Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio välillä [, b], mikäli jokisell [, b] on voimss g () = f(). Snomme myös, että funktion f koko määritysjoukoss M f määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio, mikäli g on f :n integrlifunktio jokisell välillä [, b] M f. Funktion f integroimisell trkoitmme integrlifunktion etsimistä funktiolle f. Integroiminen on siis derivoimiselle käänteinen toimenpide. Snomme, että f on integroituv (välillä [, b]), mikäli f :llä on integrlifunktio (välillä [, b]). Esimerkki Suorn edellisen luvun derivointikvojen perusteell on voimss funktio e on funktion e integrlifunktio. funktio ln on funktion integrlifunktio jokisell välillä [, b], missä >. funktio sin on funktion cos integrlifunktio. funktio cos on funktion sin integrlifunktio. funktio cot() on funktion sin () integrlifunktio välillä [nπ, (n+)π], missä n Z. funktio tn() on funktion cos () integrlifunktio välillä [ π + nπ, π + (n + )π], missä n Z. Pnemme merkille, että integrlifunktio ei koskn ole yksikäsitteisesti määrätty: jos g on f :n integrlifunktio, niin myös summfunktio g + c on f :n integrlifunktio, kun c:llä on merkitty (mielivltiseen) lukuun c R liittyvää vkiofunktiot h, missä h() = c jokisell R. Tämä seur summfunktion derivointikvst, kosk vkiofunktiolle h on voimss h () = jokisell. Integrlifunktio on kuitenkin yksikäsitteinen vkiot ville siinä mielessä, että jos g j h ovt funktion f integrlifunktioit, niin on olemss sellinen c R, että h() = g() + c jokisell. 98
Edellisen nojll funktion f integrointi-ongelmn rtkisemiseksi riittää, että löydämme funktiolle yhden integrlifunktion g: tällöin kikki f :n integrlifunktiot ovt muoto g + c, missä c R. Edellisessä luvuss minitut derivtn linerisuusominisuudet ovt hyödyllisiä integrlifunktioit etsittäessä, sillä niiden perusteell myös integrlill on vstvt ominisuudet: Olkoon funktioll f() integrlifunktio F() j funktioll g() integrlifunktio G(). Tällöin funktioll rf() on integrlifunktio rf() j funktioll f() + g() on integrlifunktio F() + G(). Esimerkki () Edellisen luvun tuloksen mukn funktio p on funktion p p integrlifunktio jokisell välillä, kun p Q, p. Linerisuuden nojll smme tästä käyttökelpoisemmn integrointisäännön: funktio q+ q+ on funktion q integrlifunktio, kun q Q, q. (b) Edellisen säännön j linerisuuden nojll smme yleisen polynomifunktion integroimissäännön: funktio + + + n+ n n+ on funktion + + + n n integrlifunktio. (c) Minitsimme yllä, että funktion sin() integrlifunktio on cos(). Linerisuuden nojll tästä seur, että funktion sin() integrlifunktio on cos() (d) Aikisemmn nojll funktioill j on integrlifunktiot cot() j sin () cos () tn() jokisell välillä [n π π, (n + ) ], missä n Z. Kosk sin () + cos () = cos ()+sin () = sin () cos () sin () cos (), näemme että funktio tn() cot() on funktion sin () cos () integrlifunktio jokisell välillä [n π π, (n + ) ]. Vikk olemmekin löytäneet integrlifunktion yleiselle polynomifunktiolle, niin monille muille funktioille on vike löytää integrlifunktiot. On olemss jop sngen yksinkertisi funktioit, kuten funktio e, joiden integrlifunktioit ei void lisinkn esittää edellä esiintyneiden tuttujen lkeisfunktioiden vull. Toisinn voimme kuitenkin löytää integrlifunktion tunnettujen derivointisääntöjen vull, rvilemll j rvuksi kokeilemll j korjilemll. Tehtävä Etsi funktion f() = ln() integrlifunktio. 99
