T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):"

Anni Toivonen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus termisessä kontaktissa kylmemmän lämpövarannon kanssa, a b. Työaineeseen tehdään työtä ja se vastavuoroisesti luovuttaa lämpöä lämpövarantoon. 2. Isokoorinen lämmitys kylmemmän lämpövarannon lämpötilasta T L kuumemman lämpövarannon lämpötilaan T H, b c. Prosessissa ei tehdä työtä dv 0 ja työaine vastaanottaa lämpöä. 3. Isoterminen laajeneminen termisessä kontaktissa kuuman lämpövarannon kanssa, c d. Työaine vastaanottaa lämpöä ja laajetessaan se tekee työtä ympäristöön. 4. Isokoorinen jäähdytys lämpötilasta T H kylmemmän lämpövarannon lämpötilaan T L ja takaisin kiertoprosessin alkutilaan, d a. Prosessissa ei tehdä työtä ja työaine luovuttaa lämpöä. Määritetään nyt kullekin osaprosessille tehty työ ja siirtynyt lämpö, sekä näiden avulla syklin nettotyö, työaineen vastaanottama lämpö ja hyötysuhde.

2 2 1. Isoterminen puristus. Ideaalikaasulle isotermillä sisäenergian muutos on nolla, joten V1 W 1 nrt L ln < 0, 1 ja systeemi luovuttaa lämpöä samalla kun siihen tehdään työtä. 2. Isokoorinen lämmitys. W 2 0, ja vaihdettu lämpö on Q 2 nc V T H T L > Isoterminen laajeneminen. Vaiheen 1 tapaan Q 3 W 3 nrt H ln > 0, 3 4. Isokoorinen jäähdytys. W 4 0 ja vaihdettu lämpö on Q 4 nc V T L T H Q 2. 4 Systeemin tekemä nettotyö W saadaan osaprosesseista 1 ja 3: W tot nrt H ln nrt L ln, 5 ja systeemin vastaanottama lämpö vastaavasti vaiheista 2 ja 3: Q in nrt H ln + nc V T H T L, 6 josta syklin hyötysuhteeksi saadaan Regeneraattori e S W tot Q in nrt H ln nrt H ln RT H ln nrt L ln T H T L R ln + nc V T H T L + c V T H T L. 7 Mikäli koneessa käytetään regeneraattoria 1 ottamaan talteen työaineen luovuttamaa lämpöä vaiheessa 4 ja siirtämään tämä lämpö työaineeseen vaiheessa 2, 1 Yksinkertaisuudessaan tämä voi olla kasa metallijohtoja, jokin huokoinen keraaminen rakenne jne.

3 3 saadaan Stirlingin koneen hyötysuhdetta parannettua. Merkitään regeneraattorin hyötysuhdetta η R, jolle pätee 0 η R 1. 8 Kun η R 0 regeneraattori ei siirrä ollenkaan lämpöä syklin aikana, kun taas tapauksessa η R 1 se siirtää kaiken vaiheessa 4 käyttöaineen luovuttaman lämmön takaisin vaiheessa 2. Regeneraattorin vaikutus tulee näkyviin yhtälön 6 jälkimmäisessä termissä, joka nyt saadaan muotoon nc V T H T L 1 η R nc V T H T L, 9 koska lämpö η R Q 4 lisätään regeneraattorin toimesta vaiheen 2 lämpöön huomaa etumerkit. Regeneraattoria käyttävän Stirlingin koneen hyötysuhde on siis yhtälön 7 mukaan T H T L R ln e S RT H ln + 1 η R c V T H T L. 10 Kun regeneraattori on ideaalinen η R 1, koneen hyötysuhde sievenee muotoon V T H T L R ln 2 T e S H T L 1 T L. 11 RT H ln T H T H

