1 UUSIUTUMATTOMAT LUONNONVARAT 1.1 Johdantoa optimiohjausteoriaan Kaikissa kurssilla esitetyissä malleissa oletetaan, että luonnonvaran tila (tilamuuttuja = state variable) muuttuu ajassa ennalta tiedetyllä tavalla. Tämä on tietenkin voimakas oletus, sillä useiden luonnonvarojen tilasta vallitsee suuri epävarmuus. Tuttuna tavoitteenamme on hyödyntää luonnonvaraa optimaalisesti, esim. maksimoida siitä saatavaa yhteiskunnallista hyötyä tai voittoa. Tällä kurssilla harjoittelemillamme menetelmillä optimointi voidaan tehdä pitkällä aikavälillä, eli periaatteessa useiksi vuosiksi eteenpäin. Taloudellinen toiminta vaikuttaa luonnonvaran tilaan, mikä on otettava rajoitteena huomioon. Luontoa ei voida tyypillisesti hyödyntää mielivaltaisesti nykyhetkellä, koska tulevaisuudessa luonnonvara voi jopa ehtyä kokonaan. 1
Optimiohjausongelma: Miten ohjata (ohjausmuuttuja = control variable) luonnonvaran tilaa siten että tavoite saavutetaan? Vastaus: Optimaalinen ohjaus jokaisena ajanhetkenä tuottaa optimaalisen tilatrajektorin, eli optimaalisen luonnonvaran aikauran. Voimme siis etukäteen määritellä kaikille tuleville vuosille optimaalisen luononvaran hyödyntämisen ja siitä seuraavan optimaalisen luonnonvaran määrän. Mikäli tästä optimaalisesta ohjauksesta poiketaan jonain vuonna, luonnonvaran nettonykyarvo (tavoite) välttämättä laskee. 1.2 Kysymyksiä Mikä on optimaalinen louhinta-aste? Mikä on uusiutumattoman resurssin hinnan aikaura? Missä vaiheessa resurssit louhitaan loppuun? Uusiutumattomien resurssien markkinarakenne osoittautuu tärkeäksi etsiessämme vastauksia näihin kysymyksiin. (esim. OPEC öljyn tapauksessa) Resurssien niukkuus on olennainen osa markkinoita, sillä pitkällä aikavälillä resurssien saatavuus vääjäämättä huononee. Niukkuuden mittareita: Tunnetut reservit Reservit/kulutus 2
Hinta Louhimisen rajakustannus Uusien esiintymien etsimisen rajakustannus Ympäristövaikutuksia ei varsinaisesti malleissa tarkastella, mutta ne ovat tyypillisesti tärkeä osa luonnonvarojen yhteiskunnallisesti optimaalista hyödyntämistä. 1.3 Hotellingin malli (JPE 1931) Uusiutumattomien luonnonvarojen käytön summa yli ajan äärellinen ja kasvuaste nolla t (1) x( = x(0) - 0 q( τ ) dτ d Merkintä: x( = x& ( dt (2) x& ( = q( Resurssi vähenee käytön mukana alkuarvosta alkaen kunnes se ehtyy: 3
Käytön täytyy olla pienempi kuin alkuvaranto, eli uusia esiintymiä ei etsitä: T (3) q( dt x(0) 0 Oletukset: tasalaatuinen resurssi louhinnan rajakustannus vakio kilpailulliset markkinat Nettotulot: p(q( cq( Maksimoidaan nettotulojen nykyarvoa valitsemalla louhinta-aste q( T rt 0 (4) max J = e q( ( p( c) dt s.t. x& ( = q( Optimiohjausongelma, missä valitaan q kaikkina ajanhetkinä siten että J maksimoituu 4
