiste on integrointivälin ylärjll. Siis dx = x 2 = / x 2 dx rc sin x = (rc sin rc sin ) = rc sin = π 2. 95
Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin x s dx = x s dx (b >, s R) suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Olkoon jokin välin ], b[ piste. Jos s =, niin (5.) j jos s, niin x s dx = / b log x = log b log, (5.2) x s dx = / b x s s = b s s s s. Siis sdn seurvt tpukset. : Jos s >, niin tuloksen (5.2) perusteell x s dx = + joten integrli hjntuu. b s s + s = + < {}}{ s vkio ( {}}{ b s {}}{ s ) =, 2 : Jos s =, niin tuloksen (5.) perusteell x s dx = + joten integrli hjntuu. + 3 : Jos s <, niin tuloksen (5.2) perusteell ( { vkio }}{{}}{ log b log ) =, x s dx = + joten integrli suppenee. b s s + s = + > {}}{ s ( {}}{ vkio {}}{ b s ) s = b s s, Jos s <, niin x s on jtkuv välillä [, b], joten kyseessä ei ole vrsininen epäoleellisuuspiste (vrt. huomutus 5.4, s. 97). 96
Kohtien 3 perusteell Lisäksi integrlin supetess dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs x s dx = b s s. Huomutus 5.4. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin missä = b = + on funktion f Riemnn-integrli välillä [, b]., Todistus. Väite seur suorn jtkuvuuden määritelmästä, sillä luseen 3. (s. 44) nojll G () = ovt jtkuvi funktiot välillä [, b]. Esimerkki 5.3. Määritetään j G 2 () = x log x dx. Olkoon ], [. Osittisintegroimll sdn x log x dx = = / ( 2 x 2 2 log x x 2 2 x dx log 2 2 log ) = 2 2 log x 2 dx. x 2 dx 97
Nyt x on jtkuv (j siis Riemnn-integroituv) koko välillä [, ], joten huomutuksen 5.4 2 nojll Kosk niin Siis x + 2 dx = x 2 dx = / x 2 4 = 4. {}}{ 2 log = {}}{ + 2 + 2 log =, x log x dx = + 4 = 4. x log x dx = 4. Määritelmä 5.3. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b] pitsi mhdollisesti pisteessä c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], c[ j Riemnn-integroituv välillä [, b] kikill ]c, b[. Tällöin snotn, että integrli suppenee, jos integrlit suppenevt. Tällöin c j c = c + c. Esimerkki 5.4. Tutkitn integrlin x 3 dx suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin keskellä pisteessä x =. Jos esimerkiksi >, niin x 3 dx = / 2x = ( ) 2 2 2 98, kun +.
Siis integrli hjntuu. x 3 dx Huomutus 5.5. Jos integrlin epäoleellisuuspiste on keskellä integrointiväliä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt epäolellisuuspisteen eri puolill oleviss integrleiss yhtäikisesti. Esimerkki 5.5. Trkstelln esimerkin 5.4 integrli x 3 dx. Nyt + ( x 3 dx + ) x dx 3 = + ( / 2x 2 + / ) 2x 2 ( ( ) = + 2 + ( ) ) 2 }{{ 2 } = =, mutt integrli ei kuitenkn suppene. Luse 5.6. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b[ j c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[. Tällöin integrlit j c suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. Edelleen jos integrlit suppenevt, niin = c c. Todistus. Väitteet seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä, sillä = vkio {}}{ c + c = ]c, b[ 99
j c = c ]c, b[. Huomutus 5.7. Lusett 5.6 vstv tulos on voimss, jos epäoleellisuuspiste on integrointivälin lrjll (hrjoitustehtävä). Määritelmä 5.4. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin ], b[ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi c ], b[. Tällöin integrli suppenee, jos integrlit c molemmt suppenevt. Tällöin j c = c + c. Huomutus 5.8. Luseen 5.6 j huomutuksen 5.7 nojll integrlin rvo määritelmässä 5.4 ei riipu pisteen c vlinnst. Esimerkki 5.6. Tutkitn integrlin x( x) dx suppenemist. Integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä. Aluksi hvitn, että välillä ], [ x( x) dx = 2 2 x ( x) 2 dx = 2 rc sin x + C.
