MRIISILSKEN Oppitunti 1... 1 Mtriisin käsite... 1 Yhtälöryhmä... Mtriisien perusopertiot... 4 Erikoisi mtriisej... 7 Käänteismtriisin käsite... 9 Ositetut mtriisit (lohkomtriisit)... 10 Kompleksiset mtriisit... 10 Oppitunti... 11 Mtriisin determinntti... 11 Käänteismtriisi... 13 Mtriiseill lskeminen symbolisesti... 14 Yhtälöryhmä... 15 Ominisrvot j vektorit... 16 Cyleyn-Hmiltonin teoreem... 17 Oppitunti 1 Mtriisin käsite rkstelln rtkistvksi nnettu yhtälöä x =6 joss tuntemton x tulee määrätä. Kyseessä on tyyppiä x = b olev yhtälöryhmä (tässä koostuu vin yhdestä yhtälöstä), joss eri termit ilmistn mtriisien vull. Kerroinmtriisi on neliömtriisi, jok tässä tpuksess on sklri (rvoltn, tyyppiä 1 x 1 olev mtriisi); tuntemton mtriisi x on vektori, jok tässä tpuksess on smoin sklri (1 x 1 mtriisi); nnettu dtvektori 6 on smoin sklri. Yhtälöryhmän rtkisemiseksi kerrotn yhtälöä vsemmlt mtriisin käänteismtriisill, jok tässä on rvoltn -1 = ½. Yhtälön vsemmlle puolelle jää nyt vin yksikkömtriisi, I, jok on rvoltn 1, kerrottun tuntemttomll. x = 6 I I x = 6 1
Kertominen yksikkömtriisill vst tietyssä mielessä kertomist ykkösellä. ällöin yksikkömtriisi kert toinen mtriisi nt tulokseksi sen toisen mtriisin. Siis vsemmlle puolelle jää vin tuntemton x. Suorittmll lskut myös yhtälön oikell puolell sdn tulos. 1 x = 6 = 3 Menettely kuv yleistä tp ilmist yhtälöitä mtriisien vull sekä rtkist niitä. Esitetyssä tpuksess kyseessä oli vin yksi yhtälö, mikä ltisti mtriisit sklreiksi. Mutt ktsotn toist esimerkkiä. Yhtälöryhmä Olkoon nnettu yhtälöryhmä x+ 3y = 6. 7x + 15y = 8 Nyt on kksi tuntemtont j kksi yhtälöä. Entäpä jos yhtälöitä onkin 1000 kpl? 100 000 kpl? Mtriisit ovt tp käsitellä tällisi tietomääriä systemttisesti lukutulukoiden vull. Esitettävät lskentmenettelyt ovt yleisiä, j käytettävissä on hyviä lskentohjelmistoj, joill sekä pienet että (kohtuullisen) suuret tehtävät voidn lske ivn smoill menetelmillä. Mtriisit voidn ymmärtää lukutulukoiksi, joihin pktn dt edelleen käsiteltäväksi. Esimerkin yhtälö voidn esittää muodoss X 3 x 6 7 15 y = 8 X 3 x 6 = X Y = 7 15 = y 8. 1 X = 1 Y I X = X = Y I Y Kerroinmtriisi on nyt tyyppiä x olev neliömtriisi. Rtkistv muuttuj X (koostuu tuntemttomist x j y) on esitetty tyyppiä x 1 olevn pystyvektorin. nnettu dt Y (6, -8) on smoin x 1 pystyvektori. Siis Kerrotn vsemmlt mtriisin käänteismtriisill. Huom, että myös yhtälön oikell puolell tämä kertominen tphtuu vsemmlt. (ikisemmss esimerkissä mtriisit olivt sklrej j kertomisen suunnll ei itse siss olisi ollut merkitystä. Mutt nyt on.) = Y
