1. a) Aineistot -osiosta löytyy kuntasektorin kuukausipalkat ammateittain vuonna 2016 (tehtava1a.ods).
|
|
- Esko Korpela
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiikan koe, Maa0 Todennäköisyys ja tilastot RATKAISUT Sievin lukio Maanantai VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN SITEN, ETTÄ OLET VASTANNUT TEHTÄVIIN JA 2. AINEISTOT-OSION TAULUKKOTIETOJA JA LASKINOHJELMISTOJA SAA KÄYTTÄÄ!. a) Aineistot -osiosta löytyy kuntasektorin kuukausipalkat ammateittain vuonna 206 (tehtavaa.ods). Määritä miesten 20 suurimman kuukausipalkan keskiarvo, moodi ja mediaani. (Huom. Muista lajitella/valita oikeat tiedot ja hyödyntää Calc:n taulukkolaskentakomentoja =KESKIARVO, =MOODI, =MEDIAANI jne.) Muodosta lisäksi naisten 20 pienimmästä kuukausipalkasta (tehtavaa2.ods). histogrammi siten, että muodostat kuusi tasalevyistä luokkaa. Piirrä siis pylväät niin, että pylvään korkeus kuvaa ko. luokkaan kuuluvien työntekijöiden lukumäärää sekä pylvään keskikohtana on luokkakeskus. Ennen varsinaista kaavion tekoa tulisi näyttää oikealla olevan kuvan mukaisesti. b) Suunnistusseurassa on miestä ja 8 naista. Kuinka monella eri tavalla he voivat valita seitsenhenkisen viestijoukkueen, jonka juoksujärjestyksessä sukupuolet vuorottelevat? a) Ratkaisut riittää tehdä Libre Officen Calc ohjelmalla. Tai jollakin muulla. Lajittelu ja valinta helpointa tehdä Librellä. Keskiarvo 6952,8, moodia ei ole ja mediaani 647,5. Katso kuva alla. Tarkemmin: Voisi ottaa frekvenssit mukaan eli laskea lukumäärät, jolloin saisi myös moodin jne mutta tämä riittää.
2 Naisten tapauksessa saadaan luokat ja luokkakeskukset sekä frekvenssit. Huomaa, että osaan luokkiin kuuluu vain yksi ammatti! b) Löytyy kaksi eri tapaa tehdä joukkue:. tapa: miespuolinen aloittaa viestin. Tällöin - ensimmäisen osuuden mies voidaan valita eri tavalla - toisen osuuden nainen voidaan valita 8 eri tavalla - kolmannen osuuden mies voidaan valita 2 eri tavalla (koska yksi mies on jo valittu.osuudelle) - neljännen osuuden nainen voidaan valita 7 eri tavalla (yksi nainen on jo valittu 2.osuudelle) - jne., jolloin tuloperiaatetta hyödyntäen saadaan vaihtoehtoja yhteensä (kun mies aloittaa)
3 = tapa: naispuolinen aloittaa viestin. Tällöin - ensimmäisen osuuden nainen voidaan valita 8 eri tavalla - toisen osuuden mies voidaan valita eri tavalla - kolmannen osuuden nainen voidaan valita 7 eri tavalla (yksi nainen on jo valittu.osuudelle) - neljännen osuuden mies voidaan valita 2 eri tavalla (yksi mies on jo valittu 2.osuudelle) - jne., jolloin tuloperiaatetta hyödyntäen saadaan vaihtoehtoja yhteensä (kun nainen aloittaa) = Yhteensä eri vaihtoehtoja muodostaa seitsenhenkinen viestijoukkue = a) Selitä lyhyesti käsitteet permutaatio ja satunnaismuuttuja. Voit antaa myös esimerkkejä. b) Laaduntarkastuksessa on todettu, että tuotantolaitoksen valmistamista tuotteista, 2 % on vääränvärisiä. Millä todennäköisyydellä 50 kappaleen rasiassa on ainakin kaksi tuotetta vääränvärisiä? Ilmoita laskukaava ja tulos. Eli laskut saat tehdä TI:n avulla tai Geogebran todennäköisyyslaskurin avulla (kunhan olet valinnut oikean jakauman). c) Pakattaessa tavaraa rasioihin on tavaran massa normaalijakautunut odotusarvona 200 g ja keskihajonnan ollessa g. i) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa rasiassa tavaran massa on välillä [99,20] (yksikkönä gramma)? ii) Mikä on todennäköisyys, että tavaran massa on pienempää kuin 95 g? Liitä vastaukseesi kuvia, joissa kohtien i) ja ii) todennäköisyyksiä vastaavat tiheysfunktion pinta-alat on merkittynä. Saat hyödyntää konetta. a) Permutaatio Permutaatio on tarkasteltavan joukon alkioista saatu järjestetty jono. Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja on otosavaruudessa määritelty reaaliarvoinen funktio x: E R.
