Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt <, jote < Lukujoo ( ) o myös ylhäältä rjoitettu Vst Rjoitettu, sillä 0 < b) Kosk,,,, ii > 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt + + <, jote < Lukujoo ( ) o myös ylhäältä rjoitettu + Vst Rjoitettu, sillä 0 < < c) Trkstell esi itseisrvo ( ) ( ) Kosk,,,, ii + + + <, jote + < Siis < Lukujoo ( ) o sekä lhlt että ylhäältä rjoitettu, sillä < < Vst Rjoitettu, sillä < < ) Kosk,,,, ii lhlt rjoitettu + + + > Siis > 0, jote lukujoo ( ) o + Jkmll sd Kosk > 0 kikill : rvoill, ii < Lukujoo ( ) o ylhäältä rjoitettu Vst Rjoitettu, sillä 0 < < b) Jkmll sd 5 + + 5 + + + 5 Kosk kikill : + 5 rvoill + > 0, ii 5 + < Lukujoo ( ) o ylhäältä rjoitettu 5 Kikill : rvoill o 5 + > 5 eli > + < 5 5 5 eli 5 + < 5 Siis Lukujoo kikkie termie eräs lrj o m Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 6
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Vst Rjoitettu, sillä < c) Neliöjuurifuktio o rvolt ei-egtiivie, jote lhlt rjoitettu j > 0 > 0 Lukujoo ( ) o + Toislt < +, jote < < Lukujoo ( ) o ylhäältä rjoitettu j + Vst Rjoitettu, sillä 0 < < π ) Fuktio f () cos rvojoukko o suljettu väli [, ] Siis cos Vst Rjoitettu, sillä b) Lukujoo ( ) termit ovt,,,,, Vst Rjoitettu, sillä c) Luseke ( ) + s rvot 0 j muuttuj eri rvoill Kosk + ( ) 0, ii joo o lhlt rjoitettu, sillä + ( ) 0 0 Kosk + ( ), o joo myös ylhäältä rjoitettu, sillä + ( ) ) Kosk Vst Rjoitettu, sillä 0 + ( + ) + (+ ) ( + )() ( + ) + ( ) > 0, ii < + kikill : rvoill Vst Aidosti ksvv b) Kosk + ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + )( + ) > 0, ( + )( + ) Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 6
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT ii < + kikill : rvoill Vst Aidosti ksvv c) Lukujoo ( ) ei ole mootoie Esimerkiksi cos8 8 0,08, 8 cos9 9 0,0, 9 cos0 0 0,50, 0 missä 8 > 9 mutt 9 < 0 Vst Lukujoo ( ) ei ole mootoie 5 ) Lukujoo ( ) o idosti väheevä, sillä + ( ) ( ) + ( + ) + + + + < 0, ( + )( + ) jote > + kikill : rvoill b) Peräkkäiste termie erotus o + + + + l( + ) l( + ) + l + (l(( ) ) l( )) (l( ) l ) ( + ) l ( ) + + l + + + Kosk 0 < <, ii + + ) o idosti väheevä ( + l + + < 0 Siis + < 0 eli > + Lukujoo 6 Kosk + ( + ) 7 7 ( + ) + + Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 6
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT 5 7 + 7 + 9 (+ 7)(+ ) > 0, ii < + kikill : rvoill Lukujoo ( ) o idosti ksvv Kosk 7 + < + <, ii < Lukujoo o ylhäältä rjoitettu 7 Lukujoo peräkkäiste termie suhde o + + ( + ) + + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + + + + + + + + + + ( + ) + + + ( + ), ii Kosk + + + < > +, jote lukujoo ( ) o idosti väheevä + < kikill : rvoill Siis Lukujoo o lhlt rjoitettu, sillä > 0 + 8 ) Prbeli y ( ) uke lspäi j huippu o kohdss 0 + Lukujoo suuri termi o 6 6 6 6 6 Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 6
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT b) Fuktio f () + + 5 o jtkuv j derivoituv, ku > 0 Derivt f () + 0 + ollkohdt ovt toteut ehto > 0 0 + 6 0,097 j 0 6, ei Kulkukvio muk fuktio f suuri rvo o f ( ) Kosk < < j,, ii lukujoo ( ) suuri termi o 9 Lukujoo peräkkäiste termie suhde o + ( + )! ( + )! + ( + )!! ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + Kosk < +, ii väheevä + < kikill : rvoill Siis > +, jote lukujoo ( ) o idosti 50 Lukujoo peräkkäiste termie suhde o + ( + ) ( + )!!! ( + ) ( + )! ( + ) ( + ) + Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 65
