a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

Transkriptio

1 Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a b c) 2a 4b ab = 7ab Ratkaisu a: Renkaan laskutoimituksen osittelulain (R4) nojalla saadaan a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Ratkaisu b: Lauseen 3.16 nojalla renkaassa pätee, että a( b) = (ab). (R4) nojalla (a+b+1)(a b) = (a+b+1)(a)+(a+b+1)( b) = a 2 +ba+a+(a ( b))+b ( b)+1 ( b)) ja lauseen 3.16 nojalla pätee edelleen, että a 2 + ba + a + a( b) + b( b) + 1( b) = a 2 + ba + a ab b 2 b Kuitenkin jos rengas ei ole vaidannainen niin löydetään alkiot a ja b R, jolle pätee ab ba, tällöin a 2 + a + (ba ab) b 2 b a 2 b 2 + a b, koska ba ab 0. Yhtälö ei siis päde mielivaltaiselle renkaalle, mutta se pätee vaihdannaiselle renkaalle. Ratkaisu c: Yhteenlasku on ryhmälaskutoimitus ja siinä (ab) 1 = ab, joten 2a(4b) ab = 8ab ab = 7ab + (ab + ( ab)) = 7ab + e = 7ab Siten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Tehtävä 2. Totea, että 42Z on ryhmän 7Z normaali aliryhmä. Määritä sitten tekijäryhmän 7Z/42Z alkiot ja yhteenlaskutaulu. Vertaa yhteenlaskutaulua ryhmän Z 6 yhteenlaskutauluun. 1

2 Ratkaisu: 7Z =... 7, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, Z =... 42, 0, 42, Tiedetään, että 7Z ja 42Z ovat ryhmiä. Koska 42Z 7Z, niin ryhmä 42Z on ryhmän 7Z aliryhmä. Edelleen tiedetään, että vaihdannaisen ryhmän kaikki aliryhmät ovat vaihdannaisia, joten 7Z on vaihdannaisen ryhmän Z aliryhmänä vaihdannainen. Edelleen vaihdannaisen ryhmän kaikki aliryhmät ovat normaaleja, joten 42Z on normaali ryhmässä 7Z. Jos ryhmän 7Z alkio on jaollinen luvulla 42 niin sen sivuluokka on [0]. Kun jaetaan g 7Z luvulla 42, niin jakojäännös kuuluu joukkoon {0, 7, 14, 21, 28, 35, }, ja muut sivuluokat löydetään jakojäännösten avulla.. 7Z/42Z = [0], [7], [14], [21], [28], [35]. Laskutoimitustaulu näyttää seuraavanlaiselta: + [0] [7] [14] [21] [28] [35] [0] [0] [7] [14] [21] [28] [35] [7] [7] [14] [21] [28] [35] [0] [14] [14] [21] [28] [35] [0] [7] [21] [21] [28] [35] [0] [7] [14] [28] [28] [35] [0] [7] [14] [21] [35] [35] [0] [7] [14] [21] [28] Ryhmän Z 6 laskutoimitustaulu näyttää seuraavanlaiselta: + [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] 6 [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] 6 [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] 6 [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] 6 [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] 6 [5] [0] [1] [2] [3] [4] Kummassakin ryhmässä on 6 alkiota, ja laskutoimitustaulut vastaavat toisiaan, kun samaistetaan [0] 6 = [0], [1] 6 = [7], [2] 6 = [14], [3] 6 = [21], [4] 6 = [28], [5] 6 = [35]. Tehtävä 3. a) Olkoon G ryhmä ja N sen normaali aliryhmä. Osoita, että tekijäryhmän 2