Rtkisu. Pnemme merkille, että kosk D = j D ln() =, niin derivtn tulosäännön nojll on voimss D( ln()) = ln() + = ln() +. Voimme korjt yhteenlskettvn iheuttmn virheen lisäämällä funktioon ln() sellisen funktion, jonk derivtt on. äin löydämme funktiolle f() = ln() integrlifunktion g() = ln(). Trkistus: D( ln() ) = D( ln()) + D( ) = (ln() + ) = ln(). Aivn vstvsti löydämme integrlifunktion yleiselle logritmifunktiolle log (). Tehtävä Etsi funktion f() = log () integrlifunktio. Rtkisu. On voimss D log () = log (e) j täten D( log ()) = log ()+ log (e) = log () + log (e). Tästä seur, että funktioll f() = log () on integrlifunktion g() = log () log (e). Erityisesti näemme, että funktioll lg() on integrlifunktio lg() lg(e). Funktion f määrätty integrli välillä [, b] on luku g(b) g(), missä g on joku f :n integrlifunktio; merkitsemme tällöin b f()d = g(b) g(). Määrätty integrli on riippumton määritelmässä käytetystä integrlifunktiost g, sillä jos h on jokin toinen f :n integrlifunktio, niin edellisen nojll on olemss sellinen reliluku c, että h() = g() + c jokisell ; tällöin on voimss b f()d = g(b) g() = (g(b) + c) (g() + c) = h(b) h(). Toisin snoen, f :n integrlifunktio h nt smn rvon f :n määrätylle integrlille välillä [, b] kuin integrlifunktio g. Välillä [, b] määritellylle funktiolle g merkitsemme / b g() = g(b) g(). Jos g on funktion f integrlifunktio välillä [, b], niin voimme ilmist määrätyn integrlin määritelmän seurvsti: b f()d = / b g(). Integroimisell on pljon sovelluksi niin mtemttisess nlyysissä kuin sen ulkopuolellkin. Yksi hvinnollinen tulkint määrätylle integrlille sdn trkstelemll funktion kuvjn j -kselin väliin jäävän lueen pint-l -kselin välin [, b] kohdll: osoittutuu, että jos f() jokisell [, b] j jos f on integroituv välillä [, b], niin kyseisen pint-l on b f()d.
Esimerkkejä () Seurvss kuvss vrjostettu lue esittää funktion f() = ln kuvjn j -kselin väliin jäävää luett välillä [3, ]. Edellisen esimerkin nojll funktioll f on integrlifunktio g() = ln. Täten vrjostetun lueen pint-l on 3 f()d = ( ln ) (3 ln3 3) = ln ln 3 3 7 = ln ln 7 7, 73 4 3-3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 - - -3-4 (b) Määritämme sinikäyrän j -kselin osvälin [ π, π] rjoittmn lueen pint-ln. -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 - Rtkisu. Merkitään kysyttyä pint-l A:ll. Symmetrin nojll A on kksi kert niin suuri kuin sinikäyrän j -kselin välin [, π] rjoittmn lueen pint-l. Kosk sinikäyrä on -kselin yläpuolell välillä [, π], näemme että hettu pint-l voidn ilmist määrätyn integrlin vull: A = π sin()d. Tiedämme jo, että funktioll sin on integrlifunktio cos. Täten A = π / π sin()d = cos() = ( cos(π) ( cos())) = (( ) ( )) = 4.
Määrättyjen integrlien vull voimme myös lske kppleiden tilvuuksi. Esimerkiksi pyörähdyskppleiden tilvuuksi voidn lske integroimll. Tällisi syntyy kun tsolue pyörähtää jonkun suorn ( pyörähdyskselin ) ympäri. Seurvss kuvss esiintyvä ellipsoidi on muodostunut origokeskisen ellipsin pyörähtäessä pystysuorn koordinttikselin ympäri. z y Esimerkki Trkstelemme yz-tson ellipsin y 4 + z = rjoittm luett A = {(y, z) R : y 4 + z }. Jos jttelemme yz-tson sijitsevn vruudess R 3, joss on suorkulmisen koordintiston koordinttikselein y-j z-kselien lisäksi -kseli j jos pyöräytämme yz-tso vruudess R 3 z-kselin ympäri, niin smme yllä olevn kuvn mukisen ellipsoidin K = {(, y, z) R 3 : +y 4 + z }. Kun leikkmme ellipsoidi y-tson suuntisill tsoill z = r, niin leikkus on tyhjä, mikäli r >. Jokisell r leikkus on ympyrälue, jonk säde on yhtälön y 4 + r = positiivinen rtkisu eli r ; leikkuslueen pint-l on tällöin π 4( r ). Funktio f(r) = π 4( r ) ilmoitt siis y-tson suuntisten poikkileikkuksien pint-lt j ellipsoidin tilvuus V sdn integroimll funktiot f välillä [, ]: V = f(r)dr = π 4( r )dr = 4π ( r )dr = / r r3 3 = 4π 4 3 = 6 3 π. Tietyissä tilnteiss integrleill on muitkin tulkintoj. Jos esimerkiksi funktiot m(t), n(t) j k(t) ilmisevt kppleen kulkenutt mtk, kppleen nopeutt j sen kiihtyvyyttä jnhetkellä t, niin näiden funktioiden välillä on yhteydet m (t) = n(t) j n (t) = k(t), joten funktio m on funktion n j funktio n on funktion k integrlifunktio. äin ollen, jos tunnemme kiihtyvyyden rvot ikvälillä [, t ], niin voimme lske nopeuden muutoksen määrättynä integrlin kvn t k(t)dt = v(t ) v( ) mukisesti.
Tällä tvll voimme selvittää nopeudet kiihtyvyyksien vull. Jos puolestn tiedämme nopeuden rvot ikvälillä [, t ], niin voimme lske mtkn muutoksen määrättynä integrlin kvn t n(t)dt = m(t ) m( ) mukisesti. Esimerkki Jos unohdmme ilmnvstuksen vikutuksen, niin kpple puto vpss pudotuksess vkiokiihtyvyydellä g. Jos putominen lkoi hetkellä, niin hetkellä t > kppleen nopeus on t gdt = g t dt = g t = g (t ). Kppleen nopeuden hetkellä t > nt siis funktio n(t) = g (t ). Hetkellä t > kpple on pudonnut mtkn, jonk pituus m(t ) sdn määrättynä integrlin: m(t ) = t n(t)dt = t (g t g )dt = t g tdt t g dt = g t t tdt g dt. Kosk funktioll h(t) = t on integrlifunktio t, smme lskettu mtkn rvon: m(t) = g / t / t t t g t = g ( t t t (t ) ). Kosk on voimss t t = (t + )(t ), smme mtkn lusekkeen muotoon m(t ) = g (t + ) (t ) j viimein muotoon m(t ) = g (t ). Viimeinen esimerkkimme osoitt, että differentili- j integrlilskennn tuloksi / t voidn käyttää muullkin kuin vin luonnontieteissä. Esimerkki Kivoksest louhitn jok vuosi sm määrä mlmi, mutt sitä joudutn louhimn yhä syvemmältä j tämä lisää toiminnn kustnnuksi. Tilstojen perusteell kustnnukset ( /tonni) ovt vuoden 6 lust skk määräytyneet kvn k(t) = 4+ log( t 5) mukisesti, kun jn (t) yksikkönä on vuosi. Mlmin hint ( /tonni) on jo muutmn vuoden jn noussut tsiseen thtiin 3 vuodess. Ennusteen mukn kivoksen tulos vuodelt 7 on 5% tppiollinen. Mikäli ennuste pitää pikkns j mikäli kustnnukset j hint kehittyvät vuonn 8 smoin kuin vuonn 7, niin onko vuoden 8 toimint voitollist vi tppiollist? Rtkisu. Merkitsemme s:llä ik (yksikkönä vuosi), jok on kulunut vuoden 5 lust lähtien j l:llä mlmin hint vuoden 5 luss. Tällöin kustnnukset voidn ilmist kvll k(s) = 4+lg( s) j myyntihint (tonnilt) kvll h(s) = l+3s. Jos merkitsemme louhinnn kokoniskustnnuksi tonni kohti vuoden 5+ ikn K():llä j mlmitonnin myynnistä kertynyttä summ H():llä, niin nämä luvut voidn :n rvoill j 3 lske integroimll: K() = + k(s)ds j H() = + h(s)ds. 3
Kosk lg( s) = lg(s ) = lg(s), smme K() = + = 4 / + = 4 + + (4 + lg(s))ds = 4ds + / + s + s lg(s) s lg(e) [ ] ( + ) lg( + ) lg() lg(e) + lg(s)ds j H() = + (l + 3s)ds = = l + 3 + 5. / + ls + 5s = l + 5 ( ( + ) ) Kosk tulos v. 7 on 5% miinuksell, smme yhtälön H() = 95 K(). Ottmll huomioon yllä olevt K :n j H :n lusekkeet, smme yhtälön l + 75 = 95 [ 4 + [3 lg(3) lg() lg(e)]]. Kosk logritmin lskusääntöjen nojll pätee, että 3 lg(3) lg() lg(e) = lg( 7 4e ), smme edellisestä rtkistu l = 75 + 38 + 9 lg(7 4e ) 35, 876943. Vuodelle 8 smme nyt rviot K(3) = 4 + [4 lg(4) 3 lg(3) lg(e)] = 4 + lg 56 7e H(3) = l + 5 4, 876943. äin ollen kivoksen toimint olisi n., 5% voitollist vuonn 8. 4, 798596, 4