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT + Kosk, ii idosti väheevä + + < Siis + < eli > +, jote lukujoo ( ) o 5 ) Ekspoettiluseke > 0, jote lukujoo ( ) o lhlt rjoitettu Ekspoettifuktio y o idosti ksvv, jote ylhäältä rjoitettu Lukujoo ( ) o myös Vst Rjoitettu, sillä 0 < b) Ekspoettiluseke 05, > 0, jote lukujoo ( ) o lhlt rjoitettu Ekspoettifuktio y 0,5 o idosti väheevä, jote myös ylhäältä rjoitettu Vst Rjoitettu, sillä 0 < 0,5 05, 0,5 0,5 Lukujoo ( ) o 5 ) Ku,,,, ii ]0, π [ Tällöi si > 0 Lukujoo ( ) o lhlt rjoitettu j > 0 Fuktio f () si o jtkuv j derivoituv, ku 0 Kosk derivtt f () cos 0, ii fuktio f o idosti ksvv Siis f () f (0) eli si 0 Siifuktiolle o voimss epäyhtälö si, ku 0 Näi olle si, jote si Lukujoo ( ) o ylhäältä rjoitettu j Vst Rjoitettu, sillä 0 < b) Lukujoo jokie termi o positiivie, jote lukujoo o lhlt rjoitettu j > 0 Kosk peräkkäiste termie erotus + + + + + 0, ii + Lukujoo o site väheevä, jote lukujoo suuri lkio o Vst Rjoitettu, sillä 0 < Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 66
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT 5 ) ( ) o ylhäältä rjoitettu j < 0 Peräkkäiste joo termie erotus o Kosk,,,, ii < 0 j ( ) > 0 Lukujoo ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + )( ) Kosk + > 0, ii < + Lukujoo ( o Joo o lhlt rjoitettu j ( ) Vst Rjoitettu, sillä < 0 ( ) b) Lvetmll smimisiksi sd ) o site idosti ksvv Joo piei termi + Kosk <, o lukujoo ( ) ylhäältä rjoitettu j < Fuktio f () o jtkuv j derivoituv, ku Kosk derivtt f () ( ) o positiivie, ii fuktio f o idosti ksvv Lukujoo piei termi o, jote ( ) o lhlt rjoitettu j Vst Rjoitettu, sillä < 5 ) Kosk e > 0, o lukujoo ( ) lhlt rjoitettu Peräkkäiste termie erotus o Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 67
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT + + ( + ) e e ( + ) e e e + ( e ) e ( e ) + e e Kosk e 0,69, ii rvost lähtie o ( e ) + < 0 eli + < 0 Lukujoo ( ) o site idosti väheevä, ku Termeistä e 0,758 ähdää, että lukujoo suuri termi o e Vst Rjoitettu, sillä 0 < e e 0,6065 j e e b) Lukujoo o lhlt rjoitettu,sillä ( ) > 0 Kosk potessi ( ) ( ),5 ktluku,5 >, ii potessi s mielivltise suuri rvoj, ku o riittävä suuri Lukujoo ei ole site ylhäältä rjoitettu Vst Alhlt rjoitettu, sillä > 0, ei ole ylhäältä rjoitettu 55 Fuktio f() o jtkuv j derivoituv, ku Derivtt f () l ( ) l s rvo oll, ku l ( l ) 0 eli ku 0 ti Arvo 0 ei toteut ehto > 0 l Kulkukvio muk fuktio f suuri rvo o f( ),89 Fuktio f o idosti l ksvv, ku l j idosti väheevä, ku Lskemll todet, että lukujoo l 9 5 9 viisi suurit luku ovt,,, 5 j 6 8 6 Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 68
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT 56 Fuktio f() o jtkuv j derivoituv, ku Derivtt f () l ( ) l ( ) ( l ) s rvo oll, ku ( l ) 0 eli ku 0 ti Arvo 0 ei toteut ehto 0 l Kulkukvio muk fuktio f suuri rvo o f( l ) f(5,77) 0, Kosk 5 7 5 9 j 5 6 6 0, ii lukujoo 6 suuri luku o 6 0 57 Fuktio f( ), > 0 derivtt f ( ) ( ) o egtiivie, sillä välillä > 0 o < 0 Täte fuktio f j lukujoo ( ) f(), missä,, o väheevä 58 Kosk o positiivie, ii plutuskvst + ähdää, että kikki lukujoo + ( ) termit ovt positiivisi Jkmll termi luku suuremmll positiiviluvull + sd rvio > eli > + Lukujoo ( ) o siis väheevä j lhlt rjoitettu, + > 0 Lukujoo ( ) suppeee Jos joo rj-rvo o lim, ii myös lim + Ottmll rj-rvo plutuskvst smme yhtälö Kosk + > 0, o yhtälö määritelty kikill + : rvoill Kertomll yhtälö imittäjällä + smme yhtälö + eli 0 Siis 0 Vst Joo rj-rvo o 0 Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 69
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT 59 Likirvoje perusteell äyttää siltä, että lukujoo o ksvv j ylhäältä rjoitettu <,5 <,75 <,75 <,6875 <,875 <,988 <,9609 <,9807 < 60 Vlitsemll lukujoot ( ) j (b ) sopivsti totemme, että tulojoo ( b ) voi oll mootoie mutt se ei trvitse oll mootoie Esimerkiksi ksvv joo ( ),,,, j väheevä joo (b ), /, /, /, tulojoo o vkiojoo,,,,, mutt ksvv joo ( ),,,, j joo (c ), /, /9, /6, tulojoo, /, /, /, o väheevä Hrry Silfverberg, Teuvo Luriolli, Timo Skilmpi j Werer Söderström Oskeyhtiö 007 70