q( x( x& ( = q( x(0) ohjausmuuttuja tilamuuttuja liikeyhtälö alkutila Käypäarvoinen Hamiltonin funktio (current value): (5) = q( ( p( c) µ ( q( µ ( : käypäarvoinen liittotilamuuttuja Ratkaistaan ongelma Pontryaginin (1962) maksimiperiaatteen mukaisesti: Käypäarvoisen ongelman välttämättömät ehdot (katso luku 1) H (6) = 0 q H ja = & µ ( rµ ( x Ratkaistaan ensin Hamiltonin funktion maksimoituminen (lyhyen aikavälin tuoton maksimi): H (7) FOC(1): = 0 q Tulkinta: Nettotulo = resurssin varjohinta (niukkuushinta) 5
Varjohinta kuvaa louhinnan vaihtoehtoiskustannusta, nyt louhittu yksikkö ei voi tuottaa tuloja tulevaisuudessa. p ( = MC + µ ( Uusiutumattoman luonnonvaran hinta on siis korkeampi kuin tavanomaisilla hyödykkeillä. Lisänä tavanomaiseen p = MC ehtoon, niukkuushinta jota mittaa liittotilamuuttuja kullakin hetkellä. Dynaaminen ehto: H (8) FOC(2): = & µ ( rµ ( x µ& ( t ) rµ ( = 0 Hotellingin sääntö: Optimaalisella louhintauralla resurssin niukkuushinta nousee koron osoittamaa vauhtia. Resurssi on siis yksi sijoituskohde, jonka täytyy tuottaa sama korko kuin muutkin kohteet. Kilpailullinen markkinarakenne tuottaa saman louhinta-asteen kuin sosiaalisesti optimaalinen jos oletetaan että yksityinen ja sosiaalinen diskontto- 6
korko samat. Yhteiskunnallisesti optimaalisuus voi muuttua jos louhinnasta on ulkois-vaikutuksia, esim. öljynporaus. Huom. edellä yhtälö (7) osoittaa että nettotuotto = niukkuushinta. Täten siis Hotellingin sääntö kertoo myös nettotuoton kasvavan koron mukaisesti. 1.4 Niukkuushinnan aikaura Varjohinnan aikaura saadaan ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (8). Kyseessä on ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista kertomalla ensin molemmat puolet rt e :llä. e rt rt µ& ( e rµ ( = 0 Huomataan että vasen puoli on e rt µ( :n derivaatta. Täten integroimalla molemmat puolet saadaan e rt µ ( = µ (0) missä µ(0) on vakiotermi, jonka luonteva tulkinta tässä on resurssin varjohinnan alkuarvo. Täten siis niukkuushinnan aikaura on seuraava: 7
(9) (10) p ( t ) = µ (0) rt e + c Graafisesti: Transversaalisuusehto (11) ( T) = q( T)( p( T) c) µ ( T) q( T) = 0 Loppuhetkellä T ei tavoitefunktioon enää kerry lisää voittoja. Kun q(t) = 0, ehto toteutuu. 8
Huom. Tarkastelussa on jätetty huomioimatta toisen asteen (riittävä ehdot, jotka varmistaisivat että kyseessä on maksimi. Lisäksi on jätetty nurkkaratkaisut huomioimatta (heikko Hamiltonin funktio). 1.5 Backstop-hinta ja optimaalinen hintaura Alkuhinnan p ( 0) = µ (0) + c määrittelemiseksi oletetaan ns. backstop-hinta. Alkuhinnalle pätee, että hetkellä T kaikki on louhittu, q(t) = 0, x(t) = 0. Lisäksi oletetaan jatkossa yksinkertaistukseksi että louhintakustannus c on nolla. Esim. aurinkoenergia voi toimia energiaa tuottavien uusiutumattomien resurssien backstop-teknologiana: 9
