MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa ja molemmilla on 3 heittoyritystä. Laske todennäköisyydet tapahtumille: A voittaa, B voittaa, kumpikaan ei voita. b) Odotusarvo E(X) ja mediaani M d(x) ovat jakauman keskikohtaa kuvaavia tunnuslukuja. Jatkuvan satunnaismuuttujan X mediaani toteuttaa ehdon P (X Md(X)) = 1 2 eli mediaani jakaa otosavaruuden kahteen, todennäköisyydeltään yhtäsuureen osaan. Laske E(X) ja M d(x), kun jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio ja otosavaruus ovat f(x) = x2, x Ω = [, 3] 9 2. a) Heitetään kahta noppaa ja nopan heittojen tulokset ovat satunnaismuuttujat X 1 ja X 2. Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja X = X 1 X 2. b) Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x) = x2, x Ω = [1, 4]. 21 c) Jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on F (X)., kun x < 1 F (X) = ln(x), kun 1 x e 1, kun x > e d) Satunnaismuuttuja X Bin(3,.4). e) Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x) = 1 3 ja otosavaruuden alaraja =. f ) Satunnaismuuttuja X t(8). Arvioi todennäköisyyttä P (X > 2). 3. Kaksi henkilöä ovat sopineet tapaavansa klo 12.-13. välisenä aikana. Jos he tulevat toisistaan riippumattomasti ja satunnaisesti johonkin aikaan tällä välillä, niin millä todennäköisyydellä ensin tullut joutuu odottamaan toista korkeintaan 1 minuuttia? 4. a) Arpajaisissa arvan hinta on 2.5. Joka viides arpa voittaa 1. Henkilö ostaa arpoja 2 eurolla. Millä todennäköisyydellä hänen arpojensa voittosumma on vähintään 2. b) Toinen henkilö ostaa arpoja 2 eurolla. Millä todennäköisyydellä hän saa omansa takaisin eli voittaa vähintään 2. Käytä laskemisessa normaaliapproksimaatiota.
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Ratkaisut 1. a) Merkitään tapahtumia A i ="A saa i:nnellä heitolla kuutosen" ja vastaavasti B i ="B saa i:nnellä heitolla kuutosen". A voittaa, jos hän saa kuutosen 1, 2 tai 3 heitollaan, jolloin aikaisemmat heitot eivät ole voineet olla kuutosia. Todennäköisyys, että A voittaa on siis P (A voittaa) = P (A 1 ) + P (A 1 B 1 A 2 ) + P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 ) = 1 6 + 5 6 5 6 1 6 + 5 6 5 6 5 6 5 6 1 6 = 657 1811 =.3628 Todennäköisyys, että B voittaa, on 5/6 yllä olevasta todennäköisyydestä, sillä B voi aloittaa oman yrittämisensä, jos A ei onnistu saamaan kuutosta ensimmäisellä heitollaan. Todennäköisyys että B voittaa on siis Todennäköisyys, että kumpikaan ei voita on Tämän tuloksen voi laskea myös 5 6 657 1811 = 182 3579 =.323 1 657 1811 182 3579 = 214 639 =.3349 P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 ) = ( ) 6 5 = 214 6 639 =.3349 b) ja P (X Md(X)) = 1 2 eli E(X) = 3 x x2 9 dx = / 3 x 4 36 = 81 36 = 9 4 = 2.25 Md x 2 9 dx = / Md x 3 27 = Md3 27 = 1 2 Md(X) = 3 27 2 = 2.381
2. a) Heittopareja (X 1, X 2 ) on 36 erilaista ja ne ovat yhtätodennäköisiä. Seuraavassa taulukossa on koottuna uuden satunnaismuuttujan X = X 1 X 2 arvot X : n x 1 arvot 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 2 1 1 2 3 4 x 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 5 4 3 2 1 1 6 5 4 3 2 1 Tästä saadaan klassisen todennäköisyyden mukaan P (X > 2) = 6 36 = 1 6 b) P (X > 2) = 4 2 x 2 21 dx = / 4 2 x 3 63 = 56 63 = 8 9 =.889 c) Kertymäfunktion määritelmän mukaan P (X > 2) = 1 P (X 2) = 1 F (2) = 1 ln(2) =.37. d) Kun X Bin(3,.4), P (X > 2) = P (X = 3) = ( ) 3.4 3.6 =.64 3 e) X noudattaa jatkuvaa tasajakaumaa, ja koska f(x) = 1, täytyy otosavaruuden olla Ω = 3 [, 3] ja siis P (X > 2) = 1 3. f ) X t(8). Taulukosta nähdään, että P (X 1.99) = 1.25, joten P (X > 2).25.
3. Olkoon henkilöt A ja B sekä satunnaismuuttujat X ="A:n saapumisaika " ja Y ="B:n saapumisaika". Tällöin X Tas(12, 13) ja Y Tas(12, 13). Molempien satunnaismuuttujien tiheysfunktiot ovat f 1 (x) = 1 ja f 2 (y) = 1 ja otosavaruudet ovat Ω X = [12, 13] ja Ω Y = [12, 13]. Koska saapumisajat ovat riippumattomia, on yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) = 1 ja otosavaruus on Ω (x,y) = {(x, y) 12 x, y 13}. Kysytty tapahtuma on x y 1/6, joka on suorien y = x + 1/6 ja y = x 1/6 väliin jäävä alue otosavaruudessa. Koska tiheysfunktio f(x, y) = 1, on kysytyn tapahtuman todennäköisyys sama kuin sen pintaala. Kysytty todennäköisyys on siis P ( x y 1/6) = 1 2 ( 1 2 5 6 5 ) = 11 6 36
4. a) 2 eurolla saa 8 arpaa ja jokaisen arvan voittotodennäköisyys on.2. Näin X='Voittoarpojen lukumäärä' noudattaa jakaumaa X Bin(8,.2). Kun voitto on 1, henkilö voittaa vähintään 2, jos voittoarpoja on vähintään 2. Lasketaan siis todennäköisyys P (X 2) = 1 P (X < 2) X diskreetti = 1 P (X 1) 1 ( ) 8 = 1.2 x.8 8 x x x= ( ) ( ) 8 8 = 1.2.8 8.2 1.8 7 1 =.497 b) Toinen saa 2 eurolla 8 arpaa, jolloin X='Voittoarpojen lukumäärä' noudattaa jakaumaa X Bin(8,.2). Hänen pitäisi saada vähintään 2 voittoarpaa, jotta hän saisi omansa takaisin. Nyt voittoarpojen lukumäärä noudattaa likimäärin normaalijakaumaa X N(8.2, 8.2.8) = N(16, ). Koska diskreetti binomijakauma korvataan jatkuvalla normaalijakaumalla, tehdään myös tapahtumaan vastaava korjaus. Nyt kysytty todennäköisyys P (X 19.5) = 1 P (X < 19.5) = 1 P ( X 16 < ) 19.5 16 = 1 P (Z <.98) = 1 Φ(.98) = 1.8365 =.164 Jos jatkuvuuskorjausta ei tehdä, saadaan hieman eri tulos ( X 16 P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 P < ) 2 16 = 1 P (Z < 1.12) = 1 Φ(1.12) = 1.8686 =.131 Binomijakaumalla X Bin(8,.2) laskettaessa P (X 2) =.1634 (esim. laskurilla osoitteessa http://stattrek.com/tables/binomial.aspx). Näin jatkuvuuskorjattu vastaus on hyvin lähellä oikeaa arvoa.