Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa Diskonttaus ja nykyarvo Lukujonot ja suppeneminen 2
Prosenttilaskennan kertausta Yksi prosentti (1%) luvusta a: 1 a p% luvusta a: p a Prosenttilaskennassa tarkastellaan suhteellisia osuuksia / muutoksia Esim. Henkilön X bruttotulo on 55 000 /v. ja nettotulo 35 750 /v. Absoluuttinen ennakonpidätys = 55 000 35 750 = 19 250. Suhteellinen ennakonpidätys = 55 000 35 750 55 000 = 0.33 = 33%. 3
Montako prosenttia luku a on luvusta b? Esim. Tuotteen tukkuhinta on 120 ja vähittäishinta 180. Kuinka monta prosenttia vähittäishinta on tukkuhinnasta? Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) 180 150 = 1.5 = 120 = = 150% Vähittäishinta on 1.5-kertainen 180 120 % 150% Esim. Kuinka monta prosenttia henkilön vuosituloista menee veroihin, kun tulo on 142 000 ja vero 47 000? 47k 33.1% Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) 47 000 = 0.331 = 33.1% 142 000 Vero on 0.331- kertainen 142k % 4
Prosentuaalinen muutos Jos luku a (esim. rahamäärä) kasvaa p%, se muuttuu (1 + p )-kertaiseksi Jos luku a (esim. auton arvo) pienenee p%, se muuttuu (1 p )-kertaiseksi 5
Prosentuaalinen muutos Esim. Rahastoon sijoitetaan 20 000 ja vuosikorko on 5%. Paljonko rahaa on vuoden kuluttua? Pääoma kasvaa 5% eli 1.05-kertaistuu 1.05 20 000 = 21 000 105% % 20k 21k Esim. Auton arvo on 60 000 ja arvellaan, että se vähenee vuosittain 20%. Mikä on arvo vuoden kuluttua? Arvo vähenee 20% eli jäljelle jää 80% Arvo 0.8-kertaistuu 0.8 60 000 = 48 000 20% % 60k 80% 48k 6
Prosentuaalisen kasvun suuruus Esim. Eräänä vuonna henkilön vuositulo oli 80 000 ja seuraavana vuonna 95 000. Montako prosenttia tulo oli jälkimmäisenä vuonna suurempi kuin edellisenä vuonna? Jälkimmäisenä vuonna tulo on 95000 80000 = 1.1875-kertainen eli 118.75% alkuperäisestä Tulo kasvoi (118.75-)%=18.75% 15k 18.75% 95k 118.75% 80k % Vastaavasti: Absoluuttinen kasvu: 95 000-80 000 = 15 000. Suhteellinen kasvu alkuperäiseen verrattuna: 15000 80000 =18.75% 7
Prosentuaalisen vähenemän suuruus Esim. Vuonna 2005 kunnassa oli 32 000 asukasta ja vuonna 2015 27 000 asukasta. Montako prosenttia vähemmän asukkaita oli v. 2015 kuin v. 2005? Vuonna 2015 asukasmäärä oli 27000 32000 = 0.84375- kertainen eli 84.375% alkuperäisestä Asukasmäärä väheni (- 84.375)%=15.625% 5 kas. 15.625% 32 kas. % 27 kas. 84.375% Vastaavasti: Absoluuttinen vähenemä: 32 000 as. - 27 000 as. = 5 000 as. Suhteellinen vähenemä alkuperäiseen verrattuna: 5000 32000 =15.625% 8
Prosentti vs. prosenttiyksikkö Esim. Keskustan kannatus oli vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 15.76% ja vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 21.20%. Kannatus nousi 21.20 % 15.76 % = 5.34 %-yksikköä Kannatus nousi 21.20 %15.76 % 15.76 % = 34.5% Esim. Kristillisdemokraattien kannatus oli vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 4.03% ja vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 3.54%. Kannatus laski 4.03 % 3.54 % = 0.49 %-yksikköä Kannatus laski 4.03 %3.54 % 4.03 % = 12.2% 9
