ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU 7. Meeysjärjeselmä Teoverkkolaboraoro Ssälö 7. Meeysjärjeselmä Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall osso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k lueo7.pp S-38.45 - Lkeeeora perusee - Kevä 3 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Ykskerae lkeeeoreee mall Syymä-kuolema-prosess Asakkaa saapuu keskmäär opeudella asakasa per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkaa palvellaa :llä rakkasella palveljalla alvelja palvelee keskmäär opeudella asakasa per akayks. / keskmääräe asakkaa palveluaka Lsäks järjeselmässä o m odouspakkaa Esyvä asakkaa jode saapuessa järjeselmä o äys meeeää Ääreölase pelksymäömä sk-prosess lasrymäkaavo: Iesee > ja > vaheleva er mallessa. Mallus o ässä apauksessa sopve paramere löyäme 3 m 3 4
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä uhdas meeysjärjeselmä Ääreö järjeselmä E yhää odouspakkaa m Jos asakkaa saapuessa kakk palvelja ova käyössä el järjeselmä o s. esolassa use puhuaa myös äydesä järjeselmäsä, kysee asakas posuu koko järjeselmäsä pääsemää palveluu ollekaa. Järjeselmä o ss esolle. Käyäjä kokema palvelu laadu kaala kosava suure o esm odeäkösyys, eä järjeselmä o äys asakkaa saapuessa Huom. Saapumsesee vakoarvo lsäks ulemme arkaselemaa laea, mssä esee ι rppuu syseem lasa. Ääreö määrä palveljoa esoo ja vveeö: yhäkää asakasa e meeeä, ekä keekää arvse edes odoaa palveluu pääsyä Huom. Saapumsesee vakoarvo lsäks ulemme arkaselemaa laea, mssä esee rppuu syseem lasa 5 6 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Eso Ssälö Meeysjärjeselmässä osa kususa meeeää: saapuva kusu meeeää, jos kakk kaava o varau so. syseem o äys ko. kusu saapuessa erm eso vaa ähä apahumaa Meeysjärjeselmssä vodaa määrellä usea er esosuurea: Kusueso B c, eä saapuva kusu meeeää de saapuve kusuje osuus, joka meeeää Akaeso B, eä syseem o äys melvalasea ajahekeä se osuus ajasa, jollo syseem o äys Nämä suuree evä välämää ole samoja; os jos uude kusu saapuva s. osso-prosess mukases, B c B Sovelluuse kaala ollaa yleesä kosuea kusuesosa, joka kuvaa käyäje kokemaa palvelu laaua Akaeso aas o use helpomm laskeavssa oleva suure Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall osso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 7 8
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä osso-mall M/M/ Tlasrymäkaavo Määr. osso-mall o seuraavalae yksker. lkeeeor. mall: ääreö määrä rppumaoma käyäjä k saapumse välaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / saapumsprosess o ss osso-prosess eseeää ääreö määrä palveljoa palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / e odouspakkoja m Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M/ -joomall ääreö järjeselmä, ss esoo Merkä: a / lkeeesee 9 Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: :llä h + oh syseem saapuu uus asakas aheuae lasrymä + jos >, :llä h + oh joku syseemssä oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess ääreömällä la-avaruudella S {,,,...},, 3 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoyhälösä: + + a + + + a,,,,! Sovelleaa se jakaumaehoa: a! a! a a e e LBE N Tasapaolaeessa syseemssä oleve asakkade lkm X oudaaa ss osso-jakaumaa: X ossoa X a a { } e,! E X a, D X a,,, Huom. sesvsyys palveluaja jakauma suhee Ise asassa ulos päee ylesemmk: ekspoeaalse palveluakajakauma sjasa vodaa palveluajalle vala mkä ahasa jakauma, joka odousarvo o / ää saoaa sesvsyydeks palveluaja jakauma suhee Vomme ss M/M/ -mall sjasa arkasella ylesempää M/G/ -malla
