Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2"

Niina Järvenpää
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr. (9.4) Klassisen ideaalikaasun yksihiukkastilan i keskimääräinen miehitysluku saadaan derivoimalla partitiofunktion logaritmia kyseisen tilan energian suhteen, n i ( ) ln Z (.6) β ɛ i [ ln ( )] β ɛ i N! + N ln e βɛr r N ( ) ( e βɛr e βɛ i + ) e βɛr β ɛ r i r i N e βɛ i Z Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, ɛ vib ( ) p 2 2 k + ωkq 2 2 k. (.8) k (a) Rayleigh n laki saadaan, kun lasketaan säteilyn energiatiheyden lauseke u(ω, T )dω kulmataajuusvälillä (ω, ω + dω). Sitä varten lasketaan energian tasan jakautumisen periaatteen avulla kulmataajuutta ω k vastaava keskimääräinen värähdysliikkeen energia, ɛ vib,ωk 2 p2 k + 2 ω2 kq 2 k + 2 p2 k 2 kt + 2 kt kt. 2 ω2 kq 2 k Yksihiukkastilojen lukumäärä kulmataajuusvälillä (ω, ω + dω) on f(ω)dω V ω2 dω π 2 c 3. (.2) Energiatiheydeksi eli energiaksi tilavuusyksikköä kohti saadaan yhden tilan keskimääräisen energian ja tilavuudessa olevien tilojen lukumäärän avulla u(ω, T )dω V ɛ vib,ω k f(ω)dω V kt V ω2 π 2 c 3 dω ω2 kt π 2 c 3 dω.

2 (b) Kulmataajuuden ω pienillä arvoilla eli suurilla aallonpituuksilla Rayleigh n laki seuraa myös Planckin laista u(ω, T )dω ω 3 dω π 2 c 3 e β ω. (.5) Matalilla taajuuksilla termi β ω on pieni ja sitä voidaan approksimoida sarjakehitelmällä, e β ω + β ω, jolloin u(ω, T )dω ω 3 dω π 2 c 3 + β ω ω 3 dω π 2 c 3 ω kt ω2 kt π 2 c dω. 3 Matalilla taajuuksilla Planckin laki siis redusoituu Rayleigh n laiksi. Jos tämä jaetaan annetulla taajuusvälillä olevien värähdystilojen lukumäärällä, saadaan energiaksi värähdystilaa kohti klassisen energian tasan jakautumisen periaatteen mukaisesti taajuudesta riippumaton vakio kt. Korkeilla taajuuksilla Planckin lailla on erilainen muoto ja energiaksi värähdystilaa kohti saadaan taajuudesta riippuva funktio ( ωe ω ), joka laskee suurilla taajuuksilla nollaan. Energian tasan jakautumisen periaate ei siis ole voimassa korkeilla taajuuksilla. (c) Rayleigh n lain mukainen kokonaisenergiatiheys saadaan integroimalla u(ω, T ) kaikkien kulmataajuuksien yli, u(t ) kt πc 3 u(ω, T )dω kt 3π 2 c 3 ω 2 dω / ω 3. Vaikkakin Rayleigh n laki antaa saman tuloksen suurilla aallonpituuksilla kuin Planckin laki, pienillä aallonpituuksilla (suurilla taajuuksilla) se ei enää toimi. Taajuuden kasvaessa energiatiheys kasvaisi Rayleigh n lain mukaan rajatta eikä se pysty siten selittämään mustan kappaleen lähettämän spektrin muotoa. Tätä mahdotonta ilmiötä, jossa värähtelijä säteilisi valtavan energian sisältävää säteilyä sähkömagneettisen spektrin korkeiden taajuuksien alueella, kutsutaan ultraviolettikatastrofiksi. 3. Termisessä tasapainossa lämpötilassa T 3 K olevan säiliön tilavuus V, m 3. (a) Fotonikaasun tilan i keskimääräinen miehitysluku on n i e βɛ i. (.9) 2