Presemo-kysely Terttu sai 20% palkankorotuksen, minkä jälkeen hänen palkkansa oli 4800 kuussa. Mikä oli Tertun palkka ennen korotusta? 1. 3840 2. 4000 3. 4600 10
Prosenteista korkoihin Prosenttien laskeminen liittyy suhteellisiin muutoksiin Esim. Rahastossa oli vuoden alussa 10 000. Paljonko rahaa oli seuraavan vuoden alussa, kun vuosituotto oli 5%? Koron kertyminen vastaa peräkkäisiä suhteellisia muutoksia Esim. Paljonko rahastossa oli viiden vuoden kuluttua, kun tuotto oli joka vuosi sama 5%? 11
Auton arvo Rahaston arvo Peräkkäiset suhteelliset muutokset Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Paljonko rahaa on 1,2,3,,n vuoden kuluttua? Rahaa n vuoden jälkeen: 20000 1.05 1.05 1.05 = 20000 1.05 n Esim. kolmen vuoden jälkeen: 20000 1.05 3 = 20000 1.1576 = 23152.50. Alussa 60 000 arvoisen auton arvo vähenee 20% vuosittain. Paljonko arvosta on jäljellä 1,2,,n vuoden kuluttua? n kpl n kpl Arvo n vuoden jälkeen: 60000 0.8 0.8 0.8 = 60000 0.8 n Esim. kolmen vuoden jälkeen: 60000 0.8 3 = 60000 0.512 = 30720. 35000 33000 30 29000 27000 25000 23000 20 19000 17000 15000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 00 0 0 2 4 6 8 10 Vuosi 0 5 10 Vuosi 12
Korkojen laskemisesta Käsitteitä Alkupääoma / pääoman nykyarvo: K 0 Korkokanta: p% (yl. vuodessa) Pääoma t vuoden kuluttua: K t = K 0 1 + p Pääoman suhteellinen muutos eli korkotekijä: r = K t K 0 t. Korko: ΔK = K t K 0 Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000. Kuinka suureksi pääoma on kasvanut a) vuoden, b) kolmen vuoden kuluttua? a) K 1 = 20000 1 + 5 = 20 r = 1.05 ja ΔK = 0, b) K 3 = 20000 1.05 3 = 23152.5 r = 1.1576 ja ΔK = 3152.5. 13
Koron laskemisesta Pääoma mielivaltaisella ajanhetkellä t lasketaan kaavalla K t = K 0 1 + p Täydet vuodet missä t on suurin kokonaisluku siten, että t t. t 1 + (t t )p, Ylijäämä täysistä vuosista Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 t = 0 K 4/12 = 20000 1 + b) t = 5.5 t = 5 K 5.5 = 20000 1 + 5 4 12 5 = 20333.33 5 1 + 0.5 5 = 26163.77. 14
Koron lisääminen m kertaa vuodessa Usein korkokanta p ilmoitetaan (nimellisenä) vuosikorkona, mutta korkoa lisätään pääomaan esim. kuukausittain Jos korko p/m lisätään pääomaan m kertaa vuodessa, on pääoma 1 vuoden kuluttua: K 1 = K 0 1 + p/m m r = 1 + p/m Ajanhetkellä t (vuotta), kun t m on kokonaisluku: K t = K 0 1 + p/m m tm r = 1 + p/m tm Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan kuukausittain. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) vuoden, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) m = 12, t = 4 12 tm = 4 K 4/12 = 20000 1 + 5/12 b) m = 12, t = 1 tm = 12 K 1 = 20000 1 + 5/12 c) m = 12, t = 5.5 tm = 66 K 5.5 = 20000 1 + 5/12 4 = 20335.42 12 = 21023.24, 66 = 26315.57. 15
