Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori- j kompleksilgebrss, joiden hyvät puolet on stu yhdistettyä, j smll järjestelmä on ljennettviss usempn ulottuvuuteen. Tärkeä os ljennust on se, että Ò-ulotteisess vruudess voi oll erilisi olioit, joiden ulottuvuus vihtelee nollst Ò:ään. Sklrien (0-ulotteinen) j vektorien (1-ulotteinen) seurj on suunnttu tsoelementti, bivektori. Nämä kksiulotteiset objektit soveltuvt hyvin esim. pyörimisliikkeen käsittelyyn riippumtt vruuden ulottuvisuudest; kselin käsite toimii vin kolmess ulottuvuudess. Fysiikn hvinnollistminen helpottuu oleellisesti näillä uusill työkluill, vrsinkin kun modernit teorit vtivt totuttu enemmän ulottuvuuksi. Lisäetun sdn lskennllist tehokkuutt esim. tensorilgebrn verrttun. Myös vektori- j kompleksilgebr on helpompi ymmärtää, kun ne nähdään määrättyinä erikoistpuksin geometrisen lgebrn kokonisuudest. Avinsnt: geometrinen lgebr, luonnontieteiden mtemttiset menetelmät Johdnto Luonnontieteitä j mtemtiikk ei in ole pidetty erillisinä loin. Vielä nykyäänkin ne kehittyvät vhvss vuoropuheluss toisin tukien. Kuitenkin usein toivotn, että luonnonilmiöiden hhmottminen j tieteen perusperitteet voitisiin käsittää mtemttisist yksityiskohdist riippumtt. Tämä vtimus liittyy osittin siihen tosisin, että sm ilmiötä voidn kuvt hyvinkin erilisill mtemttisill työkluill. Tilnnett voi hvinnollist suhteellisuusperitteell, jonk mukn fysiikn lkien tulee oll riippumttomi koordintiston vlinnst. Pidemmälle vietynä ihnne voi trkoitt, että fysiikn käsitteet on voitv esittää koordintistojttelun ulkopuolell. Esimerkiksi Newtonin liikelkien yhtälö Ñ ei vdi mitään tiettyä mtemttist esitystp vektoreille j. Fysiikn knnlt riittää käsitys vektorist suureen, joll on suunt j suuruus. Fyysikoille jää moness mielessä vpus vlit erilisten mtemttisten työklujen väliltä, esimerkiksi sen mukn miten ne trjovt lskennllist elegnssi ti käsitteiden hhmotust. Jälkimmäinen vikuttkin ehkä ristiriitiselt ylläminitun peritteen vloss, mutt on myönnettävä, että mtemttisell järjestelmällä on om 1
vikutuksens fysiikn käsittämiseen. Vikk mtemtiikk onkin ntnut fysiiklle pljon, se on vlitettvsti myös iheuttnut tiettyjä hnkluuksi. Geometrinen lgebr (GA) on käytössä uudehko mtemttinen formlismi, jok korj tiettyjä hnkluuksi yhdistämällä monen muun menetelmän hyviä puoli. Sen lskennllinen voim j yksinkertisuus näyttäytyvät mm. tietokoneit vtiviss numeerisiss sovelluksiss. Toisenlisest tehokkuudest nt viitteen se tosisi, että GA yleistää kksiulotteisen kompleksinlyysin korkempiin ulottuvuuksiin. GA:n merkittävintä nti luonnontieteille lienevät kuitenkin sen mhdollisuudet mutkikkiden ilmiöiden hhmottmisess. GA:st löytyy tehokkit työkluj sittenkin, kun vektorit j kompleksiluvut eivät enää riitä. Mtemttisten menetelmien epäkohti Jo lukioliset törmäävät erääseen vektorilgebrn keskeiseen ongelmn ristitulon muodoss. Opertio onnistuu inostn kolmess ulottuvuudess, j se stt joht fysiikn puolell hrhn esimerkiksi siten, että sähkömgnetismi nähdään jotenkin kolmeen ulottuvuuteen sidottun. Kun moderni fysiikk trvitsee enemmän kuin kolme ulottuvuutt, otetn yleensä käyttöön tensorilskent. Sen lisäksi, että formlismi toimii mielivltisell ulottuvuuksien määrällä, näyttää siltä että tensoreiden vull voidn käsitellä myös vektoreit korkempi objektej. Kosk vektori on oikestn yksiulotteinen elementti Ò-ulotteisess vruudess, on seurv mhdollinen skel 2-ulotteinen tsominen olio. Yleistyksestä mksetn kuitenkin se hint, että geometrinen käsitys vektoreist j muist objekteist hämärtyy, kosk tensorilskennss käsitellään objektien itsensä sijst vin niiden komponenttej. Kolmess ulottuvuudess lisää päänviv iheutt se, että ristitulost stv vektori käyttäytyy koordinttimuunnoksiss eri tvll kuin pikkvektorit. Nämä liittyvät esimerkiksi pyörimisliikkeeseen, j fysiikss niitä snotnkin ksilivektoreiksi erotuksen vrsinisist vektoreist (polrivektorit). Ongelmi syntyy, kosk näitä kht ei in selkeästi erotet. Jos pyörimismäärää jtelln vektorin, se määritellään kselin suuntisesti kvll Ä Ö Ô joss r on kppleen pikkvektori j p sen liikemäärä. Mutt miten määritellä pyörimismäärä, jos ulottuvuuksi on enemmän kuin kolme, eikä ristitulo ole käytössä? Khden ulottuvuuden pyörimisliike on helppo hvinnollist; r j p ovt yhdessä tsoss. Edellinen määritelmä ei kuitenkn toimi, kosk pyörimisen kseli ei mhdu khteen ulottuvuuteen. Ei kuitenkn ole mitään epäilystä, etteikö pyörimisliike siellä olisi smnluonteist kuin kolmesskin ulottuvuudess. Yhdessä ulottuvuudess pyörimisliikettä on hnkl kuvitell; toislt kolmess ulottuvuudess huomtn, että r j p ovt in smss tsoss (kun pyörimismäärä säilyy). Näyttää siltä, että pyörimisliikkeessä on jotin perustvnltuisesti kksiulotteist. Pyörimismäärä voidnkin määritellä suunntuksi tsoelementiksi, jonk suuruus on ÖÔ Ò säteen j liikemäärän välisen kulmn mukn. Määritelmä toimii smll tvll niin khdess kuin kolmess ulottuvuudess, joten miksei myös neljässä; se 2
kun ei vdi, että pyörimistsolle olisi yksiselitteinen normlivektori eli pyörimisen kseli. Hiemn jälkiviissti voidn muuten rvell, että jtus pyörimismäärästä tsosuureen sisältyy jo Keplerin plneettliikkeiden toiseen lkiin: plneetst Aurinkoon piirretty säde pyyhkäisee tietyssä ikyksikössä in smn pint-ln, mikä kuvst pyörimismäärän säilymistä. Eräs geometrisen lgebrn keskeisin oivllus onkin se, että pyörimisliikkeeseen j muihin fysiklisiin ilmiöihin liittyvä suunnttu tsoelementti säilytetään tsoelementtinä. Se ymmärretään omnlisen objektinn kuten sklri ti vektori. Sitä ei voi tyhjentävästi selittää esimerkiksi normlivektorin vull, kuten ristituloss yritetään tehdä. Historin kutt yksityiskohtiin Kompleksiluvut Kolmest ulottuvuudest usempn siirryttäessä joudutn vihtmn vektorilgebr joksikin muuksi. Vstv tphtuu kksiulotteiseen tsoon lskeuduttess, jo siitäkin syystä ettei pyörimistä voi käsitellä kselin kutt. Työklu lienee kuitenkin tensoreit tutumpi, nimittäin kompleksilgebr. Pyörimisliikettä on helppo hvinnollist esimerkiksi seurvll eksponenttiesityksellä: Þ Øµ Ó Ø Ò Ø Ø Jos Ø on kuluv ik, luku kuv pyörimisliikettä kulmnopeudell. On huomttv, että kompkti esitys pyörimisliikkeelle on tässäkin mhdollist ilmn kselin käsitettä (kuv 1). cos ωt z(t) sin ωt ωt Kuv 1: Pyörimisliike kompleksitsoss. Korkempi kompleksinlyysi nt moni hämmästyttäviä lskennllisi tuloksi. Niiden perusteell voi rvill, että kyseessä on pljon enemmän kuin pelkkä khden ulottuvuuden vektorilgebr. Kompleksinlyysiä käytetäänkin tehokkn työklun fysiikss, jos ulottuvuuksien määrä rjoittuu khteen. 3
Esimerkkinä minittkoon konformikuvuksen käyttö virtustekniikss: kuvitelln, että neste virt ulkopuolisest lähteestä tsisesti kohti kiinteää kiil, jok jk virtuksen khti. Tehtävänä on lske virtusnopeus jokisess pisteessä (emme tässä mene virtusmekniikn yksityiskohtiin). Konformikuvuksen vull voimme oikist kiiln niin, että järjestelmään tulee yksi tsinen pint, jolloin fysiikk helpottuu oleellisesti. Kun nopeudet on lskettu, suoritetn käänteinen kuvus lkuperäiseen systeemiin. Vektorilgebrss vstv opertio on mhdoton, kosk siitä puuttuu käännettävä lskutoimitus. Pistetulost on mhdotont määrittää yksikäsitteinen jos tunnetn, j sm rjoitus koskee ristitulo. Geometrinen lgebr on oleellisesti rtkisu näihin rjoituksiin, j smll kompleksilgebrn yleistys usempn ulottuvuuteen. Johdtuksen GA:hn on syytä kiinnittää huomio khden kompleksiluvun seurvnliseen tuloon: Þ ½ Ö ½ ½ Þ ¾ Ö ¾ ¾ µ Þ ½ Þ ¾ Ö ½ ½ Ö ¾ ¾ Ö ½ Ö ¾ ½ ¾µ Ö ½ Ö ¾ Ó Æ Ò Æµ Ó Æ ½ ¾ Tässä tuloss on toisest luvust otettu kompleksikonjugtti, jott opertio luvun itsensä knss tuottisi sen itseisrvon neliön. Jtkon knnlt tuloksess on mont kiinnostv seikk, jos lukuj jtelln vektorein: Kosinitermi on smnsuuruinen kuin vektorien pistetulo (Æ on vektorien välinen kulm) Sinitermi on smnsuuruinen kuin ristitulo Kosini- j sinitermit ovt eri ltu: ensimmäinen on reliluku j toinen puhds imginriluku. Tämähän on kuin lskisi pistetulon j ristitulon yhteen, vikk vrsinkin fyysikon näkökulmst stt näyttää, ettei niin voi tehdä. Myöhemmin huomtn, ettei opertio ole yhtään oudompi kuin kohtisuorien yksikkövektorien j summ. Eriltuisten komponenttien summ onkin yksi keskeinen ominisuus geometrisess lgebrss. Hmiltonin kvterniot Brittiläinen fyysikkonkin tunnettu Willim Rown Hmilton yritti ensimmäisten joukoss yleistää kompleksilgebr usempn ulottuvuuteen. Hänen vuonn 1844 esittelemänsä kvterniolgebr perustui yksikkövektoreihin j joiden lskutoimitukset määritellään seurvsti: ¾ ¾ ¾ ½ 4
Jokinen yksikkövektori vst siis eräänlist imginriyksikköä, j lisäksi viimeinen yhtälö ½ kytkee yksiköt toisiins kolmiulotteisess vruudess. (Smll myös määrittyy vruuden kätisyys.) On huomttv, että tässä viheess ei nykyisin tuntemmme vektorilgebr ollut vielä kehitetty. Määritelmästä johtuu esimerkiksi. Algebrss ei siis päde vihdntlki, kommuttiivisuus. Tämä liittyy siihen, että kolmess j usemmss ulottuvuudess vruudell on kätisyys, oike ti vsen. Kksiulotteisess kompleksitsoss kätisyyttä ei ole. Kvternioiden yhteys vektorilgebrn j kompleksilukuihin selviää trkemmin khden vektoriluonteisen kvternion tulost: ½ ¾ ½ ¾ µ ½ ½ ¾ ¾ µ ¾ ¾ µ ½ ½ µ ½ ¾ ½ ¾ µ Tuloksen on jälleen pistetulo + ristitulo, tällä kert tutuss komponenttimuodoss. Pistetulon merkki tosin on vihtunut, kosk yksikkövektorin neliö on negtiivinen. Tulon vektorios on muodollisesti täysin sm kuin vektorien ristituloss. Itse siss se on juuri nykyisen ristitulomme lkuperä. Hmiltonin ikliset huomsivt, että ristitulo-os soveltui hyvin esimerkiksi sähkömgnetismin käsittelyyn j rtkisi siten oleellisi ongelmi 1800-luvun fysiikss. Tulon eri ost joutuivt näin vlitettvsti erilleen, mikä nykyisestä näkökulmst oli tietenkin hyvin kpe-linen j virheellinen rtkisu. Eikä vähiten siksi, että mtemtiikk näin rjoitettiin kolmeen ulottuvuuteen. Grssmnnin ntikommuttiivinen lgebr Toinen tärkeä skel kohti geometrist lgebr otettiin myös vuonn 1844. Skslinen opettj Hermnn Günther Grssmnn pohti tiettävästi ensimmäisenä, kuink suunnttu tsoelementtiä voitisiin kuvt mtemttisen vektoriin verrttvn elementtinä. Hän määritteli khden vektorin ulkoisen tulon tsoelementiksi seurvin ominisuuksin (kuv 2): 1. Tulo on ntisymmetrinen: 2. Tsoelementit eli bivektorit muodostvt linerisen vruuden, eli niitä voi lske yhteen kuten vektoreitkin. 3. Tuloss pätee liitäntälki: µ. Geometrisess kuviluss on tärkeää, että tsoelementille ei ole määrätty tiettyä muoto, inostn suunt j suuruus. Suunt voidn jtell pyörimissuunnksi, kosk kusskin tsoss on kksi mhdollist bivektorin suunt. Khden vektorin muodostm tsoelementti on suuruudeltn sm kuin vektoreiden määräämän suunnikkn pint-l, mutt smnsuuruinen j -suuntinen elementti voidn sd myös joistkin muist vektoreist. Toisin snoen nnetust tsoelementistä ei voi päätellä, mistä vektoreist se on muodostettu. 5
b b b c c b b+c (b+c) Kuv 2: Vektorien ulkoiset tulot muodostvt suunnttuj tsoelementtejä. Ulkoiselle tulolle pätee osittelulki µ. Smll esimerkki näyttää, kuink khden tsoelementin summn muodostuu kolms. 6
Clifford keksii geometrisen lgebrn Brittiläinen filosofi, fyysikko j mtemtikko Willim Kingdon Clifford kuului niihin hrvoihin jotk olivt ymmärtäneet Grssmnnin omltuisi merkintöjä sekä ikns edellä olevi jtuksi. 1800-luvun mtemtikot olivt vst loittmss vihtoehtoisten lgebrojen tutkimist j vutumss sille mhdollisuudelle, ettei tulon trvitse in oll kommuttiivinen. Geometrin knnlthn on oleellist, ettei vihdntlki voi oll yleisesti voimss, mikä liittyy pitkälti koordintiston kätisyyteen. Cliffordin vuonn 1878 esittelemä geometrinen lgebr perustui uudenliseen lskutoimitukseen, geometriseen tuloon. Kompleksilukuihin vedoten hän yhdisti pistetulon j ulkoisen tulon: Tämän jälkeen hän määritteli lgebrn uudestn ksiomttiselt pohjlt, joss pistetulo j ulkoinen tulo eivät enää ole keskeisessä semss. Geometrist tulo koskevt seurvt säännöt: 1. Liitäntälki: µ µ 2. Osittelulki: µ 3. Khden vektorin välisessä geometrisess tuloss symmetrinen os on sklri: µ ¾ (tuttu sklritulo) Tästä voidn uudelleen määritellä esim. ulkoinen tulo: µ ¾ Geometrisen tulon tehokkuus näkyy esimerkiksi siinä, että tulolle on olemss käänteinen opertio, jkolsku. Vektorilgebrst tiedämme, että pistetuloll j ulkoisell tuloll (vst ristitulo) yksinään ei ole käänteisopertiot. Mutt niiden yhdistelmällä onkin käänteinen opertio, ivn kuin kompleksilukujen jkolsku. Jos on nnettu geometrinen tulo sekä vektori, tiedetään vektorin sijitsevn tsoss. :n rtkisemiseksi riittää siten kksi komponentti. :n sklri- j bivektorikomponenttien itseisrvoist sdn relilukujen jkolskull j, :n komponentit :suunnss j sitä kohtisuorn. Komponenttien etumerkit (+/-) selviävät bivektorin suunnst sekä sklritulon merkistä. Näinollen voidn yksikäsitteisesti määrätä eräänlisell jkolskull. Käytännössä lsku ei suoritettisi näin, eikä tätä voi jtell täsmällisenä todistuksen, mutt jkolskun olemssolo tulee näin selvemmäksi. Liitäntälist seur, että geometrist tulo ei ole rjoitettu vin khden vektorin väliseksi opertioksi. Esimerkiksi ulkoinen tulo vektorin j bivektorin välillä on trivektori, suunnttu tilvuuselementti, jos vektori ei ole smss tsoss bivektorin knss. Tällinen tilnne sdn vikkp kolmell vektorill: voidn ymmärtää vektorien muodostmn suuntissärmiönä. Suuruudeltn tämä on sm kuin 7
vektorilgebrn kolmitulo. Trivektorill on lisäksi suunt, jok kertoo, muodostvtko vektorit j oike- vi vsenkätisen kokoelmn. Kuten jo kvternioiden yhteydessä todettiin, ristitulo j pistetulo erillisinä opertioin voittivt muut menetelmät 1800-luvun rvovltisten tiedemiesten pinostuksess. Sen jn fysiikk ei tosin vtinut tehokkmpi menetelmiä. Geometrisen lgebrn unohdukseen vikutti vrmsti myös Cliffordin ennenikinen kuolem vuonn 1879. Kun 1900-luvun lun suhteellisuusteori j kvnttimekniikk lkoivt vti tehokkmp mtemtiikk korkemmiss ulottuvuuksiss, oli geometrinen lgebr käytännössä kdonnut. Fyysikot joutuivt turvutumn tensorilskentn, jok on lähinnä komponenttiesitys vill intuitiivist sisältöä. Hestenes pelst GA:n Geometrinen lgebr löydettiin uudelleen vst 1960-luvull, jolloin merikklinen tutkij Dvid Hestenes huomsi kvnttimekniikn mtriisiesityksessä piilevän geometrisen merkityksen. Mtemttisesti ktsottun Pulin spin-mtriisit muodostvt kolmen ulottuvuuden Cliffordin lgebrn, kosk ne noudttvt smoj lskusääntöjä. GA:n tuominen yleisempään tietoisuuteen on ollut vike osittin siksi, että sitä on pidetty liiksi kvnttimekniikkn kytkettynä järjestelmänä. Hestenes huomsi kuitenkin vrhin, että GA on tehoks j intuitiivinen työklu kikkiin mtemttisiin tieteisiin, j hänen työnsä onkin plkittu vuonn 2002 merikklisten fysiiknopettjien Ørsted-mitlill. Lskennllisi esimerkkejä Kompleksilukujen geometrinen tulkint Khden ulottuvuuden geometrisess lgebrss on seurvt peruselementit: sklri ½, yksikkövektorit ½ j ¾, sekä bivektori Á ½ ¾ ½ ¾. Yksikkövektoreille pätee luonnollisesti ¾ ½ ½ ¾µ. Kosk ½ ¾ on khdess ulottuvuudess korkeimmn steen objekti, on sillä erityinen sem j nimitys pseudosklri. Bivektorin sille pätee ½ ¾ ¾ ½. Erityisesti huomttkoon pseudosklrin neliö Á ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ Näin olemme geometrisist lähtökohdist sneet objektin, jonk neliö on negtiivinen, j yhteys kompleksilukuihin on selvempi. Yleinen vektori khdess ulottuvuudess voidn muunt kompleksiluvuksi seurvsti: Ú ½ ¾ µ ½ Ú ¾ ½ ½ ¾ Á Vektorin ½ vlint voidn selittää sillä, että se vst kompleksitson relikseli joll vihekulm on noll. Se siis määrittää kompleksitson sijinnin suhteess vektoritsoon. 8
Geometrisen lgebrn kutt sdn näin uusi näkökulm kompleksilukujen geometriseen merkityksen. Moni yritys sijoitt kompleksilukuj fysiikn kvoihin on epäonnistunut lähinnä siksi, että niiden geometrinen merkitys on ollut epäselvä. Jos esimerkiksi sijoitmme suhteellisuusteorin kvoihin vlonnopeutt suuremmn nopeuden, smme tekijän joss esiintyy negtiivisen luvun neliöjuuri. Tulos voidn jtell imginrisen tekijänä, mutt GA:n perusteell voimme rvt, että sellinen luku ei ole vektori eikä sklri. Näin voidn entistä vhvemmin perustell nopeuden ylärj suhteellisuusteoriss. Eräs GA:n tärkeä tvoite onkin korvt fysiikss j insinööritieteissä käytetyt kompleksiluvut premmin käsitettävillä suureill. Rdiklein vihtoehto olisi päästä kompleksiluvuist kokonn eroon j sitä kutt välttää turhi seknnuksi. Peiliheijstus Kolmiulotteisess todellisuudessmme peilit ovt kksiulotteisi tsoj. Toislt peilus ei näytä mhdottomlt khdesskn ulottuvuudess, joss peili on viivminen. Aivn kuin pyörimisliikkeestä puhuttess, on peilus voitv määritellä ulottuvuuksist riippumtt. Kksi- j kolmiulotteiselle peilille yhteinen tekijä on normlivektori, jok voidn ott yleisen peilusopertion perustksi (kuv 3). n Kuv 3: Peiliheijstus normlivektorill Ò. Ktkoviiv kuv vrsinist peiliä. Kun peili määritellään yksikkövektorill Ò Ò ¾ ½µ, voidn käsiteltävä vektori in jk khteen komponenttiin, joist toinen on smnsuuntinen j toinen kohtisuorss peilivektori vstn: Edellinen komponentti on :n projektio Ò:lle, jok sdn vektorilgebrst tutull kvll: ÒµÒ Geometrinen lgebr ts nt yksinkertisen kvn jäljelle jääneelle komponentille: 9
Ò ¾ ÒµÒ Ò ÒµÒ ÒµÒ Peiliheijstuksen tuloksen GA:ll ilmistun viht suunt, mutt säilyy smn. Tulos on ¼ Ò ÒµÒ Ò Ò µò Ò Ò Stu kv on merkillisen kompkti. Vikk kyseessä onkin eräs yksinkertisimmist sovelluksist, pitäisi jo tässä viheess käydä selväksi, miten tehokst GA:ll operoiminen voi oll. Kv on luonnollisesti riippumton ulottuvuuksien määrästä. Bivektorin peiluskv sdn, kun jtelln sen koostuvn khdest vektorist j sovelletn edellistä kv kumpnkin erikseen. Lopputuloksess miinusmerkit kumovt toisens j ¼ Ò Ò. Tässä nähdään, miksi pyörimisliikkeen käsittely vektorin tuott ongelmi; sen muunnoskv on erilinen kuin pikkvektoreill. Rottio Pyörimisliikkeen olemust olemme jo käsitelleet, mutt vrsinisen rottio-opertion yksityiskohdt ovt vielä selvittämättä. Tässä käytetään hyväksi sitä tosisi, että rottio voidn jtell yhdistelmänä khdest peiluksest, jolloin edellistä peiluskv voidn hyödyntää. Jos kksi peiliä setetn suorn kulmn, on esineen kuv pyörähtänyt ½ ¼ Æ lkuperäisestä peilien leikkusviivn ympäri. Yleistettynä mielivltisiin ulottuvuuksiin j kulmiin tämä trkoitt seurv: Kun peiltn ensin vektorill Ñ j sen jälkeen toisell vektorill Ò, on suoritettu rottio vektorien määräämässä tsoss suuntn, jok on Ñ:stä Ò:ään olev pienempi kulm, j suuruudeltn kksi kert vektorien välinen kulm. Tämä on helppo todist kun toimitn inostn ko. tsoss; operoitvn vektorin komponenteist inostn tsoss olevt muuttuvt. GA:n formlismiss vektorin rottio on siis yksinkertisesti ¼ Ò Ñ ÑµÒ ÒÑ ÑÒ Tämä kirjoitetn usein muotoon ¼ Ê Ê missä Ê ÒÑ on roottori eli rottion operttori; Ê ÑÒ on nimeltään Ê:n kääntö (reverse), joss Ê:n sisältämät vektorit on kirjoitettu käänteiseen järjestykseen. (GA:sshn yleisesti otten.) Bivektoreille peilus tuotti erimerkkisen kvn kuin vektoreille. Rottioss kuitenkin ¼ Ò Ñ ÑµÒ j kv onkin sm. Itse siss rottiokv on sm mille hyvänsä objektille. Tässä on merkittävä ero tensorilgebrn, joss rottio muodostuu sitä monimutkisemmksi, mitä korkemmn steen objektej operoidn. GA 10
-mm m-peili n m = -n(-mm)n θ 2θ n-peili Kuv 4: Rottio muodostuu khdest peräkkäisestä heijstuksest. ei siis ole tensorilskennn geometrinen tulkint vn lskennllisestikin erilinen järjestelmä. Tyypillinen pyörimisliikkeen kuvus on pikkvektori Ü, jok kiertää jn funktion määrätyllä pyörimistsoll. Roottorikäsitteen vull se voidn kuvt tällä tvll: Ü Øµ Ê ØµÜ ¼ Ê Øµ missä Ü ¼ on pikkvektori tietyllä lkuhetkellä. Lskennlliselt knnlt on hyödyllistä, että Ü Øµ:n liike voidn käsitellä Ê Øµ:n jllisen muutoksen. Tästä seur usein, että rtkistvt yhtälöt ovt yksinkertisempi kuin lkuperäiset. Jos esimerkiksi Ü Øµ on neljännen steen polynomi, on Ê Øµ toist stett j siten helpompi rtkist. Kun mutkikkit lskelmi suoritetn tietokoneell, on mukn lähes in pyöristysvirheitä; tietokoneell ei voi kuvt rjttomn trkkoj relilukuj. Virheet voivt ksutu odotettu suuremmiksi, mistä äärimmäinen esimerkki on koottinen järjestelmä. (Kosteori keksittiin lunperin tietokoneill tehtyjen sääennusteiden yhteydessä.) Geometrinen lgebr voi utt tässäkin, kosk lskennllinen yksinkertisuus esim. polynomin lempi steluku merkitsee pienempää virheherkkyyttä. GA onkin jo käytössä esimerkiksi modernien tietokoneiden grfiikkprosessoreiss. Yhteenveto Modernin luonnontieteen kehitystä ovt osltn rjoittneet käytettävissä olevt mtemttiset menetelmät. Seurvt kksi ovt hyvin tiedostettuj, mutt tuskin inoit ongelmien lähteitä: Vektori- j kompleksilgebr muodostuvt vrsin helposti hhmotettvist elementeistä, mutt ne ovt liin yksinkertisi voidkseen kuvt moni keskeisiä 11
luonnonilmiöitä. Lisäksi ne ovt sidottuj khteen j kolmeen ulottuvuuteen. Tensorilgebrn käyttölue on huomttvsti ljempi, mutt se hämärtää fysiikn ilmiöt lukujoukkojen tkse, eikä siten trjo juuri mitään käsitteellistä pu. Tämä khtijko on osittin historillisten sttumusten tulost, jlt jolloin vektorilgebrll sttoi ktt miltei koko fysiikn. Historin jäänteistä on kuitenkin kivettu esiin geometrisen lgebrn ykseys, jok on huomttv korjus minittuihin ongelmiin. Esimerkiksi pyörimisliikkeelle sdn siten luontev kuvus mielivltisiss ulottuvuuksiss, kun kselin käsite korvtn suunntull tsoelementillä. GA on kuitenkin enemmän kuin tensorilgebrn uusi tulkint, mikä huomtn tiettyjen lskutoimitusten yksinkertistumisen. Vrsinkin lskennllisen fysiikn soveltjille tämä on merkittävä etu. Lähteet Artikkeli perustuu pääsiss kirjoittjn opintoihin Cmbridgen yliopiston fysiikn litoksell. Kyseisen GA-luentokurssin mterili sekä muut sinkuuluv tieto on stvill Internetistä osoitteest http://www.mro.cm.c.uk/ clifford/. Kirjoittj Risto A. Pju vlmistui Cmbridgen yliopistost tutkinnoll M.Sci. vuonn 2002 opiskeltun yleistä j teoreettist fysiikk. Lisäksi hänellä on IB-tutkinto v. 1997 Kuopion Lyseon lukiost sekä työkokemust teollisuudess j CERN:issä. 12