Olkoon nyt c jokin välin ], [ piste. Tällöin j c + c dx x(x ) = + 2 ( rc sin c dx x(x ) = {}}{ rc sin ) = 2 rc sin c π 2 {}}{ 2 ( rc sin rc sin ( π c) = 2 2 rc sin ) c. Siis integrli suppenee j x( x) dx x( x) dx = c x( x) dx + x( x) dx = 2 rc sin ( π c + 2 2 rc sin ) c = π. Huomutus 5.9. Jos integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt molemmiss päätepisteissä yhtäikisesti (vrt. huomutus 5.5). Esimerkki 5.7. Trkstelln integrli 2x x( x) dx. Yhtäikisell rj-rvotrkstelull sdn 2x dx = log (x( x)) + x( x) + ( ) = log (( )) log (( )) + =, mutt integrli ei kuitenkn suppene (hrjoitustehtävä). / c
Luse 5.. Oletetn, että integrlit suppenevt. Tällöin j g(x) dx (i) c suppenee j c = c (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx = + g(x) dx. Todistus. Tulokset seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä. Luse 5.. Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin = j =. + b Todistus. Todistetn tpus, joss epäoleellisuuspiste on integrointivälin ylärjll. Muut tpukset todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f Riemnn-integroituv välillä [, c] kikill c ], b[. Tällöin luseen 3. (s. 44) nojll Lisäksi luseen 5.6 nojll = + = =. ], b[, 2
joten = ], b[. Siis rj-rvon lskusääntöjen perusteell ( = b b = = =. { = vkio }} { b ) 3
5.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Luse 5.2. Olkoon f sellinen välillä [, b[ määritelty funktio, että f on Riemnnintegroituv välillä [, ] kikill ], b[. Oletetn lisäksi, että f(x) kikill x [, b[. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että niin suppenee j M ], b[, M. Todistus. Merkitään G() =, [, b[. Tällöin G on oletuksen nojll ylhäältä rjoitettu välillä [, b[. Olkoot nyt j 2 sellisi välin [, b[ pisteitä, että < 2. Kosk f(x) kikill x [, 2 ], niin G( 2 ) G( ) = Siis G on välillä [, b[ ksvv, joten rj-rvo 2. on olemss j G() b G() M. b Huomutus 5.3. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ j f(x) M kikill x [, b[, niin Siis luseen 5.2 ehto M dx = M( ) < M(b ) ], b[. M ], b[ on voimss esimerkiksi (ei-negtiivisille) ylhäältä rjoitetuille funktioille. 4
Huomutus 5.4. Lusett 5.2 j huomutust 5.3 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 5.8. Kosk + sin x 2 x ], ], niin huomutuksen 5.3 nojll luseen 5.2 (j huomutuksen 5.4) ehdot ovt voimss. Siis ( + sin ) dx x suppenee. Luse 5.5 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, ] kikill ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j g(x) dx. Todistus. Olkoon [, b[. Kosk g(x) kikill x [, b[, niin y g(x) dx y ], b[. Siis rj-rvon perusominisuuksien nojll g(x) dx = y g(x) dx, y b missä rj-rvon olemssolo seur ehdost (ii) j luseest 5.6 (s. 99). 5
Täten ehdon (i) j luseen 5.6 nojll g(x) dx g(x) dx + g(x) dx = g(x) dx. Siis ehdon (ii) nojll on ylhäältä rjoitettu, joten luseen 5.2 nojll suppenee j g(x) dx. Luse 5.6 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, ] kikill ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. Todistus. Jos suppenisi, niin ehdon (i) j mjornttiperitteen perusteell myös g(x) dx suppenisi, mistä seurisi ristiriit ehdon (ii) knss. 6
Huomutus 5.7. Luseit 5.5 j 5.6 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 5.9. Tutkitn integrlin e x x 2 dx suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk e x < e kikill x [, [, niin e x < e x 2 x 2 x [, [. 2 : Integrli e dx = e dx x 2 x 2 suppenee (esimerkki 5., s. 95, j luse 5., s. 2). Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee. Lisäksi esimerkin 5. nojll Huomutus 5.8. Kosk A x dx = A s e x x 2 dx e x dx e π x 2 2. dx (A >, b > ) xs suppenee täsmälleen silloin, kun s < (esimerkki 5.2, s. 96, j luse 5., s. 2), niin usein g(x) = A x s (A > ) on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll. 7