4 b) Olkoon x rasiassa olevien väärän väristen tuotteiden lukumäärä. Tuotteiden pakkaaminen rasioihin voidaan mieltää toistokokeeksi, jossa toistojen lukumäärä on 50 ja väärän väristen tuotteiden todennäköisyys p = 0,02. Näin ollen x~bin(50; 0,02). Kun jakauma on saatu selville, voidaan todennäköisyys Ainakin kaksi tuotetta väärän väristä ratkaista: TAI koneella esim.. P(x 2) = P(x < 2) = P(x = 0) P(x = ) = ( 50 0 ) 0,020 0, ( 50 ) 0,02 0, = 0, ,02 0, ,5468 0,20 0,8789 0,20 0,2
5 c) i) Nyt siis x~n(200, ) ja kun jakauma tiedetään, niin voidaan todennäköisyydet määrittää. Voidaan suorittaa ensin normitus x z: z = x 200, jolloin z~n(0, ). Tällöin normitus x 200 P(99 x 20) = P ( ) = P ( z ) = Φ ( ) Φ ( ) = Φ ( ) ( Φ ( )) = 2Φ ( ) 2 0,629 tark.0,606 0,2586. tark.0,26 ii) Samalla idealla kuin i)-kohdassa normitus x 200 P(x 95) = P ( ) = P (z 5 ) = Φ ( 5 ) = Φ (5 ), 5,667 0,9525 tark.0,9520 0,0475. tark.0,048
6 . a) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f kuvaaja on y-akselin suhteen symmetrinen. Kuvaaja rajaa x-akselin kanssa välillä [ 2, ] alueen, jonka pinta-ala 0, 4. Vastaavasti funktion f kuvaajan ja xakselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 0, 68, kun x. Määritä i) P(X 0), ii) P(X ), iii) P( 2 < X 0) ja iv) P(X > 2)
7 b) Mikä on todennäköisyys saada alla olevan kuvion onnenpyörällä pisteluku 2 tai 6? c) Eräässä satunnaiskokeessa tapahtuman A todennäköisyys on 5 ja tapahtuman B todennäköisyys on 7. Osoita, että 5 P(A B). a) Kuvaajaa hyödyntäen (symmetria ja annetut pinta-alat) saadaan i) 2 = 0,5, ii) 4 25 = 6 2 = 0,6, iii) = = 0,48, iv) 50 = 2 00 = 0,02 b) Olkoon tapahtuma A: Saadaan pisteluku 2 tai 6. Tällöin tapahtuman A todennäköisyys on c) Nyt siis P(A) = = 7 60 = 0,25. P(A) = 5 ja P(B) = 7, joten yhteenlaskusäännöstä P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) saadaan P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Maksimissaan joukot A ja B ovat mahdollisimman erillään toisistaan ja koska P(A) + P(B) = = 2 > niin maksimissaan joukot peittävät koko perusjoukon E, eli A B = E, jolloin
8 P(A B) = P(E) =. Minimissään joukot A ja B ovat mahdollisimman lähellä toisiaan. Koska P(A) = 5 ja P(B) = 7 niin joukko A voi kuulua kokonaan joukon B sisään eli A B, jolloin P(A B) = P(B) = 7. Näin ollen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) = = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) 7 = = 5 eli P(A B) a) Elokuvateatterissa on vapaana 7 vierekkäistä numeroitua paikkaa. Kuinka monella eri tavalla 5 hengen seurue voi valita istumapaikkansa, kun Risto ja Kari eivät halua istua vierekkäisillä paikoilla? b) Teemu ja Maria olivat sopineet tapaavansa opettajanhuoneessa viimeisten tuntien päätyttyä kello 6:00-6:40. Molemmat saapuvat opettajanhuoneeseen sovittuna aikana satunnaiseen aikaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä i) molemmat saapuvat vasta kello 6:5 jälkeen ii) Teemu joutuu odottamaan Mariaa yli puolituntia iii) kumpikaan ei joudu odottamaan toista 0 minuuttia kauempaa? a) Yhteensä erilaisia vaihtoehtoja 5 hengen seurueella istuutua seitsemälle vierekkäiselle paikalle saadaan jonoajattelun eli permutaatioiden kautta. 5-permutaatio, kun perusjoukko on 7, eli 7 npr 5. Laskin antaa kappaletta. Kun Risto ja Kari eivät halua istua vierekkäisillä paikoilla, niin tarkastellaan tilannetta komplementin kautta. Eli määritetään ne vaihtoehdot, joissa Kari ja Risto istuvat vierekkäisillä paikoilla. Saadaan yhteensä 2 6 = 2 erilaista vaihtoehtoa miten Risto ja Kari voivat istua vierekkäin seitsemällä vierekkäisellä numeroidulla paikalla. Katso kuva alla