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Ssälö Erlag-mall M/M// Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall osso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k Määr. Erlag-mall o seuraavalae yksker. lkeeeor. mall: ääreö määrä rppumaoma käyäjä k saapumse välaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / saapumsprosess o ss osso-prosess eseeää äärelle määrä palveljoa < palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / e odouspakkoja m Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M// -joomall puhdas esojärjeselmä, ss esolle Merkä: a / lkeeesee 3 4 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tlasrymäkaavo Tasapaojakauma Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: jos <, :llä h + oh syseem saapuu uus asakas aheuae lasrymä + jos >, :llä h + oh joku syseemssä oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess äärellsellä la-avaruudella S {,,,,},, 5 Lähdeää jällee lkkeelle lokaalesa asapaoyhälösä: + + a + + + a,,,,! Sovelleaa se jakaumaehoa: a! a! LBE N 6
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Akaeso Tasapaolaeessa syseemssä oleve asakkade lkm X oudaaa ss s. kakasua osso-jakaumaa: { X } a!,,,, a j j j! Huom. sesvsyys palveluaja jakauma suhee Tulos päee jällee ylesemmk: ekspoeaalse palveluaka-jakauma sjasa vodaa palveluajalle vala mkä ahasa jakauma, joka odousarvo o / Vomme ss M/M// -mall sjasa arkasella ylesempää M/G// -malla Akaeso B se osuus ajasa, jollo syseem o äys Tasapaolassa olevalle Markov prosesslle sama ku eä syseem o melvalasea ajahekeä äys el lassa : a B : { X }! a j j j! 7 8 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Kusueso Ssälö Kusueso B c de saapuve kusuje osuus, joka meeeää, eä saapuva asakas meeeää, eä asakkaa saapuessa syseem o äys el lassa osso-prosess ASTA-omasuude mukaa: saapuva asakas äkee syseem asapaossa. Täsä pääelemme, eä kusueso o Erlag-mallssa äsmällee sama ku akaesok: a B B! c a j j j! Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall osso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k Kue aemm o jo odeu, ämä o s. Erlag esokaava 9
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Bommall M/M/k/k/k O-off-yyppe asakas Määr. Bommall o seuraavalae yksker. lkeeeor. mall: äärelle määrä rppumaoma asakkaa k < asakkaa o-off-yyppsä ss välllä joulaa ja välllä palvelussa joueoloaja IID oudaae Expν-jakaumaa odousarvoaa /ν jokaselle asakkaalle oma palvelja k palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / e odouspakkoja m Huom. Kedall merköllä: M/M/k/k/k -joomall ko. syseem o esoo vakkak äärelle O-off yyppe asakas vr. lueo 4, kalvo 7: joulaaa palvelussa Merk. X j :llä asakkaa j j,,,k laa hekellä Idekso: la joulaaa, la palvelussa Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: jos X j, :llä νh + oh asakas sryy palveluu aheuae lasrymä jos X j, :llä h + oh asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X j o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa ν Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess äärellsellä la-avaruudella S {,} 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä O-off-yyppe asakas Tlasrymäkaavo rosess X j asapaojakauma laskemseks lähdeää lkkeelle lokaalsa asapaoyhälösä: j j j j ν ν Jakaumaehdo mukaa: j j j ν j + +, ν + j ν ν + Tasapaolaeessa yksäse asakkaa la X j oudaaa ss Beroull-jakaumaa osumsodeäkösyyeää ν/ν+ Täsä voas suoraa pääellä koska asakkaa oleeu ossaa rppumaomks, eä koko syseem la X so. syseemssä oleve asakkade lkm: asapaojakauma o Bk, ν/ν+-jakauma 3 Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: jos < k, :llä k νh + oh joku joulaa olevsa asakkasa sryy palveluu aheuae lasrymä + jos >, :llä h + oh joku syseemssä oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa kν kν ν ν k k k k Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess äärellsellä la-avaruudella S {,,,k}, k -, 4