Vsemmlle sdn jälleen yksikkömtriisi I, jok kertoo X:ää, j nt siis tulokseksi tuon hlutun tuntemttomn. Mutt rtkisu on vst symbolisess muodoss; oike puoli on vielä lskettv. Siis on lskettv eli :n käänteismtriisi j kerrottv se mtriisill Y. Jätetään tämä esimerkki (vielä ei ost lske käänteismtriisi) j ktsotn mtriisien peruskäsitteitä. Mtriisi voidn siis jtell lukukvioksi, jok koostuu (vk)riveistä j (pysty)srkkeist. (Yleisesti puhutn riveistä (row) j srkkeist (column).) Mtriisiin sijoitettvt luvut ovt lkioit eli elementtejä; niitä merkitään siten, että esim. lkio ij on rivin i j srkkeen j sisältämä lkio. Esimerkin mtriisiss on n riviä j m srkett. Kyseessä on n x m tyyppiä olev mtriisi. Snotn myös, että mtriisin dimensio on n x m. Jos n = m, kyseessä on neliömtriisi. 11 1 1, m 1m 1, m 1 m = n1 n n, m nm rivi (row) srke (column) n m mtriisi ietyntyyppisille mtriiseille käytetään omi nimiä, kosk nämä mtriisit esiintyvät usein sovelluksiss. Mtriisi, joss on vin yksi srke ti vin yksi rivi termejä, kutsutn vektoriksi. ll olevss esimerkissä on srkemtriisi; joskus käytetään myös nimitystä pystyvektori. 1 n = n 1 -dimensioinen (pysty)vektori Mtriisin trnspoosi on perusopertio, joss rivit vihdetn vstviksi srkkeiksi j päinvstoin. Mtriisin trnspoosi merkitään kirjimell, joskus myös heittomerkillä. Edellä olevn esimerkin pystyvektorist sdn trnsponoimll vkvektori. [ ] 1 n = :n trnspoosi 1 n -dimensioinen (vk)vektori 3
Mtriisien perusopertiot Mtriisien perusopertiot ovt trnsponointi, yhteen- j vähennyslsku, sklrill kertominen j mtriisitulo. Determinntin lskeminen j käänteismtriisin määrääminen voidn myös mieltää perusopertioiksi, mutt niitä käsitellään jäljempänä. 1. rnsponointi rnsponointi kuvttiin edellä; nyt esimerkkinä x 3 mtriisi, jok trnsponoitess muuttuu 3 x mtriisiksi. 1 4 1 3 = 5 4 5 6 = 3 6 3 Mtriisi kuvtn joskus symbolisesti viittmll sen elementteihin muodoss = ( ij ),1 i n,1 j p n p ällöin trnspoosi voidn merkitä = ( ji ) 6 6 6 B= 6 6 6 3 Sklri eli pelkkä luku voidn tietyin vruksin mieltää 1 x 1 mtriisiksi. Sklrin trnspoosiss tulos ei muutu miksikään.. Yhteen- j vähennyslsku Mtriisien yhteen- j vähennyslsku on määritelty vin smntyyppisille eli smndimensioisille mtriiseille. Opertio tphtuu luonnollisell tvll termeittäin siten, että esimerkiksi lskuss Esimerkki: + B = C jokinen termi c ij = ij + b ij. 1 3 = 4 5 6 3 8 10 1 + B= 14 16 18 3 3 7 8 9 B = 10 11 1 3 + = ( ij + ij ) B= ( ij bij ) B b Dimensioiden oltv smt 4
3. Sklrill kertominen Sklrill kertominen on erikseen määritelty lskutoimitus. Siinä mtriisin jokinen termi kerrotn ko. sklrill. Esim: 1 3 α α 3α = 4 5 6 α = 4α 5α 6α (α sklri) 1 3 = 4 5 6 7 8 9 1 0 0 B = 0 1 0 0 0 1 (yksikkömtriisi) 1 3 α 0 0 1+ α 3 + αb= 4 5 6 0 α 0 4 5 α 6 + = + 7 8 9 0 0 α 7 8 9+ α Edellisessä esimerkissä mtriisi B on yksikkö- eli identiteettimtriisi, jot usein merkitään kirjimell I. Sille löytyy pljon käyttöä, kuten jo lun yhtälöesimerkistä kävi ilmi. Osittelulit ovt voimss sklrill kertomisen suhteen. ( α + β )= α + β (α j β sklrej) ( ) + α= 1+ α= 1+ α = ( 1) = ( ij ) Vähennyslsku voidn lähestyä jttelemll mtriisi kerrottun sklrill 1. Huom, että edellä oleviss kvoiss esiintyvä luseke = 1 trkoitt sklrill 1 kertomist eikä yksikkömtriisill kertomist = I (eli I * ), jok olisi mtriisitulo. (ässä tpuksess tosin