( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

Samankaltaiset tiedostot
****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Matematiikan tukikurssi

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Aritmeettinen jono

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Matematiikan tukikurssi

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

9 Lukumäärien laskemisesta

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Insinöörimatematiikka IA

4.3 Signaalin autokorrelaatio

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Mat Lineaarinen ohjelmointi

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

1 Eksponenttifunktion määritelmä

Matematiikan tukikurssi

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tilastollinen todennäköisyys

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio)

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Vuosien Baltian tie -kilpailutehtävien ratkaisuja

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

3 Lukujonot matemaattisena mallina

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 10 ei ole rationaaliluku.

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Vuosi Indeksi , ,7. a) Jakamalla 1, ,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Vuosi Indeksi , ,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231

Generoivista funktioista

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

(2n 1) = n 2

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia

Kompleksilukujen alkeet

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

1 sup- ja inf-esimerkkejä

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

Transkriptio:

Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä mukaa yhtälö vase puoli kertoo kuika mota erilaist-osajoukkoa o a-joukolla. Yhtälö oikea puoli taas vastaa seuraava kombiatorise tehtävä ratkaisua: Jaetaa esi jouko [a] b-osajoukot luokkii se perusteella, mikä o b-osajouko suuri alkio. Esimerkiksi kaikki e b-osajoukot, jotka sisältävät alkio a kuuluvat samaa luokkaa (mikää b-osajoukko ei voi sisältää suurempaa alkiota, kui a). Myös kaikki e b-osajoukot, jotka sisältävät alkio a 1, mutta eivät alkiota a muodostavat keskeää yhde luoka, sillä äide kaikkie suuri alkio o a 1. Jouko [a] b-osajoukko, jossa o mahdollisimma piei suuri alkio, o tietysti {1, 2,..., b} ja se muodostaa yksi oma luokkasa. Olkoo K joki tällaie luokka ja merkitää tähä kuuluvie b-osajoukkoje suurita alkiota, joka o siis kaikilla sama, k:lla. Nyt siis b k a. Lasketaa, kuika mota erilaist-joukkoa o tällaisessa luokassa. Alkio k lisäksi b-joukko sisältää siis b 1 kpl alkioita, jotka ovat kaikki pieempiä, kui alkio k, eli e voidaa valita mielivaltaisesti alkioide 1, 2,..., k 1 joukosta. Näi olle haluttuj-joukkoja o kyseisessä luokassa ( k 1 b 1) kpl. Summaamalla kaikkie luokkie (eli ku k käy a:st:he) b-joukkoje lukumäärät saadaa kaikkie jouko [a] b-osajoukkoje lukumäärä. Siis a ( k 1 ( kb b 1) a b). 2. Osoita, että kaikilla a, b 0, a + b pätee ( ) a + b ( )( ) k k k0

Yhtälö vase puoli kertoo kuika mota erilaista -osajoukkoa o a + b - joukolla. Yhtälö oikea puoli taas voidaa ajatella kombiatorise tehtävä ratkaisuksi, missä jouko [a + b] kaikki -osajoukot A jaetaa luokkii se perusteella, kuika suuri [a] A o. Toisi saoe, kuika mota alkiota -osajoukosta o joukossa [a]. Jos [a] A k, ii valitaa a-joukosta k- joukko, joka voidaa tehdä ( a tavalla, joista jokaista kohti voida-joukosta valita k -osajoukko ( b tavalla. Tuloperiaatteesta seuraa, että -joukko voidaa valita a + b-joukosta äi ( )( k tavalla. Ku summataa yli kaikkie ideksie k, 0 k, ii summaperiaattee ojalla saadaa tulokseksi jouko [a + b] kaikkie erilaiste -osajoukkoje lukumäärä. (Huomaa, että biomikerroita ( a ei ole määritelty, ku k > a. Näi olle tehtävässä voidaa/täytyy tehdä alkuperäistä oletusta a + b vahvempi oletus eli a ja b.) Arkipäivä lähestymistapa tehtävää Valitaa -pelaaja joukkue. Tämä voidaa tehdä ( ) a+b tavalla, ku käytössä o a + b pelaajaa. Toisaalta valita voidaa suorittaa kahdessa osassa; oletetaa, että käytössä o a pelaajaa joukkueesta A j pelaajaa joukkueesta B (A B ). Valitaa esi joukkueesta A k pelaajaa (k 0, 1,..., ), jolloi joukkueesta B voidaa valia k pelaajaa saadaksemme -pelaaja joukkuee. Näitä erilaisia tapoja o siis tuloperiaattee ojalla ( )( k. Summaamalla yli kaikkie ideksi k mahdolliste arvoje (k 0, 1,..., ) saadaa kaikkie mahdollisuuksie lukumäärä muodostaa -joukkue a + b pelaajasta. 3. Osoita, että kaikilla 1 pätee ( ) k 2 1 k k1 Olkoo A joki -jouko osajoukko, jolle pätee A k. Nyt tuloperiaattee

