Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012
Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12 1.5 Riippumattomuus 18 2 Satuaismuuttujat 21 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 21 2.2 Joitaki diskreettejä jakaumia 24 2.3 Jatkuva satuaismuuttuja 32 2.4 Normaalijakauma 37 2.5 Muita jatkuvia jakaumia 42 3 Tilastotiedettä 45 3.1 Jakauma parametrie estimoiti 45 3.2 Odotusarvo ja variassi estimoiti 48 3.3 Luottamusvälit 50 3.4 Hypoteesie testaus 51 Todeäköisyyslaskea kaavoja 55
1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 1.1.1 Klassie todeäköisyys Määritelmä 1.1 Kokee erilaisia tuloksia saotaa alkeistapauksiksi. Kaikkie alkeistapauste joukko o otosavaruus W. Mikä hyväsä alkeistapauste joukko o tapaus. Tapaus sattuu, jos kokee tuloksea o alkeistapaus, joka kuuluu tapauksee. Esimerkki 1.1 Noppaa heitetää kerra. Tapaukse A todeäköisyyttä merkitää PHAL. Olkoo A tapaukse A alkeistapauste lukumäärä ja W otosavaruude alkeistapauste lukumäärä. Määritelmä 1.2 Jos kokee kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset, ii tapaukse A todeäköisyys o PHAL = A. W Tämä o todeäköisyyde klassie määritelmä. Tapaukse A alkeistapauksia saotaa myös suotuisiksi alkeistapauksiksi. Määritelmä voidaa siis kirjoittaa myös seuraavasti: PHAL = suotuisie alkeistapauste lukumäärä kaikkie alkeistapauste lukumäärä. Esimerkki 1.2 a) Noppaa heitetää kerra. b) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Millä todeäköisyydellä silmälukuje summa o aiaki 9? Esimerkki 1.3 O päätetty tutustua korkeitaa kolmee puolisoehdokkaasee. Sovelletaa seuraavaa meettelyä. Tutustutaa 1. ehdokkaasee mutta hylätää se. Valitaa toie ehdokas, jos se o parempi kui 1. ehdokas; muutoi valitaa 3. ehdokas. Ehdokkaisii tutustutaa satuaisessa järjestyksessä. Millä todeäköisyydellä valituksi tule paras ehdokas; etä toiseksi paras ehdokas tai huooi ehdokas? Käytetää seuraavia merkitöjä ja imityksiä: Tyhjää joukkoa merkitää «:llä. Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. Tapausjoukko A i, i = 1,,, o otosavaruude W partitio, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat ja A i = W. Tapaukse A komplemettitapaus A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät kuulu tapauksee A.
Huomautus 1.1 Klassiselle todeäköisyydelle pätee HaL PH«L = 0, PHWL = 1, HbL 0 PHAL 1, HcL P Ê A i = PHA i L, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat HsummakaavaL, HdL PHA i L = 1, jos tapaukset A i muodostavat otosavaruude partitio HsummatestiL, HeL PHAL = 1 - PHA c L HkomplemettikaavaL. 4 Kohdat b ja d ovat erittäi tärkeitä tarkistuskeioja: Jos laskettu todeäköisyys ei ole välillä @0, 1D, ii lasku o vääri. Jos tapaukset A i muodostavat W: partitio ja PHA i L ei ole 1, ii aiaki yksi todeäköisyys PHA i L o vääri. Jos PHA i L = 1, ii lasketut todeäköisyydet ovat luultavasti oikei, koska o epätodeäköistä, että virheellisillä todeäköisyyksillä olisi tämä omiaisuus. Esimerkissä 1.3 tapaukset V 1, V 2 ja V 3 muodostavat otosavaruude partitio. Koska PHV i L = 3 + 2 + 1 6 6 6 todeäköisyydet ovat luultavasti oikei. 1.1.2 Geometrie todeäköisyys = 1, ii lasketut Toisiaa koetilae o sellaie, että piste valitaa satuaisesti aetu jaa joiltai osilta. Todeäköisyyde klassista määritelmää ei voida sellaiseaa soveltaa, koska jaalla o pisteitä yliumeroituva määrä. Todeäköisyyksiä voidaa laskea jaoje pituuksie suhteia: PHAL = jaa suotuiste osie yhteispituus. koko jaa pituus Esimerkki 1.4 Piste valitaa satuaisesti jaalta H1, 10L. Toisiaa taas piste valitaa satuaisesti aetu aluee joiltai osilta. Tällöi todeäköisyyksiä voidaa laskea pita-aloje suhteia: PHAL = aluee suotuiste osie yhteispita ala. kokoaluee pita ala Esimerkki 1.5 Oletetaa, että ku tikkaa heitetää tikkatauluu, ii tikka osuu aia tauluu ja taulu kaikki pisteet ovat yhtä todeäköiset. Tällöi osumispiste o satuaie. Esimerkki 1.6 Poika ja tyttö saapuvat kohtaamispaikalle toisistaa riippumatta satuaisea hetkeä aikavälillä 21.00 22.00. Poika odottaa tyttöä korkeitaa 20 mi, ja tyttö odottaa poikaa korkeitaa 5 mi. Kumpiki odottaa korkeitaa klo 22.00 saakka. Millä todeäköisyydellä poika ja tyttö tapaavat toisesa?
