Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

Transkriptio

1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

2 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen interpolointi Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

3 Interpolaatiovirheestä Interpolaatiovirheestä Tasavälisellä pisteistöllä interpolaatiovirhettä voidaan arvioida seuraavasti: Lause 5.4 Olkoon a = x 0 < x 1 < < x n = b tasavälinen pisteistö, h = x i+1 x i ja f C (n+1) ([a, b]). Silloin f (t) p n (t) M n 4(n + 1) hn+1, t [a, b], missä M n = max f (n+1) (x). x [x 0,x n] Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

4 Esimerkki 5.5 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Lause 5.4.: f (t) p n (t) M n 4(n + 1) hn+1, M n = max f (n+1) (x). x [x 0,x n] Olkoon f (x) = sin x, x 0 = 0 ja x n = π. Tällöin max f (t) p n (t) 1 h n+1, t [x 0,x n] joten polynomi p n suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä [0, π], kun interpolaatiopisteiden lukumäärää n kasvatetaan rajatta. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

5 Interpolaatiovirheestä Interpolaatiovirheestä jatkuu Lauseen 5.4. epäyhtälöä on käytettävä varoen, sillä vakio M n yleensä riippuu myös interp.polynomin asteesta n. Lisäksi vakion M n laskeminen mielivaltaiselle funktiolle f on käytännössä aivan liian työlästä. Funktion f sileys ja datapisteiden paljous ei takaa pientä interpolaatiovirhettä, kuten seuraava klassinen Rungen esimerkki osoittaa. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

6 Esimerkki 5.6 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Olkoon interpoloitava funktio f (x) = (1 + x 2 ) 1. Olkoon p n interpolaatiopolynomi, joka interpoloi funktiota f tasavälisissä pisteissä välillä [ 5, 5]. Silloin voidaan osoittaa, että lim n max f (x) p n(x) =. x [ 5,5] Siis datapisteiden lisääminen lisää maksimi interpolaatiovirhettä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

7 Esimerkki 5.6 jatkuu Interpolaatiovirheestä 2 f.dat p10.dat Rungen funktiota interpoloiva oskilloiva interpolaatiopolynomi p 10. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

8 Esimerkki 5.7 Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Mikäli interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, niin tasavälinen pisteistö ei yleensä ole optimaalinen. Kuvassa on esitetty Rungen funktiota välillä [ 5, 5] interpoloivat polynomit p 10 ja p 20, kun interp.pisteinä on käytetty Tšebyševin interpolaatiopisteitä. Tässä tapauksessa p n f tasaisesti, kun interp.pisteiden lukumäärä n cheby10.dat cheby20.dat Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

9 Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet Mikäli interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, ei tasavälinen pisteistö yleensä ole optimaalinen. Pyritään seuraavassa valitsemaan interp.pisteet erikoistapauksessa [a, b] = [ 1, 1] siten, että interpolaatiovirhe minimoituu. Eräs ns. ortogonalisten polynomien luokka on Tšebyševin polynomit, jotka voidaan määritellä rekursiivisesti T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

10 Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Välillä [ 1, 1] polynomit T n voidaan lausua myös trigonometristen funktioiden avulla T n (x) = cos(n arccos x), n 0. Yo. esityksestä nähdään, että T n (x) 1, x 1, ( )) 2i + 1 T n (cos 2n π = 0, i = 0,..., n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

11 Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Nyt voidaan osoittaa, että jos interpolaatiopisteiksi valitaan Tšebyševin polynomin T n+1 juuret ( ) 2i + 1 x i = cos 2n + 2 π, i = 0,..., n, niin f (x) p n (x) 1 2 n (n + 1)! max t 1 f (n+1) (t), x 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

12 Interpolaatiovirheestä Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu Yleiseen väliin [a, b] liittyvät Tšebyševin interpolaatiopisteet { x i } saadaan välin [ 1, 1] interpolaatiopisteistä {x i } affiinimuunnoksella x i = 1 2 (a + b) (b a)x i. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

