ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos λ >, niin supλ A} = λ sup A j inf λ A} = λ inf A, jos λ <, niin supλ A} = λ inf A j inf λ A} = λ sup A, sup + b A j b B} = sup A + sup B, inf + b A j b B} = inf A + inf B.. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio j λ. Osoit, että () I L (λf, [, b]) = λ I L (f, [, b]), (b) I U (λf, [, b]) = λ I U (f, [, b]).. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio j λ <. Osoit, että () I L (λf, [, b]) = λ I U (f, [, b]), (b) I U (λf, [, b]) = λ I L (f, [, b]). 3. Olkoot f j g välillä [, b] rjoitettuj funktioit. Osoit, että () I L (f + g, [, b]) I L (f, [, b]) + I L (g, [, b]), (b) I U (f + g, [, b]) I U (f, [, b]) + U L (g, [, b]). 4. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio j c ], b[. Osoit, että () I L (f, [, b]) = I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]), (b) I U (f, [, b]) = I U (f, [, c]) + I U (f, [c, b]). 5. Ann esimerkki sellisest funktiost f, että I L (f, [, ]) = j I U (f, [, ]) = 3. 6. Määritä täsmällisesti perustellen I U (f, [4, 6]), kun (x + ) sin x, kun x Q,, kun x R \ Q.
7. Ann esimerkki sellisist funktioist f j g, että I L (f, [, 5]) + I L (g, [, 5]) < I L (f + g, [, 5]). Tässä tehtävässä lintegrlien rvoj ei trvitse perustell täsmällisesti. Esimerkiksi funktioiden kuvjiin ti monisteen esimerkkeihin tukeutuv perustelu on riittävä. Vihje: Voit myös olett tehtävien j tulokset tunnetuksi. 8. Ann esimerkki sellisist funktioist f j g, että I U (f + g, [, 4]) < I U (f, [, 4]) + I U (g, [, 4]). Tässä tehtävässä yläintegrlien rvoj ei trvitse perustell täsmällisesti. Esimerkiksi funktioiden kuvjiin ti monisteen esimerkkeihin tukeutuv perustelu on riittävä. Vihje: Voit myös olett tehtävien j tulokset tunnetuksi. 9. Olkoon x, kun x Q,, kun x R \ Q. Osoit, että I L (f, [, 3]) < I U (f, [, 3]). Vihje: Voit olett tehtävän 4 tulokset tunnetuksi.. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio. Osoit todeksi ti (vstesimerkillä) epätodeksi, että jos g on sellinen välin [, b] porrsfunktio, että niin g f välillä [, b]. g I L (f, [, b]), 5. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus. Osoit, että funktio 5 x, kun x Q, x, kun x R \ Q, ei ole Riemnn-integroituv välillä [, ].. Olkoon A = n n Z +}. Osoit, että funktio, kun x A,, kun x R \ A, on Riemnn-integroituv välillä [, ].
3. Olkoon A = 3n n Riemnn-integroituv välillä [, 3]. n Z + }. Osoit, että funktio, kun x A, 5, kun x R \ A, 4. Olkoon f : R R sellinen funktio, että f() = j f on jtkuv pisteessä x = sekä Riemnn-integroituv jokisell osvälillä [, 3] ( < < 3). Todist, että f on Riemnn-integroituv välillä [, 3]. 5. Olkoon f sellinen funktio, että lim f(4) = 6 x 4 j f on Riemnn-integroituv jokisell välillä [, ] ( < < 4). Tutki täsmällisesti perustellen, onko f Riemnn-integroituv välillä [, 4]. 6. Osoit Riemnnin ehto käyttäen, että funktio e x on Riemnn-integroituv välillä [, b] (b > ) j Vihje: Ks. kurssimonisteen esimerkki 5.6. e x dx = e b. 7. Osoit Riemnnin ehto käyttäen, että funktio x on Riemnn-integroituv välillä [, ] j f(x) dx =. 8. Osoit Riemnnin ehto käyttäen, että funktio sin x on Riemnn-integroituv välillä [, ]. 9. Olkoon x. Ann esimerkki sellisist välillä [, 6] määritellyistä porrsfunktioist g j h, että g f h j 6 h 6 g.. Olkoon x x. Ann esimerkki sellisist välillä [, 4] määritellyistä porrsfunktioist g j h, että g f h j Lusett 5.7 voi käyttää. Lusett 5.7 voi käyttää. h g.
5.3 Integroituvi funktioit. Todist, että jos funktio f on vähenevä välillä [, b], niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b].. Tutki, onko funktio + tn x, kun x [ [, π,, kun x = π, Riemnn-integroituv välillä [, π ]. 3. Tutki, onko funktio kun x [, ], x,, x, kun x =, Riemnn-integroituv () välillä [, ], (b) välillä [, ]. 4. Tutki, onko funktio (sin x) cos x, kun x [, π[,, kun x = π, Riemnn-integroituv välillä [, π]. 5. Olkoon f sellinen välillä [, b] rjoitettu funktio, että supf(x) x [c, d]} inff(x) x [c, d]} d c in, kun [c, d] [, b]. Todist, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 6. Olkoon f : [, b] R sellinen funktio, että f svutt jokisell välin [, b] suljetull osvälillä suurimmn j pienimmän rvons j että f(x) f(y) 5 x y in, kun x, y [, b]. Todist Riemnnin ehto käyttäen, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 7. Osoit, että funktio x sin, kun x, x, kun x =, on Riemnn-integroituv millä thns suljetull välillä [, b].
8. Osoit todeksi ti epätodeksi, että jos funktio f on jtkuv pisteessä x =, niin on olemss sellinen >, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ]. 9. Osoit täsmällisesti perustellen, että funktio 3 sin, kun x, x 3, kun x =, on Riemnn-integroituv välillä [, π].. Tutki täsmällisesti perustellen, onko funktio cos π, kun x π, π x, kun x = π, Riemnn-integroituv välillä [, π]. 5.4 Perusominisuuksi. Osoit, että jos f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], niin myös f + g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j (f + g) = f + g.. Määritä () ( e x + 4x + 3 ) dx, (b) 5 x 3 + x dx. 3. Osoit, että jos f j g ovt välillä [, b] Riemnn-integroituvi funktioit, niin myös funktio () h(x) = mxf(x), g(x)}, (b) h(x) = minf(x), g(x)} on Riemnnintegroituv välillä [, b]. Vihje: Esitä funktio h käyttäen funktioit f j g sekä itseisrvofunktiot. 4. Onko mhdollist, että () funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], vikk f ei ole Riemnn-integroituv välillä [, b], (b) funktio f g on Riemnn-integroituv välillä [, b], vikk funktiot f j g eivät ole Riemnn-integroituvi välillä [, b]? 5. Olkoon c < b <. Osoit, että f = c f + Voit olett tunnetuksi, että f on Riemnn-integroituv kikill trksteltvill väleillä. c f.
6. Tiedetään, että f = 5, Määritä () 5 7. Tiedetään, että f = 3, Määritä () 6 f, (b) 8. Olkoon, b >. Osoit, että 9. Määritä () log 4 f, (b) f = f = f, (c) j 5 f, (c) j 6 e x dx = e b e. e x dx, (b) Vihje: Voit olett tehtävän 8 tuloksen tunnetuksi. 6 f =. 5 f. f = 5. f, j (d) f. mxe x, x + } dx.. Perustele, miksi funktio x x on Riemnn-integroituv välillä [, 3], j määritä (perustellen) 5.5 Integrlien rviointi 3 x x dx.. Osoit, että. Osoit, että e x dx e. () x3 + dx 6, (b) 3 x3 + dx. 3. Osoit, että + 4. Osoit, että cos(x + rc tn x) dx R. () 3π π sin x x dx, (b) e log x e x + dx e.
5. Osoit, että e e + e e log (x + ) x dx e. 6. Osoit, että (x + ) x dx. 7. Osoit, että () e+ ( x e ) x dx e, (b) e x e x x dx eb e (b > ). 8. Osoit, että () rc tn(x 3 3x + 3) dx π, (b) 3 e x e dx x. 9. Osoit, että () rc tn x dx π 4, (b) rc tn x dx.. Osoit, että e e x x dx e.. Osoit, että jos integrointivälillä f(x) g(x), niin b f(x) dx g(x) dx kikill, b R (olivtp luvut missä thns järjestyksessä). Osoit myös, että epäyhtälö ei välttämättä ole voimss, jos luovutn vtimuksest f(x).. Osoit, että 3. Osoit, että () lim t t t sin x dx =, (b) lim n lim n π sin n x dx =. π cos(nx) dx =. n + x Vihje: π sin n x dx = π ε sin n x dx + π π ε sin n x dx kikill ε >.
4. Olkoon f sellinen välillä [, 4] jtkuv funktio, että f(x)g(x) dx = kikille välin [, 4] porrsfunktioille g. Todist, että kikill x [, 4]. 5. Olkoon f sellinen välillä [, 4] Riemnn-integroituv funktio, että f on vsemmlt jtkuv pisteessä x = 4. Oletetn lisäksi, että f(x)g(x) dx = in, kun g on sellinen välillä [, 4] Riemnn-integroituv funktio, että g(4) = 6. Osoit, että f(4) =. 6. Olkoon f sellinen välillä [, b] jtkuv ei-negtiivinen funktio, että f(x) dx >. Osoit täsmällisesti perustellen, että on olemss sellinen välin [, b] porrsfunktio g, että g f j < g(x) dx < f(x) dx. 7. Olkoon f sellinen välillä [, ] jtkuv funktio, että f() = j f(x) kikill x ], ] j Mitä voit päätellä funktiost f? f(x) dx = (f(x)) dx. 8. Olkoot f j g sellisi välillä [, b] jtkuvi funktioit, että f(x) dx = g(x) dx. Osoit, että on olemss sellinen c [, b], että f(c) = g(c). 9. Osoit (vstesimerkillä), että tehtävän 8 tulos ei välttämättä päde, jos edes toinen funktioist f j g ei ole jtkuv välillä [, b].. Osoit, että () xex + x dx e, (b) x + dx x 5. Vihje: Cychy-Schwrzin epäyhtälö.
5.6 Integrlilskennn välirvoluse. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välillä [, b] sekä m = inf f(x) j M = sup f(x). x [,b] x [,b] Osoit, että jos f ei ole vkiofunktio, niin on olemss sellinen µ [m, M], että f(x) dx = µ(b ).. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio j Osoit, että µ = b f(x) dx. (f(x) µ) dx =. 3. Määritä integrlilskennn välirvolusett käyttäen () lim + 3 sin x dx, (b) lim x t + t t sin(t/x) dx ( > ). 4. Määritä integrlilskennn välirvolusett käyttäen x t + () lim dt, x x cos t + 3 (b) lim x x x sin(rctn t) dt. 5. Olkoon n cos x ( + nx). Kosk funktio f on jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, ], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ ], [, että f(x) dx = n cos ξ n ( ) < ( + nξ) n ξ =, kun n. nξ Siis suppiloperitteen nojll lim n n cos x dx =. ( + nx) Kyseinen rj-rvo on kuitenkin, joten missä koht päättelyssä on virhe j mikä virhe on?
6. Osoit integrlilskennn välirvolusett käyttäen, että 3 < 9 + x dx <. 7. Olkoon f sellinen jtkuv funktio, että f(x) dx =. Osoit, että on olemss sellinen piste c ], b[, että f(c) =. 8. Määritä integrlilskennn välirvolusett ti yleistettyä integrlilskennn välirvolusett käyttäen () lim t t + 3t t e x dx, (b) lim x t + t t x cos(e x ) dx. 9. Osoit yleistettyä integrlilskennn välirvolusett käyttäen, että Vihje: Voit olett tunnetuksi, että x dx > 4. ( x ) dx = 4.. Osoit yleistettyä integrlilskennn välirvolusett käyttäen, että jos >, niin ( ) 3 + 6 3 + 5 5 < 3 dx < + x 3 + 5 5. Vihje: + x 6 = ( + x )( x + x 4 ). Voit olett tunnetuksi, että 5.7 Riemnnin summ. Lske funktion ( x + x 4 ) dx = 3 3 + 5 5. x + jkoon P =,, 4, 5} liittyvä Riemnnin summ S P (f, ξ), kun () ξ =, ξ = 3 j ξ 3 = 5, (b) ξ =, ξ = j ξ 3 = 4.. Lske funktion x jkoon P =,,, 4} liittyvä Riemnnin summ S P (f, ξ), kun () ξ =, ξ = j ξ 3 =, (b) ξ =, ξ = j ξ 3 =.
3. Olkoon x j S P (f, ξ) jokin välin [, 6] jko P =,, 3, 6} vstv funktion f Riemnnin summ. Onko mhdollist, että S P (f, ξ) =? 4. Ann selliset välin [ 3, 3] jon P = 3,, 3} jkovälien pisteet ξ j ξ, että funktion x + pisteitä ξ j ξ vstv Riemnnin summ S P (f, ξ) =. 5. Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, P jokin välin [, b] jko j S P (f, ξ) funktion f jko P vstv Riemnnin summ. Osoit, että on olemss sellinen c [, b], että S P (f, ξ) = f(c)(b ). Vihje: Suljetull välillä jtkuvn funktion ominisuudet. 6. Lske () Riemnnin summn vull. (5 x) dx, (b) x dx 7. Olkoon f : [, ] R, 3, kun x Q,, kun x R \ Q, j S P (f, ξ) funktion f välin [, ] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Osoit rjrvon määritelmään perustuen, että rj-rvo ei ole olemss. 8. Määritä lim n lim S P (f, ξ) P n k= n (n + k). Vihje: Trkstele esimerkiksi välin [, ] tsvälistä jko (j sopiv funktiot). 9. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio j S P (f, ξ) funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Onko mhdollist, että lim S P (f, ξ) =? P
. Olkoon S P (f, ξ) funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ 3 j f sellinen funktio, että f ei ole ylhäältä rjoitettu välillä [, b]. Osoit, että rj-rvo ei ole olemss. lim S P (f, ξ) P 3 Riemnnin summn määritelmä on tässä tehtävässä ljennettu koskemn myös rjoittmttomi funktioit.