T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

Transkriptio

1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15 + T C. (a) Celsius-asteikolla T C = 24,6, jolloin Fahrenheit-asteikolla vastaava lämpötila on T F = [ ] ( 24,6) F ja Kelvin-asteikolla = 12,28 F 12, F T K = (27,15 24,6) K = 248,55 K 248,6 K. (b) Sijoittamalla T C = 1,0 muunnosyhtälöihin kohdan (a) tapaan saadaan T F = 87,8 F T K = 04,15 K 04,2 K. (c) Sijoittamalla T C = 269,0 muunnosyhtälöihin kohdan (a) tapaan saadaan T F = 452,2 F T K = 4,15 K 4,2 K. 2. Kaasulämpömittarin painelukema P = 25, kpa sen ollessa termisessä kontaktissa kolmoispisteessä T = 27,16 K olevan veden kanssa. Yhden ilmakehän paineessa veden kiuhumislämpötila T = 7,15 K, jolloin kaasulämpömittarin paine P saadaan relaatiosta P = α T α = P T = P T. Kiuhumispisteessä kaasulämpömittarin painelukema on siten P = T T P = 7,15 K 27,16 K 25, 10 Pa = 4561 Pa 4,6 kpa. 1

2 . Paineen ja tilavuuden tulon raja-arvo veden jäätymispisteessä on lim P 0 (P V ) j = 0,86651 J ja kiehumispisteessä lim P 0 (P V ) k = 1,1874 J. (a) Veden jäätymis- ja kiuhumispisteen T j ja T k absoluuttiset lämpötilat saadaan lämpötilaeron T kj = 100 avulla käyttäen määritelmää T = a lim P 0 (P V ). Veden jäätymis- ja kiehumispisteiden lämpötilojen erotus on Tästä saadaan vakioksi T kj = a lim(p V ) k a lim(p V ) j [ P 0 P 0 ] = a lim (P V ) k lim(p V ) j = 100 K. P 0 P 0 a = 100 K 1,1874 J 0,86651 J. Veden jäätymis- ja kiehumispisteiden absoluuttiset lämpötilat saadaan siten yhtälöstä T j/k = 100 K 1,1874 J 0,86651 J lim P 0 (P V ) j/k. Sijoittamalla annetut raja-arvot saadaan lämpötiloiksi ja 100 K T j = 1,1874 J 0,86651 J 0,6651 J = 27,1488 K 27,15 K T k = 7,1488 K 7,15 K. (b) Paineen ja tilavuuden tulon raja-arvo veden kolmoispisteessä on lim P 0 (P V ) = 0,86654 J. Käyttäen edellisen kohdan kaavaa, saadaan veden kolmoispisteen absoluuttiseksi lämpötilaksi vastaavasti T = 27,1586 K 27,16 K. (c) Typen moolimassa M m = 28 g/mol ja yleinen kaasuvakio R= 8,14472 J/mol K. Säiliössä olevan typen määrä saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla P V = nrt = mrt M m m = P V M m RT. Kun käytetään esimerkiksi kolmoispisteen arvoja, saadaan typen massaksi 0,86654 J 28 g mol 1 m = 8,14472 J mol 1 K 1 27,16 K = 0, g 10,7 mg. 2

3 (d) (i) Kun sylinterin tilavuutta kasvatetaan, hiukkasten välimatkat kasvavat, ts. kaasu harvenee, jolloin paine vastaavasti pienenee. Toisin sanoen tilanne lähestyy vuorovaikuttamattoman ideaalikaasun tapausta. Luonnollisesti kaasun laadulla ei tällöin ole vaikutusta PV:n raja-arvoon. Kaasun määrä vastaavasti vaikuttaa siihen, kuinka paljon tilavuutta tulee kasvattaa (l. PV:n raja-arvoon), jotta hiukkaset eivät enää vuorovaikutaisi toistensa kanssa. (ii) Lämpötila ei riipu kaasun määrästä eikä laadusta. Tämän voi todeta ratkaisemalla lämpötila ideaalikaasun tilanyhtälöstä T = P V nr. Eli saadaan siis systeemistä riipppumaton vakio. Lämpötilaa sanotaankin intensiiviseksi tilanmuuttujaksi eli sen arvo ei riipu systeemin koosta. 4. Hiilidioksidin CO 2 van der Waalsin tilanyhtälön ) (P + an2 (V bn) = nrt V 2 vakiot ovat a = 0,64 J m /mol 2 ja b = 42,7 cm /mol. Kaasuvakio R = 8,14472 J/(mol K). (a) n = 1,00 mol hiilidioksidia on lämpötilassa T = 50 K tilavuudessa V = 400 cm. Kaasun paine on tällöin (i) ideaalikaasun tilanyhtälöllä laskettuna P i V = nrt P i = nrt V = 1,00 mol 8,14472 J mol 1 K 1 50 K m = Pa 7,28 MPa (ii) van der Waalsin tilanyhtälöllä laskettuna P W + an2 V = nrt 2 V bn P W = nrt V bn an2 V 2 1,00 mol 8,14472 J mol 1 K 1 50 K = m 4, m mol 1 1,00 mol 0,64 J m mol 2 (1 mol) 2 ( m ) 2 = ,96 Pa 5,87 MPa. (b) Van der Waalsin tilanyhtälö antaa pienemmän paineen, koska se huomioi molekyylien välisiä vetovoimia, joiden vuoksi kaasun sisällä vaikuttaa suurempi paine kuin säiliön seinämiin kohdistuva paine. Ideaalikaasu puolestaan muodostuu molekyyleistä, joiden