13 Jono interpolaatiopolynomeja ei välttämättä lähesty interpoloitavaa sileää funktiota kun interp.pisteitä lisätään. Tasavälinen pisteistö ja korkea-asteinen interpolaatiopolynomi aiheuttavat usein voimakasta oskillointia, sitä voimakkaammin mitä korkeamman asteen polynomia käytetään. Ratkaisu: Jaetaan havaintoväli osaväleihin havaintopisteiden avulla ja käytetään osaväleillä paloittaisia, matala-asteisia polynomeja. Edelleen vaaditaan, että osaväleiltä yhdistetty funktio on sileä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

14 Määritelmä 5.2. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon väli I = [a, b] jaettu n:ään osaväliin pisteillä a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b. Funktio s : I R on k-asteinen splini, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1 Jokaisella osavälillä I i = [t i 1, t i ], i = 1,... n, funktio s on korkeintaan k-asteinen polynomi. 2 Funktiolla s on välillä I jatkuvat derivaatat kertalukuun k 1 asti. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

15 Splinit Luku5: Interpolointi ja approksimointi Pisteitä t i sanotaan splinin solmuiksi. Yksinkertaisin, ensimmäisen asteen splini on paloittain lineaarinen funktio. Toisen asteen splini on paloittain kvadraattinen funktio; lisäksi sen derivaatta on jatkuva koko välillä I. Yleisimmin käytetty splini on kolmannen asteen splini eli kuutiosplini, koska se on käytännössä riittävän sileä, mutta samalla helpohkosti konstruoitava. Matala-asteiset splinit sopivat erinomaisesti interpolaatiotehtäviin, koska niillä ei ole taipumusta oskillointiin. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

16 Splinit Luku5: Interpolointi ja approksimointi Splinien käyttömahdollisuudet eivät rajoitu vain interpolaatioon. Yleisempi funktion approksimointi, numeerinen integrointi ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voidaan tehdä splinien avulla. Myös tietokonegrafiikassa käytetään usein splinejä sileiden käyrien ja pintojen muodostamiseen. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

17 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa Olkoon väli I = [a, b] jaettu n:ään osaväliin pisteillä a = t 0 < t 1 < < t n = b ja olkoon annettu datapisteistö (t i, y i ), i = 0,..., n. Merkitään h i := t i t i 1, i = 1, 2,..., n. Splinin tulee nyt toteuttaa interpolointiehto s(t i ) = y i, i = 0,..., n. Kuutiosplinin määr. perusteella s, s ja s ovat jatkuvia välillä I. s on paloittain kuutiollinen polynomi s paloittain kvadraattinen polynomi ja s paloittain lineaarinen polynomi. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

18 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt jokaisella osavälillä I i s on lineaarinen, ts. s on suora, joka yhdistää pisteet (x 0, y 0 ) = (t i 1, M i 1 ) ja (x 1, y 1 ) = (t i, M i ), missä s (t i ) = M i. Ko. suoran yhtälö on y = M i M i 1 (x t i 1 ) + M i 1 t i t i 1 = M i (x t i 1 ) M i 1 (x t i 1 ) + M i 1 h i h i = M i (x t i 1 ) + M i 1 (t i 1 x) + M i 1 hi h i h i h i = M i (x t i 1 ) + M i 1 (t i t i 1 +t h i h i }{{} i 1 x) h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

19 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt siis jokaisella osavälillä I i pätee (M i, M i 1 tuntemattomia) s t i x (x) = M i 1 h i Integroimalla yo. saadaan: + M i x t i 1 h i, x I i. s (x) = M i 1 (t i x) 2 2h i + M i (x t i 1 ) 2 2h i c i + d i. Integroidaan vielä kerran, saadaan osavälillä I i : s(x) = M i 1 (t i x) 3 6h i + M i (x t i 1 ) 3 6h i + c i (t i x) + d i (x t i 1 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

20 Kuutiosplini: interpolointiehdot Määrätään vakiot c i, d i asettamalla interpolointiehto s(t i 1 ) = y i 1 ja s(t i ) = y i : (t i t i 1 ) 3 (t i 1 t i 1 ) 3 s(t i 1 ) = M i 1 + M i 6h i 6h i +c i (t i t i 1 ) + d i (t i 1 t i 1 ) (t i t i 1 ) 3 = M i 1 + c i (t i t i 1 ) 6h i hi 2 = M i c ih i = y i 1 c i = 1 h (y 2 ) i i 1 M i 1 h i 6 Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