3 G/N alkiolle gn pätee (gn) k = g k N kaikilla k Z. b) Tarkastellaan ryhmän (Z 20, +) aliryhmää N = [4] 20. Mikä on tekijäryhmän Z 20 /N kertaluku? Mitkä ovat alkioiden [1] 20 + N, [2] 20 + N ja [3] 20 + N kertaluvut? Käytä hyväksesi a)-kohtaa. Ratkaisu a: G on ryhmä, ja N on sen normaali aliryhmä, joten laskutoimitus saadaan määriteltyä sivuluokkien joukossa seuraavasti: g 1 N g 2 N = g 1 g 2 N. Todistetaan väite ensin tapauksessa k 0 Tällöin saadaan induktiolla, että gn gn = g gn = g 2 N, gn g 2 N = g g 2 N = g 3 N,... gn g k 1 N = g g k 1 N = g k N, kaikilla k 0. Olkoon sitten k < 0. Ensinnäkin (gn) 1 = g 1 N, sillä tekijäryhmän laskusääntöjen nojalla gng 1 N = gg 1 N = N = g 1 gn = g 1 NgN, joten g 1 N on käänteisalkion määritelmän nojalla alkion gn käänteisalkio (gn) 1. Toiseksi G on ryhmä, joten g 1 G kaikilla g G. Kolmanneksi todetaan, että kun k < 0 niin k > 0, jolloin ensimmäisen kohdalla pätee (g 1 ) k N = g k N, ja saadaan (gn) k = (gn) ( 1) ( k) = ((gn) 1 ) k = (g 1 N) k = (g 1 ) k N = g k N. Ratkaisu b: Etsitään sitten ryhmän [4 20 ] alkiot: Virittäjän moninkerrat kuuluvat (G1):n nojalla ryhmään [4 20 ], joten [0 20 ], [4 20 ], [8 20 ], [12 20 ], [16 20 ] [4 20 ], koska [20 20 ] = [0 20 ], ja [ 4 20 ] = [ ] = [16 20 ]... päätellään, että ryhmään ei voi kuulua muita alkioita. Langrangen lauseesta saadaan, että aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, ja osamäärästä saadaan sivuluokkien lukumäärä, joka on tekijäryhmän kertaluku: 3

4 Z 20 = 20 ja [4 20 ] = 5, joten Z 20 [4 20 ] = 20 5 = 4. Etsitään alkioiden [1] 20 + N, [2] 20 + N ja [3] 20 + N kertaluvut k [1], k [2], k [3] : Lagrangen lauseen nojalla alkioiden kertaluvut jakavat ryhmän kertaluvun, tässä tapauksessa luvun 4, joten kaikkien alkioden kertaluvut löytyvät joukosta {1, 2, 4}, ja tiedetään lisäksi, että ainoastaan [0] 20 + N kertaluku on 1. Saadaan joten k [1] 2, ja siten k [1] = 4. 2([1] 20 + N) = (2[1] 20 + N) = [2] 20 + N N, 2([2] 20 + N) = (2[2] 20 + N) = [4] 20 + N = N, koska [4] 20 + N N, ja siten k [2] = 2. 2([3] 20 + N) = (2[3] 20 + N) = [6] 20 + N = [2] 20 + N N joten k [1] 2, ja siten k [1] = 4. Tehtävä 4. Ovatko seuraavat aliryhmät normaaleja? Jos aliryhmä on normaali, määritä vastaava tekijäryhmä ja sen kertotaulu. a) Ryhmän S 24 aliryhmä {(1), (123), (132)}. b) Ryhmän H = {1, 1, i, i, j, j, k, k} aliryhmä [1] = {1, 1}. Ryhmän H kertotaulu on annettu alla. 1 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 4

5 Ratkaisu a: Osoitetaan vastaesimerkillä, että aliryhmä ei voi olla normaali. Valitaan (34) S 24, ja lasketaan vasen sivuluokka (34){(1), (123), (132)} = {(34), (124), (143)}. Toisaalta (123)(34) = (341), joten (341) {(1), (123), (132)}(34), mutta (341) / (34){(1), (123), (132)} Aliryhmän oikeat ja vasemmat sivuluokat eivät ole samat, joten aliryhmä {(1), (123), (132)} ei voi olla normaali ryhmässä S 24 Ratkaisu b: i i j j k k i i j j k k i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Yritetään laskea aliryhmän {1, 1} sivuluokat. Huomataan, että seuraavat sivuluokat muodostavat ryhmän H osituksen: [1] = {1, 1} = 1{1, 1} = { 1, 1} [i] = {i, i} = i{1, 1} = {1, 1}i = i{1, 1} = {1, 1} i [j] = {j, j} = j{1, 1} = {1, 1}j = j{1, 1} = { 1, 1} j [k] = {k, k} = k{1, 1} = {1, 1}k = k{1, 1} = { 1, 1} k Oikeat ja vasemmat sivuluokat ovat samat, koska ylläolevasta sivuluokkien esityksestä nähdään, että kaikilla h H pätee h{1, 1} = {1, 1}h. Tästä päätellään, että aliryhmä {1, 1} on normaali. Laskutoimitustaulusta nähdään, että ryhmän H laskutoimitus periytyy hyvinmääritellysti sivuluokkien joukkoon. Tämä johtuu aliryhmän {1, 1} normaaliudesta. Saadaan seuraava laskutoimitustaulu: [1] [i] [j] [k] [1] [1] [i] [j] [k] [i] [i] [1] [k] [j] [j] [j] [k] [1] [i] [k] [k] [j] [i] [1] 5

