Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010

Relinlyysi I 1 Ilkk Holopinen 2 Mrch 31, 2010 1 Perustuvt pääosin luentomonisteisiin Mrtio: Relinlyysi I (1999), Rickmn: Relinlyysi (1996) j Tylli: Relinlyysi I (2000) 2 Ilmoit pinovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkk.holopinen@helsinki.fi

2 Relinlyysi I 1 L p -vruudet 1.1 Mitt-vruus Määritelmä 1.2. Olkoon X mikä thns joukko j P(X) = {A: A X} X:n potenssijoukko. Perhe Γ P(X) on X:n σ-lgebr ( sigm-lg. ), jos (1) Γ; (2) A Γ X \A Γ; (merk. A c = X \A) (3) A i Γ, i N A i Γ. Määritelmä 1.3. Olkoon Γ X:n σ-lgebr. Funktio µ: Γ [0,+ ] on (positiivinen) mitt X:ssä (ti σ-lgebrss Γ), jos () µ( ) = 0; (b) A i Γ, i N, erillisiä µ ( A ) i = i N µ(a i). täysdditiivisuus Kolmikko (X, Γ, µ) on mitt-vruus (j Γ on µ-mitllisten joukkojen perhe). Esimerkki 1.4. 1. X = R n, Γ = LebR n = Lebesgue-mitllisten joukkojen perhe j µ = m n = Lebesguen mitt. 2. X = R n, Γ = BorR n = Borel-joukkojen perhe j µ = m n BorR n = Lebesguen mitn rjoittum Borel-joukkojen perheeseen. (Muistutus: BorR n = pienin R n :n σ-lgebr, jok sisältää (R n :n) suljetut joukot.) 3. Olkoon X mikä thns joukko. Kiinnitetään x X j setetn kikill A X { 1, jos x A; µ(a) = 0, jos x A. Silloin µ: P(X) [0,+ ] on mitt (ns. Dirc mitt lkioss x X). Usein merkitään µ = δ x. 1.5 Täydelliset mitt Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j F Γ. Olkoon P ( = P(x) ) jokin ominisuus, jok riippuu pisteestä x X. Snomme: P pätee µ-m.k. F:ssä (m.k. =melkein kikkill), jos E Γ s.e. µ(e) = 0, E F, j P pätee F \E:ssä. Hluisimme sno trkemmin: P pätee lukuunottmtt 0-mittist joukko. Ongelmn on tpus: {x F: P(x) ei päde} Γ, =A vikk A E j µ(e) = 0. Huom: Yleisen mitn µ tpuksess on mhdollist: (ts. A ei ole µ-mitllinen). A E, µ(e) = 0, mutt A Γ

Kevätlk. 2004 3 Esimerkki 1.6. Trkstelln mitt-vruutt (R n,borr n,µ), µ = m n BorR n. Silloin B BorR n, µ(b) = 0, j A B s.e. A BorR n. Todistetn tpus n 2: (n = 1 myöhemmin). Olkoon A R ei-lebesgue-mitllinen (ks. [Ho, Luse 1.68] 1 ) j f: R R n, f(x) = (x,0,...,0). Tällöin f jtkuv j m n(fa) m n( {(x1,...,x n ) R n : x i = 0 i = 2,...,n} ) = 0 fa LebR n. Väite: fa BorR n. VO: fa Borel-joukko. Silloin sen lkukuv f 1 (fa) = A on Borel, sillä f on jtkuv [ks. (1.8)]. RR, sillä A ei ole edes Lebesgue-mitllinen. Olkoon G BorR n. Snomme, että kuvus g: G R m on Borel-kuvus (lyh. Borel), jos U R m voin g 1 U BorR n. Erityisesti, jokinen jtkuv kuvus g: G R m, G BorR n, on Borel, kosk silloin g 1 U on voin G:ssä voimill U R m. Ts. g 1 U = G V, missä V R n on voin, joten g 1 U BorR n. Lemm 1.7. (vrt. [Ho, Luse 2.6]) Olkoon G R n Borel-joukko j g: G R m Borel-kuvus. Silloin (1.8) A BorR m g 1 A BorR n. Tod. Merkitään Γ = {V R m : g 1 V BorR n }. Silloin Γ on σ-lgebr, sillä (1) g 1 = BorR n Γ; (2) V Γ g 1 V c = G \ g 1 V BorR n V c Γ; BorR n BorR n (3) V i Γ, i N g 1( i N V ) i = i N g 1 V i BorR n. BorR n Lisäksi Γ sisältää R m :n voimet joukot, sillä i N V i Γ. U R m voin g 1 U BorR n U Γ. Siis Γ BorR m (= pienin σ-lg., jok sisältää voimet joukot). Esimerkin 1.6 kltist tilnnett (ts. A E, µ(e) = 0, A Γ) ei synny, jos µ on ns. täydellinen mitt. Määritelmä 1.9. Olkoon (X, Γ, µ) mitt-vruus. Mitt µ on täydellinen, jos E Γ, µ(e) = 0, F E F Γ. Huomutus 1.10. µ monotoninen µ(f) = 0. Täydellisyys = 0-mittisten joukkojen osjoukot ovt mitllisi j 0-mittisi. 1 Mitt j integrli, 2002.

4 Relinlyysi I Esimerkki 1.11. 1. (R n,lebr n,m n ), Lebesguen mitt m n on täydellinen. 2. (R n,borr n,µ), µ = m n BorR n ei ole täydellinen. Tilnne ei iheut hnkluuksi, sillä jos mitt µ ei ole täydellinen, niin siitä voidn in tehdä täydellinen: Luse 1.12. Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus. Määritellään Γ P(X) settmll Γ = {A F: A Γ j F E jollkin E Γ, µ(e) = 0}. j määritellään µ: Γ [0,+ ], µ(a F) = µ(a), missä A j F kuten yllä. Tällöin (1) Γ on σ-lgebr X:ssä; (2) µ on täydellinen mitt; (3) µ = µ Γ. µ on nimeltään µ:n täydellistymä (j vstvsti (X, Γ, µ) on mitt-vruuden (X,Γ,µ) täydellistymä). A Γ F E E Γ, µ(e) = 0 Tod. Todistetn hnklimmt, muut (HT). (1) (i): Γ. (ii): Olkoon B Γ, B = A F, missä A Γ, F E Γ j µ(e) = 0. Väite: X \B Γ. Tod: Kosk X \B = X \(A F) = ( ) ( ) X \(A E) E \(A F) Γ E on X \B vdittu muoto eli X \B Γ. E X \(A F) A F

Kevätlk. 2004 5 (iii): Jos B i Γ, i N, niin selvästi i N B i Γ (HT). (2) (i): µ hyvin määritelty: Olkoon B = A 1 F 1 = A 2 F 2, missä A i Γ, F i E i, µ(e i ) = 0, i = 1,2. Silloin A 1 A 1 F 1 = A 2 F 2 A 2 E 2 µ(a 1 ) µ(a 2 )+µ(e 2 ) = µ(a 2 ). =0 Smoin µ(a 2 ) µ(a 1 ), joten µ(a 1 ) = µ(a 2 ) = µ(b). (ii): µ mitt. (HT) (iii): µ täydellinen. (HT) (3) (HT) Esimerkki 1.13. (R n,γ,µ), Γ = BorR n, µ = m n BorR n. Väite: Γ = LebR n, µ = m n. (HT) Esimerkki 1.14. Olkoot f j : R n R, j N, Borel-funktioit, ts. U R voin f 1 j U BorR n, µ = m BorR n j oletetn, että f j f µ-m.k., ts. {x R n : f j (x) f(x)} E BorR n, µ(e) = 0. Tällöin ei void päätellä, että f on Borel-funktio. Sen sijn voidn päätellä, että f on Lebesguemitllinen funktio (ks. [Ho, L. 2.23 j 2.27]). (Syy: m täydellinen.) Huomutus 1.15. Jos mitt µ on täydellinen, on mielekästä puhu sellisten funktioiden mitllisuudest, jotk ovt määriteltyjä µ-m.k. 1.16 Cntorin joukko R:ssä Olkoon I = [0,1] j p = (p 1,p 2,...) jono relilukuj 0 < p i < 1. Poistetn I:n keskeltä voin väli I 1,1, jonk pituus on p 1. I = J 1,1 I 1,1 J 1,2, missä J 1,1 j J 1,2 suljettuj välejä, joiden pituus on 1 p 1 2. E 1 J 1,1 I 1,1 J 1,2 E 2 J 2,1 J 2,2 J 2,3 I 2,1 J 2,4 I 2,2 E 3..

6 Relinlyysi I Poistetn J 1,k :n keskeltä voin väli I 2,k, jonk pituus = p 2 l(j 1,k ) = p 2(1 p 1 ) 2. Jäljelle jää Jtketn prosessi...: Jäljelle jää joukko: I \(I 1,1 I 2,1 I 2,2 ) = J 2,1 J 2,2 J 2,3 J 2,4 J 2,k :n pituus = 1 p 2 1 p 1 (< 1 2 2 2 2). J 2,k :iden yht.lsk. pituus = (1 p 1 )(1 p 2 ). E = I \ E = 2 j 1 j=1 k=1 I j,k = 2 j j=1k=1 E j, missä E j = j=1 E = E(p) = jonon p määräämä Cntorin joukko. 2 j k=1 E 1 E 2, m(e 1 ) < J j,k eli J j,k on kompkti. [Ho, L. 1.60] = m(e) = lim m(e j ) = lim (1 p 1 )(1 p 2 ) (1 p j ) j j = (1 p j ). j=1 Kun p j = 1/3 j, E on ns. Cntorin 1 3-joukko, jolloin (2) j m(e) = lim = 0. j 3 Huomutus 1.17. Luvut p j voidn vlit niin, että m(e) s minkä thns (ennlt nnetun) rvon välillä [0, 1[. (HT) [Ohje: Ot log m(e):n ntvst tulost, jolloin syntyy päättymätön srj. Vlitse sitten luvut p j niin, että st geometrisen srjn (joiden summt ostn lske). Ti yksinkertisemmin: Olkoon = m(e) ]0,1[. Vlitn 0 < p 1 < 1s.e. < 1 p 1 < +1, p 2 ]0,1[ s.e. < (1 p 1 )(1 p 2 ) < +1/2 jne.] Luse 1.18. Cntorin joukolle E = E(p) pätee: () E on kompkti j E ei sisällä yhtään väliä. (b) Jos E(p) j E(q) ovt jonojen p j q määräämät Cntorin joukot, niin homeomorfismi f: E(p) E(q). (c) E on ylinumeroituv. Huomutus 1.19. (i) E on suljettu eikä sisällä yhtään voint joukko E on ei missään tiheä. [Määr. A R n on ei missään tiheä, jos intā =.] (ii) idosti ksvv jtkuv bijektio f: R R s.e. f(e p ) = E q. (iii) Muistutus: f: A B homeomorfismi, jos f on jtkuv bijektio j f 1 myös jtkuv.

