MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Transkriptio

1 MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa ja molemmilla on heittoyritystä. Laske todennäköisyydet tapahtumille: A voittaa, B voittaa, kumpikaan ei voita. b) Laitteessa on kaksi samanlaista, toisistaan riippumatonta komponenttia A ja B. Jos A ja B ovat viallisia, laite ei toimi. Muulloin laite toimii normaalisti. On todettu, että % uusista laitteista ei toimi johtuen juuri viallisista komponenteista A ja B. Tärkeälle asiakkaalle halutaan toimittaa vain sellaisia laitteita, jossa A ja B ovat ehjiä. Kuinka monta tällaista laitetta keskimäärin löytyy 000 kpl laite-erästä? 2. Työpaikassa kahvitauon pituus X minuuteissa on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on { c ( x) kun x f(x) = 0 muulloin a) Määritä vakio c b) Millä todennäköisyydellä kahvitauko kestää vielä ainakin viisi minuuttia, kun se on jo kestänyt kahdeksan minuuttia? c) Määritä kahvitauon pituuden odotusarvo.. Määritä todennäköisyys P (X ) tapauksissa a)-f). Esitä vastaus tarkkana arvona tai lähimpänä määritettävissä olevana arvona. a) X Tas(0, ) b) X Tasd(0, ) c) X Poi() d) X t() e) Ω X = [0, 4] ja tiheysfunktio f(x) = x/8. f) Kertymäfunktio välillä [0, 6] on F (x) = x 2 /6 4. Opettaja tietää kokemuksesta, että 2% tenttiin ilmoittautuneista opiskelijoista ei saavu paikalle. Tenttiin on ilmoittautunut 220 opiskelijaa. Laske normaaliapproksimaatiota käyttäen kuinka suuri sali tarvitaan, että kaikki paikalle tulevat saavat 99% :n todennäköisyydellä istumapaikan.

2 MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tehtävien ratkaisut. a) Merkitään tapahtumia A i ="A saa i:nnellä heitolla kuutosen" ja vastaavasti B i ="B saa i:nnellä heitolla kuutosen". A voittaa, jos hän saa kuutosen, 2 tai heitollaan, jolloin aikaisemmat heitot eivät ole voineet olla kuutosia. Todennäköisyys, että A voittaa on siis P (A voittaa) = P (A ) + P (A B A 2 ) + P (A B A 2 B 2 A ) = = 67 8 = Todennäköisyys, että B voittaa, on /6 yllä olevasta todennäköisyydestä, sillä B voi aloittaa oman yrittämisensä, jos A ei onnistu saamaan kuutosta ensimmäisellä heitollaan. Todennäköisyys että B voittaa on siis = = 0.02 Todennäköisyys, että kumpikaan ei voita on = = 0.49 Tämän tuloksen voi laskea myös ( ) 6 P (A B A 2 B 2 A B ) = = = 0.49 b) Merkitään A="komponentti A on rikki" ja B="komponentti B on rikki". Laite on rikki, jos A ja B ovat rikki eli joukkomerkintänä A B. A ja B ovat riippumattomia tapahtumia ja myös yhtä todennäköisiä tapahtumia, koska komponentit ovat samanlaisia. Saadaan siis P (A B) = P (A)P (B) = (P (A)) 2 = 0.0 P (A) = 0.0 = "Molemmat komponentit ovat ehjät" voidaan merkitä tapahtumana A B. Jos A ja B ovat riippumattomia tapahtumia, niin myös A ja B ovat riippumattomia. Kysytty todennäköisyys P (A B) = P (A)P (B) = P (A) 2 = ( 0.226) 2 = Näin tuhannesta laitteesta keskimäärin 602:ssa (tai 60:ssa) ovat molemmat komponentit A ja B ehjiä.

3 2. a) f(x) dx oltava = eli c( x) dx = c( x) dx = c / x 2 x2 = c ( ) 2 = 0c = c = 0 b) Kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P (X X > 8) = = P ({X } {X 8}) = P (X 8) 0 8 ( x) dx 0 ( x) dx = = 2 49/2 = / / 8 x 2 x2 x 2 x2 P (X ) P (X 8) c) E(X) = 0 ( x)x dx = 0 = 0 / 2 x2 x ( = 2 = 8. )

4 . a) X Tas(0, ). Otosavaruus on väli [0, ], joten tapahtumaan X kuuluu vain yksi piste. Jatkuvalla satunnaismuuttujalla yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, joten P (X ) = 0 b) X Tasd(0, ). Otosavaruus on joukko {0,, 2, }. Jokainen alkeistapaus on yhtä todennäköinen, joten c) X Poi(): P (X ) = 4 P (X ) = P (X = 0) P (X = ) P (X = 2) ( ) = e 0 0! +! + 2 = ! d) X t(). Taulukosta nähdään, että P (X.02) = 0.00, joten P (X ) 0.00 e) Ω X = [0, 4] ja tiheysfunktio f(x) = x/8: P (X ) = 4 x 8 dx = / 4 x 2 6 = 9 6 = 7 6 f) Kertymäfunktio välillä [0, 6] on F (x) = x2 6. Koska kertymäfunktio on jatkuva, on myös satunnaismuuttuja X jatkuva. Siksi P (X ) = P (X < ) = P (X ) = F () = 2 6 = 4

5 4. Olkoon X="paikalle saapuvien lukumäärä 220:sta". Jos oletetaan, että henkilöiden saapumiset ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, niin X Bin(220, 0.7) Binomijakauman normaaliapproksimaation mukaan X noudattaa likimäärin normaalijakaumaa X. N( , ) = N(6, 4.2) Olkoon salin koko = k. Nyt siis haetaan rajaa k, jolle X 6 P (X k) = 0.99 P k 6 } 4.2 {{} 4.2 = 0.99 Φ N(0,) ( k ) = 0.99 = Φ(2.) k = 2. k = = Kun salissa on paikkoja vähintään 80, niin silloin 99%:n todennäköisyydellä kaikki saavat paikan.