r Koron lisääminen jatkuvasti Tarkastellaan tilannetta, jossa nimellinen vuosikorko on % (eli p=) ja korkoa lisätään m kertaa vuodessa Vuoden kuluttua maksettavan lainan korkokerroin on r = Kuinka suuri korkokerroin on, jos korkoa lisätään pääomaan a) 2 kertaa vuodessa, b) 10 kertaa vuodessa, c) kertaa vuodessa? 2.8 2.7 2.6 2.5 e 1 + p/m m = 1 + 1 m m Mitä lukua korkokerroin lähestyy? r = lim m 1 + 1 m m = e 2.718282 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 m 16
Koron lisääminen jatkuvasti Yleisesti: Kun vuosikorko on p ja korkoa lisätään jatkuvasti, korkotekijä t vuoden kuluttua maksettavalle pääomalle K t on r = lim m 1 + p/m mt = e pt K t = K 0 r = K 0 e pt Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla 20 000 siten, että korko liitetään pääomaan jatkuvasti. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 r = e 5 4 12 1.0168 K4/12 = 20000 e 5 4 12 = 20336.13, b) t = 1 r = e 5 1.0513 K1 = 20000 e 5 = 21025.42, c) t = 5.5 r = e 5 5.5 1.3165 K 5.5 = 20000 e 5 5.5 = 26330.61. 17
Nimellinen vs. efektiivinen korko 5% nimellistä vuosikorkoa käyttäen 20 000 :n pääoma kasvoi vuodessa 21023.24 20000 21025.42 20000 1 = 5.12%, kun korkoa lisättiin kuukausittain 1 = 5.13%, kun korkoa lisättiin jatkuvasti Todellista pääoman kasvua kutsutaan efektiiviseksi koroksi Esim. Mikä nimellisen vuosikoron pitäisi olla, jotta efektiivinen vuosikorko olisi 5%, kun korkoa lisätään pääomaan kuukausittain? K 1 = K 0 1 + p/m m = 1.05K 0 1 + p/m m = 1.05 p = m m 1.05 1 p = 12 12 1.05 1 4.889 Mikä on tällöin kunkin kuukauden korkoprosentti? 0.0514 0.0512 0.051 0.0508 0.0506 0.0504 0.0502 0.05 0.0498 0.225 0.22 0.215 0.21 0.205 0.2 0.195 p=5 1 6 11 16 m p=20 1 6 11 16 m 18
Diskonttaus Edellä on tarkasteltu prolongointia eli pääoman arvon kasvua koron johdosta nykyhetkestä tulevaisuuteen. Diskonttaus on käänteinen toimenpide prolongoinnille: mikä on pääoman arvon alenema tulevaisuudesta nykyhetkeen? K 0 = dk t = 1 r K t Diskonttaus Pääoman nykyarvo K 0 K t Pääoman tuleva arvo Prolongointi r = korkotekijä d = diskonttotekijä K t = rk 0 = 1 d K 0 19
Prolongointi vs. diskonttaus Prolongointi Pääoman tuleva arvo, kun nykyarvo tunnetaan: Diskonttaus Pääoman nykyarvo, kun tuleva arvo tunnetaan: K t = K 0 1 + p K t = K 0 1 + p/m K t = K 0 e pt t tm 1 + t t p K 0 = K 0 = 1+ p K t 1+ p/m K 0 = K t e pt K t t 1+ tm t t p Pääoman suhteellinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korkotekijä: r = K t K 0 Pääoman absoluuttinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korko: K t K 0 Pääoman suhteellinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskonttotekijä: d = K 0 = 1 K t r Pääoman absoluuttinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskontto: K 0 K t 20