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Tasapaojakauma Lähdeää jällee lkkeelle lokaalesa asapaoyhälösä: k ν + + LBE k ν + + k k! ν k ν,!!,,, k Sovelleaa se jakaumaehoa: k k k ν N k k k k ν ν + ν + 5 Tasapaolaeessa syseemssä oleve asakkade lkm X oudaaa ss bomjakaumaa: X B k, ν ν + { X k } ν k, ν + ν + E X k ν, ν + D X k ν ν + ν +,,, k kν ν + Huom. sesvsyys Tässä apauksessa ulos o sesv sekä palveluaja eä joueoloaja jakauma suhee Vomme ss M/M/k/k/k -mall sjasa arkasella ylesempää G/G/k/k/k - malla 6 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Ssälö Egse-mall M/M///k Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall osso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 7 Egse-mall o seuraavalae yksker. lkeeeor. mall: äärelle määrä rppumaoma asakkaa k < asakkaa o-off-yyppsä ss välllä joulaa ja välllä palvelussa joueoloaja IID oudaae Expν-jakaumaa odousarvoaa /ν vähemmä palveljoa ku asakkaa < k palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / e odouspakkoja m Huom. Kedall merköllä: M/M///k -joomall ko. syseem o esolle O-off yyppe asakas: joulaaa palvelussa Oleus. Esolaeessa so. syseem ollessa äys asakkaa haluessa palveluu ko. asakas aloaa uude joueolojakso. eso! joue joue 8
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tlasrymäkaavo Tasapaojakauma Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: jos <, :llä k νh + oh joku joulaa olevsa asakkasa sryy palveluu aheuae lasrymä + jos >, :llä h + oh joku syseemssä oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa kν kν k+ ν k+ν Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess äärellsellä la-avaruudella S {,,,}, k -, 9 Lähdeää jällee lkkeelle lokaalesa asapaoyhälösä: k ν + + LBE k ν + + k k! ν k ν,!! Sovelleaa se jakaumaehoa: k ν k ν,,, N 3 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Akaeso Tasapaolaeessa syseemssä oleve asakkade lkm X oudaaa ss s. kakasua bomjakaumaa: k k k ν ν ν + ν + { X },,,, k j k j k j j ν j ν ν + ν + j j Akaeso B se osuus ajasa, jollo syseem o äys, eä syseem o melvalasea ajahekeä äys el lassa : k ν B : { X } k j j ν j Huom. sesvsyys Tässäk apauksessa ulos o sesv sekä palveluaja eä joueoloaja jakauma suhee Vomme ss M/M///k -mall sjasa arkasella ylesempää G/G///k - malla 3 3
7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Kusueso Kusueso Kusueso B c de saapuve kusuje osuus, joka meeeää, eä saapuva asakas meeeää, eä asakkaa saapuessa syseem o äys el lassa Koska Egse-mallssa saapumsprosess e ole osso-prosess mkse?, myöskää ASTA-omasuua e voda hyödyää kusuesoa laskeaessa Kue ullaa seuraavsa kalvosa äkemää, Egse-mallssa osaa käy, eä saapuva asakkaa äkemä lajakauma pokkeaa edellä johdeusa asapaojakaumasa so. prosess X saoaarsesa jakaumasa Täsä aas seuraa, eä os ku Erlag-mallssa Egse-mallssa kusu- ja akaeso pokkeava ossaa Merk. *:llä :ä, eä saapuva asakas äkee syseem lassa Tarkasellaa pkää ajajaksoa,t: Täsä ajasa syseem veää keskmäär aja T lassa, mä akaa saapuu keskmäär k ν T asakasa joka ss kakk äkevä syseem lassa Kake kakkaa akavälllä,t saapuu keskmäär Σ j k jν j T asakasa Nä olle k ν T k ν *,,,, k j ν jt k j ν j j j 33 34 7. Meeysjärjeselmä 7. Meeysjärjeselmä Kusueso 3 Kusueso 4 Vodaa osoaa osoa! eä k ν *,,,, k j j ν j Ku rppuvuus asakkade lkm:sä k merkää eksplsses äkyv, saamme seuraava ulokse: * k k,,,, Tos saoe saapuva asakas äkee sellase syseem asapaossa, jossa o yks asakas vähemmä hä se! Valsemalla saamme kusuesolle kaava Bc k * k k B k Egse-mallssa ss kusueso k: asakkaa syseemssä o sama ku akaeso k : asakkaa syseemssä: k ν Bc k B k k j j ν j Tämä o Egse esokaava 35 36
7. Meeysjärjeselmä ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Teoverkkolaboraoro Yheeveo Tlasrymä jos ääreö määrä asakkaa lkmx oudaaa osso-jakaumaa a kakasua osso-jakaumaa 3 8. Joousjärjeselmä Tlasrymä jos äärelle määrä asakkaa, k > lkmx oudaaa bomjakaumaa a kakasua bomjakaumaa kν kν kν ν ν k k k kν k+ ν k+ν k 37 lueo8.pp S-38.45 - Lkeeeora perusee - Kevä 3 8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Ssälö Ykskerae lkeeeoreee mall Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall M/M/ palvelja, odouspakkaa M/M/ palveljaa, odouspakkaa Asakkaa saapuu keskmäär opeudella asakasa per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkaa palvellaa :llä rakkasella palveljalla alvelja palvelee keskmäär opeudella asakasa per akayks. / keskmääräe asakkaa palveluaka Lsäks järjeselmässä o m odouspakkaa m 3
