S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia. Systeemin oonaisenergia on 6ε. Esitä aii mahdolliset artitiot ja osoita, että mirotilojen oonaisluumäärä on 8. Määritä todennäöisin artitio. Esitä myös energiatasojen esimääräiset miehitysluvut. Laaditaan tauluo monisteen esimerin 3.. taaan ( nj nj P = ): Energia Partitio eli marotila 3 5 6 7 8 9 6ε 5ε ε 3ε ε ε n j,76,9,857,76,73,,3333 P 6 6 Alimmalla rivillä olevat artitioiden todennäöisyydet saadaan yhtälöstä n P! i = N gi, missä indesi i numeroi energiatasot. Nyt g i = joaiselle i ni! energiatasolle. Siten saadaan esimerisi!! P = =, P = =, jne. 3!!!!! Mirotilojen oonaisluumäärä on 9 = P = 8. odennäöisin artitio on artitio = 6, jolle P 6 = eli artitio sisältää mirotilaa. Ruuduon oiealla uolella ovat energiatasojen esimääräiset miehitysluvut. oidaan todeta, että niiden summa on = hiuasten oonaisluumäärä =.
. Ideaaliaasun tilavuus lämötilassa, C ja 8 Pa aineessa on,7 m 3. a) Kuina monta moolia aasua on? Entä uina monta moleyyliä? b) Kaasun aine nostetaan 36 Pa:iin samalla un sen lämötila nousee 3, C:een. Lase aasun tilavuus tällöin olettaen, että aasun uristuessa ooon systeemin ja ymäristön välillä ei ole vuotoja. t =, C, = 8 Pa, =,7 m 3 t = 3, C, = 36 Pa a) Ideaaliaasun tilanyhtälöstä = ν R, missä ν on ainemäärä mooleina, saadaan 3 3 8 Pa,7 m ν =,5 mol 3 mol. R J 8,33 ( 73,5 +, ) K K mol N = ν N A,5 mol 6,5 6,78 mol 3 5 b) Paineen ja lämötilan noustessa ja aasun uristuessa ooon ainemäärä ysyy olettamusen muaan muuttumattomana. ilanyhtälöstä saadaan J,5 mol 8,33 ( 73,5 + 3, ) K ν R = K mol,9 m 36 Pa 3 3. 3. Säiliö, jona tilavuus on on jaettu ahteen yhtä suureen osaan ohuella väliseinällä. asen uoli sisältää ideaaliaasua, alusi aineessa, ja oiealla uolella on alussa tyhjö. äliseinään tehdään ieni reiä, jona inta-ala on A. Johda lausee aineelle l ( t ) säiliön vasemmalla uolella ajan funtiona. : Oloon aine vasemmalla uolella alusi ja tiheys n. Kosa vaiolämötilassa aine on suoraan verrannollinen tiheyteen, ja osa säiliöissä olevien moleyylien luumäärien summa on vaio saadaan vasemmalle uolella = n ja oiealle - = ( n -n) missä ja n ovat aine ja moleyylien tiheys vasemmalla uolella ajan funtiona. Auon A läi ajassa dt virtaavien moleyylien määrä dn on verrannollinen tiheyseroon: dn = A n -( n - n) vavedt = -dn fi d = - A - v ave dt. Huomaa - meri; un dn > niin moleyylien luumäärä vasemmalla uolella ienenee ja tiheys ja aine lasevat. Järjestelemällä termejä uolelta toiselle ja integroimalla aluajanhetestä t = t ajanheteen t:
z z ln t d Av dt - =- ave fi =- Av ave - HG KJ t Rataisemalla tämä aineen suhteen saadaan - -Av e avet/ -Av t = fi = + e ave / ( ). F I II älioeen alue. Ysiatominen ideaaliaasu on 3 K lämötilassa,,7 m 3 tilavuudessa ja, bar aineessa. Kaasu laajenee alusi adiabaattisesti, unnes sen tilavuus on, m 3. Sitten se uristetaan isotermisesti alueräiseen tilavuuteen,7 m 3. Lousi aine nostetaan isoorisesti, bar:iin. Lase aasun teemä työ ja aasun saama lämömäärä iertorosessin eri osarosesseissa. = 3 K, =,7 m 3, =, bar; =, m 3 ; 3 = =,7 m 3 ; 3 = =, bar. : adiabaattinen rosessi, 3: isoterminen rosessi, 3 : isooorinen rosessi. Ysiatominen ideaaliaasu: γ = 5/3. : Q = 3. ääsäännöstä: U = Q W W = U = ν R( ) Lasetaan moolimäärä tilanyhtälöstä: 5 N 3,,7 m ν = m 56,3 mol. R J 8,3 3 K mol K Ideaaliaasun adiabaattiselle rosessille γ γ 5 = γ,7 3 = 3 K 9, K,. = 3 J W 56,3 mol 8,3 ( 9, 3 ) K 6,339 J mol K 3: = vaio, ideaaliaasu U =. Isotermiselle rosessille