Kevätlk. 2004 7 Tod. (): E j suljettu E suljettu. E I, I kompkti Konstruktio E ei sisällä välejä. (b): Jos x E, niin 1-käsitt. jono J 1,k1 J 2,k2 s.e. } J j,kj = {x}. j=1 Kääntäen: Jos J 1,k1 J 2,k2 on jokin jono, niin j=1 J j,kj kosk m ( J j,kj ) j 0. Määritellään f: E(p) E(q) seurvsti: E kompkti on yksiö, ts. sisältää täsmälleen yhden pisteen, jos {x} = J j,kj (p), niin {f(x)} = J j,kj (q). Huom. x:ää j f(x):ää vstviss jonoiss smt indeksit j,k j. Konstruktio f bijektio. Osoitetn, että f on jtkuv: Merkitään j=1 j=1 δ j (p) = min{m ( I i,k (p) ) : i j}, jolloin δ j (p) j 0. I 3,1 I 2,1 I 1,1 E 3 Jos x,y E(p) j x y < δ j (p), niin x j y kuuluvt smn väliin J j,k (p), joten f(x),f(y) J j,k (q) (smt indeksit) f(x) f(y) m ( J j,k (q) ) < 1 2 j (erill. välejä J j,k on 2 j kpl) f jtkuv. Smnlinen päättely f 1 jtkuv (ti: f jtkuv bijektio j E(p) kompkti f homeo). (c): Jos m(e) > 0, niin E:n on oltv ylinumeroitu. Olkoon E = E(p) s.e. m(e) = 0. Vlitn jono q s.e. m ( E(q) ) > 0. (b) homeo f: E(p) E(q) E(q) ylinumeroituv } E(p) ylinumeroituv.

8 Relinlyysi I Esimerkki 1.20. Todistetn Esimerkki 1.6:n väite tpuksess n = 1. Ts. Lebesgue-mitllinen joukko R:ssä, jok ei ole Borel. 2 Tod. Vlitn Cntorin joukot E j E s.e. m(e) > 0 j m(e ) = 0. Muokkmll hiemn Mitt j integrlin Luseen 1.68 todistust löydetään ei-lebesgue-mitllinen joukko F E. L. 1.18 homeo f: E E ff E m (ff) = 0 ff LebR Oletetn, että f F on Borel-joukko. E BorR f: E R jtkuv ff BorR L. 1.7 = f 1 (ff) = F BorR. Ristiriit, sillä F Leb R. Siis f F on Lebesgue-mitllinen, muttei Borel. Esimerkki 1.21. Olkoon E Cntorin 1/3-joukko. Määritellään f: I I, I = [0, 1], settmll f(x) = 1 2, x I 1,1, f(x) = 1 4, x I 2,1, f(x) = 1 1 4, x I 2,2,. f(x) =. 1+2(k 1) 2 j, x I j,k, Nyt f: 2 j 1 j=1 k=1 I j,k =A 2 Lisätieto: BorR LebR sdn myös mhtvuustrkstelull : R:n topologill on numeroituv knt (= välit, joiden pituus j keskipiste ovt rtionlilukuj), j tämä knt generoi kikki R:n Borel-joukot. Siten Bor R:n mhtvuus on c (= kontinuumin mhtvuus eli sm kuin reliluvuill). Toislt Cntorin 1/3-joukon E mitt on m(e) = 0, joten kikki sen osjoukot ovt mitllisi, ts. P(E) LebR (m täydellinen mitt). Kosk P(E):n mhtvuus on 2 c > c, niin useimmt E:n osjoukoist eivät ole Borel-joukkoj. I

Kevätlk. 2004 9 on ksvv j y ]0,1[: lim x y+ x A f(x) = lim x y x A f(x). Määritellään f(y) yo. rj-rvon pisteissä y E \{0, 1} j tois-puoleisen rj-rvon pisteissä y {0,1}. Sdn f: I I, jolle pätee: () f on jtkuv j ksvv surjektio; (b) f (x) = 0 m.k. x I (kosk f (x) = 0 x I j,k j m(e) = 0); (c) fe = I (kosk f:lläon vkiorvo jokisell välillä I j,k jniiden päätepisteet kuuluvte:hen). Funktiot f kutsutn Cntorin 1/3-funktioiksi ( pirun portt ). Tähän pltn myöhemmin. 1.22 Avruus L 1 Olkoon (X, Γ, µ) täydellinen mitt-vruus, ts. µ on täydellinen. Mitt j integrliss kehitetty mitllisten funktioiden teori j integrointiteori toimivt sellisenn j smoin todistuksin tässä yleisessä tpuksess. Kun µ on täydellinen, ei tule ongelmi m.k. käsitteen knss. Myös konvergenssiluseet ovt smt todistuksineen. Sen sijn Fubinin luse vtii eri todistuksen yleisessä tulomitn µ ν (X Y:ssä) tpuksess (ks. esim. [Ru, s. 136-142]). Huomutus 1.23. Käsitteet voin joukko, jtkuv funktio, jne. vtivt topologisen vruuden X, smoin Bor X (= pienin σ-lgebr X:ssä, jok sisältää X:n suljetut joukot). Olkoon A X µ-mitllinen (lyh. mitllinen), ts. A Γ. Huom. µ-mitllisuus on σ-lgebrst Γ riippuvominisuus, ei mitstµ: Γ [0,+ ]. Funktiof: A Ṙonmitllinen (ti µ-mitllinen, Γ-mitllinen), jos Merkitään f 1 ( ) Γ, f 1 (+ ) Γ, j f 1 U Γ U R voin. L 1 (A) = {f: A Ṙ f mitll. j Merkitään myös L 1 (A,µ) j L 1 = L 1 (µ) = L 1 (X). A f dµ < }. Huomutus 1.24. Jos A X on mitllinen j Γ A = {B A: B Γ}, niin (A,Γ A,µ Γ A ) on myös täydellinen mitt-vruus. Siksi riittää (yleensä) tutki koko mitt-vruutt (X, Γ, µ). Muistutus: Mitllinen funktio f: X Ṙ on integroituv (X:ss), jos X f + dµ < j X f dµ <. Silloin X fdµ = X f + dµ f dµ j X Siis: f L 1 f: X Ṙ on integroituv. X f dµ = X f + dµ+ f dµ. X

10 Relinlyysi I Huomutus 1.25. Jos f: X Ṙ on integroituv, niin f(x) R µ-m.k. Määritellään f : X R, Tällöin f on integroituv j f (x) = { f(x), jos f(x) R, 0, jos f(x) {,+ }. X f dµ = X fdµ. Tästä syystä voimme (usein) rjoittu relirvoisiin funktioihin. Jos f,g L 1,,b R, niin f +bg L 1. Siis L 1 on (R-kertoiminen) vektorivruus. Merkitään f 1 = f 1,X = f dµ = f dµ. Luse 1.26. toteutt: (1) f 1 0, (2) λf 1 = λ f 1, λ R, (3) f +g 1 f 1 + g 1, (4) f 1 = 0 f = 0 m.k. Tod. Selvä. Luse 1.26 f f 1 on seminormi. Ei ole normi, sillä: f 1 = 0 f = 0. Esim. X = R, µ = m, f = χ Q, f 1 = 0, mutt f 0. Määritelmä 1.27. f,g L 1 ovt ekvivlentit, merkitään f g, jos f = g m.k. Merkitään [f] = f = {g L 1 : g f} = f:n ekvivlenssiluokk L 1 = { f: f L 1 }. X L 1 on vektorivruus: [f +bg] = [f]+b[g]. Asetetn f 1 = f 1 (hyvin määritelty eli ei riipu edustjst f). L 1 on normivruus, sillä L. 1.26:n kohtien (1) (3) lisäksi pätee: (4 ) f 1 = 0 f = 0, missä 0 = 0 = {f L 1 : f = 0 m.k.}. Jtkoss luovumme merkinnästä L 1 j snomme: normivruus L 1. Smoin puhumme (L 1 -)funktioist eikä ekvivlenssiluokist, ts. smistmme funktiot, jotk yhtyvät m.k.

Kevätlk. 2004 11 1.28 Avruus L Olkoon (X,Γ,µ) täydellinen mitt-vruus, j f: X Ṙ mitllinen. Merkitään f = inf{α 0: µ ( {x X: f(x) > α} ) = 0}. merk. =S Jos S =, setetn f =. α R {x X: f(x) > α} f X α Jos f < eli S, niin pätee: {x X: f(x) > f } j N{x X: f(x) > f +1/j} µ ( {x X: f(x) > f } ) µ ( {x X: f(x) > f +1/j} ) = 0 j N =0 f S j siten f f m.k. Siksi merkitään usein f = esssup f ( oleellinen supremum [engl. essentil supremum]). Merkitään L (X) = L = L (µ) = {f: X Ṙ f mitll. j f < }. Smistetn f,g L, jos f = g m.k. Ei erotet merkinnällä: L = ekvivlenssiluokkien joukko, puhumme kuitenkin funktiost. Luse 1.29. L on normivruus normin. Tod. Selvästi: (i) L on vektorivruus (ks. (iv)-koht). (ii) f 0 j f = 0 f = 0 m.k. (huom. ekvivlenssiluokk). (iii) λf = λ f λ R. Lisäksi: (iv) Kolmioepäyhtälö: f f m.k. g g m.k. } f +g f + g f + g m.k. Siis µ ( {x X: f(x)+g(x) > f + g } ) = 0, joten f +g f + g j näin ollen f +g L.