6 Huom.Laskutoimitustaulusta nähdään myös, että tekijäryhmän laskutoimitus on vaihdannainen. Tehtävä 5. Olkoon G syklinen ryhmä, jonka virittää alkio g. Oletetaan, että N on ryhmän G normaali aliryhmä. Osoita, että jokainen ryhmän G/N alkio on muotoa (gn) k, missä k Z. Osoita, että syklisten ryhmien tekijäryhmät ovat syklisiä. Ratkaisu: Olkoon h G, koska G on syklien niin h = g k, jollakin k Z. Tekijäryhmän mielivaltaiselle alkiolle hn, saadaan esitys hn = g k N, jollakin k Z. Tehtävän. 2 nojalla puolestaan pätee g k N = (gn) k, jollakin k Z. Tekijäryhmä G/N on alkion (gn) virittämä, koska jokainen ryhmän alkio voidaan esittää sen moninkertana (gn) k. Yhden alkion virittämä ryhmä on syklinen. Tehtävä 6. a)osoita, että joukko I = {[0] 12, [4] 12, [8] 12 } on renkaan Z 12 ideaali. b)määritä tekijärenkaan Z 12 /I laskutoimitustaulut. Osoita, että mikä tahansa renkaan Z n yhteenlaskualiryhmä on ideaali. Ratkaisu a: Ensinnäkin I = {[0] 12, [4] 12, [8] 12 } = [4], joten I on ryhmän Z 12 aliryhmä, ja siten joukolla I on ominaisuus (IK1). Tarkastellaan sitten ehtoa (IK2): Laskutoimitustaulusta nähdään, että ra I kaikilla r Z 12, a I. Renkaan Z 12 vaihdannaisuuden nojalla tällöin pätee, että ar I kaikilla r Z 12, a I. Siten joukolla on ominaisuus (IK2), joten I on ideaali. + [0] 12 [4] 12 [8] 12 [0] 12 [0] 12 [0] 12 [0] 12 [1] 12 [0] 12 [4] 12 [8] 12 [2] 12 [0] 12 [8] 12 [4] 12 [3] 12 [0] 12 [0] 12 [0] 12 [4] 12 [0] 12 [4] 12 [8] 12 [5] 12 [0] 12 [8] 12 [4] 12 [6] 12 [0] 12 [0] 12 [0] 12 [7] 12 [0] 12 [4] 12 [8] 12 [8] 12 [0] 12 [8] 12 [4] 12 [9] 12 [0] 12 [0] 12 [0] 12 [10] 12 [0] 12 [4] 12 [8] 12 [11] 12 [0] 12 [8] 12 [4] 12 6

7 Ratkaisu b: Osoitetaan, että renkaan Z n ideaalit ovat täsmälleen sen aliryhmät. Ideaalin määritelmän nojalla ideaali on additiivinen aliryhmä, joten riittää näyttää, että jokainen aliryhmä on ideaali. Renkaan Z n mielivaltainen aliryhmä on syklinen, ja siten muotoa [k] n, missä k on luvun n tekijä. Sykliset ryhmät ovat vaihdannaisia, joten niillä on ominaisuus (IK1).Lisäksi pätee [j] n [k] n = [jk] n = j[k] n [k] n, kaikilla [j] n Z n, joten aliryhmillä on ominaisuus (IK2). Koska aliryhmillä on ominaisuudet (IK1) ja (IK2), ne ovat määritelmän nojalla ideaaleja. Määritetään tekijärengas, eli sivuluokkien [k] + I joukko. Koska [k] + I = [j] + I [k] [j] I [k j] I niin Lagrangen lauseesta seuraa, että G I on löydetty kaikki sivuluokat. Saadaan Z 12 /I = {I, [1] + I, [2] + I, [3] + I}. = 4, joten löytämällä 4 sivuluokkaa Tekijärenkaan kertolasku on määritelty kaavalla (a + I) (b + I) = ab + I. Saadaan laskutoimitustaulut: I 1 + I 2 + I 3 + I I I 1 + I 2 + I 3 + I 1 + I 1 + I 2 + I 3 + I I 2 + I 2 + I 3 + I I 1 + I 3 + I 3 + I I 1 + I 2 + I I 1 + I 2 + I 3 + I I I I I I 1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 2 + I I 2 + I I 2 + I 3 + I I 3 + I 2 + I 1 + I 7