MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
|
|
- Erkki Lahtinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015
2 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
3 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
4 Jatkuva satunnaisluku Satunnaisluku X on jatkuva, jos sen jakauma voidaan esittää tiheysfunktion f (x) 0 avulla muodossa Pr(X A) = f (x) dx, A R. Tällöin tapahtuman {X = a} todennäköisyys on Pr(X = a) = Pr(X {a}) = f (x) dx = 0. Onko tämä paradoksi? {X = a} on tapahtuma, että X :n arvo on reaaliluku a äärettömän monen desimaalin tarkkuudella. Jos f (a) > 0 ja f on jatkuva pisteessä a, niin A {a} Pr(X (a δ, a + δ)) = mielivaltaisen pienellä δ > 0. a+δ a δ f (x) dx 2δf (a) > 0.
5 Jatkuva tasajakauma Satunnaisluku eli reaaliarvoinen satunnaismuuttuja X noudattaa välin (a, b) tasajakaumaa, jos sillä on tiheysfunktio f (x) = { 1 b a, jos x (a, b), 0, muuten. Esim Merkitään luvulla θ sitä kulmaa, johon rulettipyörä yhden pelikierroksen jälkeen asettuu suhteessa edelliseen tilaansa. Tällöin θ noudattaa välin (0, 2π) tasajakaumaa ja todennäköisyys, että θ (0, π) on Pr(θ (0, π)) = π 0 f (x) dx = π 0 1 2π dx = π 2π = 1 2.
6 Kertymäfunktio Satunnaisluvun X kertymäfunktio F (x) = Pr(X x) kertoo, millä todennäköisyydellä X on enintään x. Tapahtuman {a < X b} tn saadaan kertymäfunktiosta kaavalla Pr(a < X b) = Pr(X b) Pr(X a) = F (b) F (a). Jatkuvan satunnaisluvun kertymäfunktio on tiheysfunktion integraali F (x) = Pr(X (, x]) = x tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta f (x) = F (x). f (t) dt,
7 Jatkuvan tasajakauman kertymäfunktio Satunnaisluku X noudattaa välin (a, b) tasajakaumaa, jos sillä on tiheysfunktio f (x) = { 1 b a, josx (a, b), 0, muuten. Lasketaan X :n kertymäfunktio: 0, kun x a, F (x) = Pr(X (a, x]) = x 1 x a a b a dt = b a, a < x < b, 1, x b.
8 Eksponenttijakauma Satunnaisluku X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan λ > 0, merkitään X Exp(λ), jos sillä on tiheysfunktio { λe λx, x > 0 f (x) = 0, muuten. X :n kertymäfunktio on { x F (x) = 0 λe λt dt = 1 e λx, x 0, 0, x < 0.
9 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
10 Odotusarvo Satunnaisluvun X odotusarvo E[X ] on ei-satunnainen luku, joka määräytyy X :n jakaumasta. Diskreetille satunnaisluvulle, jolla on pistetodennäköisyysfunktio f (x i ) ja arvojoukko {x 1, x 2,..., x n } tai {x 1, x 2, x 3,... }, E[X ] = i x i Pr(X = x i ) = i x i f (x i ). Jatkuvalle satunnaisluvulle, jolla on tiheysfunktio f (x), E[X ] = x f (x) dx. Huom Satunnaisluvulla X ei ole odotusarvoa, jos sen odotusarvon määritelmässä oleva summa tai integraali hajaantuu.
11 Esim. Nopan heitto Symmetrisen nopan tuottama silmäluku X noudattaa joukon {1,..., 6} tasajakaumaa ja X :n pistetodennäköisyysfunktio on Näin ollen X :n odotusarvo on f (k) = 1, k = 1,..., 6. 6 E[X ] = 6 k=1 kf (k) = = 3.5.