W 3 J,7 = ν R ln 56,3 mol 8,3 9, K ln 5,68 J. mol K, 3 U = Q W = Q = W = 5,68 J 3 3 3 : = W3 = 3 3 Q3= U U3 = ν R( 3) = ν R( ), sillä 3 = (isoterminen rosessi 3). 3 J Q3 56,3 mol 8,3 ( 3 9, ) K 6,339 J. mol K Kaasun iertorosessissa teemä työ: ( ) W = W + W3 + W3 6,339 5,68 + J,7 J Kaasun iertorosessin aiana saama lämö: ( ) Q = Q + Q3 + Q3 5,68 + 6,339 J,7 J = W. Kaasun saaman lämmön ja teemän työn yhtäsuuruuden näee tietenin yo. yhtälöistä suoraanin. 5. Carnot rosessin työaineena on moolia ysiatomista ideaaliaasua. Kaasun tilavuus asinertaistuu isotermisen laajenemisvaiheen aiana. Adiabaattisen laajenemisvaiheen aiana tilavuus asvaa edelleen 5,7 ertaisesi. Yhden ierrosen aiana aasu teee työtä 9 J. Mitä ovat ylemmän ja alemman lämövaraston lämötilat? Kertaa ideaaliaasun Carnotin rosessi luentomonisteesta. Adiabaattiselle laajenemiselle - 3 γ γ (ertaa Carnot rosessin vaiheet oetusmonisteesta) ätee Y = A 3, missä ysiatomiselle aasulle adiabaattivaio on γ = + (/ f ) = 5/3. ehtävän muaan = 5,7. 3 Rataisemalla ( ) γ Y 5, 7 A 3,9 A = =. Isotermiselle laajenemiselle - ätee / =. Kiertorosessin aiana tehdylle työlle saadaan (s. luentomoniste) W = νr( ) ln =,9 R ln = 9J. Y A ν A Alemmasi lämötilasi saadaan sijoittamalla numeroarvot A W W = = = 7, 3 K γ,9 R ln 3 ν ν R ln
ja ylemmäsi lämötilasi Y = 3,9 = 7, 7K. A 6. Lase entroian muutos, un määrä ν moolia ysiatomista ideaaliaasua (lämötila, aine ) seoitetaan määrään ν moolia asiatomista ideaaliaasua (lämötila, aine ).. rataisutaa ilanyhtälöstä saadaan = νr, = νr, missä moolimäärät ovat ν = m M ja ν = m M. Ajatellaan, että aasujen seoittuminen taahtuu ahdessa vaiheessa: ensin umiin aasu laajenee isotermisesti loutilavuuteen = + ja sitten lämötila tasaantuu louarvoon isooorisesti. Lasetaan ensin isotermisen laajenemisen aiana taahtuva entroiaan muutos. Käyttämällä ensimmäistä ääsääntöä ja ideaaliaasun tilanyhtälöä ds = δ Q/ = ( du + d )/ = ν Rd / sillä ideaaliaasun isotermisessä rosessissa du =. Integroimalla saadaan isotermiselle laajenemiselle entroian muutosesi d d S = ν R + ν R = ν Rln + ν Rln () Seuraavasi lasetaan entroian muutos lämötilan tasaantumiselle aasujen ollessa vaiotilavuudessa. Lasetan alusi loulämötila. Lämötilan tasaantumisessa saadaan energian säilymislain erusteella νc( ) = νc( ), missä c ja c ovat aasujen ominaislämmöt. ästä saadaan loulämötilasi ν c + ν c = ν c + ν c. () Entroian muutos on isoooriselle laajenemiselle S f Si νc ln ( f / i) muutosesi tälle osarosessille saadaan =, joten entroian S = ν c ln + ν c ln. (3) ovat virittyneet, ts. n = 5), ( ) ( ) Entroian oonaismuutos saadaan lasemalla yhteen muutoset () ja (). ilanyhtälöstä saadaan: =, =. Kun vielä sijoitetaan omonenttien ominaislämöaasiteetit (oletetaan, että asiatomisella aasulla vain translaatio- ja rotaatiovaausasteet c = 3/ R, c = 5/ R, saadaan entroian oonaismuutosesi 5 7 S = νrln + νrln. ()
. rataisutaa Yllä entroian muutos lasettiin ahden uvitellun tilanmuutosen entroian muutosista. Entroian muutos voidaan uitenin lasea myös suoraan ideaaliaasun f / entroian lauseeesta ln ( / ) S = ν R ν + νc, missä c on moolimäärästä riiumaton vaio. Sijoittamalla alu- ja loutilavuudet ja lämötilat saadaan entroian muutosesi f / f / ( Sf Si) + ( Sf Si) = νrln ( / ν) νrln ( / ν) + f / f / + νr ( ν) νr ( ν) Lasemalla logaritmit yhteen ln / ln /. f ( Sf Si) + ( Sf Si) = νrln ( / )( / ) + νrln ( / )( / ) / f/, josta sijoittamalla f = 3 (-atominen moleyyli) ja f = 5 (-atominen moleyyli) saadaan yhtälö () orvaamalla tilavuusien suhde ainesuhteella samaan taaan uin yhtälössä (). AKIOIA -3-7 -7-7 e n -9 8-3 - m = 9, 9 g m =,675 g m =,678 g amu =,665 g e =,6 C c =,9979 m/ s =,55 Js µ B = 9,73 J - - - -6 - ε = 8,85 C N m Ke = / πε µ =,566 mgc Km = µ / π - - 3 - - - -3 γ = 6,67 Nm g N = 6,5 mol R = 8,33 JK mol =,385 JK A