Esimerkki 5.. Trkstelln integrlin suppenemist. I(s) = dx (s ) x s log ( + x) : Olkoon s. Kosk niin log ( + x) x x >, x s log ( + x) x s x = x ], ]. xs+ 2 : Kun s, niin s +, joten hjntuu (esimerkki 5.2, s. 96). dx xs+ Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli I(s) hjntuu, kun s. Esimerkki 5.. Trkstelln integrlin suppenemist. I(s) = dx (s < ) x s log ( + x) : Olkoon s <. Trkstelln pufunktiot Nyt f(x) = log (x + ) x, x [, ]. 2 f (x) = x + 2 x [, ], joten f on ksvv välillä [, ]. Kosk f() =, niin f(x) x [, ] j edelleen log ( + x) x 2 x [, ]. Siis x s log ( + x) x s x 2 = 2 x s+ x ], ]. 8
2 : Kun s <, niin s + <, joten 2 dx = 2 dx xs+ xs+ suppenee (esimerkki 5.2, s. 96, j luse 5., s. 2). Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli I(s) suppenee, kun s <. Yhdessä esimerkin 5. tuloksen knss sdn, että I(s) suppenee täsmälleen silloin, kun s <. Huomutus 5.9. Esimerkkien 5. j 5. vertilufunktioit vstvt funktiot sdn johdettu myös rj-rvotuloksest log ( + x) x + x =, sillä rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen h >, että ekvivlenssiketjun log ( + x) x < 2 log ( + x) < < 2 x 2 2 < log ( + x) x < 3 2 x 2 < log ( + x) < 3x 2 epäyhtälöt ovt voimss välillä ], h[ ], ]. Täten < 2 3 x < log ( + x) < 2 x x ], h[ j edelleen < 2 3 x < s+ x s log ( + x) < 2 x ], h[. x s+ Huomutus 5.2. Kosk A dx j (x ) s A dx ( < b, A > ) (b x) s suppenevt täsmälleen silloin, kun s < (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 5.8), niin usein A g(x) = (A > ) (x ) s 9
on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll, j vstvsti A g(x) = (A > ) (b x) s on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] ylärjll. Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin suppenemist. π sin x (π x) 2 dx : Kosk sin x = sin (π x) kikill x R, niin x π sin x π x = x π sin (π x) π x Siis on olemss sellinen luku h, että < h < π j sekä edelleen sin x π x 2 sin x (π x) 2 2 π x 2 : Huomutuksen 5.2 perusteell hjntuu. π π h = sin x [π h, π[ 2 π x dx x [π h, π[. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että π π h sin x (π x) 2 dx hjntuu, joten luseen 5.6 (s. 99) perusteell myös =. hjntuu. π sin x (π x) 2 dx
5.3 Itseinen suppeneminen Määritelmä 5.5. Epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse 5.2. Jos integrli suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Kosk j f(x) f(x) 2 f(x) x [, b] 2 f(x) dx = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen nojll myös ( f(x) f(x)) dx f(x) dx suppenee. Edelleen rj-rvon lskusääntöjen nojll = ( f(x) f(x) + f(x)) dx = f(x) dx joten luseen 5. (s. 2) nojll myös ( f(x) f(x)) dx, suppenee.
Esimerkki 5.3. Tutkitn integrlin sin x dx suppenemist. Kosk sin x x ], ], niin huomutuksen 5.4 (s. 5) nojll sin x dx suppenee. Siis luseen 5.2 nojll myös integrli suppenee. sin x dx Huomutus 5.22. Luse 5.2 ei ole voimss kääntäen. Esimerkiksi integrli π x sin x dx suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutukset 5.23, s. 4, j 5.34, s. 24). Huomutus. Epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä mutt ei itseisesti. Esimerkiksi huomutuksen 5.22 epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti. 2
5.4 Integrointi yli äärettömän välin Edellä ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integroitv funktio ei ollut rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn integrointi, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luvuiss 5.4. 5.4.3 keskitytään väliin [, [. Luvuss 5.4.4 trkstelu ljennetn koskemn myös väliä ], b] j luvuss 5.4.5 vstvsti erilisten epäoleellisten integrlien yhdistelmiä. 5.4. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen funktio, että f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä eli on olemss kikill >. Määritelmä 5.6. Jos rj-rvo on äärellisenä olemss, snotn epäoleellisen integrlin suppenevn j merkitään =. Mikäli rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn integrlin hjntuvn. Esimerkki 5.4. Integrli hjntuu, sillä rj-rvo ei ole olemss. sin x dx = sin x dx / cos x = ( cos ) 3