12 Esim. Eksponenttijakauma Jos X noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan λ > 0, on sillä tiheysfunktio { λe λx, x > 0 f (x) = 0, muuten. Näin ollen X :n odotusarvo on x f (x) dx = xλe λx dx = 0 0 x( e λx ) = e λx dx 0 = ( 1λ ) e λx = 1 λ. 0 0 ( e λx ) dx
13 Odotusarvon tulkinta Satunnaisluvun X odotusarvo µ = E[X ] voidaan tulkita seuraavan tärkeän tuloksen avulla. Fakta (Suurten lukujen laki) Jos X 1, X 2, X 3,... ovat riippumattomia satunnaislukuja, jotka noudattavat samaa jakaumaa kuin X, niin todennäköisyydellä 1 1 n n X i µ, kun n. i=1
14 Esim. Noppapeli Noppapelissä voittaa kierroksella i silmäluvun X i verran euroja. Yhden kierroksen odotettu tuotto on E[X i ] = 3.5 EUR. Tuotto suurelta määrältä n kierroksia on suurten lukujen lain mukaan likimain ( ) n 1 n X i = X i n 3.5n. n i=1 i=1
15 Odotusarvon lineaarisuus Kaikille satunnaisluvuille X ja Y ja ei-satunnaisille a R pätee E[a] = a, E[aX ] = a E[X ], E[X + Y ] = E[X ] + E[Y ]. Yleisemmin: [ n ] E a i X i = i=1 n a i E[X i ]. Esim Noppapelissä voittaa kierroksella i silmäluvun X i verran euroja. Tällöin n:n kierroksen tuoton odotusarvo on E[ n i=1 X i] = n i=1 E[X i] = 3.5n euroa. i=1
16 Satunnaismuuttujan muunnoksen odotusarvo Jos g on deterministinen funktio satunnaismuuttujan X :n arvojoukosta reaaliluvuille, niin g(x ) on satunnaisluku, joka liittää satunnaisilmiön realisaatioon s luvun g(x (s)). Satunnaisluvun g(x ) odotusarvo määräytyy funktiosta g ja X :n jakaumasta. Diskreetille satunnaismuuttujalle X, jolla on pistetodennäköisyysfunktio f (x i ), E[g(X )] = i g(x i ) Pr(X = x i ) = i g(x i )f (x i ). Jatkuvalle satunnaisluvulle X, jolla on tiheysfunktio f (x), E[g(X )] = g(x) f (x) dx.
17 Esim. Nopan neliö Olkoon X symmetrisen nopan heiton silmäluku ja g(x) = x 2. Tällöin satunnaisluvun g(x ) = X 2 odotusarvo on 6 g(k)f (k) = k=1 6 k=1 k = = 91 6 = 151 6
18 Varianssi ja keskihajonta Satunnaisluvun X varianssi on ei-satunnainen luku Var(X ) = E [ (X µ) 2], missä µ = E[X ]. Diskreetille satunnaismuuttujalle X, jolla on pistetodennäköisyysfunktio f (x i ), Var(X ) = i (x i µ) 2 Pr(X = x i ) = i (x i µ) 2 f (x i ). Jatkuvalle satunnaisluvulle X, jolla on tiheysfunktio f (x), Var(X ) = (x µ) 2 f (x) dx. Varianssi Var(X ) ja keskihajonta Var(X ) kuvastavat miten paljon X tyypillisesti poikkeaa odotusarvostaan.
19 Varianssin laskusääntöjä Satunnaisluvulle X, jolla on odotusarvo µ = E[X ], pätee Var(X ) = E [ X 2] µ 2, Var(aX ) = a 2 Var(X ), a R. Var(a) = 0. Var(a + X ) = Var(X ). Luku E [ X 2] on X :n toinen momentti. Jos X ja Y ovat tilastollisesti riippumattomat, pätee lisäksi Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ). Yleisemmin, jos X 1,..., X n ovat tilastollisesti riippumattomat, pätee ( n ) n Var a i X i = ai 2 Var(X i ). i=1 i=1
20 Esm. Noppapeli Pelataan 100 kierrosta noppapeliä. Mitkä ovat kertyneen tuoton Y = X X 100 odotusarvo, varianssi ja keskihajonta? Koska µ = E[X i ] = 3.5 ja E [ Xi 2 ] = , on yhden kierroksen tuoton varianssi Var(X i ) = E [ Xi 2 ] µ 2 = (3.5) Odotusarvon lineaarisuudesta E[Y ] = = 350. Koska nopanheitot ovat tilastollisesti riippumattomia, on Y :n varianssi Var(Y ) = Var ( 100 ) 100 X i = Var(X i ) 292. i=1 i=1 Y :n keskihajonta on siis Var(Y )
21 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
22 Todennäköisyydet generoiva funktio Jos X : S N on ei-negatiivinen satunnainen kokonaisluku ja f sen ptnf, niin satunnaismuuttujan X todennäköisyydet generoiva funktio (tngf) määritellään asettamalla G X (t) = E[t X ] = t k f (k) k=0 kaikilla t R, joilla oikeanpuoleinen sarja suppenee.