5 1.2 Kombiatoriikkaa 1.2.1 Otata Ku käytetää klassista todeäköisyyde kaavaa PHAL = A, joudutaa laskemaa tapauksie W A ja W alkeistapauksie lukumäärät. Toisiaa ämä lukumäärät o helppo saada yksikertaise päättely avulla tai luettelemalla eri mahdollisuudet. Moesti o kuiteki kätevämpää käyttää kombiatoriika tuloksia. Joukosta voidaa ottaa alkioita eli suorittaa otata kahdella tavalla. Otata tehdää palauttamatta, jos joukosta otetaa pois yksi alkio kerrallaa. Otata tehdää palauttae, jos jokaise alkio oto jälkee alkio palautetaa joukkoo. Joukko o järjestetty, jos alkioide järjestykse muuttuessa myös joukko muuttuu. Järjestettyä joukkoa merkitää kaarisuluilla. O siis esimerkiksi Ha, b, cl ¹ Hb, a, cl. Joukko o järjestämätö, jos alkioide järjestyksellä ei ole väliä. Järjestämätötä joukkoa merkitää aaltosuluilla. O siis esimerkiksi 8a, b, c< = 8b, a, c<. Jouko alkioide k-permutaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestetty joukko. Jouko alkioide k-kombiaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestämätö joukko. 1.2.2 Tuloperiaate Lause 1.1 (Tuloperiaate) a) Jos operaatio A i voidaa tehdä i :llä eri tavalla, i = 1,, k, ii joo Hoperaatio A 1,, operaatio A k L voidaa tehdä 1 ÿ 2 ÿ ÿ k eri tavalla. b) Jos i = kaikilla i, ii eri tapoja o k. Esimerkki 1.7 a) Korttipaka kullaki kortilla o tietty maa ja tietty arvo. Mahdolliset maat ovat risti, ruutu, pata ja hertta, ja mahdolliset arvot ovat 2, 3,, 9, 10, J, Q, K ja A. b) Ruokalistassa o 3 erilaista keittoa, 5 alkuruokaa, 8 pääruokaa ja 4 jälkiruokaa. 1.2.3 Järjestetty otata Lause 1.2 (Järjestetty otata palauttamatta) a) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttamatta H - 1L H - 2L ÿ ÿ ÿ H - k + 1L eli! I-kM! eri tavalla. Tästä k-permutaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä PH, kl, P k ja HL k. b) Jos joukossa o erilaista alkiota, ii alkiot voidaa järjestää jooo! eri tavalla. Esimerkki 1.8 a) Lasketaa, kuika moella eri tavalla loto 7 palloa voivat meä tulosputkee b) Kuika moella eri tavalla kymmee ihmistä voi meä jooo? c) Kortit asetetaa jooo ii, että K-kortit ovat vierekkäi. Motako erilaista jooa o olemassa?