12 Relinlyysi I Esimerkki 1.30. Olkoon X = R, µ = m j f: R R jtkuv. Väite: f L f rjoitettu. Tod. selvä. : VO: f ei ole rjoitettu, jolloin M > 0 x 0 R s.e. f(x 0 ) > M. Kosk f jtkuv, niin f(x) > M x ]x 0 δ,x 0 +δ[= J jollkin δ > 0. m(j) > 0 f M. M > 0 mv. f =. RR 1.31 Avruus L p, 1 p < Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus, µ täydellinen j 1 p <. Määritellään L p (X) = L p = L p (µ) = {f: X Ṙ f mitllinen j f p dµ < }. Merkitään ( 1/p f p = f dµ) p. X Smistukset kuten iemmin. Eksponentti p vikutt suuresti siihen, mitkä funktiot kuuluvt L p :hen. Esimerkki 1.32. Olkoon X =]0,1[, µ = m ]0,1[ Lebesguen mitt. Jos f on mitllinen j rjoitettu, niin f L p p 1. (Syy: f p mitllinen j rjoitettu, µ(x) < f p integroituv eli f L p ). Olkoon f(x) = 1. x X Silloin X f p dµ = lim 0+ 1 x p/2 dx = lim 0+ lim 0+ 1 1 p 2 1 1 p 2 / 1 / 1 x 1 p/2 = 1 1 p 2 <, jos p < 2, x 1 p/2 =, jos p > 2, / 1 lim 0+ logx =, jos p = 2. Siis f L p 1 p < 2. Luse 1.33. Jos µ(x) < j 1 q p, niin L p (µ) L q (µ). Tod. (HT) Osoitmme seurvksi: L p on normivruus. Trvitn työkluj. Lemm 1.34 (Youngin epäyhtälö). Jos,b 0, α,β > 0 j α+β = 1, niin α b β α+βb.

Kevätlk. 2004 13 Tod. Tpus = 0 ti b = 0 selvä. Voidn siis olett,b > 0. x logx, x > 0, ylöspäin kuper log ksvv väite. log ( α b β) = αlog+βlogb log(α+βb). logb log(α+βb) αlog+βlogb log log α+βb b Seurvksi tärkeä epäyhtälö. Luse 1.35 (Hölderin epäyhtälö). Jos p,q > 1, 1 p + 1 q = 1, f Lp, g L q, niin X fg L 1 j fg 1 f p g q, ts. ( ) 1/p ( 1/q fg dµ f p dµ g dµ) q. X X Tod. Jos f p = 0, niin f = 0 m.k., joten fg 1 = 0 j si selvä. Smoin, jos g q = 0. Voidn siis olett, että f p, g q > 0. Smoin voidn olett, että f(x), g(x) R x (ks. Huom. 1.25). Sovelletn Youngin epäyhtälöä tpukseen jolloin sdn ( α b β α+βb) = f(x) p f p p, b = g(x) q g q q, α = 1 p, β = 1 q, f(x) g(x) 1 f(x) p f p g q p f p + 1 g(x) q p q g q. q Integroidn yli X:n (esiintyvät funktiot mitllisi) fg 1 1 f p p f p g q p f p + 1 g q q p q g q q = 1 p + 1 q = 1. Huomutus 1.36. Lukuj p,q > 1, joille 1 p + 1 q = 1 snotn (toistens) Hölder konjugteiksi. Usein merkitään q = p = p p 1. Vin luku 2 konjugtti itselleen.

14 Relinlyysi I Seurus 1.37 (Schwrzin epäyhtälö). fg 1 f 2 g 2. Esimerkki 1.38. Olkoon X = {1,2,...,n}, µ: P(X) [0, [, µ(a) = crda = A:n lkioiden lukumäärä (µ = lukumäärä mitt). Jos 1 p + 1 q = 1 j 1,b 1, 2,b 2,..., n,b n R, niin ( n n p)1/p( n ) 1/q i b i i b i q. Tod. Vlitn f = i i χ {i}, g = i b i χ {i}. Yleisemmin: X = {x i : i = 1,2,...}, Γ = P(X), j µ(a) = crda. Jos f: X R, niin (Huom. jokinen f mitllinen.) Merkitään ( ( 1/p ) 1/p f p = f dµ) p = f(x i ) p. X L p (X) = l p (X). Jos f l p (X), g l q (X), 1 p + 1 q = 1, j i = f(x i ), b i = g(x i ), niin Hölder-ey. s muodon ( ) ( 1/p ) 1/q i b i i p b i q. Luse 1.39 (Minkowskin epäyhtälö). Jos f,g L p, niin f +g L p j f +g p f p + g p. Tod. Tpus p = 1 jo edellä. Olkoon p > 1 j q = p p 1, jolloin 1 p + 1 q Jos,b 0, niin = 1 (Hölder konjugttej). (+b) p ( 2mx(,b) ) p = 2 p ( mx(,b) ) p 2 p ( p +b p ). Voidn olett, että f(x),g(x) R x (Huom. 1.25), jolloin f +g p ( f + g ) p 2 p( f p + g p) f +g L p. Toislt j f +g p = f +g f +g p 1 f f +g p 1 + g f +g p 1 ( f +g p 1 ) q = f +g p f+g Lp = f +g p 1 L q.

Kevätlk. 2004 15 Hölderin ey. f +g p p = f +g p p 1 p 1 f f +g + g f +g L p L q L p L q ( ( f f p +g p 1 ) ) 1/q ( q ( f + g p +g p 1 ) 1/q q) = f p ( f +g p ) 1/q + g p ( = ( f p + g p ) f +g p/q p f +g p ) 1/q Olemme todistneet: p/q=p 1 = f +g p f p + g p. Luse 1.40. L p on normivruus normin p. Esimerkki 1.41. 1. Kun µ(x) =, voi oll L p L q, q < p: Vlitn X = R, µ = m. f(x) = 1 1+ x f L p, kun p > 1, f L 1. 2. Yleensä L p L q, p q. Yllä tpus q < p. Aiemmin: X =]0,1[, µ = m j f(x) = 1 x f L p, kun 1 p < 2 f L q, kun q 2. 1.42 L p :n täydellisyys Tässä luvuss todistmme, että normivruudet L p, 1 p, ovt Bnch-vruuksi, ts. täydellisiä normivruuksi. Terminologi: Olkoon (Y,d) metrinen vruus. Snomme, että jono (x j ), x j Y, on Cuchyjono Y:ssä, jos ε > 0 kohti on olemss i ε N s.e. d(x i,x j ) < ε kikill i,j i ε. Metrinen vruus (Y, d) on täydellinen, jos sen jokinen Cuchy-jono suppenee kohti Y:n lkiot. Jono (x j ) suppenee kohti pist. x Y, jos d(x j,x) 0, kun i. Olkoon (V, ) normivruus. Se on smll myös metrinen vruus, metriikkn d(x,y) = x y. Siis (V, ) on Bnch-vruus, jos jokiselle V:n Cuchy-jonolle (x j ) on olemss x V s.e. x j x j 0. Olkoon (X, Γ, µ) täydellinen mitt-vruus. Snomme: f j f L p :ssä, jos f j,f L p j f j f p 0, kun j.

16 Relinlyysi I Luse 1.43. Jos (f j ) on Cuchy-jono L p :ssä, 1 p <, niin on olemss osjono (f jk ), jok suppenee m.k. Tod. Jokisell k N vlitn j k s.e. (1) f i f j p < 1 2 k, kun i,j j k, (2) j 1 < j 2 <. Huom. 1.25 voidn olett, että kikki esiintyvät funktiot ovt relirvoisi. Määritellään g k = f j1 + f j2 f j1 + + f jk+1 f jk. (g k ) ksvv jono g = lim k g k. Minkowskin ey. g k p = fj1 + Minkowski f j1 p + f j1 p + k f jν+1 f jν p ν=1 k f jν+1 f jν p ν=1 k ν=1 1 2 ν f j 1 p +1 k MKL g p MKL = lim k g(x) < m.k. g p k = lim k g k p p ( f j1 p +1 ) p < srj ( f j1 (x)+ fjν+1 (x) f jν (x) ) ν=1 suppenee m.k. x. Merkitään summ f(x):llä. Stiin f jk+1 = f j1 + k ( ) fjν+1 f jν f m.k. ν=1 Huomutus 1.44. Ehdost f j f L p :ssä ei välttämättä seur, että f j f m.k. (koko jonolle). Esim. Olkoon I k suljettu välin I = [0,1] osväli kuten kuvss.

Kevätlk. 2004 17 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 jne Olkoon f k = χ Ik : I R. Silloin f k L p, p [1, ) j ( f k 0 p = Siis f k 0 L p :ssä. Väite: f k (x) 0 kun k millään x I. Tod. Olkoon x I j k 0 N mielivltisi. I ) 1/p χ Ik dm = m(i k ) 1/p k 0. k>k 0 I k = I k 1 > k 0 s.e. x I k1 j f k1 (x) = 1. Luse 1.45. L p on Bnch vruus, kun 1 p. Huomutus 1.46. Tpus 1 p < on ns. Riesz-Fischerin luse (v. 1906). Tod. () 1 p < : Olkoon (f j ) Cuchy-jono L p :ssä. L. 1.43 osjono (f jk ), s.e. f jk f m.k. Väite: f L p. Tod. Olkoon ε > 0. Tällöin j 0 N s.e. f i f j p < ε, kun i,j j 0. Jos j j 0, niin f j f p dµ = lim f j f jk p dµ Ftou lim inf k k = liminf k f j f jk p p εp f j f jk p dµ f j f L p f j f p j 0 f = f j (f j f) L p f j f L p :ssä (b) p = : Olkoon (f j ) Cuchy-jono L :ssä. Merkitään A j = {x: f j (x) > f j } A j,k = {x: f j (x) f k (x) > f j f k }.