4 4 Kuva 2: Carnot n teoreeman todistus. Carnot n teoreema Carnot n teoreema voidaan ilmaista seuraavasti: Millään kahden lämpövarannon välillä toimivalla koneella ei voi olla korkeampi hyötysuhde kuin samojen lämpövarantojen välillä toimivalla Carnot n koneella. Tarkastellaan nyt Carnot n konetta C ja sitä tehokkaampaa hypoteettista konetta H. Asetetaan H toimimaan normaalina lämpövoimakoneena kahden lämpövarannona välillä lämpötilat Θ 1 ja Θ 2 ; Θ 1 < Θ 1 ja C käänteisenä lämpövoimakoneena samojen lämpövarantojen välille kts. kuva 2. Asetetaan lisäksi ehto, että H:n tuottama mekaaninen työ on täsmälleen C käyttämä työ. Tämä voidaan helposti toteuttaa siirtämällä C:n adiabaatteja sopivat määrät 2 niin, että koneisiin liittyvät työt ovat samat, W H W C. Huomautus: Selkeyden vuoksi valitaan töihin ja lämpöihin liittyvät etumerkit niin, että kuvan 2 nuolien suunnat antavat kunkin suureen positiivisen suunnan. Koska H:lla on oletetusti parempi hyötysuhde kuin C:llä, Töiden yhtäsuuruuksien mukaan tällöin e H > e C W H Q H1 > W C Q C1. 12 Q C1 > Q H Vaihtoehtoinen tapa on ajaa Carnot n koneella N sykliä ja toiseella koneella N sykliä ja valitsemalla N ja N niin, että töiden yhtäsuuruuden ehto toteutuu.

5 5 Kuva 3: Absoluuttisen lämpötilan yhtälön johtaminen. Tarkastellaan nyt H:n ja C:n kokonaisuutta yhtenä suurempana lämpövoimakoneena. Tämä kone vastaanottaa lämpöä kylmemmästä lämpövarannosta, ei tee työtä ympäristöönsä ja siirtää lämpömäärän Q C1 Q H1 kuumempaan lämpövarantoon. Tämä rikkoo Clausiuksen muotoilua 2. pääsäännöstä, eikä täten ole mahdollista, että e H > e C. Tämän analyysin johtopäätös on e C e H. 14 Otetaan nyt C:n rinnalle toinen palautuva lämpövoimakone P. Asetetaan C toimimaan normaaliin suuntaan ja P käänteisenä lämpövoimakoneena C:n rinnalle. Yllä oleva analyysi voidaan nyt tehdä käänteisenä ja todeta, että oletus e C > e P rikkoo jälleen termodynamiikan 2. pääsääntöä. Tällöin analyysin lopullinen tulos on e C e P, 15 eli Carnot n koneen hyötysuhde on suurin mahdollinen ja kaikilla samojen lämpövarantojen välillä toimivilla palautuvilla lämpövoimakoneilla on sama hyötysuhde. Absoluuttinen lämpötila Carnot oivalsi, että yhtälöllä 15 on merkittävä seuraus. Koska emme ole mitenkään määränneet miten tarkastellut palautuvat lämpövoimakoneet on toteutettu ehtona vain että ne ottavat ja luovuttavat lämpöä ainoastaan ollessaan lämpövarantojen kanssa termisessä kontaktissa tai mitä työainetta ne käyttävät, palautuvan lämpövoimakoneen hyötysuhteen, e 1 Q 2 /, täytyy riippua ainoastaan käytettyjen lämpövarantojen lämpötiloista Θ 1 ja Θ 2. Eli mille tahansa palautuvalle koneelle missä fθ 1, Θ 2 on jokin universaali funktio. Q 2 fθ 1, Θ 2, 16

