Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29
Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 2 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist Trkstelln yksiulotteisen Riemnnin integrlin f (x) dx lskemist. Anlyysin perusluseen mukn jollekin f :n ntiderivtlle F ( ts. F = f ) f (x) dx = F (b) F () (1) F :ää ei välttämättä löydetä suljetuss muodoss (esim. f (x) = e x2 ). f :n nlyyttinen luseke ei välttämättä ole käytettävissä f :n rvoj voi oll tulukoitun ennlt määrätyissä pisteissä (mittustulokset) f :n rvo sdn jonkin itertiivisen prosessin tuloksen. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 3 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist jtkuu Mikäli integrlin lskeminen kvll (1) ei jostkin edellä minituist syistä ole mhdollist, voidn integrli pproksimoid numeerisesti. Usein numeerist integrointi käytetään vikk ntiderivtn F luseke olisikin käytettävissä, erityisesti kun lskettvi integrlej on suuri määrä j työ hlutn utomtisoid. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 4 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist jtkuu Jtkoss pyritään löytämään integrlille w(x) f (x) dx likirvo kvn w(x) f (x) dx = A 1 f (x 1 ) + + A p f (x p ) + E[f ] vull. Tällisi kvoj kutsutn numeerisiksi integroimiskvoiksi eli kvdrtuureiksi. Luvut x k ovt integrointipisteet j A k pinokertoimet. Termi E[f ] on integrointikvn virhe. Positiivist funktiot w kutsutn pinofunktioksi j usein w 1. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 5 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist jtkuu Määritelmä 6.1 Numeerisen integroimiskvn w(x) f (x) dx = A 1 f (x 1 ) + + A p f (x p ) + E[f ] trkkuusste on d, jos se on trkk (E[f ]=0) kikill polynomeill, joiden steluku d, j jos on olemss d + 1 -steinen polynomi jolle se ei ole trkk. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 6 / 29
Luse 6.1. Luku 6.1 Johdnto Jos on nnettu pisteistö x 1 < x 2 <... < x k b, niin on olemss kertoimet A 1,..., A k siten, että kvn w(x)f (x) dx = k A i f (x i ) + E[f ] (2) i=1 trkkuusste on vähintään k 1 (ts. kv on trkk kikille polynomeille stett k 1). Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 7 / 29
Luse 6.1. todistus Luku 6.1 Johdnto Kv (2) on trkk monomeille f (x) = x m, m = 0, 1,..., k 1, jos seurvt yhtälöt ovt voimss: A 1 + + A k = A 1 x 1 + + A k x k = A 1 x k 1 1 + + A k x k 1 k = ts.. k A i xi m = i=1 w(x) dx w(x)x dx w(x)x k 1 dx. w(x)x m dx, m = 0, 1,..., k 1. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 8 / 29
Luse 6.1. todistus jtkuu Luku 6.1 Johdnto Eo. yhtälöt muodostvt linerisen yhtälöryhmän X A = b, joss on k yhtälöä j k tuntemtont kerroint A i. Kosk kikki x i :t ovt erisuuri, niin mtriisin X determinntti 1 1... 1 x 1 x 2... x k k i = (x.. i x j ) 0, x1 k 1 x2 k 1... x k 1 i=2 j=1 k eli yhtälöryhmällä X A = b on yksikäsitteinen rtkisu. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 9 / 29
Luse 6.1. todistus jtkuu Luku 6.1 Johdnto Edellä stiin, että yhtälöryhmällä X A = b on 1-käs. rtkisu, ts. kertoimet A 1,..., A k siten, että kv (2) on trkk monomeille. Astett k 1 olevt polynomit voidn esittää linerikombintion monomeist x m, m = 0,..., k 1 : p = k 1 j=0 jx j k 1 = w(x)p(x) dx = j j=0 i=1 k A i x j i = k i=1 k 1 k 1 w(x) j x j dx = j w(x)x j dx A i j=0 k 1 j x j i = j=0 j=0 k A i p(x i ). i=1 kv (2) on trkk polynomeille stett k 1. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 10 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist jtkuu Merkitään seurvss P m := {f : [, b] R f on enintään m-steinen polynomi}. Integroimispisteitä x i vstvt pinokertoimet A i voidn lske Vndermonden systeemin X A = b rtkisemisen sijn suornkin. Trkstelln Lgrngen kntfunktiot l j (x) = k m=1 m j x x m x j x m. Kosk l j P k 1, niin se voidn integroid trksti kvll (2). Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 11 / 29