21 Kuutiosplini: interpolointiehdot Samoin asetetaan interpolointiehto s(t i ) = y i ja saadaan: (t i t i 1 ) 3 hi 2 s(t i ) = M i + d i (t i t i 1 ) = M i 6h i 6 + d ih i = y i d i = 1 h (y 2 ) i i M i h i 6 Näin saadaan (taas välillä I i, i = 1,..., n) (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h i + 1 h i (y i 1 M i 1h 2 i 6 ) (t i x) + 1hi ( y i M ih 2 i 6 ) (x t i 1 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

22 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Derivoimalla edellinen saadaan (taas välillä I i, i = 1,..., n) s (x) = M i 1 (t i x) 2 2h i + M i (x t i 1 ) 2 1 h i (y i 1 M i 1h 2 i 6 2h ) ( i + 1hi y i M ihi 2 6 (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 = M i 1 + M i + y i y i 1 M i 2h i 2h i h i 6 h i + M i 1 6 h i. ) Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

23 Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Erityisesti välin I i päätepisteessä t i saadaan toispuoleiseksi derivaataksi s (t (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 i ) = lim M i 1 + M i x t 2h i i 2h i + y i y i 1 h i hi 2 = M i + y i y i 1 2h i h ( i hi = 2 h i 6 M i 6 h i + M i 1 6 h i M i 6 h i + M i 1 6 h i ) M i + h i 6 M i 1 + y i y i 1 h i = h i 6 M i 1 + h i 3 M i + y i y i 1 h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

24 Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Samoin s (t + i ) = lim x t + i M i (t i+1 x) 2 2h i+1 + M i+1 (x t i ) 2 2h i+1 + y i+1 y i h i+1 M i+1 6 h i+1 + M i 6 h i+1 hi+1 2 = M i + y i+1 y i M i+1 2h i+1 h i+1 6 h i+1 + M i 6 h i+1 ( hi+1 = 2 h ) i+1 M i h i M i+1 + y i+1 y i h i+1 = h i+1 3 M i h i+1 6 M i+1 + y i+1 y i h i+1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

25 Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat Koska s on jatkuva välillä I, on oltava s (t i ) = s (t + i ), i = 1,..., n 1, joten saadaan yhtälöt (i = 1,..., n 1) h i 6 M i 1 + h i 3 M i + y i y i 1 h i = h i+1 3 M i h i+1 6 M i+1 + y i+1 y i h i+1 josta saadaan (i = 1,..., n 1) h i 6 M i 1 + h i + h i+1 M i + h i M i+1 = y i+1 y i h i+1 y i y i 1 h i. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

26 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Sievennetään edellä saatua lauseketta h i 6 M i 1 + h i + h i+1 3 M i + h i+1 6 M i+1 = y i+1 y i h i+1 } {{ } σ i+1 Kertomalla yo. 6 h i +h i+1 :lla saadaan (i = 1,..., n 1) h i h i + h }{{ i+1 } µ i M i 1 + 2M i + h i+1 h i + h i+1 } {{ } λ i M i+1 = Yhtälöt saadaan yksinkertaisempaan muotoon y i y i 1 h i } {{ } σ i 6 h i + h i+1 (σ i+1 σ i ) }{{} d i µ i M i 1 + 2M i + λ i M i+1 = d i, i = 1,..., n 1.. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

27 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Edellä siis määriteltiin merkintöjen yksinkertaistamiseksi luvut σ i := y i y i 1 h i, i = 1,..., n, λ i := h i+1 h i + h i+1, i = 1,..., n 1, µ i := 1 λ i, i = 1,..., n 1, d i := 6(σ i+1 σ i ) h i + h i+1, i = 1,..., n 1. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

28 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Yhtälöt kertoimien M 0,..., M n ratkaisemiseksi saatiin edellä muotoon µ i M i 1 + 2M i + λ i M i+1 = d i, i = 1,..., n 1. n 1 yhtälöä, n + 1 kerrointa M 0,..., M n Yksikäsitteiseen ratkeavuuteen tarvitaan vielä kaksi lisäehtoa. Esitetään tarvittavat kaksi lisäehtoa muodossa 2M 0 + λ 0 M 1 = d 0, µ n M n 1 + 2M n = d n, missä λ 0, d 0, µ n, d n ovat myöhemmin määrättäviä vakioita. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

29 Kuutiosplini: yhtälöryhmä Nyt splinin kertoimien määrääminen on siis palautunut tridiagonaalisen yhtälöryhmän λ 0 M 0 d 0 µ 1 2 λ 1 M 1 d 1 µ 2 2 λ 2 M 2 d =. 6 µ n 2 2 λ n 2 7 6M n 2 7 6d n µ n 1 2 λ 5 4 n 1 M 5 4 n 1 d 5 n 1 µ n 2 M n d n (1) ratkaisemiseen. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

30 Kuutiosplini: lauseke Kun yhtälöryhmän ratkaisemisen jälkeen kertoimet M i tunnetaan, niin splinin arvo s(x) voidaan laskea lausekkeesta (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h ( i + y i 1 M i 1hi 2 ) ( ti x + y i M ih 2 ) i x ti 1. 6 h i 6 h i Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

31 Kuutiosplini: lisäehdot Yhtälöryhmälle (1) saadaan yksikäsitteinen ratkaisu, jos asetetaan jokin seuraavista ehdoista: Luonnollinen kuutiosplini, s.o. s (a) = s (b) = 0, saadaan kun yllä valitaan λ 0 = d 0 = µ n = d n = 0. Tällöin siis M 0 = M n = 0. Derivaattaehto s (a) = y 0, s (b) = y n, saadaan kun λ 0 = µ n = 1, d 0 = 6 ( ) y1 y 0 y 0, h 1 h 1 d n = 6 ( y n y ) n y n 1. h n h n Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

32 Kuutiosplini: lisäehdot Not a knot -ehto saadaan asettamalla vain välin I sisäsolmut t i, i = 1,..., n 1 splinin määritteleviksi solmuiksi ja vaatimalla s(a) = y 0, s(b) = y n. Tällöin tulee yhtälöitä kaksi kappaletta vähemmän ja vakiot λ 1, d 1, µ n 1, d n 1 saadaan sijoittamalla x = t 0 ja x = t n splinin lausekkeeseen. Tässä vaihtoehdossa lisäehtoja ei tarvita. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

33 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Nyt selvästi 0 < λ i < 1, i = 1,..., n 1 ( λ i = h ) i+1 h i + h i+1 ja 0 < µ i < 1, i = 1,..., n 1 (µ i = 1 λ i ). Jos nyt lisäksi λ 0 < 2, µ n < 2, niin yhtälöryhmän kerroinmatriisi on diagonaalisti dominantti, ja yhtälöryhmällä (1) on 1-käs. ratkaisuvektori, joka sisältää splinin tuntemattomien M 0,..., M n arvot. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

34 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu λ 0 M 0 d 0 µ 1 2 λ 1 M 1 d 1 µ 2 2 λ 2 M 2 d =. 6 µ n 2 2 λ n 2 7 6M n 2 7 6d n µ n 1 2 λ 5 4 n 1 M 5 4 n 1 d 5 n 1 µ n 2 M n d n Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

35 Esimerkki 5.9. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon annettu datapisteistö (1, 1), (2, 1 2 ), (3, 1 3 ), (4, 1 4 ). Muodostetaan pisteistöön liittyvä luonnollinen kuutiosplini. Koska M 0 = M 3 = 0, splinin määräävä yhtälöryhmä λ 0 M 0 d 0 6µ 1 2 λ 1 7 6M µ 2 2 λ 2 5 4M 2 5 = 6d 1 7 4d 2 5 µ 3 2 M 3 d 3 saa muodon»»» 2 λ1 M1 d1 =. µ 2 2 M 2 d 2 Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

36 Esimerkki 5.9. jatkuu Nyt h i = t i t i 1 = 1, i = 1,..., 3. λ i := h i+1 h i + h i+1 λ 1 = h 2 h 1 + h 2 = 1 2, λ 2 = h 3 h 2 + h 3 = 1 2 µ i := 1 λ i µ 2 = 1 λ 2 = 1 2 σ i := y i y i 1 h i σ 1 = σ 3 = = = 1 1 2, σ 2 = = 1 6, Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

37 Esimerkki 5.9. jatkuu d i := 6(σ i+1 σ i ) h i + h i+1 d 1 = 6( 1 6 ( 1 2 )) h 1 + h 2 = 1, Siten yhtälöryhmäksi saadaan d 2 = 6( 1 12 ( 1 6 )) h 2 + h 3 = 1 4,»»» 2 1/2 M1 1 = 1/2 2 M 2 1/4 josta M 1 = 1/2 ja M 2 = 0. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

38 Esimerkki 5.9. jatkuu Splinin lauseke kullakin välillä I i saadaan kaavasta (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h ( i + y i 1 M i 1hi 2 ) ( ti x + y i M ih 2 ) i x ti 1 6 h i 6 h i sijoittamalla M 0 = 0, M 1 = 1 2, M 2 = 0, M 3 = 0, h i = 1 ja (t 0, y 0 ) = (1, 1), (t 1, y 1 ) = (2, 1 2 ), (t 2, y 2 ) = (3, 1 3 ), (t 3, y 3 ) = (4, 1 4 ). Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

39 Esimerkki 5.9. jatkuu Esimerkiksi välillä I 1 = [1, 2] ts. (i = 1)... (t 1 x) 3 (x t 0 ) 3 s(x) = M 0 + M 1 6h 1 6h ( 1 + y 0 M 0h1 2 ) ( t1 x + y 1 M 1h1 2 6 h 1 6 = 1 (x 1) 3 ( 1 + (1 0)(2 x) = 1 12 x x x ) x t0 1 6 h 1 ) (x 1) Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

40 Esimerkki 5.9. jatkuu Splinin koko lausekkeeksi saadaan 1 12 x x x + 3 2, 1 x 2 s(x) = 1 12 x x x , 2 x 3 Huomaa, että s ja s ovat jatkuvia välillä [1, 4] x , 3 x 4. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

41 Kuutiosplinin käyttö interpoloinnissa jatkuu Kuutiosplinin voidaan ajatella syntyvän kun suora, hoikka ja taipuisa metallitanko pakotetaan kulkemaan datapisteiden kautta. Tangon taivutusenergia on 1 b 2 a [s (x)] 2 dx, missä s(x) on tangon poikkeama lepotilasta pisteessä x. Seuraava lause sanoo, että luonnollinen kuutiosplini minimoi taivutusenergian lausekkeen. Lause 5.6. Jos luonnollinen kuutiosplini s interpoloi funktiota f C (2) ([a, b]) pisteissä a = t 0 < t 1 <... < t n = b, niin b a [s (x)] 2 dx b a [f (x)] 2 dx. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

42 Lause 5.7. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Olkoon f C (2) ([a, b]), y i := f (t i ) ja h = max h i. Jos luonnollinen kuutiosplini s on interpolaatiotehtävän s(t i ) = y i, i = 0,..., n ratkaisu, niin interpolaatiovirheelle saadaan arviot missä max a x b f (x) s(x) h 3 2 E(f ) max a x b f (x) s (x) h 1 2 E(f ), b E(f ) = a [f (x)] 2 dx. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

43 Huomautus 5.2. Luku5: Interpolointi ja approksimointi Vaikka splini-interpolantti käyttäytyykin hyvin välillä I, ei sitä kannata käyttää extrapolaatioon. Esimerkiksi tekijä (x t n 1 ) 3 splinin lausekkeessa kasvaa voimakkaasti välin I ulkopuolelle, jolloin interpolaatiovirhe kasvaa myös hyvin voimakkaasti. Tästä syystä ekstrapolaatiota on syytä välttää tai ainakin rajoituttava ekstrapoloimaan mahdollisimman lähellä annettua datapisteistöä. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43