Esimerkki 5.5. Määritetään e x log 2 x dx. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin j logritmin derivointikvoj sdn e x log 2 dx = x = e / e ( ) log x log 2 x x dx ( = log ) log e = ( ) =. Huomutus 5.23. Olkoon >. Tällöin integrlit j ( ) x f dx 2 x suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess = ( ) x f dx. 2 x Todistus. Tulos seur rj-rvon perusominisuuksist, sillä sijoittmll x = t j dx = t dt, 2, sdn = ( ) f ( ) dt = t t 2 ( ) t f dt = 2 t ( ) x f dx. 2 x 4
Esimerkki 5.6. Tutkitn integrlin x s dx suppenemist ( >, s R). Huomutuksen 5.23 perusteell suppenee täsmälleen silloin, kun x s dx = ( x ) s dx suppenee. Integrli x 2 xs dx = dx x2 s dx x2 s puolestn suppenee esimerkin 5.2 (s. 96) nojll täsmälleen silloin, kun 2 s < eli kun s >. Siis dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs Aiemmisss luvuiss esitetyt epäoleellisi integrlej koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luseet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse 5.24. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi b >. Tällöin integrlit j b suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess b =. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.6, s. 99). 5
Luse 5.25. Oletetn, että integrlit j g(x) dx suppenevt. Tällöin (i) c suppenee j c = c (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx = + g(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5., s. 2). Luse 5.26. Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin =. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5., s. 2). 5.4.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Ei-negtiivisen funktion integrlin suppenemisen tutkimiseen on rjoittmttomll välillä käytössä smt putulokset kuin tpuksess, joss funktion rvo ei ole rjoitettu. Perustuloksen on nytkin, että ei-negtiivisen funktion integrli on ksvv j että ksvvll ylhäältä rjoitetull funktioll on rj-rvo. 6
Luse 5.27. Olkoon f sellinen funktio, että f(x) kikill x j f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että M >, niin suppenee j M. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.2, s. 4). Esimerkki 5.7. Olkoon > j f(x) = sin2 x x 2 (x ). Selvästi f(x) kikill x. Kosk niin lisäksi sin 2 x x R, = sin 2 x x 2 dx x 2 dx = / x = < kikill >. Siis luseen 5.27 nojll integrli suppenee j. Myös mjorntti- j minornttiperitteet ovt voimss vstvll tvll kuin rjoittmttomille funktioille. Peritteet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. 7
Luse 5.28 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) f(x) g(x) x, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j g(x) dx. Todistus. Kuten luse 5.5 (s. 5). Luse 5.29 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) g(x) f(x) x, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.6, s. 6). Esimerkki 5.8. Tutkitn integrlin suppenemist. x 2 + x dx ( > ) 8
: Kosk niin 2 : Integrli x 2 + x x 2 > x, < suppenee (esimerkki 5.6, s. 5). x 2 + x x 2 x. x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee (kun > ). x 2 + x dx Esimerkki 5.9. Tutkitn integrlin suppenemist. x + x dx : Kosk niin < x + x x + x = 2x x, x + x 2x > x. 2 : Esimerkin 5.6 (s. 5) j luseen 5.25 (s. 6) nojll hjntuu. 2x dx = 2 x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli hjntuu. x + x dx 9