6 Lause 1.3 (Järjestetty otata palauttae) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttae k eri tavalla. Esimerkki 1.9 a) Paljoko o erilaisia jokeri tuloksia? b) Ku oppaa heitetää kaksi kertaa, ii erilaisia tuloksia o 6 2 = 36 kappaletta: H1, 1L, H1, 2L, H1, 3L, H1, 4L, H1, 5L, H1, 6L, H2, 1L, H2, 2L, H2, 3L, H2, 4L, H2, 5L, H2, 6L, H3, 1L, H3, 2L, H3, 3L, H3, 4L, H3, 5L, H3, 6L, H4, 1L, H4, 2L, H4, 3L, H4, 4L, H4, 5L, H4, 6L, H5, 1L, H5, 2L, H5, 3L, H5, 4L, H5, 5L, H5, 6L, H6, 1L, H6, 2L, H6, 3L, H6, 4L, H6, 5L, H6, 6L. Nämä ovat kaikki yhtä todeäköisiä. Samat tulosmahdollisuudet saadaa, jos kahta erilaista (esim. eri väristä) oppaa heitetää yhtä aikaa. Esimerkki 1.10 (Sytymäpäivätehtävä) Oletetaa, että vuode kaikki päivät ovat yhtä todeäköisiä sytymäpäiviä (äi ei tarkasti ottae ole). Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki kahdella o sama vuode päivä sytymäpäivää? Esimerkki 1.11 Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki yhdellä o sama vuode päivä sytymäpäivää kui siulla? 1.2.4 Järjestämätö otata Lause 1.4 (Järjestämätö otata palauttamatta; biomikertoime otatatulkita) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestämätö otos palauttamatta tavalla. Tästä k-kombiaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä CH, kl ja C k. Esimerkki 1.12 k eli! k! I-kM! eri Lause 1.5 Jos uurasta, jossa o N palloa, joista M o mustia ja N - M valkoisia, otetaa palloa palauttamatta, ii todeäköisyys, että saadaa k mustaa ja - k valkoista palloa, o M k N-M N -k, 0 k M, 0 - k N - M. Huomaa, että lauseessa 1.5 o oletettu, että mustat pallot ovat jollai tavalla erilaisia eli että e voidaa idetifioida. Samoi o oletettu, että valkoiset pallot o jollai tavalla idetifioitu. Tulos kuiteki pätee, vaikka palloja ei todellisuudessa olisi idetifioitu; pallot voidaa tällöi ajatella tilapäisesti idetifioidu otataa varte. Lause 1.5 o s. hypergeometrise jakauma mukaie, ks. pykälää 2.2.4. Esimerkki 1.13 Laatikossa o 4 puaista palloa ja 6 siistä palloa. Laatikosta otetaa 5 palloa palauttamatta.
1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.3.1 Joukko-oppia Seuraavassa o joukko-opi perusmerkitöjä ja iide todeäköisyystulkitoja. Koska joukkoje A ja B leikkaus A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat sekä A:ssa että B:ssä, ii tapaus A B sattuu, jos sekä A että B sattuvat. Leikkausta A B merkitää usei myös lyhyemmi A B. Koska joukkoje A ja B uioi A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat aiaki toisessa joukoista A ja B, ii tapaus A B sattuu, jos aiaki toie tapauksista A ja B sattuu. Koska jouko A komplemetti A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät ole A:ssa, ii tapaus A c sattuu, jos A ei satu. Koska joukkoje A ja B erotus A - B = A B c sisältää e A: alkeistapaukset, jotka eivät ole B:ssä, ii tapaus A - B sattuu, jos A sattuu mutta B ei satu. Tyhjää joukkoa merkitää «; saotaa, että «o mahdoto tapaus (se ei koskaa satu). Koko otosavaruus W o varma tapaus (se sattuu aia). Oletetaa, että A Õ B. Jos tällöi A sattuu, ii myös B sattuu. Tapauksia i tapaa havaiollistaa s. Ve-diagrammeia: A B A - B Selvästi HA c L c = A, A A c = W, A A c = «, W c = «, «c = W, A «= A, ««= «, A «= «, ««= «. Uioille ja leikkaukselle pätevät seuraavat distributiivilait: A HB CL = HA BL HA CL, A HB CL = HA BL HA CL, A Ë B i B i A Ê Komplemetille pätevät de Morgai kaavat: HA BL c = A c B c, HA BL c = A c B c, c A i Ê = ËA c i, c A i Ë = ÊA c i. = ËHA B i L, = ÊHA B i L.