Diskonttaus, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = 1 + p t K t 1 + t t p Esim. On sovittu, että 5000 korvaus maksetaan vuoden kuluttua. Kuinka suuri on kohtuullinen maksun arvon alennus (diskontto), jos korvaus maksetaankin a) heti, b) 4kk sovittua aikaisemmin, kun korkokanta on 6% vuodessa? a) t = 1: K 0 = 5000 1+ 6 b) t = 4 12 : K 0 = 5000 4 1+ 12 6 1 = 5000 1.06 = 4716.98. Diskontto on 5000 K 0 = 283.02. = 5000 1.02 = 4901.96. Diskontto on 5000 K 0 = 98.04. 21
Diskonttaus, kun korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = K t 1 + p/m tm Esim. Henkilö ostaa joukkovelkakirjan, joka takaa hänelle 20 000 laina-ajan umpeutuessa. Nimellinen vuosikorko on 5%, ja korkoa lisätään lainapääomaan kuukausittain. Mikä on joukkovelkakirjan hinta (ts. nykyarvo), kun laina-aika on a) yksi vuosi, b) 4 kk? a) t = 1: K 0 = 20000 1+ 5/12 b) t = 4 12 : K 0 = 5000 1+ 5/12 1 12 = 20000 1.051162 = 19026.56. 4 = 5000 1.016771 = 19670.11. 22
Yhteenveto korkolaskennasta Pääoman nykyarvon ollessa K 0 ja korkokannan p, pääoman arvo hetkellä t saadaan prolongoimalla K t = rk 0, missä korkotekijä r = 1 + p t 1 + (t t )p, jos korko lisätään pääomaan vuosittain r = 1 + p/m tm, jos korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa r = e pt, jos korkoa lisätään pääomaan jatkuvasti. Pääoman tulevan arvon ollessa K t, pääoman nykyarvo saadaan diskonttaamalla K 0 = dk t, missä diskonttotekijä d = 1/r. 23
Presemo-kysymys http://presemo.aalto.fi/talousmatematiikka2017/ Kaapo sijoittaa säästötililleen 5000 2% vuosikorolla. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4.5 vuoden kuluttua? 1. 5 2. 5326 3. 5466 24
Lukujonoista Lukujonoilla voidaan kuvata monien taloudellisten ilmiöiden systemaattista kehittymistä. Esim. 20 000 sijoitus 5% vuosikorolla voidaan esittää lukujonona 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa 20 000, 20 000 1.05, 20 000 1.05 2,, 20 000 1.05 n1 Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Joskus lukujono voidaan esittää sääntönä (a n ) Esim. Edellä (a n ) = 20 000 1.05 n1. 25
Aritmeettinen jono Jos lukujonon peräkkäisten termien absoluuttiset erot ovat yhtä suuria, jonoa kutsutaan aritmeettiseksi: a n+1 a n = d n = 1,2, Esim. Opiskelija HH saa kotoa muuttaessaan 2000 ja sen jälkeen kuukausittain 500. Kertynyttä rahamäärää kuvaa artimeettinen jono 1. kk alussa 2. kk alussa 3. kk alussa n. kk alussa 2000, 2000+500, 2000+2 500,, 2000+(n-1) 500 a 1 a 2 a 3 a n Edellä a n+1 a n = 2000 + n 500 2000 n 1 500 = 500 = d Aritmeettinen jono voidaan esittää sääntönä (a n ) = a 1 + (n 1)d 26
Aritmeettinen jono: Esimerkki 10 000 lainan vuosikorko on 16% ja sitä lyhennetään 500 puolivuosittain 20 kpl lyhennyksiä Puolen vuoden korko 16%/2=8% Maksettavan 1., 2., 3., ja n. koron suuruutta kuvaa jono Lyhennys 1 2 3 n 20 Pääoma 00 = 20 500 9500 = 19 500 9000 = 18 500 00 - (n-1) 500 1 500 Korko 0.08 (20 500 ) =800 =20 40 0.08 (19 500 ) =760 =19 40 0.08 (18 500 ) =720 =18 40 800 - (n-1) 40 0.08 500 =40 Jono on aritmeettinen: (a n ) = 800 40 (n 1) a 1 = 800 ja d = 40. 27