9 R K R K R K R K R K R K Yllä esitetty 6 vaihtoehtoa, mutta järjestys voisi olla yhtä hyvin Kari-Risto eli toiset 6 vaihtoehtoa lisää. Lopuksi muut voivat valita paikat vapaasti, eli seuraavalla on 5 vaihtoehtoa, sitä seuraavalla 4 jne. Loppujen lopuksi erilaisten vaihtoehtojen lukumäärä (joissa Risto ja Kari istuvat vierekkäin) on (2 6) 5 4 = 720. Näin ollen haluttujen vaihtoehtojen määrä on = 800. TAI Risto-Kari muodostaa yhden solun, jolloin erilaisia 4 solun jonoja kuudesta on npr(6,4) = 60. Koska Risto ja Karin muodostamassa solussa voi olla Risto-Kari tai Kari-Risto, niin 60 2 = 720 Näin ollen haluttujen vaihtoehtojen määrä on = 800. b) Olkoon x = Teemun tuloaika opehuoneeseen ja y = Mariann tuloaika opehuoneeseen.. Tällöin tarkasteltavan tapahtuman alkeistapaus on järjestetty pari, merk. (x, y), missä 0 x 40 ja samoin 0 y 40 arvot minuutteja. Perusjoukoksi E saadaan E = {(x, y) R 2 0 x 40, 0 y 40}.
10 i) Tapahtumalle A = molemmat saapuvat vasta kello 6:5 jälkeen. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon 5 x 40 ja 5 y 40. Näin ollen tilanne vastaa tummennettua neliötä (katso kuva), joten Siis M(E) = = 600 M(A) = (40 5)(40 5) = 25 5 = 625. P(A) = M(A) M(E) = = ,9. ii) Tapahtumalle B = Teemu joutuu odottamaan Mariaa yli puolituntia. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon, kun edellisen kohdan lisäksi merkitään Teemun saapumista x:llä (vaaka-akseli) ja Marian saapumista y:llä (pystyakseli). y x + 0. Alue vastaa kuvassa olevaa tummennettua kolmiota. Siis P(B) = M(B) M(E) = = 2 0,0. iii) Tapahtumalle C = kumpikaan ei joudu odottamaan toista 0 minuuttia kauempaa. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon, kun b)-kohdan mukaisesti merkitään Teemun saapumista x:llä (vaaka-akseli) ja Marian saapumista y:llä (pystyakseli) Toisin sanoen (aukaistaan itseisarvot) y x 0 (tai yhtä hyvin x y 0)
11 0 y x x y 0 + x. Kaksoisepäyhtälöstä saadaan kaksi suoraa y = 0 + x ja y = 0 + x, joiden välissä sallittujen y:n arvojen on oltava, koska epäyhtälö. Alue vastaa kuvassa olevaa tummennettua kolmiota. Siis P(C) = M(C) M(E) = ( 2 0 0) 600 = = 7 6 0, a) Määritä sellainen vakio a kymmenen desimaalin tarkkuudella, että funktio f: f(x) = { 2 ex, a, 2 e x, kun x ln 2 kun ln 2 < x ln 2 kun ln 2 < x on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Totea samalla, että f todella on tiheysfunktio ( ehtoa) ja piirrä tiheysfunktion f kuvaaja koneella. Liitä kuvia ratkaisuusi. b) Muodosta a) -kohdan tiheysfunktion f kertymäfunktio F. Määritä sitten todennäköisyydet P(X ln 2), P( 4 < X 4) ensin tiheysfunktion kuvaajaa käyttäen (liitä kuvaajan lisäksi koneen laskemia arvoja mukaan). Geogebrassa kannattanee valita alarajaksi esim. 000 todennäköisyyttä P(X ln 2) määritettäessä kuvaajan avulla. Sekä sitten kertymäfunktion F arvoja käyttäen. Hyödynnä arvoja laskettaessa konetta, mutta lausekkeet, joihin arvot sijoitat, tulee olla näkyvissä. a) Käydään kolme ehtoa läpi ja samalla määritetään vakion a arvo:
12 . Funktion f tulee olla ei-negatiivista kaikilla x R, joten a 0. Lisäksi, koska lausekkeet 2 e x ja 2 e x ovat positiivisia kaikilla x R, niin -ehto OK. Siis f(x) 0 x R. 2. Funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan on oltava tasan, joten saadaan ln 2 f(x) dx = x e dx + 2 ln 2 ln 2 laskin = ln 2 a + ehto 4 = a dx + ln 2 2 e x dx a = ln 2 = 2 ln 4 = 0, a 0, Funktiolla on kaksi epäjatkuvuuskohtaa, kohdat x = ln 2 ja x = ln 2, joten selvästi tämä kohta on OK. Kuvat alla.