Seuraava määritelmä o todeäköisyyslaskeassa erittäi tärkeä. 8 Määritelmä 1.3 Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Määritelmä imitys johtuu siitä, että jos A tapahtuu, ii B ei voi tapahtua, ja jos B tapahtuu, ii A ei voi tapahtua. Yleisemmi saotaa, että tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. 1.3.2 Todeäköisyyde aksioomat Todeäköisyyde laskusäätöje johtamiseksi esitetää esi joukko todeäköisyydeltä vaadittavia omiaisuuksia. Nämä omiaisuudet, joita saotaa myös aksioomiksi, ovat luotevia ja sopusoiussa todeäköisyyde ituitiivise käsitykse kassa. Koko todeäköisyyslasketa voidaa sitte johtaa äistä aksioomista. Aksiomaattise todeäköisyyslaskea o kehittäyt A. N. Kolmogorov kirjassaa Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug (1933). Todeäköisyyde aksioomat A1. PHAL 0 kaikille tapauksille A. A2. PHWL = 1. A3. Jos tapaukset A i, i = 1, 2,, ovat toisesa poissulkevat, ii PH A i L = PHA i L. Aksiooma A1 tapaa o luotevaa olettaa, että todeäköisyys o ei-egatiivie. Aksiooma A2 ormeeraa todeäköisyydet ii, että suuri mahdollie todeäköisyys o 1. Aksioomassa A3 esiityvä tapaus A i sattuu, jos aiaki yksi tapauksista A i sattuu. Koska kuiteki tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat, ii tapaus A i sattuu, jos tarkallee yksi tapauksista A i sattuu. O luotevaa, että tällöi tapauksie A i todeäköisyydet lasketaa yhtee: PH A i L = PHA i L. Omiaisuutta A3 saotaa s-additiivisuudeksi. Aksioomie avulla voidaa todistaa seuraava lause. Lause 1.6 Todeäköisyydellä o seuraavat omiaisuudet: a) PH«L = 0. b) Jos A B = «, ii PHA BL = PHAL + PHBL. c) PHAL = 1 - PHA c L (komplemettikaava). d) Jos A Õ B, ii PHAL PHBL. e) 0 PHAL 1. f) PHA - BL = PHAL - PHA BL.
9 1.3.3 Toisesa poissulkevie tapauste uioi Seuraava lausee a-kohta yleistää lausee 1.6 b-kohda useamma tapaukse uioille. Lause 1.7 Oletetaa, että tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat. a) P Ai = PHAi L (summakaava). b) Jos lisäksi Ai = W, ii PHAi L = 1. Huomautus 1.1 Lausee 1.6 e-kohta 0 PHAL 1 ja lausee 1.7 b-kohta ovat erittäi tärkeitä todeäköisyyksie tarkistamisessa. Laskuissa o imittäi joki virhe, jos laskuje tuloksea o todeäköisyys, joka o egatiivie tai suurempi kui 1; jos tapausavaruus voidaa jakaa toisesa poissulkevie tapauste uioiksi ja tapauste todeäköisyyksie summa o eri suuri kui 1. Vaikka tarvittaisii vai tiety tapaukse todeäköisyys, ii usei o hyödyllistä laskea kaikkie tapauksie todeäköisyydet, jotta voitaisii käyttää lausee 1.7 b-kohda atamaa tarkistuskeioa. Lausee 1.7 b-kohtaa voidaa käyttää myös toisella tavalla: yhtälöstä PHA i L = 1 voidaa yksi todeäköisyys PHA i L ratkaista muide todeäköisyyksie avulla. Tästä o kuiteki se huomat- tava varjopuoli, että kaava PHA i L = 1 käyttö tarkistuskeioa meetetää. Esimerkki 1.14 1.3.4 Yleie uioi Lause 1.8 (Mukaalukemis poissulkemis-periaate, priciple of iclusio-exclusio) a) PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. b) PHA B CL = PHAL + PHBL + PHCL - PHA BL - PHA CL - PHB CL + PHA B CL. c) PHA B C DL = PHAL + PHBL + PHCL + PHDL - -PHA BL - PHA CL - PHA DL - PHB CL - PHB DL - PHC DL + +PHA B CL + PHA B DL + PHA C DL + PHB C DL - -PHA B C DL. Lausee imi tulee siitä, että siiä uioi todeäköisyyde lausekkeesee otetaa leikkauste todeäköisyyksiä mukaa plusmerkkisiä ja iitä suljetaa pois miiusmerkkisiä. Esimerkki 1.15