8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Keraus uhdas odousjärjeselmä Meeysjärjeselmässä e odouspakkoja m Käsely apaukse < ja Lsäks asakkade lukumäärä äärelle a ääreö Joousjärjeselmässä m Tapaus < Oleuksea ääreö asakaspopulaao el osso saapumse Ääreö määrä odouspakkoja m Yhäkää asakasa e meeeä, vaa jos asakkaa saapuessa kakk palvelja ova käyössä, ko. asakas jää odoamaa järjeselmä ssälle palveluu pääsyä. Järjeselmä o ss esoo. Käyäjä kokema palvelu laadu kaala kosava suure o esm odeäkösyys, eä asakas jouuu odoamaa kauemm ku jok aeu referessaka s. la kaua 4 5 8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Jookur Erlasa yösälyävä jookureja Tarkasellaa yhde palvelja joousjärjeselmää Jookur queueg dscple keroo, me palvelua arjoaa syseemssä olevlle asakkalle palvellaako kerrallaa yhä va useampaa asakasa jos kerralla palvellaa va yhä asakasa, mssä järjesyksessä asakkaa oeaa palveluu jos aas kerralla palvellaa useampaa asakasa, me palvelja kapasee jaeaa palvelave keske Huom. Teokoemaalmassa jookura vasaa käse vuorojako el skedulo schedulg Määr. Jookura saoaa yösälyäväks work-coservg, jos asakkaa palvellaa äydellä palveluopeudella aa, ku syseemssä o asakkaa Frs I Frs Ou FIFO Frs Come Frs Served FCFS oleusarvoe jookur avalle joo asakkaa palvellaa saapumsjärjesyksessä asakkaa palvellaa yks kerrallaa äydellä palveluopeudella palvelu kohdsuu aa she asakkaasee, joka o odoau psmpää Las I Frs Ou LIFO Las Come Frs Served LCFS po sack asakkaa palvellaa yks kerrallaa äydellä palveluopeudella palvelu kohdsuu aa she asakkaasee, joka o odoau lyhmpää rocessor Sharg S asapuole palvelu el relu joous far queueg kakka syseemssä oleva asakkaa palvellaa yhakaa ku syseemssä o asakasa, kuk äsä saa :e osa palvelusa s. kuak äsä palvellaa opeudella / 6 7
8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Ssälö M/M/ joo Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall M/M/ palvelja, odouspakkaa M/M/ palveljaa, odouspakkaa Tarkasellaa seuraavalasa ykskerasa lkeeeoreesa malla: ääreö määrä rppumaoma käyäjä k saapumse välaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / saapumsprosess o ss osso-prosess eseeää yks palvelja palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / ääreö määrä odouspakkoja m oleusarvoe jookur: FIFO Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M/ -joomall arkemm saoua M/M/-FIFO Merkä: / lkeekuorma 8 9 8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Kosava sauasmuuuja Tlasrymäkaavo X syseemssä oleve asakkade lkm el joo puus melvalasea ajahekeä asapaolaeessa X* syseemssä oleve asakkade lkm el joo puus yypllse asakkaa saapumshekellä yypllse asakkaa odousaka S yypllse asakkaa palveluaka D + S yypllse asakkaa syseemssäoloaka el vve Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: :llä h + oh syseem saapuu uus asakas aheuae lasrymä + jos >, :llä h + oh palvelussa oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess ääreömällä la-avaruudella S {,,,...},, koska va palvel
8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Tasapaojakauma Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoyhälösä: + LBE +,,,, N, jos < Sovelleaa se jakaumaehoa: Sabllle syseemlle ss ku < syseemssä oleve asakkade lkm X oudaaa asapaolaeessa ss geomersä jakaumaa: < X Geom { X },,,, E X, D X Huom. Tulos päee kaklle yösälyävlle jookurelle FIFO, LIFO, S, Ns. symmerslle jookurelle kue LIFO ja S mua e FIFO ulos o sesv palveluaja jakauma suhee Se sjaa FIFO-jookura oudaeaessa jopa odousarvo EX vahelee palveluaja jakauma mukaa 3 8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe joo puus EX kuorma fukoa Musaeha Lle kaava EX 6 5 4 3..4.6.8 kuorma Tarkasellaa syseemä, joho saapuu uusa asakkaa eseellä Sablsuusoleus: Syseem e kerry asakkaa, vaa se yhjeee aka ajo Tällö asakkaa posuu eseellä Merkää N keskmäär syseemssä oleveasakkade lkm T keskmääräe asakkaa syseemssä veämä aka Lle kaava: N T 4 Erä hyödylle kaava, e arvse olla ASTA, rää eä o sabl! 5