tulos on sm.) 4. Mtriisitulo Khden mtriisin j B tulo (mtriisitulo) on määritelty vin, kun mtriisien dimensioille (lyhennysmerkintä dim) pätee B = C dim = nxp dim B = pxk dim C = nxk Siis kun on dimensiot n x p j B dimensiot p x k (huom. sm p molemmiss), niin lskutoimitus on määritelty j tulos on tyyppiä n x k. Kertolskuss termi c ij lsketn siten, että mtriisin i:nnen rivin lkiot kerrotn termeittäin mtriisin B j:nnen srkkeen lkioill, j tulos lsketn yhteen. Kyseessä on hiemn hnklsti miellettävä opertio, jok knntt opetell muistmn peritteen j esimerkein. 5
Esim: 1 1 3 1 1 ( 1) 3 ( ) 1 ( 1) 3 0 7 0 1 1 + + + + = 4 5 6 = = 4 1 5 ( 1) 6 ( ) 4 5 ( 1) 6 0 + + + + 3 3 0 3 3 Kvoin mtriisitulo voidn esittää seurvsti dim = n p B= C dim C = n m dim B= p m ( c ) p = b ij ik kj k = 1 11 1 1 p b11 b1 b1 m x c1 x x 1 p b1 b b m x x x x = x x x x n 1 n np bp 1 bp bpm x x x x n p p m n m c = b + b + + b 1 11 1 1 1p p Seurvss on esitetty joitkin lskusääntöjä: ( + B) = ( + b ) = ( + b ) = + B ij ij ( ) = ( ) ) = ( ) = ( ) = ij ji ji ij ji Siis summn trnspoosi on yhtä kuin yhteenlskettvien mtriisien trnspoosien summ. Mtriisin trnspoosin trnspoosi on mtriisi itse. Mtriisitulo poikke oleellisesti sklrien tutust kertolskust. On huomttv, että tulon vihdntlki ei mtriisien kertolskuss päde (hrvinisi erikoistpuksi lukuunottmtt). Siis yleensä B B. Jos joillekin mtriiseille j B pätee B = B, niin mtriisien snotn kommutoivn. 1 1 5 = B B B 3 4 = = = 0 11 3 4 in + B= B+ + 0= 0 + =, dim = dim 0 (0 nollmtriisi, kikki elementit nolli) I = I =,dim = dim I = n n (I yksikkömtriisi) Huom, että yksikkömtriisi kommutoi in, kunhn kertov ti kerrottv toinen mtriisi on oike dimensiot. Muist, että yksikkömtriisill kertominen on mtriisitulo, 6
jolloin dimensioiden on oltv sopivi. Sklrill kertominen sen sijn on erikseen määritelty opertio, joten sklrin mieltäminen 1 x 1 tyyppiseksi mtriisiksi on tässä mielessä hrhnjohtv. Vektorin kertominen mtriisill 1 = = 1 3 [ ] b1 b= b b = b1 b b b 3 3 [ ] 3 1 b 1 1 b 1 b 1 3 b = [ b1 b b 3] b 1 b b = 3 13 3 3b1 3b 3b 3 31 33 b1 b= [ 1 3] b = [ b 1 1+ b + b 3 3] 13 b 11 3 Erikoisi mtriisej 31 Edellä on jo esitelty sklri j vektori mtriisien erikoistpuksin. Lisäksi seurvi käytetään yleisesti: yyppi Esimerkki Huomioitv nollmtriisi 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 4 yksikkömtriisi I 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 33 in neliömtriisi, päädigonlill ykkösiä, muut mtriisin termit nolli. 7
digonlimtriisi yläkolmiomtriisi ( λ ) λ1 0 0 0 0 λ 0 0 Λ= dig i = 0 0 λ3 0 x x x x 0 x x x R = 0 0 x x 0 0 0 x 0 0 0 λ 4 4 4 in neliömtriisi x:t mielivltisi lukuj. in neliömtriisi lkolmiomtriisi x 0 0 0 x x 0 0 U = x x x 0 x x x x x:t mielivltisi lukuj. in neliömtriisi Vielä joitkin mtriisilskentn liittyviä lskusääntöjä. ( ) ( ) ( ) λ = λ, λ R ( B) = + B = + B = B + B= B+ + 0 = + ( ) = 0 1= ( B) C = ( BC) B ( + C) = B+ C λ( + B) = λ+ λb ( λ + ) = + ( λµ ) = λ ( µ ) µ λ µ 8