10 1.3.5 Todeäköisyyksie määräämie Todeäköisyyde aksioomat ja iistä johdetut laskusääöt atavat vai kahde tapaukse todeäköisyydelle tiety umeroarvo PH«L = 0 ja PHWL = 1, mutta muute e vai kertovat, mite joki tapaukse todeäköisyys voidaa laskea joideki muide tapauste todeäköisyyksie avulla; esim. PHAL = 1 - PHA c L, PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. Laskusäätöje avulla voidaa siis todeäköisyyksiä muokata toisii muotoihi, mutta lopulta tullaa vaiheesee, jossa pitää ataa joideki tapauste todeäköisyyksille umeroarvot, jos tarkasteltava tapaukse todeäköisyydelle halutaa umeroarvo. Todeäköisyyksille voidaa määrätä umeroarvoja kolmella tavalla: todeäköisyyksie yhtäsuuruude avulla, suhteelliste frekvessie avulla, subjektiivise arvioii avulla. Todeäköisyyksie yhtäsuuruus Jo kokee kuki tulokse todeäköisyys o yhtä suuri, ii klassise todeäköisyyde mukaa tapaukse todeäköisyys o suotuisie alkeistapauksie lukumäärä suhde kaikkie alkeistapauksie lukumäärää. Suhteelliset frekvessit Jos tulosmahdollisuudet eivät ole yhtä todeäköiset, voidaa kokeide tai tilastoje avulla laskea tapauksille suhteellisia frekvessejä; iitä voidaa pitää todeäköisyyksie likiarvoia. Ku o esimerkiksi laskettu tietyllä aikavälillä sytyeide poikie ja kaikkie sytyeide laste lukumäärie suhde, o poja sytymä todeäköisyydelle saatu likiarvo 0.51. Jotta suhteelliste frekvessie avulla saataisii luotettava todeäköisyyde arvio, ii kokeita tai tilastoarvoja tarvitaa paljo. Seuraavassa o Mathematica-ohjelma avulla simuloitu rahaheittoa 10 000 kertaa ja piirretty, mite kruuie suhteellie frekvessi kehittyy, ku heittoje lukumäärä kasvaa: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 0.515 0.510 0.505 0.495 2000 4000 6000 8000 10 000 0.490 0.485 Vielä 10 000 heito jälkeeki kruua todeäköisyyde arvio o iiki huoo kui 0.505. Eri simulotikerroilla tulos voi vaihdella paljoki; seuraavassa simulaatiossa satutaa saamaa parempi todeäköisyyde arvio:
Vielä 10 000 heito jälkeeki kruua todeäköisyyde arvio o iiki huoo kui 0.505. Eri simulotikerroilla tulos voi vaihdella paljoki; seuraavassa simulaatiossa satutaa saamaa parempi todeäköisyyde arvio: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 11 0.53 0.52 0.51 0.49 2000 4000 6000 8000 10 000 0.48 Mitä eemmä o käytettävissä tilastoarvoja, se luotettavampi o suhteellie frekvessi todeäköisyyde arvioa. Tämä voidaa myös todistaa todeäköisyyslaskea tuloste avulla. Kurssilla Todeäköisyyslasketa II esitetää Beroulli lause, joka mukaa tapaukse suhteellie frekvessi suppeee todeäköisyysmielessä kohti tapaukse todeäköisyyttä, ku kokeita tehdää yhä eemmä ja eemmä. Subjektiivie arvioiti Tiettyje tapauste todeäköisyyksiä voidaa arvioida myös subjektiivisesti. Esimerkiksi lääkäri voi saoa, että tietty potilas selviytyy sairaudesta todeäköisyydellä 0.8. Tämä arvio perustuu osittai lääkäri lukemii tutkimuksii aiheesta, osittai lääkäri omii kokemuksii aikaisemmista vastaavatapaisista tapauksista ja osittai lääkäri subjektiivisee arvioo kyseisestä potilaasta. Tällaie subjektiivie todeäköisyys ilmaisee hekilö uskomukse siitä, että tapaus sattuu. Joku voisi saoa esimerkiksi, että lähde lauataia lekille todeäköisyydellä 0.9. Subjektiivisessaki todeäköisyydessä o usei osittai mukaa frekvessiajattelua. Kokemukse mukaa esimerkiksi tietylaie potilas o useimmite selviytyyt, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu tämäki potilaa kohdalla, tai hekilö o lauataisi useimmite käyyt lekillä, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu seuraavaaki lauataia.
