Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Transkriptio

1 Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

2

3 Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin Tampereen yliopistossa. Aineopintotasoinen matemaattisen tilastotieteen opintojakso voidaan suorittaa heti 2. opiskeluvuoden syksyllä tilastotieteen ja analyysin perusopintojen jälkeen. Moniste on tarkoitettu luentoihin liittyväksi oheismateriaaliksi ja on siis viimeistelemätön kehitysversio. Opetuksessa on kuitenkin hyödyllistä, että voidaan viitata tiettyyn perusmateriaaliin. Lukuihin on liitetty jonkin verran harjoituksia, mutta kurssin aikana niitä tulee jatkuvasti lisää. Asioiden omaksuminen onnistuu parhaiten tekemällä harjoituksia ja ne antavat myös viitteen siitä, millaisia asioita edellytetään hallittavan kurssin väli- ja loppukokeissa. Jarmo Niemelää kiitän erittäin asiantuntevasta avusta monisteen teknisessä toteuttamisessa L A TEXilla. Tampereella 9. syyskuuta 2005 Erkki Liski iii

4 iv Sisältö

5 Sisältö Alkusanat iv 1 Johdanto Todennäköisyys ja tilastotiede Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Todennäköisyysmallit Satunnaiskoe Joukko-operaatiot Todennäköisyys Äärettömät otosavaruudet Todennäköisyyden tulkinnat Ehdollinen todennäköisyys Ehdollisen todennäköisyyden frekvenssitulkinta Kertolaskusääntö Riippumattomuus Odotetut frekvenssit Yhteenveto Harjoituksia Todennäköisyyslaskenta ja kombinatoriikka Todennäköisyyden ominaisuuksia Symmetriaan perustuva todennäköisyys Aksiomaattinen lähestymistapa Kombinatoriikkaa Summa- ja tuloperiaate Valinta järjestyksessä Osajoukon valinta Otanta palauttaen, kun järjestystä ei oteta huomioon Kombinatoriikan merkintöjä ja identiteettejä Binomilause, hypergeometrinen identiteetti ja multinomilause Gammafunktio Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttujan jakauma Kertymäfunktio v

6 vi Sisältö Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio Diskreetti tasajakauma Otanta palauttamatta Hypergeometrinen jakauma Tarkistusotanta teollisuudessa Otanta palauttaen Binomijakauma Binomijakauma hypergeometrisen jakauman likiarvona Todennäköisyyden yleiset aksioomat Yhteenveto Harjoituksia Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Ehdollinen todennäköisyys Todennäköisyyksien tulosääntö Riippumattomuus Joukko-oppi ja todennäköisyys Ehdolliset jakaumat Satunnaismuuttujien ominaisuuksia Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo Ehdollisen jakauman odotusarvo Satunnaismuuttujan varianssi Kovarianssi ja korrelaatio Satunnaismuuttujan funktion jakauma Identtisesti jakautuneet satunnaismuuttujat Satunnaismuuttujien riippumattomuus Useiden satunnaismuuttujien riippumattomuus Suurten lukujen laki Generoivat funktiot ja momentit Momentit Momenttifunktio Todennäköisyydet generoiva funktio (tgf) Kokeiden yhdistäminen ja tulomallit Yleinen tulokaava Bayesin lause Peräkkäisotanta Usean tapahtuman unionin todennäköisyys Yhteenveto Harjoituksia Diskreetit jakaumat Diskreetti satunnaismuuttuja Bernoullin kokeet ja binomijakauma Odotusaikojen jakaumat Odotusajat Bernoullin kokeissa

7 Sisältö vii Geometrinen jakauma ja negatiivinen binomijakauma Odotusajat peräkkäisotannassa Hypergeometrinen jakauma ja negatiivinen hypergeometrinen jakauma Tasajakauma Poissonin jakauma Poissonin prosessi Laskuriprosessi Poissonin prosessin määritely Satunnaistapahtumat tila-avaruudessa Kaksiulotteiset jakaumat Reunajakauma ja ehdollinen jakauma Satunnaismuuttujien funktion jakauma Ehdollinen odotusarvo Symmetrinen jakauma Kaksiulotteinen Bernoullin jakauma Satunnaismuuttujien funktion odotusarvo Momentit Satunnaisvektorin momenttifunktio Riippumattomat satunnaismuuttujat Riippumattomat kokeet Samoin jakautuneet riippumattomat (SJR) satunnaismuuttujat Riippumattomien satunnaismuuttujien funktio Multinomijakauma ja moniulotteinen hypergeometrinen jakauma Yhteenveto Harjoituksia Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Tasajakauma ja eksponenttijakauma Tasajakauma Eksponenttijakauma Elinaikajakauma Gammajakauma ja χ 2 -jakauma Normaalijakauma Standardimuotoinen normaalijakauma Yleinen normaalijakauma Muuttujien vaihto Muunnos kertymäfunktio avulla Muunnos tiheysfunktion avulla Normaalimuuttujan muunnokset Satunnaismuuttujan odotusarvo Momentifunktio ja momentit

8 viii Sisältö 5.7 Kaksiulotteiset jakaumat Reunajakauma ja ehdollinen jakauma Yhteisjakauman momenttifunktio Kahden muuttujan normaalijakauma Standardimuoto Korreloivat muuttujat Satunnaisvektoreiden muunnokset Yleinen kahden muuttujan normaalijakauma Studentin t-jakauma, F-jakauma ja beta-jakauma Hierarkkiset mallit ja yhdistetyt jakaumat Yhteenveto Harjoituksia Otantajakaumien teoria Riippumattomat satunnaismuuttujat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaan liittyvät jakaumat Järjestyssuureet Maksimi ja minimi Järjestyssuureen X (k) jakauma Keskeinen rajaväittämä Jakaumien likiarvot normaalijakauman avulla t-jakauma ja F-jakauma Momenttifunktion rajafunktiot Suppenemiskäsitteet Estimaattorit Estimaattoreiden ominaisuuksia Delta-menetelmä