13 Näin ollen tiheysfunktio f on muotoa f: f(x) = b) Muodostetaan kertymäfunktio F. 2 e x, kun x ln 2 0, , kun ln 2 < x ln 2 { 2 e x, kun ln 2 < x F: F(x) = { x x 2 et dt = 2 e x 2 e = 2 e x, kun x ln 2 F( ln 2) + 0,60 67 dt = + 0,60 67 x, kun ln 2 < x ln 2 4 x ln 2 F(ln 2) + 2 e t dt = 4 2 e x + 2 e ln 2 = 2 e x, ln 2 kun ln 2 < x Eli F: F(x) = { 2 e x, kun x ln 2 + 0,60 67 x, kun ln 2 < x ln e x, kun ln 2 < x Todennäköisyydet kuvaajan avulla hyödynnetään esim. Geogebraa. Ensin: P(X ln 2)
14 ja laskien P(X ln 2) = F( ln 2) = 2 e ln 2 = 4. Sitten P( 4 < X 4) ja laskien P( 4 < X 4) = F(4) F( 4) = 2 e 4 =F(4) 2 e 4 =F( 4) = 0,9868 0,98.
15 6. Pakkauksista 97, 7 % on massaltaan yli 460 grammaa ja alle 470 gramman pakkauksia on 5, 9 %. Tiedetään, että pakkausten massat noudattavat normaalijakaumaa. Määritä pakkausten keskimääräisen massan ja massan keskihajonnan i) likimääräiset arvot Geogebran todennäköisyyslaskurin avulla. Liitä kuvia mukaan ratkaisuusi. (2p) ii) viisidesimaaliset arvot laskien (välivaiheet) normittamalla satunnaismuuttuja X ="pakkauksen massa". (4p) Siis nyt sekä odotusarvo että keskihajonta ovat tuntemattomia. Eli X~N(μ, σ). Toisaalta tiedetään, että P(460 < X) = 0,977 ja P(X < 470) = 0,59 a) Koska annettu tiedot 460 ja 470 sekä vastaavat todennäköisyydet voidaan päätellä (suttupaperipiirrosten myötä, että μ > 470). Näin ollen tehdään kokeilua, jonka jälkeen (noin 0 min) havaitaan että μ 480 ja σ 0. Alla kuvat
16 b) Normitetaan satunnaismuuttuja X, jolloin Z = X μ ~N(0,) ja pätee 460 μ P(460 < X) = P ( < σ X μ P(X < 470) = P ( < σ σ X μ μ ) = P (460 < Z) = 0,977 σ σ 470 μ ) = P (Z < σ 470 μ ) = 0,59 σ Näin ollen saadaan todennäköisyyksistä (MAOL:n taulukkotiedot tai esim. TI:n invnorm(*,*,*)-komennolla) Tästä saadaan yhtälöpari muodostettua P(, < Z) = 0,977 P(Z < 0, ) = 0, μ =, { σ 470 μ = 0, σ x = 480, { y = 0, Siis, pakkausten keskimääräinen massa n. 480 g ja massan keskihajonta 0 g.