6 6 Tarkastellaan sitten kahden peräkkäin kytketyn Carnot n koneen muodostamaa systeemiä, kts. kuva 3. Yhtälön 16 mukaan siis Q 2 f 1 Θ 1, Θ 2 17 Q 2 Q 3 f 2 Θ 2, Θ Mikä on keskimmäisen lämpövarannon merkitys systeemille? Miten systeemin toiminta muuttuisi, jos ohittaisimme tämän lämpövarannon ja siirtäisimme lämmön Q 2 suoraan C 1 :stä C 2 :een? Vastaus on: ei mitenkään. Tällöin Yhdistämällä yhtälöt 17, 18 ja 19 voimme todeta Q 3 f 3 Θ 1, Θ Q 3 f 3 Θ 1, Θ 3 f 1 Θ 1, Θ 2 f 2 Θ 2, Θ Yhtälön 20 oikeasta puolesta näemme, että /Q 3 ei ole riippuvainen Θ 2 :sta. Tämä toteutuu vain, jos funktiot f i voidaan jakaa tekijöihin niin, että f i Θ a, Θ b F Θ a F Θ b, 21 missä F Θ on jälleen jokin universaali funktio. Carnot n kone antaa siis mahdollisuuden määritellä käyttöaineesta tai koneen tietystä toteutuksesta riippumattoman, absoluuttisen lämpötila-asteikon, jolle Q 2 F Θ 1 F Θ Lordi Kelvinin ehdotuksen 3 mukaisesti absoluuttisen lämpötilan K määritelmäksi valittiin F θ Θ T. Lämpötila-asteikon määrää täten vakiotermiä skaalausta vaille yhtälö T Q 2 T 2 Tällä hetkellä käytetty kelvinasteikon asteikon määritelmä on, että veden kolmoispisteen lämpötila on täsmälleen T tr 273, 16 K. Ideaalikaasua käyttävä Carnot n kone Määritetään lopuksi lauseke ideaalikaasua käyttävän Carnot n koneen hyötysuhteelle. Lasketaan tehty työ ja siirtynyt lämpö kullekin kuvassa 4 esitetyn syklin osaprosesseille. 3 Liittyen kaasulämpömittarien asteikkoon, katso alla kappale 0.4.

7 7 p a 4 T H 1 b d 2 3 T L c V Kuva 4: Carnot n kiertoprosessi. 1. Isoterminen laajeneminen. Kaasu vastaanottaa lämpöä lämpövarannosta T H ja tekee työtä ympäristöönsä. Ideaalikaasun sisäenergia on isotermillä vakio, joten W 1, 24 W 1 nrt H ln Adiabaattinen laajeneminen. Kaasu irrotetaan lämpövarannosta, mutta se tekee edelleen työtä ympäristöön laajetessaan 4 Q 2 0, 26 W 2 U 2 nc V T L T H Isoterminen puristus. Kaasu luovuttaa lämpöä kylmempään lämpövarantoon ja sitä puristetaan samalla pienempään tilavuuteen, Q 3 W 3, 28 Vd W 3 nrt L ln Adiabaattinen puristus kierron alkutilaan. Kaasu irrotetaan kylmemmästä lämpövarannosta, ja sitä puristetaan edelleen kierron alkutilan tilavuuteen V c Q 4 0, 30 W 4 U 4 nc V T H T L Huomaa, että alla ei ole käytetty termin pdv integroinnista saatavaa lauseketta adiabaattiselle työlle, vaan ideaalikaasun ominaisuutta U nc V T loppu T alku aina.

8 8 Koneen tekemä nettotyö ympäristöönsä yhden kierron aikana on Vc W tot nrt H ln nrt L ln, 32 ja sen vastaanottama lämpö vastavuoroisesti Q in nrt H ln V d. 33 Tehty työ voidaan sieventää edelleen tarkastelemalla tilavuuksien V d suhdetta. Adiabaateille osaprosessit 2 ja 4 pätee ja V c ja jakamalla yhtälöt puolittain T H V γ 1 b T L V γ 1 c, T H V γ 1 a T L V γ 1 d, 34 γ 1 Vc V d γ 1 V b V c V d. 35 Yllä olevan tuloksen avulla koneen tekemä työ saadaan muotoon W tot nrt H T L ln, 36 ja koneen hyötysuhteeksi saadaan e C W nrt H T L ln tot, Q in nrt H ln T H T L T H 1 T L T H. 37 Tästä näemme, että yhtälön 23 mukainen absoluuttisen lämpötilan valinta antaa saman tuloksen kuin ideaalikaasun lämpötila-asteikko. Juuri tämä motivoi alunperin lordi Kelviniä esittämään, että absoluuttinen lämpötila-asteikko olisi yhtenevä ideaalikaasun lämpötila-asteikon käytännössä tarkka mitata kanssa.

Samankaltaiset tiedostot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 3: Lämpövoimakoneet ja termodynamiikan 2. pääsääntö Maanantai 13.11. ja tiistai 14.11. Milloin prosessi on adiabaattinen?