18 Relinlyysi I Silloin µ(a j ) = 0 = µ(a j,k ) (seur :n määritelmästä). Merkitään A = j A j j,k A j,k, jolloin µ(a) = 0. Jos x A c, niin (1.47) f j (x) f k (x) f j f k. Siis ( f j (x) ) on Cuchy-jono R:ssä, joten jono ( f j (x) ) suppenee (Diff I). Merkitään f(x) = lim j f j (x). Cuchyn kriterio tsiselle suppenemiselle j (1.47) f j f tsisesti A c :ssä. Kun x A, setetn f(x) = 0. [Ho, L. 2.29] f mitllinen. Väite: f L j f j f 0. Tod. Olkoon j 0 s.e. f j f k < 1, kun j,k j 0. Kosk on normi, niin pätee kun j j 0. Jos x A c, niin f j f j0 + f j f j0 f j0 +1 merk. = M, f j (x) f j, joten f(x) = lim j f j (x) M f M, sillä µ(a) = 0. f L. (Itse siss f(x) M x.) Kosk f j f tsisesti A c :ssä j µ(a) = 0, niin f j f 0. Huomutus 1.48. L p -teori yleistyy kuvuksille f: X R m, f = (f 1,...,f m ). Normin ( 1/p f p = f dµ) p, X missä f(x) = ( f 1 (x) 2 + +f m (x) 2) 1/2 on euklidinen normi. Smoin funktioille f: X C. 1.49 Lisätietoj vruudest L p [Huom. Tämä on suor kopio luentomonisteest [Mr] (Mrtio: Relinlyysi I (1999), luku 1.7.)] Jos (X, ) on (relikertoiminen) normivruus, niin tähän vruuteen liittyy in sen dulivruus X, jok koostuu kikist jtkuvist linerikuvuksist L: X R (jtkuvuus linerikuvuksen L tpuksess voidn pelkistää ehtoon sup{ L(x) : x 1, x X} < ).

Kevätlk. 2004 19 Trkstelln normivruuttl p, 1 p. Josg L q, missäq onp:nkonjugoitueksponentti (q = 1, jos p = j q =, jos p = 1), niin kuvus f gfdµ X määrittelee Hölderin epäyhtälön nojll jtkuvn linerikuvuksen L: L p R, sillä L on selvästi linerinen j L(f) = gfdµ gf dµ g q f p g q <, X X jos f p 1. Osoittutuu, että kun 1 p <, niin kikki jtkuvt linerikuvukset sdn tällä tvoin (tämä on kuuluis Rieszin esitysluse, jok merkitsi modernin funktionlinlyysin lku). Sen sijn tämä ei yleensä päde L :ssä. Todistus ei ole kovin vike, ks. [Ru], [HS]. 3 Käyttäen hyväksi dulivruutt L q voidn vruudess L p määritellä ns. heikko konvergenssi: Snotn, että jono funktioit u i L p, 1 < p <, suppenee heikosti kohti funktiot u L p, jos jokisell g L q pätee gu i dµ gudµ. Osoittutuu, että u on yksikäsitteisesti määrätty j että X X u p liminf i u i p. Heikko konvergenssi on todell heikko: Siitä ei seur, että u i u p 0, ti että u i u m.k. (ei edes osjonoon siirtymällä). Sen sijn pätee tärkeä kompktisuuskriteerio : Jos (u i ) on rjoitettu jono L p :ssä, 1 < p <, so. u i p M, niin on olemss osjono (u ij ) j u L p s.e. u i u heikosti L p :ssä. Viitteestä [HS] löytyy näiden tulosten trkempi nlyysi. 2 Approksimointi L p :ssä 2.1 Mittojen bsoluuttinen jtkuvuus Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j σ: Γ [0,+ ] toinen mitt. Määritelmä 2.2. Mitt σ on bsoluuttisesti jtkuv µ:n suhteen (merk. σ µ), jos σ(e) = 0 in kun E Γ j µ(e) = 0. Esimerkki 2.3. 1. Olkoon f: X [0, + ] Γ-mitllinen. Asetetn σ(a) = fdµ, A Γ. Integrlin ominisuudet ([Ho, Luse 3.32]) σ on mitt j A µ(a) = 0 σ(a) = 0, siis σ µ. (Käänteinen suunt: Ks. seurv Huomutus.) 2. Olkoon X = R j σ: LebR [0,+ ] lukumäärämitt. Silloin Lebesguen mitt m({0}) = 0, mutt σ({0}) = 1, joten σ m. 3 [Ru] Rudin: Rel nd complex nlysis; [HS] Hewitt, Stromberg: Rel nd bstrct nlysis.

20 Relinlyysi I 3. Olkoon X = R, x R, j δ x : LebR [0,+ ] Dircin mitt pisteessä x (ti, itse siss, Dircin mitn rjoittum LebR:ään). Silloin m({x}) = 0, mutt δ({x}) = 1, joten δ m. Huomutus 2.4. Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j ϕ: Γ Ṙ. Snomme, että: () ϕ on täysdditiivinen, jos (i) ϕ( ) = 0, (ii) jos A 1,A 2,... Γ ovt erillisiä, niin i ϕ(a i) on määritelty j ϕ(a i ) = ϕ ( ) i A i. i (b) ϕ on bsoluuttisesti jtkuv µ:n suhteen, jos µ(a) = 0 ϕ(a) = 0. Tällöin merkitään ϕ µ. (c) ϕ on σ-äärellinen, jos X = j A j, A j Γ, ϕ(a j ) <. Vlitettvsti emme todist seurv Rdon-Nikodymin lusett tällä kurssill: Jos (X, Γ, µ) on σ-äärellinen mitt-vruus j jos ϕ: Γ Ṙ on täysdditiivinen, σ-äärellinen j ϕ µ, niin on olemss mitllinen funktio f: X R s.e. ϕ(e) = fdµ, E Γ E Jos lisäksi g on toinen funktio, jolle yo. yhtälö pätee, niin f = g m.k. Luse 2.5. Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j σ: Γ [0,+ ) mitt s.e. σ(x) <. Tällöin (2.6) σ µ ε > 0 δ > 0 s.e. µ(a) < δ σ(a) < ε. Tod. Oletetn σ µ. VO: ε > 0 j jono E 1,E 2,... Γ s.e. σ(e i ) ε j µ(e i ) < 2 i. Merkitään A k = i ke i, A = A k. k=1 A k E k σ(a k ) σ(e k ) ε k. A 1 A 2 σ(a 1 ) σ(x) < } σ(a) = lim k σ(a k) ε. µ(a) µ(a k ) i=k 1 2 i = 1 2 k 1 k µ(a) = 0 σ µ = σ(a) = 0. RR Jos ehto (2.6) pätee, niin σ µ trivilisti (µ(a) = 0 σ(a) < ε ε > 0 σ(a) = 0).

Kevätlk. 2004 21 Seurus 2.7. Olkoon f L 1. Tällöin ε > 0 δ > 0 s.e. µ(e) < δ f dµ < ε. Tod. Sovelletn Lusett 2.5 mittn σ(e) = jolloin σ µ j σ(x) < (kosk f L 1 ). E E f dµ E Γ, 2.8 Egorovin j Lusinin luseet Olkoon (X, Γ, µ) mitt-vruus. Mitt j integrli -kurssill todistettiin ([Ho, Luse 3.14]): Luse 2.9. Jos f: X [0, ] on mitllinen, niin ksvv jono 1-kertisi funktioit 0 f 1 f 2 s.e. f = lim j f j. Huomutus 2.10. 1. g: X [0, ) on yksinkertinen, jos g = k i χ Ai, i 0, A i Γ erillisiä. 2. Luseen 2.9 todistus sm kuin (R n,lebr n,m):n tpuksess. 3. Jos Luseess 2.9 f on rjoitettu, niin f j f tsisesti X:ssä, ts. ε > 0 i ε N s.e. f j (x) f(x) < ε kikill x X (indeksi i ε ei riipu x:stä). 4. f: X [0, ]mitllinen f = lim j f j,missä(f j )nousevjono1-kertisi funktioit f j : X [0, ). Yleisesti: Suppeneminen m.k. on tsist suuress osss X:ää, kuten seurv luse osoitt. Luse 2.11 (Egorovin luse). Olkoon µ täydellinen, µ(x) < j funktiot f k : X R, k = 1,2,... mitllisi s.e. f k f m.k., missä f: X R. Tällöin 1. ε > 0 mitllinen F X s.e. µ(x \F) < ε j f k F f F tsisesti; 2. jos X R n j µ = m = Lebesguen mitt, voidn F vlit kompktiksi. Lemm 2.12. Olkoon A R n mitllinen j ε > 0. Tällöin 1. voin G A s.e. m(g\a) < ε; 2. suljettu F A s.e. m(a\f) < ε. 3. Jos lisäksi m(a) <, niin kompkti F A s.e. m(a\f) < ε.