17 7. a) Arvioidaan, että erään lajin huippu-urheilijoista 0 % käyttää dopingaineita suorituksensa parantamiseen. Arvioidaan lisäksi, että dopingaineita käyttäneistä 98 % jää kiinni testissä ja että testitulos on %:n todennäköisyydellä positiivinen, vaikka urheilija ei olisikaan käyttänyt dopingia. Kuinka monta prosenttia testituloksista on positiivisia? b) Sienikurssilla opetettiin tunnistamaan 78 erilaista sientä, joista kurssilainen oppi kuitenkin vain 49. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän tunnisti oikein satunnaisesti esitetyt kuusi erilaista kurssilla opetettua sientä? [YO s996/7] a) Muodostetaan puumalli (esim TI:n virtapiiriä-widgettiä hyödyntäen.) Testitulos on positiivinen, jos urheilija käyttää ainetta ja jää kiinni testissä, sekä jos urheilija ei käytä ainetta, mutta testitulos on silti positiivinen. Nämä tapahtumat ovat erilliset. Yhteenlaskusäännön ja yleisen kertolaskusäännön avulla saadaan positiivisen testituloksen todennäköisyydeksi P("posit. tulos") = P("käyt. ") P("jää kiinni" " käyt. ") + P("ei käytä") P("testi pos. " "ei käytä") = 0,0 0,98 + 0,90 0,0 = 0,25 = 2,5 %. Testituloksista positiivisia on tämän perusteella 2,5 % %. b) Tarkastellaan vain osajoukkoja, ei sitä missä järjestyksessä sienet tulevat tunnistettavaksi. Näin ollen P("kuusi oikein") = (49 6 ) (78 49 ) 0 ( 78 6 ) = ( 49 6 ) (29 0 ) ( 78 6 ) = 0, ,054. TAI = ,054.
18 8. a) Kuvassa on satunnaismuuttujan X kertymäfunktion kuvaaja (kaksi eri tapausta i) ja ii)). Määritä pistetodennäköisyydet ja havainnollista niitä xy-koordinaatistossa. Käytä esim. Geogebrassa komentoa Pylväskaavio( <Datalista>, <Frekvenssilista>, <Palkin leveys> ), eli esim. Pylväskaavio({4, 5, 6, 7}, {0., 0.4, 0.2, 0.}, 0) ja voit sitten ominaisuuksista -> objektin tyyli -> viivan paksuus laittaa viivan paksuutta tarvittaessa lisää. Muista vastata molempiin kohtiin i) ja ii). b) Arpajaisissa on jäljellä kymmenen arpaa, joista neljässä on voitto. Määritä satunnaismuuttujan X ="voittoarpojen lukumäärä" odotusarvo ja keskihajonta, kun ostetaan kolme arpaa. a) Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktion arvojen välisestä etäisyydestä saadaan vastaavan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion arvot. Siis i)-kohdassa arvot ovat: p =, p 8 2 =, p 8 = ja p 8 4 =. Vastaavasti ii)-kohdassa arvot ovat: p 8 =, 0 p 2 =, p 0 = 6 ja p 0 4 = 2. Kuvaajat ovat alla. 0
19 b) Muodostetaan ensin pistetodennäköisyydet ja määritetään odotusarvo sekä keskihajonta tietysti vasta sitten. Pistetodennäköisyyksien yleinen kaava johon sijoittamalla i = 0,,2 ja, saadaan p 0 = (4 0 ) ( 6 0 ) Jakauma ( 0 ) = 6, p = ( P(X(e i ) = x i ) = p i = ( 4 ) ( 6 ) x i x i ( 0 ) = ( 4 ) ( 6 x i 20 4 ) ( 6 ) ( 0 ) = 2, p 2 = ( 4 ) 2 ( 6 x i ) ) 2 ( 0 ) = 0, p = ( 4 ) ( 6 ) ( 0 ) = 0 Odotusarvo ja keskihajonta μ = E(X) = x i p i i=0 = = 6 5 σ = D(X) = (x i μ) 2 p i i=0 = ( ) 6 + ( ) 2 + ( ) 0 + ( ) 0 = 4 25 = 4 5 0,749
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedotb) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?
MAA1-harjoituskoe RATKAISUT 1. Villellä on kaksi karkkipussia. Ensimmäisessä pussissa on 3 salmiakkiufoa, 2 merkkaria ja 5 liitulakua. Toisessa pussissa on 5 merkkaria, 3 liitulakua ja 4 hedelmäkarkkia.
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotTuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta
Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotA-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotMuista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedotikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %
Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotGeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus
GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotTehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)
1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotTilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut
TILASTO-OPPIA Tilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut Diskreetit jakaumat ja niiden esittäminen frekvenssitauluna ja kaaviona Jakauma on diskreetti jos tilastomuuttuja voi saada vain
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva
4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotTeema 7: Todennäköisyyksien laskentaa
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedot12 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA
12 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA ALOITA PERUSTEISTA 493A. a) Vaatekoon mahdollisia havaintoarvoja ovat esimerkiksi S, M, L tai 36, 42, 52. Tällaiset muuttujan arvot ovat diskreettejä. Vastaus: diskreetti b) Lämpötila-asteikko
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
Lisätiedot