3 Jos säteilyn aallonpituus λ 4,82 mm, sen energia ɛ hc/λ ja miehitysluvuksi saadaan ( ) n λ e hc kt λ [ ( ) 6, J s m s exp, J K 3 K 4,82 3 m, (b) Yksihiukkastilojen lukumäärä kulmataajuusvälillä (ω, ω + dω) on ] f(ω)dω V ω2 dω π 2 c 3. (.2) Kirjoittamalla kulmataajuus ω 2πc/λ aallonpituuden avulla saadaan dω/dλ 2πc/λ 2 dω 2πc dλ/λ 2. Jättämällä kulmataajuuden muutoksen suunta huomioimatta, (dω dω ) saadaan tilojen lukumääräksi annetulla aallonpituusvälillä (λ, λ + dλ) (4,82 mm, 4,82 mm +, mm) f(λ)dλ V (2πc/λ)2 2πc dλ/λ 2 π 2 c 3 8πV dλ λ 4 8π, m3, 3 m (4,82 3 m) ,529 4,66 5. (c) Säiliössä aallonpituusalueella (4,82 mm, 4,83 mm) olevien fotonien lukumäärä on tällä aallonpituusvälillä olevien tilojen lukumäärän ja yhden tilan keskimääräisen miehitysluvun tulo eli kohtien (a) ja (b) perusteella dn λ n λ f(λ)dλ, , , 4,66 7. (d) Koska jokaisella fotonilla on kapealla aallonpituusalueella (λ, λ + dλ) likimain sama aallonpituus λ eli energia hc/λ, säiliössä tällä aallonpituusalueella olevan säteilyn kokonaisenergia on kohdassa (c) lasketun fotonien lukumäärän avulla de λ hc λ dn λ 6, J s m s 4,82 3 m, J,92 5 J , 4. Helmholtzin vapaa energia on luentojen yhtälön (5.9) mukaan verrannollinen partitiofunktion logaritmiin, F (T, V, N) kt ln Z(T, V, N). Fotonikaasun partitiofunktion logaritmi voidaan 3

4 luentojen yhtälön (.8) mukaan kirjoittaa summana ln Z f r ln ( ) e βɛr. Kun tiloja on tiheässä, logaritmissa oleva summa voidaan muuttaa integraaliksi, jolloin fotonikaasun Helmholtzin vapaaksi energiaksi saadaan [ F f (T, V ) kt ln ( e βɛr)] kt r ln ( e βɛr) dr, missä ɛ r ω ja dr on niiden yksihiukkastilojen lukumäärä, joiden indeksi on pienellä välillä (r, r + dr). Näiden tilojen kulmataajuus on vastaavasti pienellä välillä (ω, ω + dω), jolloin integraali voidaan kirjoittaa muotoon F f (T, V ) kt ln ( e βɛr) f(ω)dω, missä edellä mainitulla kulmataajuusvälillä olevien tilojen lukumäärä Fotonikaasun Helmholtzin vapaan energian lauseke on siis F f (T, V ) kt V π 2 c 3 f(ω)dω V ω2 dω π 2 c 3. (.2) ω 2 ln ( e β ω) dω. Opastuksen mukaan x 2 ln( e x ) dx π 4 /45, joten merkitsemällä x β ω saadaan ω 2 x 2 /(β ) 2, dω dx/(β ) ja F f (T, V ) kt V π 2 c 3 (β ) 3 V π2 (kt ) 4 45(c ) 3 π 2 k c V T av T 4. x 2 ln( e x ) dx (a) Fotonikaasun tilanyhtälö saadaan laskettua paineen yhtälön avulla, ( ) Ff P f V T ( 3 ) V av T 4 (5.9) 3 at 4, missä a π 2 k 4 /(5 3 c 3 ) on edellä määritelty vakio. 4

5 (b) Entropian lauseke saadaan derivoimalla fotonikaasun Helmholtzin vapaata energiaa lämpötilan suhteen, ( ) Ff S f (7.39) T V ( 3 ) T av T av T 3. (c) Helmholtzin vapaa energia on luentojen yhtälön (5.) mukaan muotoa F E T S, josta saadaan sisäisen energian lausekkeeksi kohdan (b) tuloksen avulla E f F f + T S f 3 av T 4 + T av T 4. ( ) 4 3 av T 3 Lasketaan edellä esitetyille suureille numeroarvot tilavuudessa V m 3 Auringon pinnalla, missä lämpötila T 578 K. Lausekkeissa esiintyvän vakion a numeroarvo on a π2 k c 3 jolloin paineen arvoksi saadaan 8π5 k 4 5(hc) 3 8π 5 (, J K ) 4 5 (6, J s m s ) 3 7, J K 4 m 3, P f 3 at 4 3 7, J K 4 m 3 (578 K) 4 entropian arvoksi, Pa,28 Pa, S f 4 3 av T 3 sisäisen energian arvoksi 4 7, J K 4 m 3 m 3 (578 K) 3 3,94793 J K,95 4 J K, E f av T 4 7, J K 4 m 3 m 3 (578 K) 4, J,844 J 5