4 väliset vuorovaikutukset ovat merkityksettömiä. Paineiden P i ja P W ero suhteessa paineeseen P W on P = P i P W P W Pa ,96 Pa = ,96 Pa = 0,2947 2,9 %. (c) Kaasu laajenee lämpötilansa säilyttäen tilavuuteen V 2 = 4000 cm = 10V. Kaasun paine on tällöin (i) ideaalikaasun tilanyhtälön avulla P i2 = 0,1 P i = 0, Pa 728 kpa, koska ideaalikaasun tapauksessa paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen, ja (ii) van der Waalsin tilanyhtälön avulla, sijoittamalla tilavuus V 2 kohdan (a) tapaan, P W2 = ,56 Pa 71 kpa. Tilavuudessa V 2 paineiden suhteellinen ero on P 2 = P i 2 P W2 P W , Pa ,56 Pa = ,56 Pa = 0, ,1 %. Ideaalikaasun paine on edelleen suurempi kuin van der Waalsin tilanyhtälön mukainen paine, mutta nyt suhteellinen ero on huomattavasti pienempi. (d) Kaasun laajentuessa suurempaan tilavuuteen sen tiheys n/v pienenee. Tällöin kaasumolekyylien välinen vuorovaikutus vähenee ja van der Waalsin tilanyhtälön mukainen paine lähestyy ideaalikaasun tilanyhtälön mukaista painetta, mikä nähdään tässä tehtävässä paineiden suhteellisen eron pienentymisenä tilavuuden kasvaessa. Rajalla n/v 0 van der Waalsin tilanyhtälöstä tulee ideaalikaasun tilanyhtälö. 5. Vesipullo putoaa korkeudelta h = 225 m. Jos koko putoamisessa vapautuva potentiaalienergia absorboituu veteen, lämpömäärä on E pot = Q mgh = mc T. Putoamisen johdosta veden lämpötilan muutos on, kun g = 9,81 m/s 2 ja c = 4186 J/(kg K) 4

5 (kalorin määritelmästä) T = gh c = 9,81 m s m 4186 J kg 1 K 1 = 0,52728 K 0,527 K. 6. Juoksija, jonka massa m = 70 kg, ruumiinlämpö T 0 = 7 ja ominaislämpökapasiteetti c = 480 J/(kg K) kuluttaa energiaa teholla P = 600 W. (a) Jotta juoksijan ruumiinlämpö pysyisi normaalina, teholla P tuotetun lämmön on poistuttava elimistöstä, tässä tapauksessa hikoilemalla. Veden haihtuminen 7 lämpötilassa kuluttaa energiaa l = 2405 J/g. Tunnin (t = 1 h = 600 s) aikana juoksija tuottaa lämpöä määrän E = P t = 600 W 600 s = 2, J. Massa, jonka haihduttaminen hikoilemalla kuluttaa vastaavan määrän energiaa, on m = E l = 2, J 2405 J g 1 = 898,1 g 900 g. Mikäli lämpöä poistuisi pelkästään hikoilemalla, juoksijan pitäisi siis hikoilla lähes litran verran tunnissa, jotta ruumiinlämpö ei nousisi. (b) Jos hikoilun kautta tapahtuva lämmön poistuminen estettäisiin, juoksijan tuottama lämpö nostaisi ruumiinlämpöä. Kriittisen lämpötilan T c = 44 ja normaalin ruumiinlämpötilan ero T = T c T 0 = 7 = 7 K. Tällöin lämpötilan nosto vaatisi lämpömäärän Q = cm T, jonka tuottaminen teholla P vie ajan t = Q P = cm T P = 480 J kg 1 K 1 70 kg 7 K 600 W = 2842 s 47 min. 7. Yhden atm:n vakiopaineessa olevan metaanikaasun CH 4 ominaislämpökapasiteetti voidaan lämpötilojen 27 K ja 1500 K välisellä alueella esittää muodossa C m (T ) = a + bt + ct 2, missä a = 14,15 J/(mol K), b = 75,5 10 J/mol K 2 ja c = J/(mol K ). 5

6 (a) Sijoittamalla suoraan ominaislämpökapasiteetin yhtälöön saadaan (i) lämpötilassa T = 00 K (ii) lämpötilassa T = 1000 K C m (00 K) = 14,15 J mol 1 K ,5 10 J mol 1 K 2 00 K J mol 1 K (00 K) 2 = 5,18 J mol 1 K 1 5,2 J mol 1 K 1 C m (1000 K) = 71,65 J mol 1 K 1 71,7 J mol 1 K 1. (b) n = 1 mol metaania lämmitetään yhden atm:n paineessa lämpötilasta T 1 = 00 K lämpötilaan T 2 = 1000 K. Koska lämpötilan muutos on verrattain suuri eikä ominaislämpökapasiteettia C m (T ) voida pitää tällä välillä vakiona, lämmittämiseen tarvittava energia on laskettava integroimalla annettua lämpökapasiteetin yhtälöä. Lämpötilan T infinitesimaalisen pieneen muutokseen dt tarvittava lämpömäärä d Q = nc m (T ) dt. Tällöin lämpötilan nostaminen arvosta T 1 arvoon T 2 vaatii energian Q = T 2 T 1 T 2 = n T 1 nc m (T ) dt ( a + bt + ct 2 ) dt / T 2 = n at bt ct T [ 1 = n a(t 2 T 1 ) + b 2 = 1 mol ( ) T 2 2 T1 2 c ( ) ] + T 2 T1 [ 14,15 J mol 1 K 1 (1000 K 00 K) + 75,5 10 J mol 1 K 2 ( (1000 K) 2 (00 K) 2) J mol 1 K ( (1000 K) (00 K) ) ] = 8419,5 J 8,4 kj. 6