8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe syseemssäoloaka Keskmääräe vve ED kuorma fukoa Merkää D:llä asakkaa syseemssäoloakaa el vveä ssäläe sekä odousaja eä palveluaja S: D + S Sovelleaa Lle kaavaa ks. lueo kalvo : EX ED. Nä olle päee E X E D Huom. Keskmääräe vve o sama kaklle yösälyävlle jookurelle FIFO, LIFO, S,, mua vvee jakauma ja se esm. varass se sjaa rppuu käyeysä jookursa Huom. Vvee ykskköä käyey keskmääräsä palveluakaa ED 6 5 4 3..4.6.8 kuorma 6 7 8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe odousaka Odousaja jakauma Merkää :llä asakkaa odousakaa Koska D S, odousaja odousarvolle päee E E D E S Huom. Jällee, keskmääräe odousaka o sama kaklle yösälyävlle jookurelle FIFO, LIFO, S,, mua vvee jakauma ja se esm. varass se sjaa rppuu käyeysä jookursa Merkää X*:llä syseemssä oleve asakkade lkm:ää asakkaa saapumshekellä ASTA-omasuude ojalla: {X* } {X } Oleeaa y, eä X* Odoave asakkade palveluaja S,,S ova IID ja Exp Ekspoejakauma uohavasuusomasuude ojalla myös palvelussa oleva asakkaa jäljelläoleva palveluaka S * Exp musa palveluajosa rppumaa FIFO-jookursa seuraa, eä S * + S + + S Tarkasellaa osso-prosessa τ, mssä τ S * ja τ S * + S + + S,. Koska X*, päee > τ > S S 8 S * S S 3 τ3 τ τ τ τ 9
8. Joousjärjeselmä Odousaja jakauma Koska lsäks X*, saamme kaava: Olkoo se A pseprosessa τ vasaava laskurprosess Selväsk τ > A Tosaala edeää, eä A osso. Nä olle >! } { } { j j e A j τ > > > > } { } { } * { } * { } { } * { } { X X X τ τ 8. Joousjärjeselmä Odousaja jakauma 3 Yhdsämällä edellse kalvo kaava, saamme lopula j j j j j j j j e e e e e e j j j!!! } { } { τ + + > > 8. Joousjärjeselmä Odousaja jakauma 4 Nä olle odousaka jakauuu kue kahde rppumaoma sm: J Beroull ja D Exp ulo: JD } {, }, { } { } { } { > > > E E D D E J E D E J E E e D J J 3 8. Joousjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall M/M/ palvelja, odouspakkaa M/M/ palveljaa, odouspakkaa
4 8. Joousjärjeselmä M/M/ joo Tarkasellaa seuraavalasa ykskerasa lkeeeoreesa malla: ääreö määrä rppumaoma käyäjä k saapumse välaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / saapumsprosess o ss osso-prosess eseeää äärelle määrä palveljoa < palveluaja IID oudaae Exp-jakaumaa odousarvoaa / ääreö määrä odouspakkoja m oleusarvoe jookur: FIFO Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M/ -joomall arkemm saoua M/M/ -FIFO Merkä: / lkeekuorma palveljaa koh 5 8. Joousjärjeselmä Tlasrymäkaavo Tark. järjeselmässä oleve asakkade lkm:ää X aja fukoa Oleeaa, eä X jollak hekellä Lyhyellä akavälllä, +h vo apahua seuraavaa: :llä h + oh syseem saapuu uus asakas aheuae lasrymä + jos >, :llä m{,}h + oh joku palvelussa oleva asakkaa palvelu pääyy aheuae lasrymä rosess X o selväsk Markov-prosess lasrymäkaavoaa Huom. rosess X o pelksymäö sk-prosess ääreömällä la-avaruudella S {,,,...},, m, + 6 8. Joousjärjeselmä 6 Tasapaojakauma Lokaal asapaoyhälö apauksessa < : Lokaal asapaoyhälö apauksessa : LBE + +,,, LBE!! + + +,,,,! + + + 7 8. Joousjärjeselmä Tasapaojakauma Jakaumaeho:!!!!!!!!, Merkä : jos, N β α β α < + + + + 7
8 8. Joousjärjeselmä Tasapaojakauma 3 Sabllle syseemlle ss ku < el < syseemssä oleve asakkade lkm: X asapaojakauma o ss seuraavalae: < β α β α β α β α + + + +,, :,, : + + +,,,,,,, } {!! X β α β α 9 8. Joousjärjeselmä Todeäkösyys jouua odoamaa Merk. p :llä :ä, eä saapuva asakas jouuu odoamaa, ja X*:llä syseemssä oleve asakkade lkm:ää asakkaa saapumshekellä Saapuva asakas jouuu odoamaa äsmällee sllo, ku kakk palvelja ova varauja häe saapuessaa, joe ASTA-omasuude ojalla: {X* } {X }. Nä olle } * { X p β α β +!! } * { X p + : : p p 9 3 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe odoave asakkade lkm Merkää X :llä odoave asakkade lkm:ää melvalasea ajahekeä asapaolaeessa. Tällö! p X E 3 : : + p X E p X E 3 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe odousaka Merkää :llä asakkaa odousakaa Sovelleaa Lle kaavaa: EX E. Nä olle päee p X E p p E : : p p E E
3 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe syseemssäoloaka Merkää D:llä asakkaa syseemssäoloakaa el vveä ssäläe sekä odousaja eä palveluaja S: D + S Tällö + + + p p S E E D E : : + + + p p D E D E 33 8. Joousjärjeselmä Keskmääräe syseemssäoleve asakkade lkm Merkää X:llä odoave asakkade lkm:ää melvalasea ajahekeä asapaolaeessa Sovelleaa Lle kaavaa: EX ED. Nä olle päee p p D E X E + + : : + + + + + p X E p X E 34 8. Joousjärjeselmä Odousaja jakauma Merkää X*:llä syseemssä oleve asakkade lkm:ää asakkaa saapumshekellä Saapuva asakas jouuu odoamaa äsmällee sllo, ku X*. Tämä apahuu :llä p. Oleeaa y, eä X* Koska kakk palvelja ova käyössä aak she as, kues ko. saapuva asakas lopula pääsee palveluu, syseem äyää häe kaalaa sellasela M/M/ joola, joka palveluopeus o ja kuorma Merk. X* :lla syseemssä oleve asakkade lkm:ää asakkaa saapumshekellä ja :lla asakkaa odousakaa ällasessa M/M/ joossa. Tällö, } *' ' { } * { } * { } { } { > > > > e p X p X X p 34 35 8. Joousjärjeselmä Odousaja jakauma Nä olle odousaka jakauuu kue kahde rppumaoma sm: J Beroullp ja D Exp ulo: JD ' } { ', } ', { } { } { } { > > > p p p p E E D p D E J E p D E J E E e p D J p J
8. Joousjärjeselmä 8. Joousjärjeselmä Esmerkk Esmerkk Krjoogelma Tarkasellaa seuraava vahoehosa kofguraaoa: Yks opea krjo IID prausaja Exp Kaks hdasa krjoa rakka IID prausaja Exp Opmokreer: mmo keskmääräe prausvve ED Yks opea krjo M/M/ joomall kuormaa /: ED Kaks hdasa krjoa M/M/ joomall kuormaa /: E D E D > E D + + ED /ED.8.6.4...4.6.8 kuorma 36 37 8. Joousjärjeselmä ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Teoverkkolaboraoro Yheeveo Tlasrymä jos yks palvel, ääreö määrä asakkaa, ääreö määrä odouspakkoja Tlasrymä jos moa palvela, ääreö määrä asakkaa, ääreö määrä odouspakkoja 9. Smulo + Kakk lueo ulokse ova johdeavssa äsä lasrymäkaavosa! 38 lueo9.pp S-38.45 - Lkeeeora perusee - Kevä 3
9. Smulo 9. Smulo Ssälö Mä smulo o? Johdao Lkeeprosess reaalsaaode uoame Sauasmuuuja arvoa aeusa jakaumasa Teoje keruu Tlasolle aalyys Smulo o lkeeeora kaala eräs lasolle meeelmä arkaselava järjeselmä suoruskyvy arvomseks Se ssälää eljä er vahea: Järjeselmä olemassa oleva a kuveellse mallus dyaamsea ajassa kehyvää sokassea prosessa rosess reaalsaaode uoame odellsuude havao ällasa reaalsaaoa kusuaa use smuloajoks smulao ru Teoje keruu maus Keräyje eoje lasolle aalyys ja johopääöse eko 3 9. Smulo 9. Smulo Vahoeho, mua mlle? Lkeeeoreese järjeselmä suoruskyvy arvo Aemm olemme jo uusuee osee suoruskyvy arvomeeelmää, mä maemaasee aalyys Käselmme kaks vahea Järjeselmä mallus ajassa kehyvää sokassea prosessa ässä kurssssa rajoumme syymä-kuolema-prosesseh Mall aalyye rakasu Järjeselmä mallusvahe o kummallek yhee Tos mall arkkuudella vo olla suurak eroja: os ku smulo, maemaae aalyys edellyää yleesä hyvk rajoave oleuse ekoa Todelle järjeselmä mallus Maemaae mall sokassea prosessa Suoruskyvy arvo mall valdo Maemaae aalyys Smulo 4 5