22 Relinlyysi I Tod. (ylim.) HT Egorovin luseen tod. 1. µ täydellinen f mitllinen ([Ho, Luse 2.29]). Merkitään E k,l = {x X: f m (x) f(x) < 1 k }, k,l N, m=l mitll. H = {x X: lim m f m(x) = f(x)}. Jos x H j k N, niin l k N s.e. f m (x) f(x) < 1 k m l k x E k,lk. Siten H E k,l k. Joukot H j E k,l mitllisi j µ(h) = µ(x), sillä f m f m.k. (2.13) l=1 E k,l E k,l+1 µ(x) lim µ(e k,l ) = µ ( ) E k,l µ(h) = µ(x) l l=1 µ(x) <, (2.13) lim µ(x \E k,l) = µ(x) lim µ(e k,l ) = 0 k. l l Olkoon ε > 0. Silloin k l k N s.e. Väite: Joukko toteutt vditut ehdot. Tod. F mitllinen j Lisäksi F E k,lk k j µ(x \E k,lk ) < ε 2 k. F = k=1 µ(x \F) = µ ( (X \E k,lk ) ) k=1 E k,lk µ(x \E k,lk ) < k=1 f m (x) f(x) < 1 k, kun x E k,l k j m l k. k=1 ε 2 k = ε. f m (x) f(x) < 1 k, kun x F j m l k. f m F f F tsisesti (indeksi l k ei riipu pisteestä x F). 2. Olkoon lisäksi µ = m = Lebesguen mitt. Lemm 2.12 kompkti F 0 F s.e. µ(f \F 0 ) < ε. Siis µ(x \F 0 ) µ(x \F)+µ(F \F 0 ) < 2ε. Mitllinen funktio on suuress osss jtkuv:

Kevätlk. 2004 23 Luse 2.14 (Lusinin luse). Olkoon A R n mitllinen, m(a) < j f: A R mitllinen. Tällöin ε > 0 kompkti F A s.e. m(a\f) < ε j f F on jtkuv. Tod. Olkoon ε > 0. (): Oletetn, että f on yksinkertinen. f = k i χ Ai. Lemm 2.12 kompktit F i A i s.e. m(a i \F i ) < ε/k. Tällöin F = F 1 F k kompkti j F i :t erillisiä. Jos x F, niin r > 0 s.e. B(x,r) F i vin yhdellä i. Siis (Syy: x F i dist(x,f j ) = inf x y F j kokti = min x y > 0 j i.) y F j y F j f(y) = f(x) = i y B(x,r) F, joten f F on loklisti vkio j siten f F jtkuv. Myös m(a\f) = m ( k (A i \F i ) ) erill. = k m(a i \F i ) < ε. (b): Oletetn, että f 0 on mitllinen. L. 2.9 yksinkertiset funktiot f j s.e. f j f. Todistuksen ()-koht kompktit F j A s.e. f j F j jtkuv j m(a\f j ) < ε 2 j. Olkoon F 0 = j F j, jolloin Egorovin luse m(a\f 0 ) = m ( (A\F j ) ) j j m(a\f j ) < j ε 2 j = ε. kompkti F F 0 s.e. f j F f F tsisesti j m(f 0 \F) < ε. Nyt f j F jtkuv f j F f F tsisesti } f F jtkuv, lisäksi m(a\f) = m(a\f 0 )+m(f 0 \F) < 2ε. (c): Oletetn, että f on mitllinen j kirjoitetn f = f + f. Todistuksen (b)-koht kompktit F 1,F 2 A s.e. f + F 1, f F 2 jtkuvi j m(a\f i ) < ε/2, i = 1,2. Joukko F = F 1 F 2 toteutt ehdot. Huomutus 2.15. ± ei sllit. 1. Egorovin j Lusinin luseiss on f:n relirvoisuus oleellist, ts. rvoj

24 Relinlyysi I 2. Oletus µ(x) < Egorovin luseess on oleellinen: Esim: X = R, f j = χ [j, [. Silloin f j (x) 0 x R. Merkitään f = 0. Jos F R s.e. f j F f F tsisesti, niin j 0 s.e. f j (x) f(x) = f j (x) < 1 2, kun j j 0,x F F [j, [= j j 0 [j, [ R\F m(r\f) =. 3. Lusinin luse pätee myös tpuksess m(a) =, jos vditn vin, että F on suljettu. (HT) 2.16 Konvoluutio R n :ssä Tässä luvuss mitt-vruuten on (R n,lebr n,m). Olkoon f,g L 1 (R n ). Kuvus ϕ: R n R n, ϕ(y) = x y, missä x R n on vkio, toteutt: Siten ϕ(a) mitllinen A mitllinen. y f(x y) on mitllinen y f(x y)g(y) on mitllinen. Näin ollen integrli h(x) = f(x y)g(y)dm(y) R n on määritelty, jos f,g 0. Kysymyksiä: Milloin h(x) <? Voidnko h määritellä, jos ei oletet f,g 0? Luse 2.17. Oletetn, että f,g L 1 (R n ). Tällöin (2.18) f(x y) g(y) dm(y) < m.k. x R n. R n Näillä x merkitään (2.19) h(x) = f(x y)g(y)dm(y). R n Tällöin h L 1 (R n ) j (2.20) h 1 f 1 g 1. Funktiot h kutsutn f:n j g:n konvoluutioksi j merkitään h = f g. Tod. Käytämme Fubini funktioon F: R n R n R, (x,y) f(x y)g(y), jok on siksi osoitettv mitlliseksi. 4 Tätä ennen: Väite: Borel-funktiot f 0,g 0 : R n R s.e. 4 Itsesiss näytämme, että F on Borel. f 0 = f m.k. g 0 = g m.k.

Kevätlk. 2004 25 (ts. f0 1 U, g 1 0 U BorRn voimill U R.) Tod. f + mitll. jono 1-kert. funktioit 0 f 1 f 2 s.e. f j f +, k f j = i χ Ai. Vlitn 5 Borel-joukot B i A i s.e. m(a i \B i ) = 0. Tällöin ϕ j = k i χ Bi on Borel-funktio, 0 ϕ j f j j ϕ j = f j m.k.; ϕ + = liminf j ϕ j Borel-funktio j ϕ + = f + m.k. (Huom. (ϕ j ) ei vältt. ksvv jono lim j ϕ j ei vältt. olemss.) Smoin Borel-funktio ϕ = f m.k. Nyt f 0 = ϕ + ϕ Borel-funktio j f 0 = f m.k. Smoin g:lle. Integrlit (2.18) j (2.19) eivät muutu, jos f j g korvtn f 0 :ll j g 0 :ll. Voi olett: f, g Borel-funktioit. Väite: F: R n R n R, F(x,y) = f(x y)g(y), on Borel-funktio. Tod. Kuvukset u: R n R n R n, u(x,y) = x y, j v: R n R n R n, v(x,y) = y, jtkuvi. Nyt F(x,y) = f ( u(x,y) ) g ( v(x,y) ), eli F = (f u)(g v). Olkoon V R voin. Kosk f on Borel-funktio, on f 1 V BorR n. Edelleen (f u) 1 V = u 1 (f 1 V BorR n ) BorR 2n, sillä u: R 2n R n on jtkuv (ks. L. 1.7). Siis f u on Borel-funktio. Smoin nähdään, että g v on Borel-funktio, joten F on khden Borel-funktion tulon Borel-funktio (erit. mitll.). Fubini 1. ( ) ( ) F(x,y) dy dx = F(x,y) dx dy R n R n R n R ( n ) = g(y) f(x y) dx dy R n R n = f 1 g 1 <, sillä (2.21) R n f(x y) dx = f 1. Siis (2.18) pätee. 5 Lemm 2.12, 2-koht F σ-joukko B i A i s.e. m(a i \B i) = 0.

26 Relinlyysi I Fubini 2. h L 1 (R n ) j h 1 = h(x) dx = f(x y)g(y)dy dx R n R n R ( ) n F(x,y) dy dx = f 1 g 1. R n R n Huomutus 2.22. Yhtäsuuruus (2.21) pätee Lebesguen mitn siirto-invrinssin perusteell: Jos k f = j χ Aj j=1 on 1-kertinen j ϕ(x) = x y siirto, niin ϕ 1 (x) = x+y, k f ϕ = j χ ϕ 1 A j j m(ϕ 1 A j ) = m(a j ) j=1 k k f ϕ = j m(ϕ 1 A j ) = j m(a j ) = j=1 j=1 f. Ts. (2.21) pätee 1-kertisille funktioille. Tämän jälkeen yleinen tpus seur integrlin määritelmästä. Kysymys: Miksi käytettiin Borel-joukkoj/funktioit, eikä pelkästään mitllisi joukkoj/funktioit? Syy: g: R n R m mitllinen j E LebR m g 1 E LebR n. 2.23 Approksimointi C -funktioill Merkintöjä: Olkoon A R n, f: A R. Merkitään sptf = A {x A: f(x) 0} (f:n kntj), f C(A) = C 0 (A) f jtkuv. Olkoon U R n voin, k N, f: U R. f C k (U) f:llä jtkuvt k:nnen kertluvun osittisderivtt ( f on k kert jtkuvsti differentioituv), f C (U) f C k (U) k, f C0 k (U) f Ck (U) j sptf U kompkti, f C0 (U) f C (U) j sptf U kompkti. Merkitään myös f C k jne. Luse 2.24. Jos f L 1 (R n ) j g C 0 (R n ), niin f g C(R n ).

Kevätlk. 2004 27 Tod. Suoritetn muuttujn vihto x y y. Integrli ei muutu (vrt. Huom. 2.22), joten f g(x) = f(y)g(x y)dy, R n jok on määritelty x, sillä f(y)g(x y) dy M f(y) dy = M f 1 < x. R n R n Tässä M = mx g ( mksimi, sillä g on jtkuv j kompktikntjinen). f g(x+h) f g(x) = f(y) ( g(x y +h) g(x y) ) dy R n ε > 0 δ > 0 s.e. g tsisesti jtkuv R n :ssä f g(x+h) f g(x) f(y) g(x y +h) g(x y) dy R n < ε f 1, kun h < δ j x R n < f g jtkuv x:ssä. <ε Huomutus 2.25. Yo. todistus f g tsisesti jtkuv R n :ssä. Luse 2.26. Jos f L 1 (R n ) j g C k 0 (Rn ), niin f g C k (R n ). Tod. Kun (z,t) R n (R\{0}), setetn Välirvoluse ϕ(z,t) = g(z +te i) g(z) t D i g(z), missä e 1,...,e n on R n :n stnd. knt. (2.27) ϕ(z,t) = D i g(z +ϑte i ) D i g(z), jollkin 0 < ϑ < 1. g C k 0 (Rn ) D i g tsisesti jtkuv R n :ssä (2.27) = ϕ(z,t) 0 tsisesti R n :ssä, kun t 0, eli σ(t) = sup ϕ(z,t) t 0 0. z R n Olkoon x R n. Silloin lim f g(x+te i) f g(x) f D i g(x) t 0 t ( ) g(x+tei y) g(x y) = lim f(y) D i g(x y) dy t 0 R n t lim f(y) ϕ(x y,t) dy t 0 R n lim t 0 σ(t) f 1 = 0, σ(t)