I = I = 0= 0= 0 I yksikkömtriisi, 0 nollmtriisi Huom erityisesti, että esim. ( BC) = C B pätee in kun mtriisien kertolsku on dimensioiden puolest määritelty. Smoin huom, että edellä 0 trkoitt sopivn kokoist nollmtriisi (nollist koostuv mtriisi) eikä sklri 0. Yleensä B B B = 0 EI välttämättä merkitse = 0 ti B = 0 3 1 1 3 = D 6 4 5 6 = 3 1 1 3 0 0 D = D 6 0 0 = 1 3 Käänteismtriisin käsite Mtriisi B on mtriisin käänteismtriisi, jos B = B = I. Käänteismtriisi voi oll inostn neliömtriiseill (tietenkin myös sklreill, jolloin kyse on käänteisluvust). Mtriisin käänteismtriisi merkitään -1. Siis = = I. (Mtriisi kommutoi in käänteismtriisins knss.) Jos mtriisill on käänteismtriisi, :n snotn olevn säännöllinen (eisingulrinen); muuss tpuksess mtriisi on singulrinen. Jos käänteismtriisi on olemss, se on yksikäsitteinen. Huom, että mtriiseille ei ole määritelty jkolsku eli mtriisill ei voi jk (ellei jet sklrill eli siis kerrot käänteisluvull). Jkolsku vst kertominen käänteismtriisill joko oikelt ti vsemmlt, siis esim. CD Lskusääntöjä: ti D C (tulokset eivät yleensä ole smt) 9
( ) ( λ) ( B) = 1 = λ = B ( ) = ( ) ( λ sklri) edellyttäen että kikki mtriisit j lskutoimitukset ovt määriteltyjä. Neliömtriisi snotn symmetriseksi, jos =. Relist neliömtriisi snotn 1 ortogonliseksi, jos = eli = = I. Ositetut mtriisit (lohkomtriisit) Mtriisin lkioit (ti lkioryhmiä) voidn pitää mtriisein. Lskutoimituksiss on huomioitv dimensioit koskevt rjoitukset. 1 3 B 1 3 M 4 5 6 = = C D = 4 5 B= 6 7 8 9 C 1 = Cy1+ Dy = [ 7 8 ] D= [ 9] 1 3 x1 1 1 4 5 6 B y x x = y1 y C D y = x 7 8 9 x 3 y + By = [ x ] 3 Huom. Kun suoritetn lskutoimituksi ositetuill mtriiseill on dimensioiden oltv yhteensopivi sekä lohkojen että niiden sisältämien osmtriisien välillä. Kompleksiset mtriisit Mtriisin lkiot voivt oll myös kompleksilukuj, esim. 1+ i 1i C = 3i 4 i ( i on imginriyksikkö) 3 1+ i Mtriisi C :n lkiot ovt C:n liittoluvut. 10
1 i 1+ i C = 3i 4 + i 3 i Kompleksisen mtriisin tpuksess trnsponoinnin sijn käytetään yleensä hermitointi, jok on määritelty C H = C. Siis hermitoitu mtriisi sdn ottmll lkioist liittoluvut j trnsponoimll. H 1 i + 3i 3 C = 1+ i 4i i Hermitointi noudtt seurvi sääntöjä H ( ) ( ) ( ) H λ = λ ( λ sklri, relinen ti kompleksinen) ( B) H H = H H H + B = + B H H H = B Huom. Jos mtriisi on relinen, pätee H =. Neliömtriisi -olip se sitten relinen ti kompleksinen- kutsutn hermiittiseksi, jos H 1 = j unitriseksi, jos = H eli H = H = I, vrt. nimityksiin symmetrinen j ortogonlinen mtriisi. Oppitunti Mtriisin determinntti Määritelty neliömtriiseille, nt tulokseksi reli- ti kompleksiluvun (sklrin). 11 1 = 1 det = = 11 1 1 Mtriisin determinntti on tärkeä käsite esim. käänteismtriisin lskennss. Determinntin lskeminen 11 = 1 31 1 3 13 3 33 11
Merkitään limtriisiksi poistettu, esim. 1 3 1 = 31 33 ij sellist :n osmtriisi, jost i:s rivi j j:s srke on Mtriisin determinntti voidn nyt lske limtriisien determinnttien (lideterminnttien) vull ti esim. det = det det + det 11 11 1 1 13 13 det = det det + det 11 11 1 1 31 31 lideterminntit voidn ts lske uusien lideterminnttien vull; lopuss tulee vstn x-lidetermintti, jok ostn lske muutenkin. i jos ei, niin voidn plutt 1x1 tpukseen skk. Determinntti lskettess voidn kulke mitä thns pysty- ti vkriviä pitkin (ei vinorivejä). Etumerkki määräytyy siten, että osmtriisin lideterminntin merkiksi ( ) 1 i+ j otetn. b = c d det = det d b det c= d bc ensimmäistä riviä pitkin kehitetty det = b det c+ d det = bc+ d= d bc toist srkett pitkin kehitetty 11 1 13 = 1 3 31 3 33 det = det det + det 3 1 3 1 11 1 13 3 33 31 33 31 3 Jos mtriisiss on nolltermejä, voidn päästä helpommll b c d 0 e f g = 0 h i j 0 k l m e f g det = det h i j + 0 + 0 + 0 (1. pystyrivin muut lkiot nolli) k l m ij 1
Neliömtriisin jälki eli trce, tr, trce, tr(), on päädigonlill olevien lkioiden summ tr = x x i x ii x = 1(sklri) det = 1, tr( ) = 1 b = c d b = 0 c det = d bc, tr( ) = + d det = c, tr( ) = + c Yläkolmiomtriisin (ti lkolmiomtriisin) determinntti on päädigonlill olevien lkioiden tulo, ko. mtriisin jälki on näiden lkioiden summ. Pätee tietysti myös digonlimtriisille. Käänteismtriisi :n käänteismtriisi -1 on olemss täsmälleen silloin, kun on säännöllinen eli det 0. Määritelmä: c ij ( ) = = I 1 1 1 n 1 n = n1 n nn n n i+ j (yksikkömtriisi) = det (kofktorit, cofctor) ij Nämä muodostvt nxn-dimensioisen mtriisin C = ( c ij ), jonk trnspoosi on :n djungoitu mtriisi (djoint). dj = C 13
1 dj ulos: = det kun det 0 b = c d det = d bc 0 c11 c1 d c d b C = dj C c1 c = = = b c dj 1 d b = = det d bc c rkistus: 1 d b b 1 d bc db bd = = d bc c c d d bc c c bc d + + 1 d bc 0 1 0 = = = I d bc 0 d bc 0 1 Mtriiseill lskeminen symbolisesti Lskeminen mtriiseill symbolisesti ei ole ivn yhtä suorviivist kuin symbolinen lskeminen sklreill. On muistettv muun muss: mtriisien lskulit, mtriisien dimensioiden täytyy täsmätä, mtriisien kertolsku ei ole kommuttiivinen, käänteismtriisi ei in ole olemss. B ( ) B ( B + + ) Oletetn: B neliömtriisi, B säännöllinen (käänteismtriisi olemss), kertolskut määriteltyjä. 1 1 ( B ) B( B + + ) = B+ B BB = B+ B = B B ulos ei tästä enää sievene; jos kuitenkin mtriisit j B sttumlt kommutoivt eli B = B, tulokseksi tulee nollmtriisi. ( + ) 1 =? B ämän lskemiseksi ilmn mitään oletuksi ei voi tehdä mitään! Joskus utt mtriisinkääntölemm ( + BDC) = B( D + C B) C, jok pätee edellyttäen että dimensiot sopivt j käänteismtriisit ovt olemss. Huom. Sklrill kertominen on erikseen määritelty lskutoimitus I 14