9. Smulo 9. Smulo Aalyys vs. smulo Aalyys vs. smulo Maemaase aalyys edu: Tulose uoame opeaa aalyys l. yhälöde jälkee Tulokse arkkoja Aaa äkemysä Opmo use mahdollsa vakkak saaaa olla vakeaa Maemaase aalyys haa: Aseaa rajoava ehoja malluksee mall yleesä la ykskerae esm. va asapaola huomou momukase järjeselme suoruskyvy arvo lähes mahdooa Rajoave ehojek vallessa aalyys sessää yleesä vakeaa Smulo edu: E rajoava ehoja mallusvaheessa mahdollsaa momukasek järjeselme suoruskyvy arvo Mallus yleesä hyv suoravvasa Smulo haa: Tulose uoame yleesä yöläsä smuloajo vaava paljo prosessorakaa Tulokse epäarkkoja os arkeuva: mä eemmä ajoja, sä arkemma ulokse Kokoasäkemykse saame vakeampaa Opmo mahdollsa va hyv rajoeus esm. muuama erlase paramerkombaao a ohjausperaaee veralu 6 7 9. Smulo 9. Smulo Sokasse prosess smulo vahee Smulo oeuus Järjeselmä mallus ajassa kehyvää sokassea prosessa äsä o jo puhuu kurss aemmlla lueolla jakossa oamme lähökohdaks aeu mall so. sokasse prosess lsäks rajoamme arkaselu ällä lueolla ykskeras lkeeeorees malleh vr. aemma lueo rosess reaalsaaode uoame sauaslukuje geero apahumaohjau smulo use smulolla arkoeaa pelkäsää ää vahea lkeeeora kaala se o kuek smuloa suppeammassa melessä Teoje keruu rase vahe vs. asapaola Tlasolle aalyys ja johopääökse pse-esmaaor luoamusväl 8 Smulo oeueaa yleesä eokoeohjelmaa Smuloohjelma ssälää yleesä kakk edellä mau vahee mallusa ja johopääöksä lukuuoamaa, s. järjeselmä mallks valu sokasse prosess reaalsaaode uoamse, eoje keruu sekä keräyje eoje lasollse aalyys Smuloohjelma vodaa oeuaa kokoasuudessaa jollak yleskäyösellä ohjelmokelellä esm. C a C++ jousavaa mua yöläsä ja rskalsa mahdollslle ohjelmovrhelle käyäe hyväks joak smulo erkosuea ohjelmakrjasoja esm. CNCL eryses smuloeja vare keheyllä smuloohjelmsolla esm. ONET, BONeS, NS osa perusuu o-krjasoh opeaa ja luoeavaa ohjelma laadusa rppue mua jäykkää 9
9. Smulo 9. Smulo Mua smuloapoja Ssälö Edellä kuvau dskree apahumapohjae smulo kyseessä dskree, dyaame ja sokase smulo el me smulodaa arkaselavaa järjeselmää kuvaava maemaase mall dskreelase sokasse prosess kehysä ajassa avoea saada joa eoa ko. syseem käyäyymsesä jakossa rajoumme ällasee smulo Mua smuloapoja: jakuvassa smulossa la-avaruus o jakuva lamuuuje rppuvuude aeaa yleesä dffreaalyhälösyseemä, esm. leokoee leorada smulo saasessa smulossa josa käyeää myös meä Moe-Carloyyppe smulo aja kulumsella e ole merkysä e ole olemassa prosessa, joa luoehs erlase apahuma, esm. mouloese egraale umeere egro s. Moe-Carlo-meeelmällä deermse smulo e aas ssällä ollekaa sauasa kompoeeja esm. esmmäe esmerkk yllä Johdao Lkeeprosess reaalsaaode uoame Sauasmuuuja arvoa aeusa jakaumasa Teoje keruu Tlasolle aalyys 9. Smulo 9. Smulo Lkeeprosess reaalsaaode uoame Tapahumapohjae smulo Oleeaa, eä olemme mallaee arkaselava järjeselmä sokassea prosessa Seuraavaa ehävää o prosess reaalsaaode uoame Se koosuu kahdesa osasa: kaklle prosess kulkuu vakuavlle sauasmuuujlle o arvoava arvo yleesä reaalluku sauases ko. sm: jakaumasa sm:e välse rppuvuude eys huomode ä saadulla arvolla kosruodaa prosess reaalsaao s. se kehyme ajassa Nämä kaks osaa evä sukaa apahdu peräkkä er vahessa, vaa meomaa lmä a vuoroelle Sauasmuuuje arvoje arvoa perusuu s. pseudosauaslukuje geero radom umber geerao rosess reaalsaao kosruo ehdää yleesä apahumapohjases dscree eve smulao Idea: smulo eeee apahumasa apahumaa jos jollak akavälllä e apahdu mää, vomme hypää ko. akaväl yl erusapahuma vasaa yleesä aa syseem la muuumsa esm. ykskerasessa lkeeeoreesessa mallssa asakkade saapumse ja posumse syseemsä Exraapahuma esm. prosess reaalsaao geero lopeus a eoje keruu Tapahuma karakersodaa kahdella paramerlla apahumahek so. mllo apahuma käsellää ja apahuma yypp so. me apahuma käsellää 3
9. Smulo 9. Smulo Tapahumapohjae smulo Tapahumapohjae smulo 3 Tapahuma orgasodaa yleesä apahumaheke mukaa järjeseyks apahumalsaks eve ls kärjessä o seuraavaks sauva apahuma ss akas apahumahek Lsaa käydää läp apahuma apahumala geerode samalla uusa apahuma lsa loppupäähä Ku apahuma o käsely, se poseaa lsala. Smulokello smulao clock keroo, mkä o käselävää oleva apahuma hek se ss eeee hyppäyksä Syseem la sysem sae keroo syseem ykyse la 4 Algorm yhde smuloajo suoramseks apahumapohjases: Ialso asea smulokello ollaks asea syseem la valuu alkuarvoosa geero kuk apahumayyp seuraava apahuma mkäl mahdollsa lä ä saadu apahuma apahumalsaa Tapahuma käsely asea smuloajaks apahumalsa kärjessä oleva seuraava apahuma apahumahek käsele apahuma ja geero samalla uusa apahuma ja lä e apahumalsaa pävä syseem la posa käsely apahuma apahumalsala 3 Lopeusehdo esaus jos vomassa, lopea apahume geero; muuo palaa kohaa 5 9. Smulo 9. Smulo Esmerkk Esmerkk Tehävä: Smulodaa M/M/-joo joopuude kehysä ajassa hekesä hekee T oleae, eä syseem o yhjä hekellä Syseem la hekellä joopuus X alkuarvo: X erusapahuma: asakkaa saapume syseem asakkaa posume syseemsä Muu apahuma: smulo lopeus hekellä T Huom. Teoje keruua e ole ssällyey ähä esmerkk 6 Ialso: aseeaa X arvoaa esmmäse asakkaa saapumshek Exp-jakaumasa Tapahuma käsely uude asakkaa saapuessa hekellä syseem laa el joopuua kasvaeaa yhdellä: X X + jos syseem ol yhjä asakkaa saapuessa, geerodaa ko. asakkaa posumshek + S, mssä S o arvou Exp-jakaumasa geerodaa seuraava asakkaa saapumshek + I, mssä I o arvou Exp-jakaumasa Tapahuma käsely asakkaa posuessa hekellä syseem laa el joopuua väheeää yhdellä: X X jos syseem jä asakkaa, geerodaa seuraavaks palvelava asakkaa posumshek + S, mssä S o arvou Exp-jakaumasa Lopeuseho: > T 7
9. Smulo 9. Smulo Esmerkk 3 Ssälö 4 3 apahume geero asakkade saapums- ja posumsheke joopuus aka aka T Johdao Lkeeprosess reaalsaaode uoame Sauasmuuuja arvoa aeusa jakaumasa Teoje keruu Tlasolle aalyys 8 9 9. Smulo 9. Smulo Sauasmuuuja arvoa aeusa jakaumasa Sauaslukuje geero ohjaa s. pseudosauaslukuje geero Esmmäe askel Tuoaa rppumaoma välllä ja asajakauuea el U,- jakauuea sauas-muuuja käyäe sauasluku geeraaora Haluuu jakaumaa pääsää U,-jakaumasa esmerkks jollak seuraavsa meeelmsä: uudelleeskaalaaus Ua,b dskreo Beroullp, B,p, ossoa, Geomp kerymäfuko kääös Exp muu muuokse N, N,σ hyväksyms-hylkäys-meeelmä ku kyseessä rajoeulla välllä määrely jakuva jakaumaa, jolla rajoeu heysfuko arvaa kaks rppumaoa U,-jakaumaa oudaavaa sm:aa Sauaslukugeeraaorlla radom umber geeraor arkoeaa algorma, joka uoaa sarja äeäses sauasa kokoaslukuja Z jollak välllä,,,m uoeu sarja o aa jaksolle avoeea mahdollsmma pkä jakso geerodu luvu evä ukas oae ole ollekaa sauasa vaa äys eala arvaavssa äsä mys pseudosauae jos sauaslukugeeraaor o huolellses suuelu ja oeueu, se uoama pseudosauase luvu kuek äyävä kää ku rppumaomla ja samo jakauuela IID oudaae asasa jakaumaa joukossa {,,,m} Sauaslukugeeraaor geerome sauaslukuje sauasuus o esaava lasolls ese saadu emprse jakauma asasuus joukossa {,,,m} geerouje sauaslukuje väle rppumaomuus käyäössä korrelomaomuus
9. Smulo 9. Smulo Sauaslukugeeraaorea Lear cogrueal geeraor LCG Leaarse kogrueaalse geeraaor lear cogrueal geeraor. Ykskeras uus sauasluku määräyyy algormses edellsesä, Z + fz jakso vo olla korkeaa m Näsä erkosapauksea saadaa s. mulplkavse kogrueaalse geeraaor mulplcave cogrueal geeraor. Mua meeelmä: addve cogrueal geeraors shufflg,... Leaare kogrueaale sauaslukugeeraaor uoaa sauasa kokoaslukuja Z joukosa {,,,m} kaavalla: Z+ az + c mod m paramer a, c ja m ova e-egavsa kokoaslukuja a < m, c < m lsäks arvaa s. semeluku seed Z < m Huom. aramer o valava huolella; muuo uloksea kakkea muua ku sauasa lukuja. Tey edellyyks jaksoks saadaa maksmarvo m esm. ku m muooa b, c paro ja a muooa 4k + b use 48 3 9. Smulo 9. Smulo Mulplcave cogrueal geeraor MCG U,-jakauuee sm: geero Mulplkave kogrueaale sauaslukugeeraaor uoaa sauasa kokoaslukuja Z joukosa {,,,m} kaavalla: Z+ az mod m paramer a ja m ova e-egavsa kokoaslukuja a < m lsäks arvaa semeluku Z < m Huom. Kyseessä o ss LCG: erkosapaus valalla c. aramer o ässäk apauksessa valava huolella Mkää paramerkombaao e uoa maksmaalsa jaksoa m esm. josm muooa b, jakso o korkeaa b Kuek, jos m o alkuluku, jakso m o mahdolle MMLCG prme modulus mulplcave LCG esm. m 3 ja a 6,87 a a 63,36,6 4 Olkoo Z jok sauaslukugeeraaor uoama pseudosauae kokoasluku välllä {,,,m} Tällö approksmavses U Z U, m 5