28 Relinlyysi I joten D i ( f g ) (x) = f Di g(x). D i g C 0 (R n ) 2.24 = D i (f g) C(R n ). Toistmll sdn D ( f g ) = f Dg, missä D on mikä thns kertluku p k olev osittisderivtt. Huomutus 2.28. Luseet 2.24 j 2.26 pätevät myös funktioille f L p (R n ), 1 p. Syy: todistuksiss ei trvitse integroid yli koko R n :n, vn riittää integroiminen yli riittävän ison kompktin joukon K, sillä g on kompktikntjinen. Nimittäin Hölderin ey. jos p > 1 (tulkintn yllä: K ( f m(k) p 1 p K p 1 p = 1, jos p = ). f p) 1/p m(k) p 1 p f p, Tvoitteen käyttääkonvoluutiotpproksimoitessl p -funktioit(1 p < )C 0 -funktioill. Tätä vrten: Luse 2.29. Jos f L p (R n ), 1 p <, niin lim h 0 R n f(x+h) f(x) p dx = 0. Tod. Olkoon ε > 0. Näytettävä: η > 0 s.e. h < η f(x+h) f(x) p dx < ε. R n Merkitään I h (A) = A f(x+h) f(x) p dx, A LebR n, B k = B(0,k) = {x R n : x < k}, k > 1. Olkoon h B(0,1). (Tällöin x k x+h k 1. ) Nyt f(x+h) f(x) p dx 2 p( f(x+h) p + f(x) p) dx R n \B k R n \B ( k ) 2 p f p + f p DKL 0, kun k. R n \B k 1 R n \B k k s.e. (2.30) I h (R n \B k ) < ε/4. Smoin I h (A) 2 p ( A+h ) f p + f p, kun A LebR n j A+h = {+h: A}. A

Kevätlk. 2004 29 Integrli bsoluuttisesti jtkuv Lebesguen mitn suhteen, joten L. 2.5 δ > 0 s.e. (2.31) I h (A) < ε/4, kun m(a) < δ. Lusinin luse kompkti F B k+1 s.e. F kompkti η ]0,1[ s.e. (2.32) f(x+h) f(x) p < Olkoon h B(0, η) mielivltinen. Merkitään m(b k+1 \F) < δ j f F jtkuv. f F tsisesti jtkuv. ε, kun h < η j x,x+h F. 4m(F) A 1 = {x F : x+h F}, A 2 = {x: x+h B k+1 \F}, A 3 = B k+1 \F. (Hvitn: A 2 = A 3 h, joten m(a 2 ) = m(a 3 ) = m(b k+1 \F) < δ.) Tällöin x B k x+h B k+1, joten B k F {x F: x+h B k+1 } {x F : x+h F} {x F: x+h B k+1 \F} =A 1 A 1 A 2 A 2 B k = (B k \F) (B k F) A 1 A 2 A 3 A 3 A 1 A 2 Siis R n = A 1 A 2 A 3 (R n \B k ) j I h (R n ) I h (A 1 )+I h (A 2 )+I h (A 3 )+I h (R n \B k ). Arvioidn oiken puolen termejä: (2.32) I h (A 1 ) = f(x+h) f(x) p A 1 (2.31) I h (A 2 ) < ε/4 (2.31) I h (A 3 ) < ε/4 (2.30) : I h (R n \B k ) < ε/4 < ε 4m(F) dx < A1 F ε/4 I h (R n ) = f(x+h) f(x) p dx < ε. R n

30 Relinlyysi I Määritellään η: R [0, [, Olkoon t < 1. Tällöin η(t) = {e 1 t 2 1, kun t < 1, 0, kun t 1. η (k) (t) = e 1 t 2 1 P3k (t) (t 2 1) 2k ; P 3k = 3k:n steen polynomi, η (k) (t) 0, kun t 1 ti t 1. η C 0 (R). Hlutn funktio ϕ k : R n [0, [, k N, s.e. () ϕ k C 0 (Rn ), (b) sptϕ k B 1/k = B(0,1/k), (c) ϕ k = 1. R n Voidn vlit (2.33) ϕ k (x) = k η(k x ), missä vkio k vlitn s.e. (c) toteutuu. Todetn seurvksi: Jos f L p (R n ) j g C 0 (R n ) (ts. g jtkuv j sptg kompkti), niin y f(x y)g(y) on integroituv x, sillä f(x y) g(y) dy M f(x y) dy = M f(y) dy <, R n sptg A M< missä A = x sptg = {x z: z sptg}, j pätee: Siis konvoluutio f g(x) on määritelty x R n. Sovelletn tätä tpukseen: f L p (A), m(a) < f L 1 (A). g k : R n [0, [ jtkuv, sptg k B 1/k, R n g k = 1. Luse 2.34. Olkoot f L p (R n ), 1 p <, j g k kuten edellä. Tällöin lim f f g k p = 0. k

Kevätlk. 2004 31 Tod. Jos p > 1, Siis p 1: f(x) f g k (x) = f(x) g k (y)dy f(x y)g k (y)dy R n R n = (f(x) f(x y))g k (y)dy R n f(x) f g k (x) f(x) f(x y) g k (y)dy. R n ( ) p f(x) f g k (x) p f(x) f(x y) g k (y)dy R ( n ) p = f(x) f(x y) g k (y) 1/p g k (y) 1/q dy (missä q = p R n p 1 ) =g k (y) ( ( f(x) f(x y) p g k (y)dy g k (y) 1/q) q dy Hölder R n R } n {{} =1 = f(x) f(x y) p g k (y)dy. R n f f g k p p = f(x) f g k (x) p dx R n ( ) f(x) f(x y) p g k (y)dy dx R n R n ( ) Fubini 1. = g k (y) f(x) f(x y) p dx dy. R n R n sptg k B 1/k voidn olett y 1/k sisimmässä integroinniss. L. 2.29 R n f(x) f(x y) p dx 0, kun k j y 1/k R n g k = 1 väite. Selvästi vruudet C 0 (R n ) j C k 0 (Rn ), k = 1,2,...,, ovt L p (R n ):n vektorilivruuksi, j jos ne vrustetn normill p, ne ovt myös normivruuksin L p (R n ):n livruuksi. Määritelmä 2.35. Jos W on normivruuden (V, ) livruus, snomme, että W on tiheä V:ssä, jos v V jono w 1,w 2,... W s.e. w i v 0, kun i. (Eli W = V.) Luse 2.36. C 0 (Rn ) on L p (R n ):n tiheä livruus, kun 1 p <. Tod. Olkoon f L p (R n ). On osoitettv: ψ 1,ψ 2,... C 0 (Rn ) s.e. f ψ k p 0, kun k. ) p/q

32 Relinlyysi I (): Oletetn, että sptf on kompkti. Silloin f L 1. Vlitn funktiot ϕ k kuten (2.33):ssä. L. 2.26 f ϕ k C (R n ). Jos d(x,sptf) > 1/k j y sptϕ k ( B(0,1/k)), niin x y sptf f ϕ k (x) = f(x y)ϕ k (y)dy = 0 spt(f ϕ k ) kompkti. R n L. 2.34 f f ϕ k p k 0, joten vlitn ψ k = f ϕ k. (Huom.: Yllä spt(f ϕ k ) on kompkti, kosk se on sekä suljettu että rjoitettu.) (b): Yleinen tpus: spt f ei ole välttämättä kompkti. Olkoon ε > 0. Merkitään f j = fχ Bj, B j = B(0,j). Tällöin f j L p (R n ), sptf j kompkti. Lisäksi on olemss j 0 s.e. ()-koht ψ j 1,ψj 2,... C 0 (Rn ) s.e. f f j p < ε/2 j j 0. f j ψ j k p < ε/2, kun k k j. Tällöin f ψ j k j p < ε j j 0. 3 Derivointi Tässä luvuss tutkimme mm. integrlien määräämien funktioiden derivoitumist sekä kysymystä, milloin funktio f: [,b] R sdn tkisin integroimll sen derivtt f? Esimerkki 3.1. 1. (Diff I:) Olkoon g: [,b] R jtkuv j G(x) = x Silloin G on derivoituv j G (x) = g(x), x [,b]. g(t)dt, x [,b]. 2. Pätee 1-koht yleisempi tulos (Lebesguen luse): Olkoon g: [, b] R integroituv. Silloin funktio G: [,b] R, G(x) = x g(t)dt, on derivoituv m.k. j G (x) = g(x) m.k. x [,b]. 3. 1-koht toisin päin (lähtien funktiost): f C 1 ([,b]) x f (t)dt = f(x) f().

Kevätlk. 2004 33 4. Olkoon f: [0,1] [0,1] Cntorin 1/3-funktio. Silloin f on jtkuv ksvv surjektio j f (t) = 0 m.k. t [0,1] (f mitllinen), mutt 1 0 f (t)dt = 1 0 0dt = 0 1 = f(1) f(0). Tutkimme näitä kysymyksiä käyttäen työkluin peiteluseit. Niissä nnettu R n :n joukko pyritään melkein peittämään esim. suljetuill erillisillä kuulill. Erillisyys vditn, jott voidn käyttää mitn täysdditiivisuutt. 3.2 Peiteluseit Merkitään kb = B(x,kr), jos B = B(x,r) j k > 0 (ti vstvsti kb = B(x,kr), jos B = B(x, r)). Huom: tämä merkintä poikke iemmst (esim. [Ho, L. 1.9]). Muistutus: Oletmme in, että suljetuss kuulss B(x,r) säde r on positiivinen (r > 0). ({y R n : x y < 0} =, {y R n : x y 0} = {x}) Luse 3.3 (Peruspeiteluse). Olkoon F mielivltinen perhe R n :n kuuli s.e. D = sup{d(b): B F} <, missä d(b) = B:n hlkisij. Tällöin numeroituv (mhdollisesti äärellinen) perhe G F s.e. Tod. 1. Merkitään B i B j = B i,b j G, B i B j, ts. G:n kuult erillisiä; j B FB 5B. B G jolloin F = j=1 Fj. Määritellään perheet G j F j induktiivisesti: F j = {B F: D/2 j < d(b) D/2 j 1 }, j N, () Olkoon G 1 mikä thns mksimlinen perhe F 1 :n erillisiä kuuli, ts. B F 1 B G 1 s.e. B B. (Eli: Jos G 1 :een lisätään mikä thns F 1 :n kuul, niin erillisyysvtimus rikkoontuu.) (b) Oletetn, että G 1,...,G k 1 on vlittu. Olkoon G k mikä thns mksimlinen kokoelm F k :n erillisiä kuuli B s.e. B B = B k 1 j=1 G j. Merkitään G = G j, j=1