Hetkellä T kysynnän ollessa yhtä kuin nolla hinnan täytyy siis olla yhtä kuin backstop-hinta. (12) p ( T ) = µ ( T ) = b p Hetkellä nolla täytyy vastaavasti päteä että resurssin hinta on diskontattu backstop-hinta, jotta yhtälö (10) toteutuu. (13) p ( 0) = µ (0) = p b e rt Täten siis yhtälö (10) backstop-hinta mukaan lukien on (14) p c ( = Tämä on kilpailullisten markkinoiden optimaalinen hintaura. Backstopteknologia vaikuttaa resurssin optimaaliseen hintauraan. Täten vaihtoehtoisilla luonnonvaroilla on vaikutus käytössä olevien luonnonvarojen markkinoihin. 1.6 Optimaalinen louhintaura ja ehtymishetki Lasketaan seuraavaksi kuinka pitkään kilpailullisilla markkinoilla kestää resurssin ehtyminen. 10
Oletetaan seuraavaksi lineaarinen kysyntäkäyrä: (15) q( = b p β p( β b (16) p( = p βq( Kysyntäyhtälö on rakennettu siten, että kun louhittu määrä on nolla, hinta on yhtä kuin backstop-hinta. Kun backstop-hinta laskee, resurssin hinta laskee. Tc b p p ( (17) ( c ) dt = x(0) β β 0 Resurssin yhteen laskettu louhinta pitää olla yhtä kuin resurssin varanto hetkellä 0 (vrt. yhtälö 3). Sijoitetaan nyt yhtälö (14), eli kilpailullisten markkinoiden hintaura yhtälöön (17): Tc b b r( t T ) p p e c (18) ( ) dt = x(0) β β 0 11
Huom. Yhtälön (18) integroitava antaa samalla kilpailullisten markkinoiden optimaalisen louhintauran. Integroidaan (18) ajan suhteen, jotta voitaisiin ratkaista ehtymisaika. T c 0 b p ( β b rt p e e β rt c ) dt = x(0) Integroidaan: Tehdään sijoitus t:n paikalle: Kerrotaan β:lla: 12
b b rt p p e c b (19) p Tc + = β x(0) r r Tästä voidaan numeerisesti ratkaista ehtymishetki. Ehtymishetkeen vaikuttavat backstop-hinta, diskonttokorko, uusiutumattoman resurssin varanto ja kysyntä. Kritiikkiä: 1) Uusiutumattomien luonnonvarojen reaalihinnat eivät ole yleisesti nousseet 2) Resursseilla monta käyttökohdetta (kysyntää). Resursseja useampia ja niillä erilaisia substituutteja 3) Mallissa ei huomioida uusien esiintymien etsintää 4) Fyysinen ehtyminen vs. taloudellinen ehtyminen (Salo & Tahvonen, JEDC 2001) Resurssi kulutetaan fyysisesti loppuun äärellisessä ajassa Resurssi kulutetaan taloudellisesti loppuun äärellisessä ajassa Resurssin ehtymistä lähestytään asymptoottisesti 5) Epävarmuus ja uusiutumattomat luonnonvarat 13
Esimerkiksi Halvorsen & Smith (1991) hylkäävät jyrkästi Hotellingin säännön ja toteavat hintaepävarmuuden suurimmaksi tuotantoon (louhintaan) vaikuttavaksi tekijäksi) Yrityksen riskiasenne ratkaiseva: Kysyntäepävarmuus riskiä kaihtava yritys tyypillisesti siirtää louhintaansa myöhempään ajankohtaan, jottei se joutuisi myymään resurssia liian halvalla hinnalla epävarmuus backstop-teknologian käyttöönotosta aikaistaa resurssin louhintaa, koska resurssi tulee arvottomaksi kun backstop-teknologia otetaan käyttöön Epävarmuus resurssin koosta riskiä kaihtava yritys louhii vähemmän jokaisena ajanhetkenä välttääkseen resurssin loppumisen Empiiriset tutkimukset Yksimielisyys: hinta suurempi kuin rajalouhintakustannus, koska uusiutumattomat luonnonvarat niukkoja. Empiiriset tutkimukset antavat ristiriitaisia tuloksia hinnan ja varjohinnan aikaurien muodoista. 14