Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi

Transkriptio

1 TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti todennäköisyysjakaumia voidaan esittää/luonnehtia tunnusluvuilla. Esimerkki Tarkastellaan noanheittoa, kun satunnaismuuttujana x on noan silmäluku (eli x on funktio, joka liittää noan silmälukuun sen lukuarvon) E x x 0 x = x = x = x = R Nyt = P x = satunnaismuuttuja x on tasajakautunut. Saadaan keskiarvo: x + x + + x = ja vastaavasti = = = = = eli = = kertomalla satunnaismuuttujan x x arvot vastaavilla istetodennäköisyyksillä ja laskemalla tulot yhteen. Tätä keskiarvoa sanotaan odotusarvoksi. Määritelmä, diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo: Olkoot diskreetin satunnaismuuttujan x arvot x, x,, x n ja vastaavat istetodennäköisyydet,,, n. Tällöin tämän sat.muuttujan odotusarvo on E x = μ = x + x + + n x n = i x i. n i=

2 Merkki μ lausutaan: myy. Odotusarvo on soiva luku kuvaamaan jakauman keskikohtaa. Myös merkinnät Ex tai Ex ovat käytössä. (Eräänä suosituksena olisi käyttää vahvennettua E-kirjainta E erotuksena otosavaruuden E symbolista.) Määritelmä, diskreetin satunnaismuuttujan keskihajonta ja varianssi: Olkoot diskreetin satunnaismuuttujan x arvot x, x,, x n ja vastaavat istetodennäköisyydet,,, n sekä odotusarvo μ. Tällöin tämän satunnaismuuttujan keskihajonta on Dx = σ = x μ + x μ + + n x n μ n = i x i μ i= Keskihajonnan neliö D x = σ on satunnaismuuttujan x varianssi. Myös merkintöjä Dx ja D x käytetään. Esimerkki: Määritä/Laske satunnaismuuttujien x ja y keskihajonnat ja varianssit, kun näiden satunnaismuuttujien jakaumat ovat x k 0 y k 0 k k Nyt x on tasajakautunut ja y on binomijakautunut satunnaismuuttuja. 0 x 0 y Havaitaan, että satunnaismuuttujien odotusarvot ovat samat,, vaikka selvästi ne ovat eri tavoin jakautuneet. Laskemalla saadaan (kannattaa laskea ensin varianssit, josta neliöjuuren otto antaa keskihajonnat): 0 0 0

3 D x = σ = 0, +, + +, = 7,,9 Dx = σ = D x = 7,,7 D y = σ = 0, +, + +, = 0, Dy = σ = D y = 0, Havaitaan, Dx > Dy, eli x:n arvot ovat hajaantuneet enemmän, OK. Edellä vilahti sana binomijakauma ( binomijakautunut ). Mitä se on? Binomijakauma Kertausta: Binomitodennäköisyyttä voitiin hyödyntää toistokokeissa. Jos taahtuman A todennäköisyys on, eli P A =, niin P A = =: q. Toistetaan tarkasteltavaa koetta n kertaa, jolloin taahtuman A esiintymiskertojen lukumäärää voidaan tarkastella satunnaismuuttujana x. Mahdollisia x:n arvoja ovat siis 0,,,, n. Näitä arvoja vastaa todennäköisyydet P x = k = n k k n k = n k k q n k Saadaan binomijakautunut satunnaismuuttuja x, merk. x~bin n,. Määritelmä, binomijakauma ja sen odotusarvo/keskihajonta: Satunnaismuuttuja x noudattaa binomijakaumaa arametrein n,, jos sen arvot ovat x 0 = 0, x =,, x n = n ja vastaavat todennäköisyydet ovat k = P x = k = n k k n k, missä k = 0,,, n.

4 Binomijakautuneen satunnaismuuttujan x odotusarvolle ja keskihajonnalle voidaan johtaa lausekkeet μ = E x = n ja σ = Dx = n = nq Esimerkki: Olkoot erään veikkauksen tulosvaihtoehdot, x, yhtä todennäköisiä. Veikataan neljää kohdetta. a) Muodosta satunnaismuuttujan x= ristien lukumäärä jakauma b) Esitä jakauma histogrammina, viivadiagrammina c) Laske satunnaismuuttujan x odotusarvo ja keskihajonta a) Koska eri veikkauskohteilla ei ole vaikutusta toisiin, niin veikkausta voidaan itää toistokokeena ja satunnaismuuttujaa x binomijakautuneena. Mahdolliset x:n arvot (ristien lukumäärät) ovat Binomitodennäköisyyden nojalla k = P x = k = k A x = 0,,,,. k k, k = 0,,,, Joten 0 = P x = 0 = 0 = P x = = = P x = = = P x = = = P x = = 0 0 = 0,9 = 0,9 = 0,9 = 0,09 = 0,0

5 x 0 x c) x~bin,, joten ja μ = E x = n = = σ = Dx = nq = = 9 = 0, x