Luku 6.1 Johdnto Numeerisest integroinnist jtkuu Kerroin A j sdn lskettu kvst k w(x)l j (x) dx = A i l j (x i ) = i=1 k A i δ ij = A j. Käyttäen Lgrngen kntfunktioit interpoltiopolynomi s muodon p(x) = k j=1 f (x j)l j (x) k w(x)p(x) dx = w(x) f (x j )l j (x) dx = k j=1 f (x j ) w(x)l j (x) dx = j=1 i=1 k A j f (x j ) = j=1 Kv on trkk polynomeille stett k 1. k A j p(x j ). j=1 Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 12 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Trkstelln seurvn integrlin lskemist I = f (x) dx. Olkoon nnettu tsvälinen pisteistö x i = x 0 + ih (i = 0, 1,..., k), missä = x 0, b = x k j h = (b )/k. Integrli I pproksimoidn nyt integrlill p k (x) dx, missä p k on enintään stett k olev interpoltiopolynomi, jolle p k (x i ) = f (x i ) =: f i, i = 0, 1,..., k. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 13 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Suljetut Newtonin j Cotesin kvt Tekemällä muuttujnvihto x = x 0 + sh j kehittämällä p k etenevien differenssien vull, sdn = h = h p k (x) dx = k 0 k 0 k 0 p k (x 0 + sh)h ds ) ( ) ( ) + 2 s f 0 + + k s ] f 2 0 ds k [ ( s f 0 + f 0 1 [ f 0 + f 0 s + 1 2! 2 f 0 s(s 1) +... + 1 ] k! k f 0 s(s 1)... (s k + 1) ds. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 14 / 29
Luse 6.2 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Olkoon f (k+1) j f (k+2) jtkuvi välillä [, b]. Tällöin E[f ] = j missä ξ ]0, k[. h k+3 k (k + 2)! f (k+2) (x 0 + ξh) s 2 (s 1)... (s k) ds, 0 k prillinen h k+2 (k + 1)! f (k+1) (x 0 + ξh) k priton, k 0 s(s 1)... (s k) ds, Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 15 / 29
Luseen 6.2 todistus 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Trkstelln todistust vin tpuksess k = 1. Tällöin väite on (h = b ) E[f ] = h3 2! f (x 0 + ξh) 1 s(s 1) ds = 0 } {{ } 1/6 (b )3 f ( η), η ], b[. 12 Virhetermi E[f ] sdn lskemll erotus E[f ] = f (x) dx p k(x) dx. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 16 / 29
Luseen 6.2 todistus jtkuu Nyt = f (x) dx = f (η) 2 1 2! f (ξ x ) p 1 (x) dx = 1 (x x i ) = i=0 6.2. Newtonin j Cotesin kvt (f (x) p 1 (x)) dx f (ξ x ) 2 (x )(x b) dx, η ], b[ = f (η) 12 (b )3, η ], b[. (x )(x b) dx }{{} 0 Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 17 / 29
Etenevät differenssit (5.1.3) 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Välin [, b] tsvälisessä pisteistössä x j = + jh Newtonin muoto funktion f interp.polynomille p n voidn muodost etenevien differenssien vull: n ( ) p n (x 0 + sh) = i s f 0, i i=0 missä f j = f (x j ), etenevä differenssi i f j on luku { i f j, i = 0 f j = i 1 f j+1 i 1 f j, i > 0 j ( ) s = i 1, i = 0, i 1 s l l + 1, i > 0. l=0 Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 18 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Esimerkki 6.1 Tpus k = 1 tunnetn puolisuunnikssäännön nimellä. Integrlin likirvolle sdn tässä tpuksess: f (x) dx = hf 0 + h p 1 (x) dx = h 1 0 1 0 (f 0 + (f 1 f 0 )s) ds (f 1 f 0 )s ds = h 2 (f 0 + f 1 ). Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 19 / 29
Esimerkki 6.1 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Puolisuunnikssääntö: Vlitsemll k = 1 stiin f (x) dx h 2 (f 0 + f 1 ). f (x) b x Luse 6.2.: E[f ] = h3 2! f (x 0 + ξh) 1 0 s(s 1) ds Kv on trkk jos f 0 eli jos f on ensimmäisen steen polynomi. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 20 / 29
Esimerkki 6.2 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Vlint k = 2 tuott Simpsonin kvn f (x) dx = h = h 2 0 2 0 p 2 (x) dx ( f 0 + f 0 s + 1 ) 2 2 f 0 s(s 1) ds ( f 0 + (f 1 f 0 )s + 1 ) 2 (f 2 2f 1 + f 0 )s(s 1) ds = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) E(f ) = h5 4! f (4) (x 0 + ξh) 2 0... = h5 90 f (4) (η), η ], b[ Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 21 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Esimerkki 6.2 jtkuu j vlint k = 3 tuott Simpsonin 3/8-kvn f (x) dx = 3h 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) 3h5 80 f (4) (η), η ], b[. Kvt ovt trkkoj kork. stett 3 oleville polynomeille. Menetelmävirheen kertluokk on kummsskin O(h 5 ). Simpsonin 3/8-sääntö vtii yhden pisteen enemmän. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 22 / 29
Newtonin j Cotesin kvt 6.2. Newtonin j Cotesin kvt suljetut Newtonin j Cotesin kvt: interpoltiopolynomi interpoloi f :ää myös välin [, b] päätepisteissä. voimet Newtonin j Cotesin kvt: pproksimoidn f :ää polynomill, jok interpoloi f :ää vin välin [, b] sisäpisteissä. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 23 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Avoimet Newtonin j Cotesin kvt Merkitään välin [, b] sisäpisteitä x i = x 0 + ih (i = 0, 1,..., k), missä x 0 = + h, x k = b h j h = (b )/(k + 2). Asetetn lisäksi x 1 = j x k+1 = b. f 0 f 1 f k f k 1 f (x) = x 1 x 0 x 1... x k 1 x k x k+1 = b Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 24 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Avoimet Newtonin j Cotesin kvt jtkuu Integrli I = = h p k (x) dx k+1 1 f (x) dx pproksimoidn nyt kvll [ f 0 + f 0 s + + 1 ] k! k f 0 s(s 1)... (s k + 1) ds, missä p k on korkeintn stett k olev polynomi, jolle p k (x i ) = f (x i ), i = 0, 1,..., k. Yo. kvoj kutsutn voimiksi Newtonin j Cotesin kvoiksi. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 25 / 29
Luse 6.3 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Olkoon f (k+1) j f (k+2) jtkuvi välillä [, b]. Tällöin vointen Newton-Cotes-kvojen menetelmävirheelle pätee E[f ] = h k+3 (k + 2)! f (k+2) (x 0 + ξh) k prillinen h k+2 (k + 1)! f (k+1) (x 0 + ξh) k priton, j missä ξ ] 1, k + 1[. k+1 1 k+1 1 s 2 (s 1)... (s k) ds, s(s 1)... (s k) ds, Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 26 / 29
Esimerkki 6.3 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Avoin Newtonin j Cotesin kv oli siis muoto h f (x) dx k+1 1 Vlitsemll k = 0 sdn [ f 0 + f 0 s + + 1 ] k! k f 0 s(s 1)... (s k + 1) ds. 1 1 f (x) dx = h f 0 ds + h3 1 2! f (x 0 + ξh) s 2 ds 1 = 2hf 0 + h3 3 f (η), η ], b[. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 27 / 29
6.2. Newtonin j Cotesin kvt Esimerkki 6.3 jtkuu Vlitsemll k = 0 stiin (h = (b )/(k + 2) = (b )/2) f (x) dx 2hf 0 = (b )f 0. Tämä kv tunnetn keskipistesäännön nimellä. f 0 f (x) = x 1 x 0 b = x 1 Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 28 / 29
Huomutus 6.1 6.2. Newtonin j Cotesin kvt Trkstelemll vointen j suljettujen Newtonin j Cotesin kvojen virhetermejä, hvitn että kiinteällä k, vointen j suljettujen kvojen menetelmävirhe on sm kertluokk: O(h k+3 ), kun k prillinen. O(h k+2 ), kun k priton. Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 29 / 29