34 Relinlyysi I jolloin G ( F) on perhe erillisiä kuuli. 2. Väite: G on numeroituv. Tod. Riittää osoitt: G j numeroituv j. Kirjoitetn G j = G j,i, missä G j,i = {B G j : B B(0,i)}, j osoitetn, että G j,i on äärellinen (mhd. = ), jolloin G j :t j siten G ovt numeroituvi. B G j,i d(b) > D/2 j j B B(0,i) B(0, i) kompkti } ( ) G j,i äärellinen. [ ( ):n perustelu: VO: Gj,i :ssä äärettömän mont erillistä kuul jono x k B(0,i), k N, s.e. (3.4) x k x l D/2 j k l. (Esim. x k on jonkun G j,i :n kuuln keskipiste.) B(0,i) kompkti (xk ):n osjono, jok suppenee, mutt tämä on RR (3.4):n knss. ] 3. Väite: B F kohti B G s.e. B B j B 5B. Erityisesti: B FB B G Tod. Jos B F, niin B F k jollkin k N. G k mksimlinen B k j=1 G j s.e. B B. Toislt 5B. d(b ) > D/2 k j d(b) D/2 k 1 d(b) < 2d(B ) B B } B 5B. B B 5B Huomutus 3.5. 1. Todistuksen 2. koht sdn myös suorn perheen G kuulien erillisyydestä käyttämällä hyväksi R n :n seproituvuutt (Q n on numeroituv tiheä R n :n osjoukko). 2. Peruspeiteluse(yo. muodossn) pätee myös metrisille vruuksille(x, d) tiettyjen lisäoletusten vllitess. Lue todistus läpi uudelleen j mieti, mitä vtimuksi (X, d):n on toteutettv, että todistus menisi läpi. Määritelmä 3.6. Olkoon V perhe R n :n kuuli. Snomme, että V on joukon E R n Vitlin peite, jos x E j ε > 0 kohti B V s.e. x B j d(b) < ε. Perhe V on suljettu Vitlin peite (vstvsti voin), jos jokinen B V on suljettu (vstvsti voin) kuul.

Kevätlk. 2004 35 Huomutus 3.7. Jos V on joukon E Vitlin peite j R > 0, niin on myös E:n Vitlin peite. Luseest 3.3 sdn: {B V: d(b) < R} Seurus 3.8. Olkoon V joukon E R n suljettu Vitlin peite s.e. d(b) < R B V, j olkoon G V kuten Luseess 3.3. 6 Silloin jokisell äärellisellä G G pätee: E \ B B G B G\G 5B. Tod. Olkoon G V kuten Luseess 3.3 j olkoon G = {B 1,B 2,...,B m } G mielivltinen. Jos m E B i, si on selvä. Muusstpuksessolkoonx E\ m B i.tällöin m B i onkompkti (äärellisen monensuljetun kuuln yhdiste), joten d ( m ) m m x, B i = inf{ x y : y B i } = min{ x y : y B i } > 0. Kosk V on E:n Vitlin peite, niin B V s.e. x B j B ( m B i) = (d(b) trpeeksi pieni). E B i B V x Luseen 3.3 todistuksen 3.-osst seur, että B G s.e. B B j B 5B. Erityisesti x 5B. Nyt B G, sillä B ( m B i) =. Siis B G \G, joten E \ B B G B G\G 5B. Luse 3.9 (Vitlin peiteluse). Olkoon E R n (ei välttämättä mitllinen) j V E:n suljettu Vitlin peite. Silloin on olemss numeroituv osperhe G V erillisiä kuuli s.e. m ( E \ B GB ) = 0. 6 Ts. G on numeroituv perhe V:n erillisiä kuuli s.e. B VB B G 5B.

36 Relinlyysi I Tod. 1. Oletetn ensin, että E on rjoitettu. Nyt voidn, että rjoitettu, voin H R n s.e. B H B V. Olkoon G kuten L. 3.3 (j Seur. 3.8). Olkoon ε > 0. Osoitmme: m ( E \ B GB ) < ε, jost väite seur (sillä ε > 0 mielivltinen). G:n kuult erillisiä j H äärellinen G G s.e. Seurus 3.8 m(b) = m ( B ) m(h) <. B G B G B G\G m(b) < ε/5 n. m ( E \ B GB ) m ( E \ E\ B G B B G B B G\G 5B B G\G m(5b) = 5 n ) m ( B G\G 5B ) B G\G m(b) < ε. ε > 0 mielivltinen m ( E \ B GB ) = 0. 2. Yleinen tpus: E ei rjoitettu. Merkitään Silloin A i :t ovt voimi j erillisiä, j (3.10) m ( R n \ A 1 = B(0,1) j A i = B(0,i)\ B(0,i 1), i 2. ) ( A i = m S(0,i) ) = 0, S(0,i) = {x R n : x = i}. 7 Ide: Sovelletn 1.-os joukkoihin E A i, jolloin sdn osperheet G i V. Pidettävä huolt, etteivät G i :n j G j :n kuult leikk toisin. Tämä hoidetn seurvsti: A i voin, x A i r x > 0 s.e. B(x,r) A i r r x V i = {B V: B A i } on E A i :n Vitlin peite. A i :t erillisiä (3.11) jos B V i j B V j,i j, niin B B =. 1.-os numeroituv perhe G i V i erillisiä kuuli s.e. (3.12) m ( (E A i )\ 7 Keksi yksinkert. perustelu, miksi m n ( S(0,i) ) = 0. B G i B ) = 0.

Kevätlk. 2004 37 Tällöin G = G i toteutt ehdot. Selvästi G numeroituv j G:n kuult erillisiä (ks. (3.11)). Lisäksi E \ B GB ( (E = \ B ) ) ( (E \ A i \ B G } {{ } 0-mittinen (ks. (3.10)) B G B ) ( ) ) A i } ( {{ ) } = (E A i )\ B G i B m ( E \ B GB ) m ( (E A i )\ B G i B ) (3.12) = 0. Huomutus 3.13. Myös Vitlin peiteluse pätee tietyille metrisille mitt-vruuksille (X, d, Γ, µ). Käy läpi yo. todistust j mieti mitä ominisuuksi (X, d):ltä j mitlt µ kusskin viheess vditn. 3.14 Mksimlifunktio Aloitetn seurvll hyödyllisellä tuloksell: Olkoon (X,Γ,µ) mitt-vruus j g: X [0,+ ] mitllinen. Funktiot [0,+ ) [0,+ ], t µ ( {x: g(x) > t} ), snotn g:n distribuutiofunktioksi. Se on vähenevä j siten mitllinen (HT). Lemm 3.15. Olkoon f: X [0,+ ] mitllinen j 0 < p <. Silloin (3.16) f p dµ = p t p 1 µ ( {x: f(x) > t} ) dt. X 0 Tod. (HT) Ohjeet: (i) Oletetn ensin, että f on 1-kertinen j osoitetn (suorll lskull), että (3.16) pätee. (ii) Yleisessä tpuksess vlitn jono 1-kertisi funktioit f k f j käytetään monotonisen konvergenssin lusett. R t A f {x X: f(x) > t} X Yo. kuvss X fdµ = 0 µ ( {x X: f(x) > t} ) dt voidn tulkit vrjostetun joukon A tulomitksi (µ m 1 )(A). Merkitään f L 1 loc (Rn ), jos f: R n Ṙ on mitllinen j f < kompktill K R n. Snomme: f loklisti integroituv (ti loklisti L 1 :ssä). K

38 Relinlyysi I Huomutus 3.17. 1. f C(R n ) f L 1 loc (Rn ). 2. f L 1 (R n ) f L 1 loc (Rn ). Käänteinen ei päde: esim. f(x) 1. Tvoitteen todist: f L 1 1 loc (Rn ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) f(y)dy = f(x) m.k. x R n. B(x,r) Kun A LebR n j m(a) > 0, merk. f:n integrlikeskirvo yli A:n. A f(y)dy = 1 f(y)dy, m(a) A Määritelmä 3.18. Kun f L 1 loc (Rn ) j x R n, setetn Mf(x) = sup f(y) dy, B x B missä B on (mikä thns) voin kuul, jok sisältää x:n. Funktio Mf: R n [0, ] on f:n (Hrdy-Littlewood) mksimlifunktio. Huom. Kirjllisuudess esiintyy eri tyyppisiä mksimlifunktioit. Usein esim. otetn supremum yli x-keskisten kuulien B(x,r) (ks. esim. Tyllin luentomuistiinpnot). Tällöin sdn funktion f L 1 loc (Rn ) keskitetty mksimlifunktio, jot merkitsemme Mf:ll, Mf(x) = sup r>0 B(x,r) f(y) dy. Pätee: Mf(x) Mf(x) 2 n Mf(x) x R n (HT 5/2). Tästä syystä on usein smntekevää kump mksimlifunktiot käytetään. Lemm 3.19. Mksimlifunktio Mf: R n [0, ] on mitllinen. Tod. Merkitään E t = {x: Mf(x) > t}. Osoitetn vhvempi tulos, että E t on voin 8 t R (j siten erityisesti mitllinen). Olkoon x E t. Silloin voin kuul B x s.e. f(y) dy > t. Tällöin y B pätee: Siis B E t j siten E t on voin. Mf(y) sup B B f(y) dy > t y E t. 8 Topologisen vruuden X funktio u: X Ṙ on lhlt puolijtkuv, jos {x X: u(x) > t} on voin t R. Vst. tvll määr. ylhäältä puolijtkuvuus. Siten u on jtkuv u on sekä lhlt että ylhäältä puolijtkuv. Siis: Lemmn 3.19 todistus Mf lh. puolijtkuv.