23 Esim. Geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja Joukon 1, 2,... geometrisen jakauman onnistumis-tn:llä p (0, 1) määrää ptnf f (k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,... Oletetaan, että f määrää satunnaismuuttujan X jakauman. Silloin satunnaismuuttujan X tngf on G X (t) = t k f (k) = k=0 t k (1 p) k 1 ( ) k p = pt t(1 p) k=1 k=0 Oikeanpuoleinen sarja suppenee, kun (1 p) t < 1 ja hajaantuu muulloin. Näin ollen G X (t) = pt 1 (1 p)t, t < 1 1 p.
24 Faktoja Todennäköisyydet generoivan funktion tarkasteluun tarvitaan seuraavia tuloksia, jotka todistetaan kurssilla MS-A0101 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. On olemassa sellainen R 0, että G X (t) suppenee aina kun t < R ja hajaantuu aina kun t > R. Kyseinen luku R on nimeltään sarjan G X (t) suppenemissäde. Funktiolla G X on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat välillä ( R, R) ja potenssisarjan G X (t) voi derivoida termeittäin mielivaltaisen monta kertaa aina kun t < R. G X (t):n derivaattaa vastaavalla sarjalla k=1 ktk 1 f (k) on sama suppenemissäde kuin G X (t):n potenssisarjalla.
25 Tng-funktio määrää jakauman Ei-negatiivisen satunnaisen kokonaisluvun X tngf G X on aina määritelty joukossa [ 1, 1] ja se määrää X :n jakauman f yksikäsitteisesti kaavalla f (k) = G (k) X (0), k = 0, 1, 2,..., k! missä G (k) X on funktion G X k:s derivaatta. Tämän todistaminen on yksinkertaista edellä mainittujen faktojen avulla (HT).
26 Olkoon X positiivinen kokonaislukuarvoinen kokonaisluku ja oletetaan, että sen tngf G X on määritelty pisteessä t 0 > 1. Silloin X :n odotusarvo ja varianssi ovat äärellisiä ja ne voidaan laskea kaavoilla E[X ] = G X (1) ja Var(X ) = G X (1) + G X (1) G X (1)2. Todistuksen idea: derivoimalla saadaan joten G X (t) = k=1 kt k 1 f (k) G X (1) = k=1 kf (k) = E[X ] G X (t) = k=2 k(k 1)t k 1 f (k), G X (1) = k=2(k 2 k)f (k) = E [ X 2 X ] = E [ X 2] E [ X ].
27 Esim. Geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja Olkoon X geometrista jakaumaa hyväksymistodennäköisyydellä p (0, 1) noudattava satunnainen kokonaisluku. Silloin X :n odotusarvo ja varianssi saadaan laskettua helposti tngf:n G X (t) = G X (t) = d dt niin pt 1 (1 p)t avulla: Merkitään q = 1 p. Koska pt 1 (1 p)t E[X ] = G X (1) = = p(1 qt) ( q)(pt) (1 qt) 2 = p (1 q) 2 = p (1 (1 p)) 2 = 1 p. Varianssin laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi. p (1 qt) 2,
28 Momentit generoiva funktio Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä ainoastaan satunnaisille positiivisille kokonaisluvuille, joka on erittäin rajoittava ehto. Myös jatkuville satunnaismuuttujeille voidaan kuitenkin määritellä momentit generoiva funktio, mgf M X (t) = E [ e tx ], kunhan oikeanpuoleinen odotusarvo on äärellinen.
29 Momentit generoiva funktio Mgf määrää jakauman yksikäsitteisesti, kuten tngf, ja sen avulla voidaan laskea funktion momentit: eksponenttifunktion sarjakehitelmästä saadaan M X (t) = 1 + t E[X ] + t2 E [ X 2] 2! + t3 E [ X 3] , josta nähdään, että X :n momentit E [ X k] saadaan laskettua mgf:n derivaattojen avulla sijoittamalla t = 0: missä M (k) X E[X ] = M X (0) E [ X 2] = M X (0). E [ X 2] = M (k) X (0), on funktion M X k:s derivaatta.
30 Karakteristinen funktio Momentit generoivaa funktiotakaan ei voi määritellä satunnaismuuttujille, joiden momentit kasvavat nopeasti. Kaikille satunnaismuuttujille on kuitenkin olemassa karakterisitinen funktio ϕ X (t) = E [ e itx ], missä i on imaginaariyksikkö, i 2 = 1. Karakteristinen funktio määrää jakauman yksikäsitteisesti, kuten tngf, mutta sen käyttö vaatii kompeleksianalyysin tuntemusta.