Luse 5.3. Olkoot f j g sellisi funktioit, että f(x) j g(x) kikill x j f sekä g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemsss rj-rvo niin x f(x) g(x) = b suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. j ( < b < ), g(x) dx Todistus. Kosk b > j f(x) sekä g(x) kikill x, voidn olett, että muuttujn x jostkin riittävän suurest rvost lken g(x) >. Siis rjrvon määritelmän nojll on olemss sellinen x >, että 2 b < f(x) g(x) < 3 2 b x x j edelleen < b 2 g(x) < f(x) < 3 2 b g(x) x x. Täten mjorntti- j minornttiperitteiden sekä luseen 5.25 (s. 6) nojll integrlit x j x g(x) dx suppenevt smnikisesti. Siis luseen 5.24 (s. 5) nojll integrlit suppenevt smnikisesti. j g(x) dx Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin suppenemist. Olkoon j f(x) = x s dx (s R) + x2 xs + x 2 (x ) g(x) = xs x 2 (x ). 2
Tällöin f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j f(x) > sekä g(x) > kikill x. Lisäksi x f(x) g(x) = x Edelleen esimerkin 5.6 (s. 5) nojll x s x 2 ( + x 2 ) x s = x x 2 + x 2 = >. g(x) dx = dx x2 s suppenee täsmälleen silloin, kun 2 s > eli s <. Siis luseen 5.3 perusteell = x s + x 2 dx suppenee täsmälleen silloin, kun s <. Huomutus 5.3. Jos luseess 5.3 rj-rvo b = j integrli g(x) dx suppenee, myös integrli suppenee. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus 5.32. Jos luseess 5.3 rj-rvo b = j integrli g(x) dx hjntuu, myös integrli hjntuu. Todistus. Hrjoitustehtävä. 2
5.4.3 Itseinen suppeneminen Määritelmä 5.7. Epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse 5.33. Jos integrli suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.2, s. ). Huomutus. Nytkin epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä mutt ei itseisesti. Esimerkki 5.2. Integrlit sin x x s dx j cos x x s suppenevt itseisesti mjornttiperitteen nojll inkin silloin, kun s >, sillä sin x x s cos x j x s x s x s kikill x j x s dx suppenee, kun s > (esimerkki 5.6, s. 5). dx Esimerkki 5.22. Tutkitn suppeneeko integrli sin x 2 dx. 22
Olkoon >. Osittisintegroimll sdn Nyt Lisäksi j sin x 2 dx = 2 = 2 = 2 / = 2 2 ( ) ( sin x 2 2x) dx x ( ) D(cos x 2 ) dx x ( ) cos x 2 x 2 ( cos 2 ( {}}{ cos 2 ) cos 2 ) cos x 2 cos x2 dx. = cos 2. cos x 2 x 2 x x 2 x 2 dx x 2 cos x2 dx. suppenee (esimerkki 5.6, s. 5), joten mjornttiperitteen nojll suppenee. Siis luseen 5.33 nojll cos x 2 dx x 2 suppenee. Täten rj-rvo on olemss, joten suppenee. cos x 2 dx x 2 sin x 2 dx sin x 2 dx 23
Huomutus 5.34. Luse 5.33 ei ole voimss kääntäen. Voidn esimerkiksi osoitt, että sin x x dx suppenee ehdollisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 5.22, s. 2). π 5.4.4 Muut rjoittmttomt välit Luvuiss 5.4. 5.4.3 ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integrointiväli oli [, [. Integrli määritellään vstvsti eli integrli suppenee, jos rj-rvo on äärellisenä olemss. Luvuiss 5.4. 5.4.3 esitetyt tulokset ovt vstvsti voimss myös integrointivälillä ], b]. Integrointiväli voi oll rjoittmton myös molemmiss päätepisteissä. Tällöin integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 5. jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien c j (c R) c vull. Esimerkki 5.23. Tutkitn integrlin x 2 + x + dx suppenemist j mhdollist rvo. Neliöimällä sdn x 2 + x + = ( x + 2 ) 2 + 3 4 = 3 4 24 ( ( ) ) 2 2x+ 3 +,
joten x 2 + x + dx = 2 3 3 2 ( ) 2 dx = 2 rc tn 2x + + C. 2x+ 3 + 3 3 Siis dx = x 2 + x + / 2 = 2 rc tn 2x + 3 3 3 ( = 2 ( π 3 2 π ) 6 π 2 {}}{ rc tn 2 + rc tn ) 3 3 j dx = x 2 + x + = / = 2 ( π 3 6 + π ). 2 2 rc tn 2x + 3 3 ( 2 rc tn 3 3 π 2 {}}{ rc tn 2 + ) 3 Siis lkuperäinen integrli suppenee j x 2 + x + dx = x 2 + x + dx + = 2 ( π 3 6 + π ) 2 x 2 + x + dx + 2 ( π 3 2 π ) 6 = π 3 + π 3 = 2π 3. 25