Kevätlk. 2004 39 Huomutus 3.20. 1. Mitä voidn sno M f:n integroituvuudest? Vstus: Mf on hyvin hrvoin integroituv. Trkemmin: Mf L 1 (R n ) f = 0 m.k. Syy: Ensin muistutus: m ( B(x,r) ) = c n r n, missä c n on n:stä riippuv vkio. Tehdään vstoletus: f = 0 m.k. ei päde. Silloin R f > 0, joten R > 0 s.e. n f(y) dy > 0. B(0,R) merk. = I 0 R x 2 x Jos x R n \B(0,R), niin B(0,R) B(x,2 x ) (ks. kuv) j 1 Mf(x) m ( B(x,2 x ) ) f(y) dy B(x,2 x ) 1 c n (2 x ) n B(0,R) f(y) dy. } {{ } =I>0 Mf(x)dx R n R n \B(0,R) Mf(x)dx I R n \B(0,R) c 1 n (2 x ) n dx =, sillä = R n \B(0,R) c 1 n (2 x ) n dx = i=0 m ( B(0,2 i+1 R)\B(0,2 i R) ) i=0 =c n((2 i+1 R) n (2 i R) n ) i=0 2 n 1 4 n =c>0 = i=0 c =. c 1 n (2 x ) n dx B(0,2 i+1 R)\B(0,2 i R) c 1 n (2 i+2 R) n c 1 n (2i+2 R) n 2. Chebyshevin epäyhtälö (HT 4/1): f L 1 (R n ) rvio (3.21) m ( {x R n : f(x) > t} ) c t t > 0 pätee vkioll c = f 1. Käänteinen ei päde: Mitllinen funktio f, jolle (3.21) on voimss t > 0 jollkin vkioll c, ei ole välttämättä integroituv. (HT 5/1) 3. Snomme, että mitllinen funktio f: R n Ṙ kuuluu heikkoon L1 -vruuteen, wek-l 1 (R n ), josonolemssvkioc=c f < siten, että(3.21) pätee t > 0.Siis: L 1 (R n ) wek-l 1 (R n ), mutt wek-l 1 (R n ) L 1 (R n ).

40 Relinlyysi I Osoittutuu, ettäintegroituvnfunktionf L 1 (R n )mksimlifunktiomf toteuttepäyhtälön (3.21). Tämä on M f:n tärkeimpiä ominisuuksi. Todistus noj Peruspeiteluseeseen 3.3. Luse 3.22 (Hrdy-Littlewood). Jos f L 1 (R n ), niin (3.23) m ( {x R n : Mf(x) > t} ) 5n f 1 t t > 0. Tod. Kiinnitetään t > 0 j merkitään M t = {x R n : Mf(x) > t}. Tällöin x M t voin kuul B x x (ei välttämättä x-keskinen) s.e. B x f(y) dy > t. Toisin snoen, (3.24) m(b x ) 1 t Olkoon F = {B x : x M t }, jolloin (trivilisti) Kosk m(b x ) = c n (d(b x )/2) n, niin f(y) dy ( f 1 B x t M t B F B. (3.24) sup{d(b x ): B x F} 2 ). ( ) 1/n f 1 <. c n t Voimme siis käyttää Peruspeitelusett 3.3 numeroituv osperhe G = {B 1,B 2,...} F erillisiä voimi kuuli s.e. M t B 5B i. Siten B F m(m t ) m ( i 5B i ) numer. yhd. B i G m(5b i ) = 5 n i i m(b i ) (3.24) 5 n i 1 f(y) dy B i:t erill. = t B i 5 n t i B i f(y) dy 5n t R n f(y) dy. Huomutus 3.20:n mukn Mf L 1 (R n ) f = 0 m.k. Tilnne on täysin toinen, jos p > 1. Luse 3.25. Olkoon 1 < p < j f L p (R n ). Silloin Mf L p (R n ) j on olemss vkio c = c(p,n) s.e. Mf p c f p. Tod. Todistuksess käytetään mm. Lemm 3.9:ää, Hrdy-Littlewood lusett j Fubini. (HT 5/5)

Kevätlk. 2004 41 3.26 Lebesguen differentioituvuusluse Olkoon A R n, h: A Ṙ j x 0 A:n ksutumispiste (ts. B(x 0,r) (A\{x 0 }) r > 0). Määritellään lim suph(x) = lim sup{h(x): x B(x 0,r) (A\{x 0 })}. x x 0 r 0+ A x 0 x A x x 0 B(x 0,r) (A\{x 0 }) Hvinto: 0 < r 1 < r 2 sup{h(x): x B(x 0,r 1 ) (A\{x 0 })} sup{h(x): x B(x 0,r 2 ) (A\{x 0 })}, joten rj-rvo on olemsss (± sllittu). Vstvll tvll voidn määritellä lim inf. Motivtio: Jos f: R n R on jtkuv, niin (3.27) lim f(y) f(x) dy = 0 r 0+ B(x,r) x R n (ks. llolevn todistuksen3-koht). Toislt Lusininluse snoo, että mitllinen funktio on melkein jtkuv (f mitllinen, ε > 0 suljettu F R n s.e. m(r n \F) < εjf F jtkuv), joten herää kysymys, missä muodoss (3.27) pätee loklisti integroituville funktiolle. Luse 3.28 (Lebesguen differentioituvuusluse). Olkoon f L 1 loc (Rn ) loklisti integroituv funktio. Tällöin (3.29) lim f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n. Erityisesti: r 0+ B(x,r) (3.30) lim r 0+ B(x,r) Tod. Kun f L 1 loc (Rn ) j x R n, merk. Λf(x) = limsup r 0 f(y)dy = f(x) m.k. x R n. B(x,r) f(y) f(x) dy. (Huom.: Λf(x) on määritelty x R n j rvo riippuu f(x) :stä eli erityisesti ekvivlenssiluokn edustjn vlinnst.) Tällöin Λf:lle pätee: 1. Λf(x) 0 x R n (selvä).

42 Relinlyysi I 2. Λ on sublinerinen, ts. Perustelu: Λ(f +g)(x) = limsup r 0 -ey. Λ(f +g) Λf +Λg, f,g L 1 loc (Rn ). B(x,r) ( limsup r 0 limsup r 0 B(x,r) f(y)+g(y) f(x) g(x) dy B(x,r) f(y) f(x) dy + B(x,r) f(y) f(x) dy +limsup = Λf(x)+Λg(x), x R n. r 0 ) g(y) g(x) dy B(x,r) g(y) g(x) dy 3. g C(R n ) Λg(x) = 0 x R n. Perustelu: Kiinnitetään x R n j olkoon ε > 0 mielivltinen. g jtkuv x:ssä δ > 0 s.e. g(y) g(x) < ε y B(x,δ). Siten 0 < s δ pätee: 1 g(y) g(x) dy < m ( B(x,s) ) εdy = εm( B(x,s) ) B(x,s) m ( B(x,s) ) = ε B(x,s) <ε ( ) Λg(x) = lim sup g(y) g(x) dy ε r 0 0<s<r B(x,s) Λg(x) = 0, sillä ε > 0 mv. } {{ } <ε, kun 0<s δ 4. Λf Mf + f. Perustelu: f(y) f(x) dy -ey. f(y) dy+ f(x) dy Mf(x)+ f(x). B(x,r) B(x,r) } {{ } Mf(x) B(x,r) } {{ } = f(x) (Huom. f(x) on vkio jälkimmäisessä integrliss.) Olkoon sitten f L 1 loc (Rn ) nnettu j t > 0 mielivltinen. Riittää osoitt: k N (3.29) pätee m.k. x B(0, k). Ehdon (3.29) voimssoloon B(0, k):ss ei vikut f:n rvot R n \B(0,2k):ss, joten voimme olett, että f = 0 R n \B(0,2k):ss j siten f L 1 (R n ). Jos g C(R n ), niin Λf = Λ(f g +g) 2. Λ(f g)+λg 3. = Λ(f g) 4. M(f g)+ f g. Siten inkin toinen luvuist M(f g)(x) ti f(x) g(x) on vähintään Λf(x)/2, joten {x R n : Λf(x) > t} {x R n : M(f g)(x) > t/2} {x R n : f(x) g(x) > t/2}.

Kevätlk. 2004 43 Näin ollen m ( {x: Λf(x) > t} ) m ( {x: M(f g)(x) > t/2} ) +m ( {x: f(x) g(x) > t/2} ) H.-L. 2 5 n f g 1 /t Cheb. 2 f g 1 /t 2(5n +1) f g 1. t Luse 2.36 jtkuvt funktiot tiheässä L 1 :ssä ε > 0 g C(R n ) s.e. f g 1 < ε Lopuksi, ε>0 mv. = m ( {x R n : Λf(x) > t} ) = 0 t > 0 m ( {x R n ) : Λf(x) > 0} m ( {x R n : Λf(x) > 1/k} ) = 0 k=1 k {x: Λf(x)>1/k} =0 Λf(x) = 0 m.k. x R n 0 liminf f(y) f(x) dy limsup f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n r 0 lim r 0+ B(x,r) B(x,r) B(x,r) B(x,r) r 0 B(x,r) f(y) f(x) dy = 0 m.k. x R n. f(y)dy f(x) = B(x,r) f(y)dy B(x,r) f(y) f(x) dy r 0+ 0 m.k. x R n. f(x)dy = } {{ } =f(x) B(x,r) Määritelmä 3.31. Piste x R n on joukon E LebR n tiheyspiste, jos m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) = 1. ( f(y) f(x) ) dy Huomutus 3.32. x R n joukon E tiheyspiste x E. Esimerkiksi 0 on joukon R n \ {0} tiheyspiste. Seurus 3.33. Olkoon E LebR n mielivltinen. Tällöin melkein jokinen x E on E:n tiheyspiste, ts. m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( ) = 1 m.k. x E. B(x,r) Lisäksi m ( E B(x,r) ) lim r 0+ m ( B(x,r) ) = 0 m.k. x Rn \E.