31 Satunnaisluvut yhteenveto Diskreetti satunnaisluku Esim. diskreetti tasajakauma, binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktio f (x i ) määrää jakauman Tiheysfunktiota ei ole olemassa Pr(X A) = E g(x ) = i i:x i A f (x i ) g(x i ) f (x i ) Jatkuva satunnaisluku Esim. välin tasajakauma, eksponenttijakauma Pistetodennäköisyysfunktio identtisesti nolla Tiheysfunktio f (x) määrää jakauman Pr(X A) = E g(x ) = A f (x) dx g(x) f (x) dx
32 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
33 Yksinkertainen satunnaisotanta Halutaan selvittää, kuinka moni perusjoukon S alkioista kuuluu osajoukooon A. Esim Miten moni tietyn valmistuserän tuotteista on viallisia? Kuinka moni suomalainen kantaa tietylle sairaudelle altistavaa geeniä? Kuinka suuri osuus suomalaisista seuraa Salattuja elämiä? Tutkitaan n satunnaisesti valittua perusjoukon alkioita, ja tehdään tämän pohjalta estimaatti osajoukon A todelliselle koolle.
34 Yhden alkion satunnaisotanta Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti yksi alkio. Kirjataan otannan tulos muodossa { 1, jos poimittu alkio A, X = 0, muuten. Fakta Diskreetti satunnaisluku X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p = A S, pistetodennäköisyysfunktio on { 1 p, k = 0, f (k) = p, k = 1.
35 Bernoulli-jakauma f (k) = { 1 p, k = 0, p, k = 1. Bernoulli-jakauman ptnf, p = 0.3
36 Bernoulli-jakauman tunnusluvut X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p, jos X :n arvojoukko on {0, 1} ja pistetodenäköisyysfunktio on { 1 p, k = 0, f (k) = Pr(X = k) = Lasketaan X :n odotusarvo ja varianssi: Var(X ) = µ = E(X ) = p, k = 1. 1 kf (k) = 0 f (0) + 1 f (1) = p. k=0 1 (k µ) 2 f (k) = (0 µ) 2 (1 p) + (1 µ) 2 p k=0 = p 2 (1 p) + (1 p) 2 p ( ) = p(1 p) p + (1 p) = p(1 p).
37 Satunnaisotanta palauttaen Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti yksi alkio, tutkitaan kuuluuko se joukkoon A ja palautetaan se perusjoukkoon. Toistetaan tämä n kertaa. X = Osajoukkoon A kuuluvien havaintojen lukumäärä Fakta Diskreetti satunnaisluku X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p = A S ; pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n f (k) = p k (1 p) n k, 0 k n. k
38 Binomijakauma f (k) = ( ) n p k (1 p) n k k Binomijakauman ptnf, n = 15, p = 0.3 Huom Kun n = 1, saadaan Bernoulli-jakauma parametrilla p.
39 Binomijakauman tunnusluvut Diskreetti satunnaisluku X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p; pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n f (k) = p k (1 p) n k, 0 k n. k Lasketaan X :n odotusarvo ja varianssi. Kirjoitetaan X = n k=1 θ k, missä θ 1, θ 2,... ovat riippumattomia ja Bernoulli-jakautuneita parametrinaan p. Tällöin E(X ) = n E(θ k ) = np. k=1 n Var(X ) = Var(θ k ) = np(1 p). k=1
40 Satunnaisotanta ilman palautusta Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti n:n alkion otos. Kuinka moni otoksen alkio kuuluu osajoukkoon A? X = Osajoukkoon A kuuluvien alkioiden lukumäärä otoksessa Fakta Diskreetti satunnaisluku X noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreinaan N, K, n, missä N = S ja K = A ; pistetodennäköisyysfunktio on ( K )( N K ) k n k f (k) = ( N, max(0, n + K N) k min(n, K), n) missä N = S ja K = A.
41 Hypergeometrinen jakauma f (k) = ( K )( N K ) k n k ( N n) Hypergeometrisen jakauman ptnf, N = 100, K = 30, n = 15
42 Hypergeometrinen jakauma vs. binomijakauma HGeom(N, K, n) Bin(n, K/N), kun otantasuhde n N on pieni, eli kun otoksen koko on pieni suhteessa perusjoukon kokoon. E(X ) = np Var(X ) = np(1 p) ( ) n f (k) = p k (1 p) n k k E(X ) = np Var(X ) = np (1 p) ( K )( N K ) k n k f (k) = ( N n) ( ) N n N 1
43 Satunnaisotanta Yhteenveto Perusjoukko kokoa N = S. Osajoukko kokoa K = A. Osajoukon A suhteellinen koko p = K N. Yhden alkion satunnaisotos Bernoulli-jakauma Ber(p) n:n alkion satunnaisotanta palauttaen Binomijakauma Bin(n, p) n:n alkion satunnaisotanta palauttamatta Hypergeometrinen jakauma HGeom(N, K, n). Jos otantasuhde n/n on pieni, pätee approksimaatio HGeom(N, K, n) Bin(n, p), jolloin satunnaisotantaa ilman palautusta voidaan analysoida kuten satunnaisotantaa palauttaen.
44 Sisältö Jatkuvat satunnaisluvut Odotusarvo ja varianssi Generoivat funktiot Satunnaisotanta Normaalijakauma
45 Binomijakauma suurilla n:n arvoilla Diskreetti satunnaisluku X noudattaa Bin(n, p)-jakamaa, missä n = ja p = 0.3. Mikä on tn, että X on suurempi kuin 5000? Laske Pr(X > 5000) = k=5001 ( k ) 0.3 k k. Kokeillaan R:llä: sum(dbinom(5001:10000,10000,0.3)) = 0
46 ... Binomijakauma suurilla n:n arvoilla Ptnf välillä [0, 10000] n = 10000, p = 0.3. Odotusarvo µ = np = 3000 Keskihajonta σ = np(1 p) = Ptnf välillä [2725, 3275] n = 10000, p = 0.3.
47 Normaalijakauma Jatkuva satunnaisluku X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2, merkitään X N(µ, σ 2 ), jos sillä on tiheysfunktio f (x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2. 2πσ 2 Tällöin X :n odotusarvo on µ ja varianssi σ 2. Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktio on ja kertymäfunktio on Φ(z) = f (x) = 1 2π e x2 2. z 1 2π e x2 2 dx.
48 Normaaliapproksimaatio Fakta (Keskeinen raja-arvolause) Jos X 1, X 2, X 3,... ovat riippumattomia satunnaislukuja, jotka noudattavat samaa jakaumaa kuin X, jolla on odotusarvo µ ja varianssi σ 2, niin niin todennäköisyydellä 1 ( 1 n ( ) ) Xi µ Pr z Φ(z) kun n. n σ i=1 Merkitään Z N(0, 1): n i=1 X i nµ + nσz, kun n Bin(n, p) np + np(1 p)z, kun n on iso ja p ei liian lähellä nollaa tai ykköstä.
49 Normaalijakauman affiini muunnos Jos X on normaalijakautunut parametrein µ X ja σx 2, niin tällöin myös Y = a + bx on normaalijakautunut parametrein µ Y = E(a + bx ) = a + b E(X ) = a + bµ X σ 2 Y = Var(a + bx ) = Var(a) + Var(bX ) = b2 Var(X )
50 Normaalijakauman standardointi Jos X noudattaa N(µ, σ 2 )-jakaumaa, niin tällöin Z = X µ σ noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1) ja tapahtuman a < X < b todennäköisyys on ( a µ Pr(a < X < b) = Pr < X µ < b µ ) σ σ σ ( a µ = Pr < Z < b µ ) σ σ ( = Pr Z b µ ) ( Pr Z a µ ) σ σ ( ) ( ) b µ a µ = Φ Φ. σ σ
51 Ensi viikolla tutustumme satunnaisvektoreihin ja moniulotteisiin jakaumiin...
52 Aineistolähteet Luentokalvot pohjautuvat osittain kurssin edellisten vuosien (Ilkka Mellin, Milla Kibble, Juuso Liesiö) luentokalvoihin.
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo
4 Odotusarvo Seuraavaksi kertaamme, miten satunnaismuuttujan odotusarvo (sv. väntevärde) määritellään diskreetissä ja jatkuvassa tapauksessa. Odotusarvolle käytetään englannikielisessä kirjallisuudessa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia
5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia Jakaumista löytyy lisätietoja ja kuvaajia Wikipediasta. Kirjallisuudessa käytetään useille näistä jakaumista monia erilaisia parametrointeja. Kussakin lähteessä käytetty
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
Lisätiedot