6 ja Helmholtzin vapaan energian arvoksi F f 3 av T 4 6 J K 4 m 3 m 3 (578 K) 4 3, J,28 J. 5. Tarkastellaan avointa systeemiä, johon sijoitettu hiukkanen voi olla yhdessä kolmesta yksihiukkastilasta, joiden energiat ovat ɛ, ɛ 2 E ja ɛ 3 3E. Systeemi on energian ja hiukkasten vaihdossa elektroneista muodostuvan lämpökylvyn kanssa, jonka kemiallinen potentiaali lämpötilassa T 2E/k on µ(t ) E. Systeemin partitiofunktio on tällöin luentojen yhtälön (.7) mukainen suurkanoninen partitiofunktio Z i Z i, missä Z i n e β(ɛ i µ)n i (.8) on yksihiukkastilan i antama osuus systeemin suurkanoniseen partitiofunktioon. n i (a) Elektronit noudattavat Paulin kieltosääntöä, jonka mukaan kaksi identtistä fermionia ei voi miehittää samaa kvanttitilaa yhtä aikaa. Tästä syystä kullakin yksihiukkastilalla voi olla enintään yksi elektroni. Koska systeemi on hiukkasten vaihdossa lämpökylvyn kanssa, elektronien lukumäärä systeemissä voi vaihdella siten, että vähimmillään mitään systeemin yksihiukkastiloista ei ole miehitetty ja enimmillään kaikki tilat on miehitetty. Systeemin mahdolliset tilat on esitetty kuvan energiatasokaaviossa. ɛ 3E E i Kuva : Systeemin mahdolliset tilat i. Ympyrät kuvaavat miehitettyjä energiatasoja. Energiatasokaaviosta nähdään, että systeemin mahdollisten tilojen lukumäärä on kahdeksan. Tiloja vastaavat yksihiukkastilojen miehityslukujen joukot (n, n 2, n 3 ) ovat kuvan järjestyksessä (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (b) Kunkin yksihiukkastilan i osuus systeemin suurkanoniseen partitiofunktioon voidaan laskea edellä esitetyn summan (.8) avulla. Koska elektronit ovat fermioneja, kunkin 6

7 tilan suurin mahdollinen miehitysluku n, jolloin Z i n i e β(ɛ i µ)n i + e β(ɛ i µ), missä µ µ(t ) E ja β /(kt ) /(2E). Ensimmäisen tilan tapauksessa (ɛ ) toisen tilan tapauksessa (ɛ 2 E) Z + e β(ɛ E) + e E 2E 2, ,65, Z 2 + e β(ɛ 2 E) + e 2 ja kolmannen tilan tapauksessa (ɛ 3 3E) Z 3 + e β(ɛ 3 E) + e 2E 2E + e, ,37. (c) Miehitysluvun n i esiintymistodennäköisyys on yhtälöiden (.2) ja (.2) mukaan p i (n i ) Z i e β(ɛ i µ)n i, jolloin todennäköisyys sille, että yksihiukkastila on (i) tyhjä eli n on ja (ii) miehitetty eli n p () Z e β(ɛ µ) 2, , ,8 % p () Z e β(ɛ µ) e E kt Z e 2 2, , ,2 %. 7

8 Tapausten (i) ja (ii) todennäköisyyksien summa 37,8 % + 62,2 % % kuten kuuluu ollakin, koska Paulin kieltosäännön vuoksi tilan miehitysluku voi olla vain tai. (d) Todennäköisyys sille, että yksihiukkastilat ja 3 on miehitetty, mutta tila 2 on tyhjä eli n ja n 2 ja n 3, on yhtälön (.9) mukaan yksihiukkastilojen todennäköisyyksien tulo p(,, ) p ()p 2 ()p 3 () Z e β(ɛ µ)n Z 2 e β(ɛ 2 µ)n 2 Z 3 e β(ɛ 3 µ)n 3 e β(ɛ µ)n β(ɛ 2 µ)n 2 β(ɛ 3 µ)n 3 Z Z 2 Z 3 e β( E) β(e E) β(3e E) Z Z 2 Z 3 e E 2E Z Z 2 Z 3 e 2 2, , , ,37 %. (e) Fermionien tapauksessa yksihiukkastilan i keskimääräinen miehitysluku on n i joten tilan 2 keskimääräiseksi miehitysluvuksi saadaan e β(ɛ i µ) +, (.27) n 2 e β(ɛ 2 µ) + e β(e E) + 2. (f) Hiukkasten kokonaislukumäärän keskiarvo saadaan summaamalla kaikkien yksihiukkastilojen keskimääräiset miehitysluvut, N i n i e β(ɛ i µ) + i e β( E) + + e β(e E) + + e β(3e E) + e E 2E + + e + + e 2E 2E + e e +,394753,39. 8

Samankaltaiset tiedostot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella