Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
|
|
- Heikki Kyllönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Satunnaisvektori on järjestetty lista ( 1,..., n ) reaaliarvoisia perusjoukolla S määriteltyjä satunnaismuuttujia eli mitallinen kuvaus perusjoukosta S n-ulotteiseen reaaliavaruuteen R n. Satunnaisvektorin ( 1,..., n ) jakauma eli satunnaismuuttujien 1,..., n yhteisjakauma B Pr( ( 1,..., n ) B ) kertoo, millä todennäköisyydellä vektori ( 1,..., n ) kuuluu joukkoon B. Satunnaismuuttujien 1,..., n yhteisjakauma on joukon R n todennäköisyysjakauma. hteisjakauman i:s reunajakauma on satunnaismuuttujan i jakauma. Kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Jatkossa rajoitutaan kaksiulotteisiin satunnaisvektoreihin (,), sillä niistä voi puhua ja kirjoittaa ilman hankalia indeksimerkintöjä. Käytännön tilanteissa on helppo päätellä, miten kaksiulotteisille satunnaisvektoreille ja jakaumille johdetut tulokset yleistyvät usampiulotteisiin tapauksiin. Kaksiulotteisen satunnaisvektorin (,) jakauma eli satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma B P (B) = Pr( (,) B ) kertoo, millä todennäköisyydellä vektori eli lukupari (,) kuuluu joukkoon B. llä määritelty P on avaruuden R todennäköisyysjakauma. Jakauman P ensimmäinen reunajakauma A P (A R) = Pr( (,) A R ) = Pr( A ) kertoo, millä todennäköisyydellä satunnaisluku kuuluu joukkoon A, ja toinen reunajakauma A P (R A) = Pr( (,) R A) = Pr( A ) kertoo, millä todennäköisyydellä satunnaisluku kuuluu joukkoon A. Satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat siis samat kuin yhteisjakauman P reunajakaumat. Diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakauma Satunnaisvektori (,) on diskreetti, jos sen komponentit ovat diskreettejä satunnaismuuttujia eli niiden arvojoukot voidaan numeroida äärellisenä tai äärettömänä listana. Diskreetin satunnaisvektorin (,) jakauma eli satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma voidaan määrittää funktiosta käyttämällä kaavaa f (x,y) = Pr(=x, =y) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3
2 Pr((, ) B)) = f(x, y). ( x,y) B llämääritelty funktio f on diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio eli :n ja :n yhteispistetodennäköisyysfunktio. Diskreetin yhteisjakauman reunajakaumat Pistetodennäköisyysfunktion f (x,y) reunapistetodennäköisyysfunktiot määritellään kaavoilla f (x) = f (x, y), y f ( y) = f (x, y). x Jos f on diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio, niin tällöin sitä vastaavat reunapistetodennäköisyysfunktiot f ja f ovat :n ja :n pistetodennäköisyysfunktiot, eli pätee ja Pr(=x) = f (x) = f (x, y) Pr(=y) = f ( y) = f (x, y). y x Huom. Kahden diskreetin satunnaismuuttujan yhteisjakauma on aina diskreetti Jatkuvien satunnaislukujen yhteisjakauma Satunnaisvektori (,) on jatkuva, jos sen jakauma eli satunnaislukujen ja yhteisjakauma voidaan esittää funktion f (x,y) 0 integraalina avulla muodossa Pr(a b ja c d) = b a d c f (x, y)dy dx Funktio f on satunnaisvektorin (,) tiheysfunktio eli satunnaislukujen ja yhteistiheysfunktio. Jatkuvan yhteisjakauman reunajakaumat Tiheysfunktion f (x,y) reunatiheysfunktiot määritellään kaavoilla ja + f ( x) = f ( x, y) dy f ( y) = f ( x, y) dx. + L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) /3
3 Jatkuvan satunnaisvektorin (,) komponentit ovat jatkuvia satunnaislukuja. Jos satunnaisluvuilla ja on on yhteistiheysfunktio f, niin tällöin sitä vastaavat reunatiheysfunktiot f ja f ovat :n ja :n tiheysfunktioita. Huom. Toisin kuin diskreetissä tapauksessa, kahden jatkuvan satunnaisluvun yhteisjakauma ei aina ole jatkuva. Satunnaisvektorin kertymäfunktio Kaksiulotteisen satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio eli :n ja :n yhteiskertymäfunktio F (, x y) = Pr( x ja y) kertoo todennäköisyyden tapahtumalle: on enintään x ja enintään y. Diskreetin satunnaisvektorin kertymäfunktio Diskreetin satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio saadaan määritettyä :n ja :n yhteispistetodennäköisyysfunktiosta kaavalla F ( x, y) Pr( x ja y) f ( x, y ) = =. i i xi x yi y Jatkuvan satunnaisvektorin kertymäfunktio Jatkuvan satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio saadaan määritettyä :n ja :n yhteistiheysfunktion avulla kaavasta x y F ( x, y) Pr( x ja y) f ( u, v) dvdu = =. Satunnaismuuttujien tilastollinen riippumattomuus Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, jos tapahtumat { A} ja { B} ovat riippumattomat kaikilla A ja B, eli pätee Pr( A, B) = Pr( A) Pr( B). Satunnaislukujen ja riippumattomuus voidaan selvittää yhteiskertymäfunktiosta F (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos F (x, y) = F (x)f (y) kaikilla x,y, missä F (x) ja F (y) :n ja :n kertymäfunktiot. Diskreettien satunnaismuuttujien ja riippumattomuus voidaan selvittää yhteispistetodennäköisyysfunktiosta f (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos f (x, y) = f (x)f (y) kaikilla x, y, missä f (x) ja f (y) ovat :n ja :n pistetodennäköisyysfunktiot. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3
4 Jatkuvien satunnaislukujen ja, joilla on yhteistiheysfunktio f (x, y), riippumattomuus voidaan selvittää yhteispistetodennäköisyysfunktiosta f (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos f (x, y) = f (x)f (y) kaikilla x, y, missä f (x) ja f (y) ovat :n ja :n tiheysfunktiot. Diskreetin satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo Olkoon f (x, y) diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio ja olkoon g :!! funktio. Tällöin satunnaisluvun g(, ) odotusarvo on E( g (, )) gxyf (, ) ( xy, ) =. x y Jatkuvan satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo Olkoon f (x,y) satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio ja olkoon g :!! funktio. Tällöin satunnaisluvun g(,) odotusarvo on + + E( g(, )) g( x, y) f ( x, y) dydx =. Odotusarvo ja riippumattomuus Jos satunnaisluvut ja ovat riippumattomat, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: Huomautus: E( ) = E( ) E( ) = µ µ. Käänteinen ei päde: Siitä, että E( ) = E( ) E( ) = µ µ ei yleisesti seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Kovarianssi Olkoot satunnaislukujen ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ. Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Erityisesti Cov(, ) = σ = E[( µ )( µ )]. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 4/3
5 Cov(, ) = Var( ) = σ Cov(, ) = Var( ) = σ Kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = E( ) µ µ = E( ) E( ) E( ) Jos diskreeteillä satunnaisluvuilla ja on yhteispistetodennäköisyysfunktio f (x,y),. x y Cov(, ) = ( x µ )( y µ ) f ( xy, ) Jos jatkuvilla satunnaisluvuilla ja on yhteistiheysfunktio f (x,y), + +. Cov(, ) = ( x µ )( y µ ) f ( xydxdy, ) Kovarianssin ominaisuudet Jos Cov(, ) = σ = 0, niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat tilastollisesti riippumattomia, niin ne ovat lineaarisesti korreloimattomia. Sen sijaan käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia, ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit ja kovarianssi Tällöin Jos niin Var( ) = σ Var( ) = σ Cov(, ) = σ. Var( ) Var( ) Var( ) Cov(, ) σ σ σ ± = + ± = + ±. Cov(, ) = σ = 0, Var( ) Var( ) Var( ) σ σ ± = + = +. Pearsonin korrelaatiokerroin Olkoon satunnaisluvuilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = D ( ) = σ E( ) = µ Var( ) = D ( ) = σ Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = σ L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 5/3
6 Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on Cov(, ) Cov(, ) σ Cor(, ) = ρ = = = Var( ) Var( ) D( ) D( ) σ σ Korrelaatiokertoimen ominaisuudet Huomaa, että täsmälleen silloin, kun Jos siis Cor(, ) = ρ = 0 Cov(, ) = σ = 0. Cor(, ) = ρ = 0, niin satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia. Olkoon satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) 1 Cor(, ) + 1 (ii) Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) = 0 (iii) Cor(, ) =± 1 jos ja vain jos = α + β, missä α ja β ovat reaalisia vakioita ja β 0. Lisäksi vakion β merkki on sama kuin korrelaation Cor(, ) merkki. Siten Pearsonin korrelaatiokerroin ρ mittaa satunnaismuuttujien ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: Mitä suurempi on korrelaatiokertoimen itseisarvo ρ, sitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja riippuvat lineaarisesti toisistaan. Lineaarimuunnokset ja kaksiulotteisen jakauman tunnusluvut Olkoot satunnaismuuttujilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: Olkoot W = a+ b Z = c+ d E( ) = µ Var( ) = σ E( ) = µ Var( ) = σ Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = σ L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 6/3
7 missä a, b, c, d ovat reaalisia vakioita. Tällöin E( W) = a+ be( ) = a+ bµ E( Z) = c+ de( ) = c+ dµ Var( W) = b Var( ) = b σ Var( Z) = d Var( ) = d σ Cov( W, Z) = bdcov(, ) = bdσ Cor( W, Z) = sgn( bd)cor(, ) = sgn( bd) ρ Ehdolliset jakaumat Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio (vast. yhteispistetodennäköisyysfunktio) f (x, y) ja satunnaismuuttujien ja tiheysfunktiot (pistetodennäköisyysfunktiot) f (x) ja f (x). Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio (vast. pistetodennäköisyysfunktio) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = y) on f ( x, y) f ( x y) =, jos f ( y) 0 f ( y) >. Ehdolliset jakaumat ja riippumattomuus Jos ja ovat riippumattomat, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen yhtyy satunnaismuuttujan jakaumaan: f ( x y) = f ( x), jos f ( y) > 0. Diskreetin satunnaisvektorin ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla =y) on ehdollisen jakauman odotusarvo E( y) xf ( xy) = =. Jatkuvan satunnaisvektorin ehdolliset odotusarvot Olkoon (,) jatkuva satunnaisvektori. x Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla =y) on ehdollisen jakauman odotusarvo + E( = y) = xf ( x y) dx. Ehdolliset odotusarvot ja riippumattomuus Jos ja ovat riippumattomat, ehdolliset odotusarvot yhtyvät tavallisiin odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomat, niin L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 7/3
8 Regressiofunktiot E( = y) = E( ) E( = x) = E( ) Tarkastellaan satunnaisluvun ehdollista odotusarvoa E( = y) ehtomuuttujan arvojen y funktiona. Tätä funktiota kutsutaan :n regressiofunktioksi ehtomuuttujan suhteen. llämääritelty regressiofunktio määrittelee regressiokäyrän x= g ( ) E( ) y y = = y. Moniulotteisia jakaumia Kaksiulotteinen normaalijakauma Jatkuva satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, jos sen tiheysfunktio on missä ja Merkintä: 1 1 f(, x y) = exp Q(, x y), πσ 1 (1 ) σ ρ ρ x µ x µ y µ y µ Qxy (, ) = ρ + σ σ σ σ < µ <+ σ > 0 < µ <+ σ > 0 1 ρ + 1 (, ): ( µ, µ, σ, σ, ρ) llämääritelty funktio Q(x, y) määrää tiheysfunktion tasa-arvokäyrät. Kaikki tasa-arvokäyrät ovat ellipsejä, joiden yhtälöt voidaan ilmaista muodossa missä c on vakio. x µ x µ y µ y µ Qxy (, ) = ρ + = c σ σ σ σ Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion parametreina ovat satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja korrelaatio: Satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat µ = E( ) µ = E( ) satunnaismuuttujien ja varianssit ovat L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 8/3
9 σ = Var( ) = E ( µ ) σ = Var( ) = E ( µ ) ja satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on missä ρ σ = Cor(, ) =, σ σ [ ] σ = Cov(, ) = E ( µ )( µ ) on satunnaismuuttujien ja kovarianssi. Kaksiulotteista normaalijakaumaa noudattavan satunnaisvektorin (, ) odotusarvovektori on µ µ = µ ja kovarianssimatriisi on Σ σ σ σ ρσσ = σ σ = ρσσ σ. Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: : : N( µ, σ) N( µ, σ) Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja lineaarisesti korreloimattomuudesta seuraa niiden riippumattomuus. Muista, että riippumattomuudesta aina seuraa korreloimattomuus, mutta yleisesti käänteinen ei päde. Kaksiulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: Ehdollinen odotusarvo ( ) : N( µ + β ( y µ ), σ (1 ρ)), β = ρ ( ) : N( + ( x ), (1 )), = σ σ σ µ β µ σ ρ β ρ σ E( = y) = µ + β ( y µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. lläolevan funktion määrittämän suoran σ kulmakerroin on β = ρ ja suora kulkee pisteen (µ, µ ) kautta. σ Huomaa, että regressiosuorien kulmakertoimet β ja β toteuttavat yhtälön β β = ρ. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 9/3
10 Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on σ σ σ = ρ = ρ = σ σ σ ja ehdolliset varianssit ovat σ = σ (1 ρ ) σ = σ (1 ρ ) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 10/3
11 Esimerkki 6.1 Heitetään kahta symmetristä noppaa ja määritellään satunnaismuuttujat Määrää: (a) (b) (c) (d) (e) = 1. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos Z = Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. Satunnaismuuttujien ja Z jakaumat. Satunnaismuuttujan Z odotusarvo. Satunnaismuuttujan Z varianssi. Satunnaismuuttujien ja Z kovarianssi. (f) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla =. (g) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla Z = 3. (h) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen odotusarvo ehdolla. Esimerkki 6.1 Mitä opimme? Esimerkissä 6.1. tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, tunnuslukuja sekä ja ehdollisia jakaumia. Esimerkki 6.1 Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja pistetodennäköisyysfunktiot f (i) = Pr( = i), i = 1,, 3, 4, 5, 6 f (i) = Pr( = i), i = 1,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i f (i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 f (i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Määritetään seuraavaksi heittotulosten erotuksen Z = jakauma. Satunnaismuuttujan Z mahdolliset arvot ovat 5, 4, 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5 Muodostetaan aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla erotuksen Z = mahdolliset arvot voivat syntyä: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 11/3
12 Erotus Tulos 1. nopan heitosta = Z = Tulos nopan heitosta = Satunnaismuuttujan Z = pistetodennäköisyysfunktio f Z (k) = Pr(Z = k), k = 5, 4, 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5 voidaan lukea suoraan tästä aputaulukosta. Tulos voidaan esittää seuraavana taulukkona: k f Z (k) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Esimerkiksi 3 voi tulla erotuksen Z = arvoksi täsmälleen kolmella eri tavalla: Tapaus 1: = 1, = 4, Z = = 3 Tapaus : =, = 5, Z = = 3 Tapaus 3: = 3, = 6, Z = = 3 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3
13 Satunnaismuuttujien ja Z = yhteispistetodennäköisyysfunktio f Z (i, k) = Pr( = i ja Z = k) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f Z (i, k) Tulos 1. nopan heitosta = = i / /36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/36 Z 1 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 = 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 = k 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 1/36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/ / Esimerkiksi f Z (, 4) = Pr( = ja Z = 4) = 0, koska silmälukujen erotukseksi ei voi tulla 4, jos 1. nopalla on saatu silmäluku. Edelleen f Z (3, 1) = Pr( = 3 ja Z = 1) = 1/36, koska tulos { = 3 ja Z = 1} voi syntyä täsmälleen yhdellä tavalla: = 3 ja = 4. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 13/3
14 (b) Satunnaismuuttujien ja Z jakaumat saadaan laskemalla yhteisjakaumaa kuvaavan taulukon rivi- ja sarakesummat: f Z (i,k) Tulos 1. nopan heitosta = = i Summa /36 1/ /36 1/36 / /36 1/36 1/36 3/ /36 1/36 1/36 1/36 4/36 Z 1 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 = 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 = k 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5/36 1/36 1/36 1/36 1/ /36 3 1/36 1/36 1/ /36 4 1/36 1/ /36 5 1/ /36 Summa 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 (c) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = ipr( = i) = i = ( ) = = i i= 1 Vastaavasti satunnaismuuttujan odotusarvo on E() = 1/6 = 3.5. leisesti pätee: E( ) = E() E(). Siten erotuksen Z = odotusarvo on E(Z) = E( ) = E() E() = 0. (d) Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = i Pr( = i) = i = ( ) = = i i= 1 Koska (c)-kohdan mukaan E() = 1/6 = 3.5, niin satunnaismuuttujan varianssi on L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 14/3
15 Var( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = 6. 1 Vastaavasti satunnaismuuttujan varianssi on Var() = 35/1 =.917. Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, niin Var(Z) = Var( ) = Var() + Var() = 35/6 = (e) Todistetaan ensin seuraava aputulos: Cov(, ) = Var() Cov(, ) Koska kovarianssi ja varianssi ovat invariantteja siirron suhteen eli ja Cov(U + a, V + b) = Cov(U, V) Var(U + a) = Var(U) kaikille reaalisille vakioille a ja b, niin voimme olettaa todistuksen yleisyyden kärsimättä, että Siten E() = E() = 0. Cov(, ) = E[( )] = E[ ] = E( ) E() = Var() Cov(, ). Koska satunnaismuuttujat ja ovat tässä riippumattomia, niin Cov(, ) = 0. Siten satunnaismuuttujien ja Z = kovarianssiksi saadaan Cov(, Z) = Var() = 35/1 =.917. (f) Satunnaismuuttujan Z ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on, pistetodennäköisyysfunktiot saadaan kaavalla f Z (k i) = f Z (i,k) f (i), i =1,,,6, k = 5, 4,,4,5 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 15/3
16 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: f Z (k i) Tulos 1. nopan heitosta = = i / /6 1/ /6 1/6 1/ /6 1/6 1/6 1/6 Z 1 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 = 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 = k 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0 1/6 1/6 1/6 1/ /6 1/6 1/ /6 1/ / Lihavoitu sarake taulukossa esittää satunnaismuuttujan Z = ehdollista jakaumaa ehdolla =. Esimerkiksi, jos x = ja z = 4, niin f Z (4 ) = f Z (,4) f () = = 0. Edelleen, jos x = ja z =, niin f Z ( ) = f Z (, ) f () = = 1 6. Ehdolliset pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (b)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan pistetodennäköisyyksillä. (g) Satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on Z, pistetodennäköisyysfunktiot, saadaan kaavalla f Z (i k) = f Z (i,k) f Z (k), i =1,,,6, k = 5, 4,,4,5 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 16/3
17 f Z(i k) 1. nopan heiton tulos = i Summa / 1/ /3 1/3 1/ /4 1/4 1/4 1/4 1 Z 1 0 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 = 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 = k 1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/ /4 1/4 1/4 1/ /3 1/3 1/ / 1/ Lihavoitu rivi taulukossa esittää satunnaismuuttujan ehdollista jakaumaa ehdolla Z = 3. Esimerkiksi, jos x = ja z = 4, niin f Z ( 4) = f Z (,4) f Z (4) = 0 36 = 0. Edelleen, jos x = ja z =, niin f Z ( ) = f Z (, ) f Z ( ) = = 1 4. Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (b)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyyksillä. (h) Kohdan (f) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan satunnaismuuttujan Z ehdolliset odotusarvot satunnaismuuttujan suhteen E(Z =i) = zf Z (k i) helposti esitettyä seuraavana taulukkona: = i E(Z = i) Esimerkiksi, jos =, niin L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 17/3
18 E( Z = ) = kpr( Z = k = ) = k = = k= 5 k= 4 Esimerkki 6. Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio Määrää: (a) (b) (c) (d) (e) Pr( = = 3) = Pr( = 1 = 1) = Pr( = 1 = 1) = Pr( = 1 = ) = 1/4. Satunnaismuuttujien ja jakaumat. Satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja keskihajonnat. Satunnaismuuttujien ja kovarianssi. Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin. Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. (f) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla. Esimerkki 6. Mitä opimme? Esimerkissä 6. tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Esimerkki 6. Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio f (x, y) = Pr( = x ja = y) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f (x, y) y x /4 1 1/4 1/4 0 1/4 0 0 Satunnaismuuttujien ja jakaumien f (x) = Pr( = x) = y f (x, y) f (y) = Pr( = y) = x f (x, y) pistetodennäköisyysfunktiot saadaan yhteispistetodennäköisyysfunktiota esittävästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 18/3
19 f (x, y) x f (y) /4 1/4 y 1 1/4 1/4 0 1/ 1/ /4 f (x) 1/ 1/4 1/4 1 (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = xpr( = x) = = = x Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = x Pr( = x) = ( 1) = = 1.75 x Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = Satunnaismuuttujan keskihajonta on 7 D( ) = = Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = ypr( = y) = = = y Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = y Pr( = y) = ( ) = = 3.75 y Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 19/3
20 Satunnaismuuttujan keskihajonta on 51 D( ) = = (c) Määrätään ensin E( ) = xy Pr( = x, = y) x y = ( 1) ( ) + ( 1) = Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = E[( E( ))( E( ))] = E( ) E( ) E( ) = = = (d) Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on 9 Cov(, ) Cor(, ) = D( ) D( ) = 7 51 = 7 51 = 9 17 = (e) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot, kun ehtomuuttujana on : f ( y x) = f ( y, x). f (x) x = 1: y 1 3 f (y -1) 1/ 1/ 0 x = 1: y 1 3 f (y 1) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 0/3
21 x = : y 1 3 f (y ) Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan pistetodennäköisyyksillä. (f) Ehdolliset odotusarvot E( = x) = yf (y x) saadaan kohdasta (e): x 1 1 E( = x) 1/ 1 3 Esimerkiksi: E( = 1) = ypr( = y = 1) = =. y Esimerkki 6.3 Olkoon satunnaismuuttujilla ja yhteistiheysfunktio f(x, y) = C(x + y), 0 x 1, 0 y 1, missä C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) (d) (e) Satunnaismuuttujien ja jakaumat. Ovatko ja riippumattomia? Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio :n suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ). Esimerkki 6.3 Mitä opimme? Esimerkissä 6.3 tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3
22 Esimerkki 6.3 Ratkaisu (a) Koska kaikille jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien tiheysfunktioille f (x, y) pätee + + f ( x, y) dydx 1, niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ( x + y) dydx = C xy + y dx = C x + dx 1 1 = + C x x 1 1 = C + = C = 1 Ratkaisuksi saadaan C = 1. Siten satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio on f(x, y) = x + y, 0 x 1, 0 y (b) Integroimalla saadaan: ( ) 1 x Pr = ( x + y) dydx x 1 xy y dx = + 1 = + = 3 0 x x dx x dx 1 3 = x = (c) Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on yhteistiheysfunktion reunatiheysfunktio f( x) f( x, y) dy ( x y) dy xy y x = = + = + = +. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) /3
23 Vastaavalla tavalla satunnaismuuttujan tiheysfunktioksi saadaan 1 f ( y) = y+. Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska f( x) f( y) = xy+ x+ y+ x+ y = f( x, y). 4 (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio :n suhteen on f (x y) = f (x, y) (x + y) = f ( y) y +1. Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheys ehdolla = y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen ehdollinen odotusarvo riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + 1 (x + y) E( ) = xf (x y)dx = x (y +1) dx = y (x + xy) dx $ 1 = y +1 3 x3 + 1 ' & x y) % ( y + = 3 y + 1 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla = y eli satunnaismuuttujan regressiofunktio :n suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska ja eivät ole riippumattomia. Esimerkki 6.4 Olkoon diskreetin satunnaisvektorin (,) pistetodennäköisyysfunktio (a) (b) Pr( = +1, = 0) = Pr( = 0, = +1) = Pr( = 1, = 0) = Pr( = 0, = 1) = 1/4. Ovatko ja lineaarisesti korreloituneet? Ovatko ja tilastollisesti riippuvat? Selitä saamasi tulos. Esimerkki 6.4 Mitä opimme? Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina lineaarisesti korreloimattomia, mutta lineaarisesta korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa tilastollinen riippumattomuus. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3
24 Esimerkki 6.4 Ratkaisu Satunnaisvektorin (,) pistetodennäköisyysfunktio f (x, y) = Pr( = x ja = y) voidaan esittää seuraavana taulukkona: p xy p. y 1 0 1/4 0 1/4 0 1/4 0 1/4 1/ 1 0 1/4 0 1/4 p x. 1/4 1/ 1/4 1 (a) (b) Todetaan ensin, että E() = E() = 0. Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = ( x E( ))( y E( )) Pr( = x, = y) x y = xy Pr( = x, = y) x y 1 = [ ( + 1) ( + 1) + ( 1) ( 1) ] = 0 4 Koska kovarianssi on nolla, on myös :n ja :n Pearsonin korrelaatiokerron nolla. Satunnaismuuttujat ja ovat siten lineaarisesti korreloimattomia. ja ovat silti tilastollisesti riippuvat, koska esimerkiksi Pr(=1,=1) = 0 mutta Pr(=1)Pr(=1) = 1/16. Selitys: Tilastollisesti riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina lineaarisesti korreloimattomia, mutta myös tilastollisesti riippuvat satunnaismuuttujat voivat olla lineaarisesti korreloimattomia, jos satunnaismuttujien välinen riippuvuus on luonteeltaa epälineaarista. Tämän tehtävän tapauksessa satunnaisvektorin (,) arvot ovat yksikköympyrän x + y = 1 kehällä. Esimerkki 6.5 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 4/3
25 E( ) = 1 E( ) =+ 1 Var( ) = 4 Var( ) = 5 Cov(, ) = 5 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja jakaumat. (b) Pearsonin korrelaatio Cor(, ). (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen. Esimerkki 6.5 Mitä opimme? Esimerkissä 6.5 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.5 Ratkaisu Oletuksen mukaan E( ) = µ = 1 E( ) = µ =+ 1 Var( ) = D ( ) = σ = 4 Var( ) = D ( ) = σ = 5 Cov(, ) = σ = 5 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 5/3
26 (a) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat normaalijakautuneita: missä ja missä ~ N(E(), Var()) E( ) = µ = 1 Var( ) = D ( ) = σ = 4 ~ N(E(), Var()) E( ) = µ =+ 1 Var( ) = D ( ) = σ = 5 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) σ 5 1 = Cor(, ) = = = = = 0.5 D( ) D( ) σ σ 5 (c) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on normaalijakauma: ~ N(E( ), Var( )). Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen: σ E( = y) = µ + ρ ( y µ ) = 1 ( y 1) = y. σ Vaikka satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen riippuu ehtomuuttujan arvoista (koska ρ 0), niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi :n suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista: " " Var( = y) = (1 ρ )σ = 1 $ 1% % $ $ # & ' ' ' 4 = 3 # & 4 4 = 3. (d) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on normaalijakauma: ~ N(E( ), Var( )) Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa :n ehdollinen odotusarvo :n suhteen on :n arvojen funktiona lineaarinen: σ E( = x) = µ + ρ ( x µ ) = 1 ( x+ 1) = x. σ 4 4 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 6/3
27 Vaikka satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen riippuu ehtomuuttujan arvoista (koska ρ 0), niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista: " " Var( = x) = (1 ρ )σ = 1 $ 1% % $ $ # & ' ' ' 5 = 3 # & 4 5 = 75 4 = Esimerkki 6.6 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein Määrää: (a) (b) (c) E( ) = E( ) = 5 Var( ) = 5 Var( ) = 4 Cov(, ) = 8 Pearsonin korrelaatiokerroin Cor(, ). Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen. Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi :n suhteen. Esimerkki 6.6 Mitä opimme? Esimerkissä 6.6 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.6 Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) σ 8 4 = Cor(, ) = = = = = 0.8. D( ) D( ) σ σ 5 5 (b) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on σ E( = x) = µ + ρ ( x µ ) = 5 + ( x ) = x+. σ Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen on lineaarinen. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 7/3
28 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on, on " " Var( = y) = (1 ρ )σ = 1 $ 4% % $ $ # 5& ' ' ' 5 = 9 5 = 9. # & 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Esimerkki 6.7 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein (a) (b) (c) µ = E( ) = 1 µ = E( ) = 1 σ = Var( ) = 1 σ = Var( ) = 1 ρ = Cor(, ) = 0.8 Määritä satunnaisvektorin (, ) kovarianssimatriisi. Määritä satunnaismuuttujien ja jakaumat. Määritä satunnaismuuttujien ja ehdolliset jakaumat toistensa suhteen. Esimerkki 6.7. Mitä opimme? Esimerkissä 6.7 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.7 Ratkaisu (a) Koska satunnaismuuttujien ja kovarianssi on σ = ρσσ = = 0.8, niin satunnaisvektorin (, ) kovarianssimatriisi on! σ σ $ # & "# σ σ %& =! $ "# %&. (b) Satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: : : N( µ, σ) = N( 1,1) N( µ, σ) = N(1,1) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on yksiulotteinen normaalijakauma: Koska ( ) : N( µ + β ( x µ ), σ(1 ρ)), β = σρ / σ β = σ ρ /σ = 1 0.8/1 = 0.8, L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 8/3
29 niin Lisäksi E( ) = µ + β ( x µ ) = ( x 1). σ = σ (1 ρ ) = 1 (1 0.8 ) = Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on yksiulotteinen normaalijakauma: Koska niin Lisäksi ( ) : N( µ + β ( y µ ), σ (1 ρ)), β = σ ρ / σ β = σ ρ /σ = 1 0.8/1 = 0.8, E( ) = µ + β ( y µ ) = ( y+ 1). σ = σ (1 ρ ) = 1 (1 0.8 ) = Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran y= µ + β ( x µ ) = 0.8x 1.8 Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran x= µ + β ( y µ ) = 0.8y+ 1.8 Molemmat suorat kulkevat pisteen kautta. (µ, µ ) = (+1, 1) Esimerkki 6.8 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Olkoon 5y = 6x 17 satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen ja 15x= 8y+ 38 satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen. (a) Määrää satunnaismuuttujien ja odotusarvot. (b) Määrää satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 9/3
30 (c) (d) Määrää satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen, jos satunnaismuuttujan varianssi on 9. Määrää satunnaismuuttujan varianssi ja ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen, jos satunnaismuuttujan varianssi on 9. Esimerkki 6.8 Mitä opimme? Esimerkissä 6.8 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.8 Ratkaisu (a) Koska sekä satunnaismuuttujan regressiosuora :n suhteen että satunnaismuuttujan regressiosuora :n suhteen kulkevat odotusarvojen E() = µ E() = µ määräämän pisteen (µ, µ ) kautta, saadaan odotusarvot määräämällä suorien 5y = 6x 17 15x= 8y+ 38 leikkauspiste. Tämä piste on (, 1), joten E() = µ = 1, E() = µ =. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 30/3
31 (b) Suorien yhtälöistä nähdään, että σ β ρ σ β = = 6 5 σ 8 = ρ = σ 15 Siten satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokertoimen neliö on ρ = β β = = = 0.64, joten satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ = 0.8. Korrelaatiokerroin on positiivinen, koska regressiosuorien kulmakertoimet β ja β ovat positiivisia. (c) Koska σ = 9, niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on σ = (1 ρ) σ = (1 0.64) 9 = 3.4. Huomaa, että satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on vakio eli se ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Tehtävän asettelun mukaan 8 β =, 15 (b)-kohdan mukaan ρ = 0.8, ja lisäksi olemme olettaneet, että Koska σ = 9. β σ = ρ, σ niin saamme yhtälön σ 8 = 0.8, 15 3 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 31/3
32 josta satunnaismuuttujan keskihajonta σ saadaan ratkaisuksi. Ratkaisuksi saadaan σ =. Siten satunnaismuuttujan varianssi on σ = 4. Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi muuttujan arvojen suhteen on σ = (1 ρ) σ = (1 0.64) 4 = Huomaa, että satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on vakio eli se ei riipu ehtomuuttujan y arvoista. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
.9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I
β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotKopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011
Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on ma 18.12. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 10.1.2018 klo 10-14, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot