Kertaustehtävien ratkaisut
|
|
|
- Elsa Pääkkönen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rtkiuit Nämä Dirtili- j itgrlilk jtkokuri krtuthtävi j -rjoj rtkiut prutuvt oppikirj titoihi j mtlmii Kutki thtävätä o ylä vi yki rtkiu mikä i kuitk trkoit itä ttä rtkiu olii io ti d pr mhdolli Vlittu rtkiutp o toivottvti kuitki mhdolliimm uorviivi j ymmärrttävä Rtkiut ovt mllirtkiuj Niiä rtkiu tmi o ittty ii trkti j prutll kui hyvää rtkiu pitää thdä Hyvää rtkiuu kuuluu rtkiu käytty mtlmä j mrkitöj lli littämi Mot tämä kuri thtävät ovt mlko torttii jolloi prutlut muodotvt ollli o rtkiut Rtkiuu kuuluu myö vtuk ilmoittmi Miluimmi ktt kirjoitt rilli vtu vikk ohii rtkiui i til äätämiki ol äi thtykää Rtkiut o kuitki ldittu it ttä vtu o rtkiu lopu Ohii rtkiui o llit prutlut ittty vähitääki riittävällä trkkuudll Myö rtkiuihi liittyvät kuviot o ylä piirrtty Yhtälöid rtkiuj itgroiti j drivoiti väliviht o tvlliti ittty trkti mutt joku kikki välivihit i i ol kirjttu Liäki imrkiki toi t yhtälö rtkiu rtkiukv vull i ol kirjoitttu äkyvii vikk tämä täydlli rtkiuu kuuluuki Opiklij pitää kuitki omi rtkiui käyttää riittäväti välivihit kok tämä prhit tk virhttömä lopputulok Jukk Kgho j Wrr Södrtröm Okyhtiö 8
2 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Krtuthtävi rtkiut b Koht o lukk Rj-rvo imittäjä ollkoht voi oll olm vi jo o myö ooittj ollkoht Rj-rvo: Kok void oltt ttä Tällöi o gtiivi jot poitiivi jot poitiivi jot Sii
3 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo i ol olm b Toipuolit rj-rvot kohd ovt yhtä uurt jot rj-rvo o olm Rj-rvo o yhti rvo c c c Rj-rvo o jo toipuolit rj-rvot ovt kumpiki c c > y
4 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 Fuktio o jtkuv määrittlyjouko jot uktio o jtkuv li illä i ol päjtkuvuukohti b Fuktioll i ol rj-rvo kohd jot uktioll i ol rj-rvo kohd Sii uktiot i voi määritllä kohd ii ttä tulii jtkuvki kohd 8 y Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo kohd i ol olm Fuktio i ol jtkuv kohd b y Kok o uktio i ol jtkuv kohd jot Fuktio b b > o jtkuv kikkill jo o jtkuv kohdi j Fuktio o oiklt jtkuv kohd j vmmlt jtkuv kohd Sii o jtkuv jo li b j li b b Jälkimmäitä yhtälötä d Eimmäitä yhtälötä d b
5 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Määritllää jolloi jot o jtkuv kohd Fuktio o rtioliuktio muull jtkuv jot o jtkuv kikkill Eimrkiki uktio totutt vditut hdot: Fuktio kuvj o ouv uor välillä ] [ j [ [ jot o idoti kvv välillä ] [ j [ [ Ku o jot o idoti kvv kikkill Fuktio o päjtkuv kohd illä toipuolit rj-rvot kohd ovt j jot uktioll i ol rj-rvo kohd Muull o polyomiuktio jolloi o jtkuv y Välillä [ ] o pitt j it ttä j 8 Märitllää uktio g : [ ] R ttmll g l Tällöi g o jtkuv j g l l g l l 8 7 > Bolzo lu prutll uktioll g o ollkoht j : väliä jolloi l li l : Eimrkiki y 7
6 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Fuktio rotuomäärä kohd : : : Drivtt o rotuomäärä rj-rvo Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo kohd i ol olm Fuktio i ol jtkuv kohd jot i ol drivoituv kohd b Ku rotuomäärä kohd o Ku > rotuomäärä o Erotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt yhtä uurt jot rotuomäärällä o rj-rvo kohd Sii uktio o drivoituv kohd
7 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Eimrkiki uktio totutt vditut hdot: Fuktio o vähvä > välillä ] [ j [ [ kok kuvj o äillä välillä lkv ti vkuor uor Kok > o idoti vähvä kikkill Fuktio o polyomiuktio muull piti kohd jot o jtkuv j drivoituv muull piti mhdolliti kohd Fuktio o jtkuv kohd illä toipuolit rj-rvot kohd ovt molmmt j y Ku rotuomäärä kohd o Ku > rotuomäärä o Erotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt riuurt jot rotuomäärällä i ol rj-rvo kohd Sii uktio i ol drivoituv kohd 7 D Itgrlilk prulu muk uktio vkiouktio Kok C miä C o vkio o C C o
8 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 b Ku ii jot 7 7 t t t t t t ti t b g ti c 7 7 h jot h j h l l l l l l l
9 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio j drivttuktio o määritlty jokill : rvoll illä imittäjä lukkll i ol ollkohti Drivt mrkki määräytyy ooittj mrki prutll Ooittj kuvj o ylöpäi ukv prbli jok ollkohdt ovt j Kulkukvio prutll koht o mkimikoht Mkimirvo o 8 Koht o miimikoht Miimirvo o Kok uur ti pi rjtt uktio uuri rvo o 8 j pii rvo
10 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio drivttuktio o i poitiivi jot uktio o kikkill idoti kvv Sii uktioll o käätiuktio Kok o jtkuv j j ii uktio rvojoukko o ] [ Sii käätiuktio määrittlyjoukko o ] [ Käätiuktio luk: y y l y l y Sii y l y li l l l l Kuvjt: y y y Fuktio drivttuktio: Drivtt o poitiivi kikill > jot uktio o idoti kvv Sii uktioll o käätiuktio illä j 8 illä 8 Sii: 8 8
11 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto D C Itgrliuktio o jtkuv Kok F o jtkuv kohd toipuolit rj-rvot kohd ovt yhtä uurt jot D C Sii itgrliuktiot ovt C C miä C o vkio b Itgrliuktio kuvj kulk pit kutt C C F F F F
12 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät > Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto > F C miä C j D ovt vkioit D > Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti kohd jot F F li D C D C Kok F o D jot D C D Sii itgrliuktio o F > jot F u t dt jolloi u b v t dt u jot v u c w u w u D t 7 Fuktio t t dt drivttuktio o Kok kikill drivt ollkohdt ovt uktio ollkohdt j
13 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 d d / / jot itgrli d upp j rvo o b co d i i i i / Fuktioll i i ol rj-rvo jot itgrli co d hjtuu Itgrli d upp j rvo o b d d / Itgrli d hjtuu c Itgrli d hjtuu kok d hjtuu d d / / Sii itgrli d upp j rvo o d d /
14 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät kikill jo d d d / O oltv jot Kok o poitiivi o tihyuktio P X d / kikill j d / jot o tihyuktio b Krtymäuktio: F P X > > 7 P X 7 F7 7 c Odoturvo: EX Kkihjot: D X d d µ d d d / 8 d 8 7 DX 8
15 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Krtymäuktio F PX Ku F Ku > F Ku todäköiyy PX o mtriä kork krtio tilvuud uhd koko krtio tilvuut Krtiot ovt yhdmuotoit jot tilvuuki uhd o krtioid korkuki kuutioid uhd F PX Sii: F 7 7 > 7 b Tihyuktio F j > c Odoturvo: E X d 8 d m / 7
16 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Joo upp j illä b Joo hjtuu illä > c jot o prilli j o prito Sii joo hjtuu d jot b b
17 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 jot 8 7 b Kok co kikill o co kikill Kok o co 7 > > Jät rovt rj-rvot vähmmä kui jätä lähti
18 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Lvt lukkll
19 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Oummi ojoo S S S S i upp jot rj i upp b Oumm S o prito j S o prilli Jok tpuk S jot rj upp j rj umm o 7 k k k Srj : oumm o S Oummi joo uur rjtt jot rj i upp b Srj k k k : oumm o 7 S S jot rj upp j rj umm o Srj : trmi o Srj trmit ivät lähty oll jot rj i upp
20 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Srj uhdluku q Srj immäi trmi Summ o Kok q rj upp S : q b Srj uhdluku q Kok q rj upp Srj immäi trmi Summ o S q Ku lähdtää pittä pit j dll pit j ii kuljtut mtkt muodotvt gomtri joo 8 Jok toill klll mää oikll jok toill vmmll Päädytää täiyydll li pit
21 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Aloittj A voitt jo A: immäi hitto o klv ti jo A: immäi hitto o kruu toi hittävä B: immäi hitto kruu kolmt hittävä C: kruu j A: toi hitto o klv j Sii: PA voitt 8 8 Kyä o gomtri rj jok immäi trmi j uhdluku 8 q Kok q rj upp j umm o : 8 q Sii PA voitt 7 b Vtvti: PB voitt 7 A P c PC voitt 7 B P
22 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 Srj o gomtri rj Srj trmi uhd q Srj upp q li q > > ti > > 8 Ku rj upp umm o 8 S 8 Srj uhdluku q Srj upp q li > > ti > Ku rj upp umm o S Summ o ti Rtkiukvll Vi klp rtkiuki illä vi tällöi rj upp
23 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Olkoo lkupräi rj S q q Srj umm o S q Toi rj o S q q q q q Kok S ii q S q jot q q q q q q q q q ti q q q q Srj upp vi q Ku q o q 8 Alkupräi rj o
24 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj A Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto > E D C F miä C D j E ovt vkioit Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti pitiä j jot F F j F F C D D C C D E D E Sii itgrliuktiot ovt > C C C F miä C o vkio Kuvj kulk pit kutt F Kok C C F o C Kyytty itgrliuktio o > F > > > y y F y
25 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt 7 Fuktio rotuomäärä kohd : Drivtt o rotuomäärä rj-rvo 7 8 d l l l / l l l l l l l l l l l l l l Sii d upp j rvo o l Mrkitää jolloi kikill jot Ku ii Sii y
26 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Väli [ ] iältyy välii ] π ] jolloi i uktio o jtkuv j pägtiivi Sii viipl pit-l o d / A F F F miä F o uktio joki itgrliuktio Drivoid: i A F F i i i i Drivt ollkohdt: i i π i i π π π π π Nollkohdit välill ] ] kuuluu Kulkukvio: A A π ti π π π π π A 8 > A 8 i π Kulkukvio prutll pit-l A o uuri 8
27 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Lukuj j y rpomi vt pit rpomit liötä j y y Z li y Sii P Z o uor y lpuolll jäävä liö o pit-l uhd koko liö pit-l P Z y y Krtymäuktio F z P Z z Jo z F z illä Z o i poitiivi Jo z > Z z y z li y z Sii PZ z o uor y z lpuolll jäävä liö o pit-l uhd koko liö pit-l z z Ku z pit-l o Ku z pit-l o z z Sii krtymäuktio o F z z z z z z b Tihyuktio z FNz z j z Ku z z D Ku z z z D Ku z > z D z z Sii: z z z z z y z y z z y z z z
28 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt c Odoturvo: d d d d d E z z z z z z z z z z z z Z l l l l d / z z z Sii d z z hjtuu jot odoturvo i ol olm
29 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj B Fuktio o jtkuv kikkill jo o jtkuv kohd Fuktio o oiklt jtkuv kohd Sii o jtkuv jo li jo Sii jtkuv uktio o Nollkohdt: ti ti Fuktio määrittly hdot totuttvt juurt j Fuktio S o määritlty rj upp Ku rj o Sii rj upp j S Ku rj o gomtri rj jo uhdluku q Srj upp jolloi S Sii S o määritlty y Tällöi: S
30 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt d co d d co i i i i i d co d / / Ku ii Kok iiuktio pii rvo o j uuri o i i jot i i Sii i i d co Fuktio drivttuktio: Fuktio j drivtt o määritlty kikill illä > Kok kikill drivtt o gtiivi kikill Sii uktio o idoti vähvä jot uktioll o käätiuktio Kok o jtkuv uktio rvojoukko o ] [ Sii käätiuktio määrittlyjoukko o ] [ Sii ollkoht
31 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Kok j ii myö Kok o joti : rvot lähti Kok ii myö Fuktio g o drivoituv origo iältävällä välillä j g tällä välillä Fuktio g rotuomäärä origo li kohd o g g Kok uktiot j ovt jtkuvi origo ii Sii rotuomäärällä o rj-rvo Erotuomäärä rj-rvo o uktio g drivtt origo Sii g Ooitt ttä uktio totutt vditut hdot jot tulot void ovlt Poitt itirvot: Fuktio o drivoituv j > Sii o drivoituv kikkill Kok o jtkuv kohd
32 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj C Rjkoht o uktio b lukk imittäjä ollkoht Rj-rvo voi oll olm vi jo o myö ooittj ollkoht Rj-rvo: b b b b b b b Rj-rvo o 8 b b b Lvt lukkll
33 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj co o gomtri rj Srj trmi uhd q co Srj upp q li co > co > co Eimmäi päyhtälö totutuu π π π jälkimmäi π π Sii rj upp välillä π π π π j π π miä o kokoiluku Srj immäi trmi co j Ku rj upp umm o S q co co co co > co
34 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Puolipllo äd r cm Pd tilvuu V πr πr Todäköiyy PX o cm kork pllogmti tilvuud uhd koko puolipllo tilvuut h Pllogmti jok korku o h tilvuu o V πh r π V PX V π h r Krtymäuktio F PX Ku F Ku > F Ku todäköiyy PX o mtriä kork pllogmti tilvuud uhd koko puolipllo tilvuut π F PX π Sii: F > b Tihyuktio F j > c Odoturvo: E X d d / cm
35 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Kok uktio jko o uktio kuvj toituu mli kui : pituill välillä [ ] määritlly uktio kuvj Fuktio i ol drivoituv kohdi miä o kokoiluku illä uktio rotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt äiä kohdi ri uurt Fuktio g mt rvot kui uktio mutt yhtä ykikköä ikimmi Sii uktio kuvj d iirtämällä uktio kuvj yhd ykikö vmmll Fuktio g i ol drivoituv kokoilukukohdi y y g y y Välillä [ ] uktio g luk o Sii: h g y h y li uktio h o vkiouktio välillä [ ] Fuktio h jko o jot h o vkiouktio koko rlilukuj jouko 7
36 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Jo > y o y > jot y y > li > y Sii o idoti kvv Fuktio drivtt o rotuomäärä rj-rvo y y y y y y y Eimrkiki uktio y y täyttää hdo : Jo y o y y y Jo y o y y y y Jo j y o y y y > y Fuktio o päjtkuv kohd kok illä o riuurt toipuolit rj-rvot: Ku Ku > 8
37 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj D Pompittu mtk mtriä o gomtri umm m Kokoimtk o m m m Lvt lukkll
38 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt 7 Joo jät ooittjt 7 muodotvt ritmtti joo b jo liäy d Sii b b d Nimittäjät muodotvt joo c 7 Joo : jä o ii Joo rj-rvo: Jä poikkm rj-rvot o Kok o i poitiivi poikkm o pimpi kui > > : > > > Sii poikkm o pimpi kui : rvot lk
39 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Tutkit uktio kulku Drivoid: Drivt ollkohdt: : ti Rtkiukvll l l Kulkukvio: l 8 > > Kulkukvio prutll uktioll o mkimi kohd j miimi kohd l Mkimirvo: Miimirvo: l l l l l l l Kulkukvio muk uktio o idoti kvv välillä ] ] Kok o > Kulkukvio prutll uktio pii rvo välillä [ [ o l jot uktio pii rvo koko R:ä o Kok uktioll i ol uurit rvo
40 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Fuktio g drivttuktio o g Drivt ollkohdt: Kulkukvio: g g Ku uktio g o kulkukvio prutll kvv välillä [ ] Fuktio g pii rvo o g Ku koht kuuluu välill [ ] Kulkukvio prutll uktio g pii rvo o g Sii: Ku D jot Fuktio o drivoituv välillä ] [ j ] [ Fuktio rotuomäärä kohd o h h Ku h h h Ku h > h h h h h h h h h h h h h h Erotuomäärällä o rj-rvo jot o drivoituv myö kohd Sii uktio o drivoituv koko välillä ] [
41 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Ku uktio o drivoituv j 8 D Ku drivtt o rotuomäärä rj-rvo Sii : Kok koko välillä [ ] o poitiivi koko välillä Sii uktio o idoti kvv välillä [ ] li Nliöö korottmll yhtälö rtkiuki d Symmtri vuoki Kok uktio o idoti kvv o välillä [ ]
42 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj E i i i i i Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Fuktio itgrliuktiot ovt muoto co C F miä C j D ovt vkioit co D Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti kohd jot C F F D D C li Sii itgrliuktiot ovt co C F co C b Sii co g co co co co miä C o vkio g co kikill jot uktio g itgrliuktiot ovt G i C miä C o vkio Eimrkiki vkiojoo upp kohti rj-rvo Vtv rj : oumm o jot oummi joo i upp Sii rj hjtuu Jo rj upp rj trmi muodotm joo rj-rvo o Sii uppv rj trmi joo i voi hjtu Sii joo i voi hjtu j vtv rj upt
43 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt d l l / / l l l l l l l l l l l l l l l l Sii d l Fuktio o i poitiivi Fuktioll o ii käätiuktio o idoti kvv illä drivtt Kok uktio j käätiuktio kuvjt ovt ymmtrit uor y uht iid likkupitid pitää oll uorll y Likkupitid -koorditit d ii rtkimll yhtälö l l l l Likkupit o ii l l l Käyräll y piirrty tgti kulmkrroi k o käätiuktio drivtt kohd l k l l l
44 Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt y o joko y ti y y Eimmäiä tpuk y y jälkimmäiä y y y Sii jok tpuk y y Lkt uktio drivtt kohd Erotuomäärä itirvo: Sii jokill jot o vkiouktio jot b Jo o jtkuv kohd ii Olkoo > joki luku Tällöi joki luku o muoto k miä k Ku ii k Tällöi k k k k k k Sii o jtkuv kohd c Fuktio drivtt kohd > o rotuomäärä rj-rvo Mrkitää k miä k Ku ii k Fuktio rotuomäärä kohd : k k k k k k Sii jokill li d Eimrkiki klp vkiouktio k k li k Myö mikä th logritmiuktio imrkiki l klp illä log b log log b jokill b >
1.a) f(x) = 2x(x 2 3) = 0 2x = 0 tai x 2 3 = 0 x = 0 tai x 2 = 3. Anne: Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla
. f( = ( = 0 = 0 ti = 0 = 0 ti = Anne: Tulo on noll, jo jokin tulon tekijöitä on noll b f( = ( = 6 f ( = 6-6 f '( 6( 6 Anne: Peruderivointi ottv moin ijoitu luekkeeeen c ( 6 d / ( 4 (8 (8 0 Anne: Käytä
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Juuri- j logritmiunktiot -kurssin krtusthtävin j -srjojn rtkisut prustuvt oppikirjn titoihin j mntlmiin. Kustkin thtävästä on ylnsä vin yksi rtkisu, mikä i kuitnkn trkoit sitä, ttä rtkisu
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
![a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että](/thumbs/62/47649895.jpg "a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että")
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Pitkä. matematiikka. Differentiaali- ja integraalilaskennan. Opettajan verkkoratkaisut. WSOY Oppimateriaalit Oy Helsinki
mmii Ju Kgo Ju Mäi Ju Oio Jo Po Mij Slml Jorm Tvi Piä Dirili- j igrlil jouri Opj vroriu WSOY Oppimrili Oy Hlii YHTEYSTIEDOT Tilu WSOY Tiluoori Porvoo pu 7 i 7 äöpoi: woy-ilu@woyi Tiulu WSOY Oppimrili Oy
2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista
9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
![Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että](/thumbs/58/42210707.jpg "Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että")
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
2. Laske tehtävän 1 mukaiselle 320 km pitkälle johdolle nimellisen p- sijaiskytkeän impedanssit ja admittanssit, sekä piirrä sijaiskytkennän kuva.
ELECE849 k 6. Lk 6 Hz:n vrko olvn 5 :n ohdon ltoimpdni khdll tvll: kä olttmll ohto hävittmäki ttä ottmll hävit huomioon. Vrtil impdnin ro. Lk luonnollinn tho P kättämällä hävittmän ohdon ltoimpdni. Lk
Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
r u u R Poistetut tehtavat, kunjännitestabiiliusja jännitteensäätö yhdistettiin:
oittut thtavat, kuäittaiiliua äittäätö yhitttii: Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. iirrä oho a
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
järjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineiet jäjetelmät Jtkuv-ikiet jäjetelmät muunnoton tkiu Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen Lplce-muunno Aikton DY Aikton tkiu Lplcemuunno Käänteimuunno Rtkiu -to 2 Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen
Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y
Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
ELEC-E8419 tentti ratkaisut. johto. z 0 = j0,5
ELECE849 tntti 5.4.6 rtkiut. Trktlln kuvn ukit vrkko. z z, z, z Y_G, B C G z z z, ohto z z, z,5 ohto z z, z,5 E z N, z z z, F z z, z, G z Y_G, Koh F thtuu vihinn ulku vih. Vikini on noll, vrkon ännit vikkoh
Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
. Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,
****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
![1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [](/thumbs/58/42571602.jpg "1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [")
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
ELEC- E8419 välikoe b) Yhtiö A ilmoittaa että sillä on liian korkea jännite solmussa 1.
ELE- E89 väliko 8..5 rkiu. ll olvn kuvn muki vrko on onglmi. Tiln ov kuvillii ikä kiki vihohdoi ol kyä mnlinn vrkko. Vli opivi oimnpiiä, oill onglm dn poiu miä hdään minn nn rkiulli prulu. Vikk ohonkin
x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
S , Fysiikka IV (Sf), 2 VK
S-11446, Fysiikk IV (Sf, VK 455 1 Slitä lyhysti mutt mhdollisimm täsmällissti: Kskimääräis ktä mlli j itsäist lktroi roksimtio b Mo frmioi ltofuktio hiukksvihtosymmtri j s totutumi dtrmittiltofuktioss
2. Laske tehtävän 1 mukaiselle 320 km pitkälle johdolle nimellisen p- sijaiskytkennän impedanssit ja admittanssit, sekä piirrä sijaiskytkennän kuva.
ELECE849 iirtoohdot, lkuhroituki. Lk 6 Hz:n vrko olvn 5 k:n ohdon ltoimpdni khdll tvll: kä olttmll ohto hävittmäki ttä ottmll hävit huomioon. rtil impdnin ro. Lk luonnollinn tho P kättämällä hävittmän
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008
76P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä. välikoks, sl 8 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä äistä saa laskuharjoituspistitä. Laskut o tarkoitttu laskttaviksi alkutuutoroitiryhmissä, itsks, kavriporukalla
a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
Kohina. Mittaustekniikan perusteet / luento 8. Kohina. Kohina. Kohinan mittaaminen
Mttutkk prutt / luto 8 Koh Koh mttm Koh lttyvää trmolog Kohtyypt Mttuvhvt Kohll trkott lktro järjtlmää pot fluktutot, jok hutuu jok ltt, kompot t mtrl fykt Ku mtt pä glj, mttuk lrj (pmmä mtttv gl) määrää
( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8
(0 1) 0 (0 1) 01 = (0 1) (0 01) = (0 1 ) (0 01)
M M ( ) ( ) M, Tehtävä 24. Muodot äännöllitä luekett (0 ) 0 (0 ) 0 = (0 ) (0 0) = (0 ) (0 0) vtv äärellinen utomtti. Tehtävä 25. Muodot C-kielen liukuluvut tunnitv utomtti äännöllietä luekkeet (d +.d.d
4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Polynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
ARK 01-01. Asiakirjaluettelo. Jyrki Ala-Mäkelä, per. Koy:n lukuun Pinotie 33470 YLÖJÄRVI ENECON OY. Laksontie 11 60420 SEINÄJOKI
ENECON OY Lksoti SEINÄJOKI 9 timo.mtil@co.fi Uudisrkus, Jyrki Al-Mäklä, pr. Koy lukuu, Pioti, Ylöjärvi Piirustusluttlo.. Vstuuhkilö Timo Mtil, RI Asikirj Sisältö Mittkv Luttlot - Asikirjluttlo.. Pääpiirustukst
Pakkauksen sisältö: Sire e ni
S t e e l m a t e p u h u v a n v a r a s h ä l y t ti m e n a s e n n u s: Pakkauksen sisältö: K e s k u s y k sikk ö I s k u n t u n n i s ti n Sire e ni P i u h a s a rj a aj o n e st or el e Ste el
LASKENTA laskentakaavat
LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.
SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE
HYKS-SAIRAANHOITOALUEEN LAUTAKUNTA 33 09.06.2015 SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS
Automaattinen puheentunnistus. Teemu Hirsimäki <teemu.hirsimaki@hut.fi> Informaatiotekniikan laboratorio 30.1.2007
Automttinn puntunnitu Tmu Hirimki Informtiotkniikn lbortorio 30.1.2007 1 Mit puntunnitu on? Puntunnitin on jrjtlm, jok pyrkii tulkitmn putt jollin tvll. Kyttökotit: kyttöliittymn oju,
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
Ratkaisu: z TH = j0,2 pu. u TH. Thevenin jännite u TH on 1,0 pu ja sen impedanssi z = j0,2 pu.
L89 Jäittaiiliu. Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. Piirrä i oho a äitläht Thvii kvivaltti. Aa
Integraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemilyysi lbortorio Mt-.090 Sovellettu todeäköisyyslsku Nordlud Hrjoitus 10 (vko 47/003) (ihe: Väliestimoiti, Liie luvut 10.6, 11.7, 1.1-13.5, 14.4-14.5) 1. Kemillise prosessi sto X o ormlijkutuut.
S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.
T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäittelyteorin peruteet Hrjoitu 7 Demontrtiotehtävien rtkiut 4. Tehtävä: Ooit, että yhteydettömien kielten luokk on uljettu yhdite-, ktentioj ulkeumopertioiden uhteen, o. jo
2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo
.1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,
A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike
Phyic 9 pio () 6 Pyöiiliike j ypyäliike : 6 Pyöiiliike j ypyäliike 6 ) Pyöiiliikkeeä kpple pyöii joki keli ypäi Kpplee eto uuttuu b) Ypyäliikkeeä kpple liikkuu pitki ypyät dϕ c) Hetkellie kulopeu ω o kietokul
Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?
TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii:
i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
- Betoni ja teräs eivät myötää => jännityksen ja muodonmuutoksen välinen yhteys noudattaa Hooken lakia
itoitu käyttöjtil Jännitykt käyttötil Oltukt: - Tot pyyvät toin (Bnoullin otkum) > lininn muoonmuutojkutum > tonin j täkn välillä i ol liukum (yhtnopivuuhto) + - Btoni j tä ivät myötää > jännitykn j muoonmuutokn
= = 1600W = Z = 1600W. ELEC-E8419 Välikoe ratkaisut
ELEE849 Väliko..5 rtkiut. Trktlln kuvn mukit vrkko, ok olttn häviöttömäki. Kikki ohdot ovt Finchohto, oidn rktni pituutt kohti on,33 Ohm/ ukptni pituutt kohti 3,58 ms/. Johtopituudt on nnttu kuv. Suhtllirvon
S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
. väliko 27.0.2008. Saat vatata vain nljään thtävään!. ak jännit. = 4 Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 4 Ω, = 0 V, = 3 A, = 2 A. 2 + I 3 2. ak jännit, kun kytkin uljtaan htkllä. = 0 V = 2 = 0 Ω, = 0,2 F, 0 = 2 V. 2 i 2
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 1, Kevät Tarvittava akseptoridouppaus p-tyypin kerrokseen saadaan kaavalla
OY/PJKOMP R1 17 Puolijohkoonnttin rustt 5171A Rtkisut 1, Kvät 17 1. ( Trvittv kstoriouus tyyin krroksn sn kvll kbt ln Ł ni ni Ł kbt 1 ( 1 c,85 V 17» 1,8 1 c. 17 1 c Ł,59V Mtrilivkiot on otttu luntoonistn
Potenssi a) Kirjoita potenssiksi ja 7 ( 7) ( 7) ( 7). b) Kirjoita kertolaskuksi 9 6 ja ( 11) 3. Laskuja ei tarvitse laskea.
Potessi 9. ) Kirjoit potessiksi j 7 ( 7) ( 7) ( 7). Kirjoit kertolskuksi 9 j ( ). Lskuj ei trvitse lske. ) 5 j ( 7) 9 9 9 9 9 9 j ( ) ( ) 9. Lske. ) 0 7 9 ) 000 9 8 9. Lske. ) ( ) ( ) ) 7 95. Yhdistä prit.,
521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
S Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
R4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi
ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys
Sosiaali- ja terveysministeriön vahvistamissa vastuunjakoperusteissa esiintyvien tasauskertoimien arvot vuodelle 2011 = 0, = 0,036947
Soili- j terveyminiteriön 25.11.2010 vhvitmi vtuunjkoperutei eiintyvien tukertoimien rvot vuodelle = 0,403097 = 0,036947 = 0,000569 TVR(j) = 0,008056 TVR(m) = 0,008051 TVR(y) = 0,008046 ELÄKETURVAKESKUS