5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Transkriptio

1 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A ominaisarvoksi (eigenvalue). Vastaavasti ratkaisut x 0 ovat A:n ominaisarvoa λ vastaavia ominaisvektoreita. Ominaisarvojen joukko = A:n spektri. Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit yhdessä vektorin 0 kanssa muodostavat tähän ominaisarvoon liittyvän A:n ominaisavaruuden. Matriisin ominaisarvojen ja vektorien määräämistä kutsutaan ominaisarvo ongelmaksi (eigenvalue problem). 1

2 Ominaisarvoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (A λi)x = 0 (2) Tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavia ratkaisuja jos ja vain jos a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n D(λ) = det(a λi) =... a n1 a n2 a nn λ = 0 (3) Yo. yhtälö on matriisin A karakteristinen yhtälö, D(λ) ja karakteristinen determinantti. Kun D(λ) kehitetään, saadaan λ:n suhteen n:nnen asteen polynomi, joka on matriisin A karakteristinen polynomi. n n matriisilla on siis vähintään yksi ominaisarvo ja enintään n erilaista ominaisarvoa. 2

3 Suurille matriiseille ominaisarvot lasketaan yleensä tietokoneella. Ominaisarvot laskettava ensin, sen jälkeen voidaan laskea ominaisvektorit esim. Gaussin eliminoinnilla. Jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin on myös kx k 0. Jos matriisin A ominaisarvo λ on karakteristisen yhtälön M λ :nnen kertaluvun juuri, M λ on λ:n algebrallinen kertaluku. Ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä m λ on λ:n geometrinen kertaluku. Huom. reaalisen matriisin ominaisarvot ja vektorit voivat olla kompleksisia. Esim. 0 1 (4) 1 0 3

4 6 Ortogonaaliset, symmetriset ja vinosymmetriset matriisit Reaalinen neliömatriisi A = [a jk ] on symmetrinen, jos vinosymmetrinen, jos ja ortogonaalinen, jos A T = A (5) A T = A (6) A T = A 1 (7) Jokainen reaalinen neliömatriisi A voidaan esittää symmetrisen matriisin R = 1 2 (A + AT ) ja vinosymmetrisen matriisin S = 1 2 (A AT ) summana. 4

5 6.1 Ortogonaalimuunnokset Ortogonaalimuunnos on muunnos missä A on ortogonaalinen matriisi. y = Ax, (8) Jokaista vektoria x avaruudessa R n vastaa vektori y R n :ssä, jolle muunnos on voimassa. Esimerkki muunnoksesta: Kierto tasossa. Tärkeä ominaisuus: Ortogonaalimuunnos säilyttää vektorien sisätulon a b = a T b (9) ja normin a = a a = a T a (10) 5

6 Lauseen (9) todistus: Olkoon u = Aa ja v = Ab. Tällöin u v = u T v = (Aa) T Ab = a T A T Ab = a T Ib = a T b = a b (11) Reaalinen neliömatriisi on ortogonaalinen jos ja vain jos sen pysty (sarake )vektorit (ja myös vaakavektorit) muodostavat ortonormaalin järjestelmän, eli a j a k = a T 0 j k j a k = (12) 1 j = k Ortogonaalisen matriisin determinantin arvo on +1 tai 1. Ortogonaalisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia tai pareittain kompleksikonjugaatteja ja niiden itseisarvo on 1. 6

7 7 Hermiittiset ja unitaariset matriisit Määritelmä: Ā = [ā jk] on matriisi, joka saadaan matriisista A = [ā jk ] korvaamalla kaikki alkiot kompleksikonjugaateillaan. Vastaavasti konjugoitu transpoosi Neliömatriisi A = [ā jk ] on Hermiittinen, jos ĀT = A, ts. ā kj = a jk. Ā T = [ā kj ] (13) Vinohermiittinen, jos ĀT = A, ts. ā kj = a jk. Unitaarinen, jos ĀT = A 1 Hermiittinen, vinohermiittinen ja unitaarinen matriisi ovat symmetrisen, vinosymmetrisen ja ortogonaalisen matriisin yleistyksiä. 7

8 Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Vinosymmetrisen matriisin ominaisarvot ovat puhtaasti imaginaarisia tai nollia. Unitaarisen matriisin ominaisarvojen itseisarvo on = 1. Termi x T Ax on muoto ja A sen kerroinmatriisi. Jos x ja A ovat reaalisia, on neliömuoto. x T Ax = n j=1 k=1 n a jk x j x k (14) Jos matriisi A on hermiittinen tai vinohermiittinen, on kyseessä hermiittinen tai vinohermiittinen muoto. Mille tahansa vektorille x hermiittinen muoto on reaalinen ja vinohermiittinen muoto on puhtaasti imaginäärinen tai 0. 8

9 7.1 Unitaaristen matriisien ominaisuuksia Kompleksinen vektoriavaruus C n on avaruus, jonka muodostavat n komponenttiset kompleksiset vektorit ja kompleksilukukertoimet. Kompleksisille vektoreille sisätulo määritellään kaavalla Vektorin normi (pituus) on siis a b = ā T b (15) a = a a = ā T a = ā 1 a ā n a n = a a n 2 Reaalisille vektoreille tämä määritelmä tuottaa tavallisen sisätulon määritelmän. (16) Unitaarinen muunnos, ts. muunnos y = Ax säilyttää sisätulon arvon ja normin. 9

10 Ortonormaalin vektorisysteemin kompleksinen vastine on unitaarinen systeemi: a j a k = ā T 0 jos j k j a k = (17) 1 jos j = k Neliömatriisi on unitaarinen jos ja vain jos sen pystyvektorit (ja vaakavektorit) muodostavat unitaarisen systeemin. Unitaarisen matriisin determinantin itseisarvo on = 1. Todistus: 1 = detaa 1 = det(aāt ) = detadetāt = detadetā = detadeta = deta 2 (18) 10

11 7.2 Ominaisvektorien ominaisuuksia; diagonalisointi n n matriisit  ja A ovat similaarisia, jos  = T 1 AT (19) jollekin ei singulaariselle matriisille T. Tätä muunnosta kutsutaan similaarisuusmuunnokseksi. Jos  ja A ovat similaarisia, niillä on samat ominaisarvot. Jos x on A:n ominaisvektori, y = T 1 x on Â:n samaa ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Olkoot λ 1, λ 2,, λ k n n matriisin keskenään erilaisia ominaisarvoja. Tällöin niitä vastaavat ominaisvektorit x 1,x 2, x k muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon. Edellisestä lauseesta seuraa, että jos A:lla on n keskenään erilaista ominaisarvoa, A:n ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan. 11

12 Hermiittisen, vinohermiittisen ja unitaarisen matriisin ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan, joka on unitaarinen systeemi. Symmetrisen matriisin ominaisvektorit muodostavat R n :n ortonormaalin kannan. Näin ollen muunnos y = Ax voidaan esittää ominaisvektorien x 1, x n avulla muodossa y = Ax = A(c 1 x c n x n ) = c 1 Ax c n Ax n = c 1 λ 1 x c n λ n x n (20) Jos n n matriisilla A on ominaisvektorien muodostama kanta, D = X 1 AX (21) on diagonaalinen, A:n arvot ovat D:n päälävistäjällä. X on matriisi, jossa A:n ominaisvektorit ovat pystyvektoreina. Pätee myös D m = X 1 A m X (22) 12

13 Tarkastellaan neliömuotoa Q = x T Ax (23) Oletetaan, että matriisi A on reaalinen ja symmetrinen. Tällöin A:lla on n:n ortonormaalin ominaisvektorin kanta. Näiden vektorien muodostama matriisi X on ortogonaalinen ja X 1 = X T. Näin ollen A = XDX 1 = XDX T ja Asettamalla X T x = y, saadaan (X 1 = X T ) jolloin Q tulee muotoon Q = x T XDX T x (24) x = Xy, (25) Q = y T Dy = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n (26) 13

14 Näin ollen on voimassa pääakselilause: Muunnos (25) muuntaa neliöllisen muodon Q = x T Ax = n j=1 n a jk x j x k (27) k=1 pääakselimuotoon (26), missä λ 1,, λ n ovat symmetrisen matriisin A ominaisarvoja ja X on ortogonaalinen matriisi, jonka pystyvektorit ovat vastaavia ominaisvektoreita x 1,,x n. Esim. Muuta pääakselimuotoon neliömuoto Mitä käyrää neliömuoto esittää? Q = 17x x 1 x x 2 2 = 128. (28) 14

15 8 Vektoriavaruudet, Sisätuloavaruudet, Lineaarimuunnokset Ei tyhjä joukko V, jossa on alkiot a,b, on reaalinen vektoriavaruus (reaalinen lineaarinen avaruus) ja sen alkioita kutsutaan vektoreiksi, jos V :ssä on määritelty 1. Vektorien yhteenlasku: Jokaista vektoriparia a ja b vastaa yksikäsitteinen vektori a + b, joka toteuttaa aksiomat: (a) Vaihdannaisuus: a + b = b + a a, b (b) Liitännäisyys: (u + v) + w = u + (v + w) u,v,w (c) On olemassa yksikäsitteinen nollavektori s.e. a V, a +0 = a (d) a V on olemassa yksikäsitteinen vektori a s.e. a + ( a) = 0 15

16 2. Skalaarilla kertominen: Jokaista reaalilukua (skalaaria) c ja vektoria a vastaa yksikäsitteinen V :hen kuuluva vektori ca, jota kutsutaan c:n ja a:n tuloksi, joka toteuttaa seuravat aksiomat: (a) Osittelulaki: Jokaiselle skalaarille c ja vektoreille a ja b V :ssä c(a + b) = ca + cb (29) (b) Osittelulaki: Kaikille skalaareille c ja k ja jokaiselle vektorille a V :ssä (c + k)a = ca + ka (30) (c) Liitännäisyys: Kaikille skalaareille c ja k ja jokaiselle vektorille a V :ssä c(ka) = (ck)a (31) (d) Jokaiselle a avaruudessa V 1a = a (32) 16

17 8.1 Sisätuloavaruudet Reaalinen vektoriavaruus on reaalinen sisätuloavaruus, jos jokaiseen vektoripariin a ja b V :ssä liittyy reaaliluku, jota merkitään (a,b) ja jolla on seuraavat ominaisuudet: 1. Lineaarisuus: Kaikilla skalaareilla q 1 ja q 2 ja kaikilla vektoreilla a, b, c V :ssä on voimassa: 2. Symmetria: Kaikilla a ja b V :ssä (q 1 a + q 2 b,c) = q 1 (a,c) + q 2 (b,c) (33) (a,b) = (b,a) (34) 3. Positiividefiniittisyys: Jokaiselle a:lle V :ssä (a,a) 0 (a,a) = 0 a = 0 (35) 17

18 Vektorit, joiden sisätulo on nolla, ovat ortogonaalisia. Vektorin normi (pituus) määritellään a = (a,a) (36) Vektori, jonka normi = 1 on yksikkövektori Voidaan osoittaa myös Schwarzin epäyhtälö (a, b) a b, (37) kolmioepäyhtälö a + b a + b (38) ja suunnikasyhtälö a + b 2 a b 2 = 2( a 2 + b 2 ) (39) 18

19 8.2 Lineaarimuunnokset Jos jokaista vektoria x vektoriavaruudessa X vastaa yksikäsitteinen vektori y vektoriavaruudessa Y, kyseessä on kuvaus (tai muunnos tai opeaattori) X:stä Y :hyn, merkitään F(x) tai Fx. Vektori y on vektorin x kuva. F on lineaarinen kuvaus, jos kaikilla vektoreilla x ja v X:ssä ja skalaareille c F(v + x) = F(v) + F(x) F(cx) = cf(x) (40) Jos X = R n ja Y = R m, reaalinen m n matriisi A = [a jk ] määrittelee muunnoksen R n :stä R m :ään: y = Ax (41) 19

20 Matriisia A kutsutaan kuvauksen F esitykseksi R n :n ja R m :n kantojen suhteen. Esimerkki standardikannasta: R 3 :n standardikanta = e (1) = i, e (2) = j, e (3) = k i = 0 j = 1 k = 0 (42) Jos A on ei singulaarinen neliömatriisi, voidaan määritellä käänteismuunnos x = A 1 x (43) 20