ojalla ( k kertoo mahdollisuuksie lukumäärä, ku esi valitaa joki -jouko (epätyhjä) osajoukko, jossa o k alkiota ( ( tapaa), ja sitte joki ko. osajouko alkio (k tapaa). Summa tästä lukumäärästä yli ideksie k, 1 k, käy läpi kaikki mahdolliset jouko [] k-osajoukot, joista valitaa yksi alkio. Toisaalta -joukosta voidaa esi valita yksi alkio tavalla, joka jälkee erilaisia (epätyhjiä) osajoukkoja, joissa ko. alkio o mukaa o yhteesä 2 1 kpl. (Tässä siis valitaa jokaise jäljelle jääee alkio, joita o 1 kpl, kohdalla kuuluuko se valitu kassa samaa osajoukkoo vai ei.) Arkipäivä lähestymistapa tehtävää Valitaa ehdokkaa joukosta k pelaajaa joukkueesee ja äistä k pelaajasta yksi kapteeiksi. Erilaisia tapoja tehdä tämä o siis ( k ja summaamalla yli kaikkie ideksi k mahdolliste arvoje (1 k ) saadaa yhtälö vase puoli. Toisaalta sama valita voidaa suorittaa ii, että esi ehdokkaa joukosta valitaa yksi kapteeiksi ( mahdollisuutta) ja se jälkee valitaa 1 jäljellä olevasta pelaajasta loput pelaajaat joukkueesee. Tulo 2 1 ilmaisee kuika moella eri tavalla joukkue, jossa o (aiaki!) kapteei, voidaa muodostaa. 4. Kokouksessa o ääioikeutettua hekilöä. Kuika moella tavalla äistä voidaa muodostaa yksikertaie eemmistö (ts. joukko, joka o komplemettiaa aidosti suurempi)? I tapa: Tarkastellaa esi tilaetta, ku o parito. Joukolla, jossa o alkiota o yhteesä 2 osajoukkoa. Osajoukoista tasa puolet o komplemettiaa aidosti suurempia, sillä valitut ja jäljelle jääeet muodostavat aia erikokoiste joukkoje pari ja tilae joukkoje kokoje suhtee o symmetrie. Tämä matemaattie perustelu palautuu biomikertoimee: ( a b) ( a a b) kaikilla 0 b a. Tässä tapauksessa yksikertaie eemmistö voidaa muodostaa siis 2 1 tavalla.

Olkoo sitte parillie luku. Väheetää esi kaikkie osajoukkoje lukumäärästä 2 iide osajoukkoje lukumäärä, jotka ovat samakokoisia; äitä o ( ) /2 kpl. Jäljelle jääeistä (erikokoisista) 2 ( /2) osajoukosta puolet o komplemettiaa suurempia, jote vastaus o ( ( ) ) 2 : 2. /2 II tapa: Aidosti komplemettiaa suurempi joukko voidaa muodostaa joukosta [] ( yhtä moella tavalla, kui o summa kaikista iistä biomikertoimista ) a, missä a > /2 ja a N. Käytetää merkitää b tarkoittamaa lukua b R pyöristettyä alaspäi esimmäisee kokoaislukuu. Siis a + 1 2 o esimmäie kokoaisluku, joka o aidosti suurempi kui /2. Nyt k 2 +1 ( ) k kertoo kaikkie mahdollisuuksie lukumäärä valita eemmistö joukosta [] riippumatta siitä, oko parito vai parillie. 5. Jouko S (järjestämätö) ositus o joukko A, S: epätyhjiä osajoukkoja jotka peittävät S ts. jokaie s S kuuluu johoki A A. Esimerkiksi {{1}, {2, 4}, {3, 5, 6}} o jouko [6] ositus. Jouko [] osituste lukumäärää B kutsutaa Belli luvuksi. Osoita kombiatorisella päättelyllä, että Belli luvut toteuttavat seuraava rekursiivise kaava: ( ) 1 B B k. k 1 k1 Tarkastellaa jouko {1, 2,..., } mielivaltaista ositusta P. Siiä o osa, joka sisältää luvu, saokaamme A {}. Joukko A o jouko {1, 2,..., 1} osajoukko. Ositukse P muut osat muodostavat jouko {1, 2,..., 1}\A

ositukse P. Ositus P ja joukko A määräävät ositukse P yksikäsitteisesti: P P ({A {}}). Ku jokaista lukua k kohti A käy läpi jouko {1, 2,..., 1} k 1- alkioiset osajoukot ja P käy läpi kaikki jouko {1, 2,..., 1} \ A ositukset, ii P käy läpi kaikki jouko {1, 2,..., } ositukset täsmällee kerra. Joukossa A o siis k 1 alkiota ja site joukossa A {} o k alkiota. Tällöi P o k -alkioise jouko ositus. Joukko A voidaa valita ( 1 k 1) tavalla ja ositus P voidaa valita B k tavalla. Kaava seuraa yt tulo- ja summaperiaatteista.