Huomutus 5.35. Jos suppenee, niin rj-rvo on olemss. Sen sijn kääntäen rj-rvo voi oll olemss integrlin silti hjntuess (ks. esimerkki 5.24). Esimerkki 5.24. Trkstelln funktiot Tällöin 2x + dx = x 2 + = / f(x) = 2x + x 2 +. ( ) 2x x 2 + + dx x 2 + ( log(x 2 + ) + rc tn x ) = ( ( log( 2 + ) + rc tn ) ( = ( log(( ) 2 + ) + rc tn( ) ) ) = {}}{ π 2 π 2 {}}{{}}{ ) log( 2 + ) log( 2 + ) + rc tn rc tn( ) = π 2 + π 2 Integrli = π. 2x + x 2 + dx ei kuitenkn suppene, sillä esimerkiksi integrli hjntuu. 2x + x 2 + dx = (( log( 2 + ) + rc tn ) ( + ) ) = 26
5.4.5 Rjoittmton funktio j ääretön väli Integrli voidn trkstell myös tpuksiss, joiss sekä funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä että integrointiväli ei ole rjoitettu. Jos integrointiväli ei ole rjoitettu j funktioll on integrointivälin toisess päätepisteessä epäoleellisuuspiste, integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 5. (määritelmä 5.4, s. ) jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien vull j integrli integrlien vull. c + c j + j c ( < c) c (c < b) Jos epäoleellisuuspiste c on rjoittmttomn välin keskellä, määritellään epäoleellinen integrli kuten vstvss tpuksess luvuss 5. (määritelmä 5.3, s. 98) yhdistämällä epäoleelliset integrlit, joiss c on integrointivälin loppupiste j lkupiste. Siis integrli määritellään integrlien vull, integrli integrlien c c j j c ( < c) c 27 (c < b)
vull j integrli integrlien c j c vull. Alkuperäinen integrli tulee tällöin jetuksi vähintään kolmeksi integrliksi, sillä inkin toinen yhdistettävistä integrleist on sellinen, että funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä j integrointiväli ei ole rjoitettu. Täten kyseinen integrli on jettv uuden välipisteen vull vielä (inkin) khteen osn. Esimerkki 5.25. Tutkitn integrlin suppenemist. niin Kosk Kosk lisäksi x 2 + x dx x 2 + x x > x ], ], < x 2 + x x ], ]. x x dx suppenee (esimerkki 5.2, s. 96, s = ), niin mjornttiperitteen nojll integrli 2 suppenee. x 2 + x dx Toislt esimerkin 5.8 (s. 8) nojll myös integrli suppenee ( = ). Täten integrli x 2 + x dx suppenee. x 2 + x dx = x 2 + x dx + x 2 + x dx 28
Esimerkki 5.26. Tutkitn Eulerin gmmfunktiot Γ(s) = x s e x dx (s > ). Jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn kirjoittmll Γ(s) = + x s e x dx + x s e x dx = I + I 2. : Kosk e x on idosti vähenevä, niin = e > e x e > x ], ]. Täten < x s e x < x s x ], ]. Lisäksi esimerkin 5.2 (s. 96) nojll x s dx = dx x s suppenee, kun s < eli s >. Täten mjornttiperitteen nojll myös I suppenee, kun s >. j 2 : Kosk x x s e x x s+ = x 2 x = e x x 2 dx = x 2 dx suppenee esimerkin 5.6 (s. 5) nojll, niin huomutuksen 5.3 (s. 2) nojll myös integrli I 2 suppenee. Täten kohtien j 2 perusteell Γ(s) suppenee (kun s > ). Käyttämällä osittisintegrointi sdn (kun x, s > ) x s e x dx = xs s e x = s xs e x + s Jos s, niin integrli hjntuu (hrjoitustehtävä). x s s ( e x ) dx x s e x dx. 29
Täten x s e x dx = x s e x dx + ( = + s / x s e x + s x s e x dx ) Kosk niin vstvsti = + ( ) e s e s }{{} + + = s e + x s e x dx. s s e =, x s e x dx = x s e x dx ( = s / ( = s e s x s e x + s }{{} x s e x dx x s e x dx s ) e ) + x s e x dx s Täten x s e x dx = = = s e + x s e x dx. s x s e x dx + x s e x dx ( s e + ) ( x s e x dx + s s e + ) x s e x dx s eli = s x s e x dx Γ(s) = Γ(s + ) s 3
j edelleen Γ(s + ) = s Γ(s). Lisäksi Γ() = e x dx = / {}}{ e x = ( e ) =, joten Γ(2) = =, Γ(3) = 2 = 2,. j yleisesti Γ(n + ) = n! (n N). Kun s =, niin funktioll Γ(s) on täsmällisesti otten näennäinen epäoleellisuuspiste pisteessä x =, sillä funktiot x s e x ei ole tällöin määritelty. Kosk funktion rvoll yksittäisessä pisteessä ei ole merkitystä integroinnin knnlt, voidn tässä olett, että x s e x = e x myös pisteessä x =. 3