11 1 λ11 λ1 λ 11 1 = λ1 λ ei siis ymmärretä mtriisien kertolskuksi! Yhtälöryhmä utkitn yhtälöryhmää x+ y = 0. x+ 3y = 0 ämä voidn esittää mtriisimuodoss 1 1 x 0 0 3 = = y 0 Kosk nyt mtriisin determinntti on erisuuri kuin 0 det = 3 = 1 0, yhtälöryhmällä on olemss vin trivili rtkisu y =x x 3x= x= 0 x= y = 0. Muutetn yhtälöryhmää hiemn. x+ y = 0 3x+ 3y = 0 ämä voidn esittää helposti mtriisimuodoss 1 1 x 0 0 3 3 = = y 0 Nyt kerroinmtriisin determinntti on noll, det = 3 3 = 0 jolloin löydämme nollst poikkevn rtkisun. Edellä olevlle yhtälöryhmällä sdn rtkisu x = y. ämä trkoitt sitä, että rtkisuj on ääretön määrä. Mikä on edellä olevn esimerkin opetus: Homogeenisell yhtälöryhmällä x = 0, joss on neliömtriisi, on in ns. trivilirtkisu x = 0. Muit nollst poikkevi rtkisuj löytyy täsmälleen silloin, kun det = 0 15
Ominisrvot j vektorit rkstelln yhtälöryhmää e = λe joss on nxn-mtriisi e nx1-vektori j λ on sklri. Siis ( λi) e= 0 Jott vektorille e löytyisi nollst poikkevi rtkisuj, niin ( λi) ( λi ) det = det = 0 ämä on mtriisin krkteristinen yhtälö, jonk vsen puoli on krkteristinen polynomi n n ( ) det ( ) p λ = λi = λ + α λ + + α λ+ p ( λ ) = 0 ( ) n 1 α0 Yhtälön eli siis det λi = 0 juuret ovt :n ominisrvot λi. Ominisrvo λ i vst ominisvektori e i, jok toteutt ehdon e = λ e i i i nollvektori ei hyväksytä Huom. Ominisrvot ovt yksikäsitteisiä, ominisvektorit eivät (jokinen ominisvektori voidn kerto sklrill, j silti yhtälö toteutuu). 1 = 0 0 0 0 4 3 huom. yläkolmiomtriisi 4 det = 1det = 16 = 13 = 6 0 3 Ylä (ti l-)kolmiomtriisin determinntti on päädigonlilkioiden tulo. Pätee luonnollisesti myös digonlimtriiseille. Ominisrvot: e = λe ( ) Krkteristisen yhtälön p ( λ) = det λi = 0 juuret ovt :n ominisrvot. λ 0 0 1 0 λ 1 0 0 λ 0 0 4 0 λ 4 = 0 0 λ 0 0 3 0 0 λ 3 Stiin edelleen yläkolmiomtriisi. Sen determinntti on 16
det ( λi ) = ( λ )( λ )( λ 3) λ1 = 1, λ = λ3 = 3 = 0 Ylä (ti l-)kolmiomtriisin ominisrvot ovt suorn päädigonlin lkiot. Pätee luonnollisesti myös digonlimtriiseille. = e= λe ( λi ) 1 0 0 1 e= 0 1 0 0 λ 0 det ( λi ) = det 0 λ 1 = ( λ)( λ λ+ ) = 0 0 λ λ = on yksi ominisrvoist. Entäs vstv ominisvektori? e1 e3 = e1 e = λe e + e3 = e e1 = e3 Yhtälöt eivät kuitenkn ole riippumttomi, joten rtkisuj on rjton määrä. Rtk. e1 = 0, e3 = 0, e mielivltinen 0 rvo λ = vstv ominisvektori e=, C 0 Cyleyn-Hmiltonin teoreem Olkoon = 11 1 1 Neliömtriisin krkteristinen polynomi on p ( λ) = det [ λi ] = λ = det 0 0 λ 11 1 ( λ 11)( λ ) 11 = λ ( 11 + ) λ + 11 11 Huom. oisen steen polynomi. Vstv krkteristinen polynomi on 1 λ = det 11 1 1 λ 17
( λ ) = det [ ] = 0 p λi Yhtälön rtkisut λ i ovt krkteristisen yhtälön juuret. Cyleyn-Hmiltonin teoreem: Mtriisi toteutt omn krkteristisen yhtälönsä! p ( ) = 0 Edellisen esimerkin tpuksess pätee teoreemn perusteell p ( ) = ( + ) + ( ) I = 0 1 0 = 3 1 4 0 0 11 11 1 1 λ 0 p( λ) = det λ 0 λ 3 ( λi ) = det 3 λ 4 = λ λ 7 4 = 0 3 ( ) = 7 4 = 0 p I 4 = 7I tp lske käänteismtriisi nekdootti p ( λ) = det [ λi ] ( ) = det [ I ] = det [ ] = det [ 0] = 0 p!!! Siis Cyley-Hmiltonin teoreem on helposti todistettu?! Herääminen on piinllist... λ 0 0 0 0 11 1 13 1 n λ 11 1 13 1n 0 λ 0 0 0 1 3 n 1 λ 3 n λi = 0 0 λ 0 0 = 31 3 λ33 3n 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ λ λ:n piklle mtriisi?????? n1 n n3 nn n1 n n3 nn 18