Geometrinen jono Esim. 20 000 sijoitus 5% vuosikorolla voidaan esittää lukujonona 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa 20 000, 20 000 1.05, 20 000 1.05 2,, 20 000 1.05 n1 a 1 a 2 a 3 a n Lukujono ei ole aritmeettinen, sillä Sen sijaan a n+1 a n = 20 000 (1.05 n 1.05 n1 ) vakio a n+1 a n = 20 000 1.05n 20 000 1.05 n1 = 1.05 = vakio Jos lukujonon peräkkäisten termien suhteelliset erot ovat yhtä suuria, jonoa kutsutaan geometriseksi a n+1 a n = q n = 1,2, Geometrinen jono voidaan esittää sääntönä (a n ) = a 1 q n1 28
Geometrinen jono: Esimerkki 60 000 hintaisen auton arvon arvellaan vähenevän aina 20% edellisen vuoden arvosta. Kunkin vuoden alussa jäljellä olevaa arvoa kuvaa jono: 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa 60 000, 60 000 0.8, 60 000 0.8 2,, 60 000 0.8 n1 a 1 a 2 a 3 a n Jono on geometrinen: a 1 = 60 000 ja q = 0.8. 29
Aritmeettinen vs. geometrinen jono Aritmeettinen jono kuvaa lineaarista muutosta Geometrinen jono kuvaa eksponentiaalista muutosta 700 3000 650 600 550 d>0 2500 2000 1500 0 q>1 500 500 450 1 3 5 7 9 0 1 3 5 7 9 550 600 500 450 400 d<0 500 400 300 200 q<1 350 300 1 3 5 7 9 0 1 3 5 7 9 30
Muita esimerkkejä lukujonoista 60 a 1 = a 2 = 1, a n = a n2 + a n1 n 3 (Fibonaccin jono) 3 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a n = 1 + 1 n n 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.5 1 a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n2 n 3 0.5 0-0.5-1 -1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31
Lukujonon suppeneminen Lukujono suppenee, jos sen termit a n lähestyvät jotakin äärellistä lukua a <, kun n. Esim. Geometrisen lukujonon termi a n = a 1 q n1 0, jos q < 1. Esim. Termi a n = 1 + 1 n n e. Jos lukujono ei suppene, se hajaantuu Termi a n ei lähesty mitään arvoa (esim. Jono 1, -1, 1,-1 ) Termi a n lähestyy ääretöntä / miinus ääretöntä o Aritmeettinen jono, kun d 0 o Geometrinen jono, kun q > 1 o Fibonaccin jono 32
Lukujonon suppeneminen Opiskelijan HH kerryttämä rahamäärä n. kuussa on a n = 2000 + n 1 500 a n, kun n. Opiskelijan kerryttämä rahamäärä hajaantuu. Mitä tämä tarkoittaisi käytännössä? Alun perin 60 000 arvoisen auton hinta vuoden n alussa on a n = 60 000 0.8 n1 a n 0, kun n Auton arvo suppenee. Mitä tämä tarkoittaa käytännössä? 33
Yhteenveto lukujonoista Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia Aritmeettisen jonon peräkkäisten termien erotus on vakio: a n+1 a n = d Geometrisen jonon peräkkäisten termien suhde on vakio: a n+1 a n Joissakin erikoistapauksissa jonon kaikki termit voidaan esittää kompaktissa muodossa Aritmeettinen jono: (a n ) = a 1 + (n 1)d Geometrinen jono: (a n ) = a 1 q n1 = q Lukujono suppenee, jos sen termit lähestyvät jotakin äärellistä raja-arvoa 34
Presemo-kysymys Moottoriveneen hinta uutena on 150 000. Arvo alenee 20% vuodessa. Mikä on moottoriveneen arvo 3 vuoden kuluttua? 1. 60 000 2. 76 800 3. 86 806 35