1.4 Ehdollie todeäköisyys 12 1.4.1 Ehdollie todeäköisyys Esimerkki 1.16 Millä todeäköisyydellä tapaus A sattuu, ku tiedetää, että tapaus B o sattuut? Tämä todeäköisyys o s. ehdollie todeäköisyys, ja sitä merkitää PHA BL. Tämä merkiä voi lukea esim. seuraavilla tavoilla: P A ehdolla B, A: ehdollie todeäköisyys ehdolla B, todeäköisyys, että A tapahtuu, ku B o tapahtuut. Edellise esimerki mukaisesti voidaa kirjoittaa: Määritelmä 1.4a Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o tapaukse A todeäköisyys otosavaruudessa B. Koska tässä siis alkuperäie otosavaruus W korvataa suppeammalla otosavaruudella B, ii tätä ehdollise todeäköisyyde lasketameetelmää saotaa supistetu otosavaruude meetelmäksi (määritelmässä 1.4b tullaa esittämää kaava, jossa käytetää alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksiä). Esimerkki 1.17 Heitetää kahta oppaa. Millä todeäköisyydellä silmälukuje summa o 6, ku tiedetää, että esimmäise opa tulos o 3? Määritelmä 1.4b Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o PHA BL = PHA BL. PHBL Ehdollie todeäköisyys PHA BL voidaa siis määritellä kahdella tavalla: A: todeäköisyyteä supistetussa otosavaruudessa B; alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksie avulla: PHA BL. PHBL Kumpiki määritelmä o tärkeä käytäö laskuissa. Edellie määritelmä o lisäksi tärkeä auttaessaa ymmärtämää, mistä ehdollisessa todeäköisyydessä o kyse. Jälkimmäie määritelmä taas o tärkeä myös siksi, että se avulla voidaa johtaa ehdollisee todeäköisyytee liittyviä tuloksia (mm. kokoaistodeäköisyyskaava ja Bayesi kaava). Esimerkki 1.18 Ku tiettyä ohjelmajoukkoa tutkittii, ii havaittii, että 20 prosetissa ohjelmia oli sytaksivirheitä ja 6 prosetissa sekä sytaksi- että I/O-virheitä. Jos tietyssä ohjelmassa o sytaksivirheitä, ii millä todeäköisyydellä siiä o myös I/O-virheitä? Esimerkki 1.19 Oletetaa, että lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Tiedetää, että perhee kahdesta lapsesta aiaki yksi o poika. Millä todeäköisyydellä toieki lapsi o poika? Pitapuolisesti ajattelemalla voisi päätellä, että toieki lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Ehdolliselle todeäköisyydelle pätevät kaikki tavalliselle todeäköisyydelle johdetut tulokset. Esimerkiksi 0 PHA BL 1, PHA BL = 1 - PHA c BL.
13 1.4.2 Kokoaistodeäköisyyskaava Ratkaisemalla kaavoista PHA BL = PHA BL ê PHBL ja PHB AL = PHA BL ê PHAL todeäköisyys PHA BL, saadaa seuraava lause. Leikkaukse todeäköisyyttä tarkastellaa lähemmi pykälässä 1.5. Lause 1.9 Tapauste leikkaukse todeäköisyys toteuttaa kaavat PHA BL = PHA BL PHBL, jos PHBL > 0; PHA BL = PHAL PHB AL, jos PHAL > 0. Määritelmä 1.5 Tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude W partitio, jos tapaukset ovat toisesa poissulkevat, W = A i ja PHA i L > 0 kaikilla i. Lause 1.10 (Kokoaistodeäköisyyslause) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio, ii PHBL = PHB Ai L PHA i L. Lausee 1.10 kokoaistodeäköisyyskaava avulla kokoais -todeäköisyys PHBL voidaa koota ehdollisista todeäköisyyksistä PHB A i L paiottamalla kutaki ehdollista todeäköisyyttä ehdo todeäköisyydellä PHA i L. Kokoaistodeäköisyyskaava o hyödyllie moissa tapauksissa, joissa todeäköisyyttä PHBL o vaikea laskea suoraa, mutta lasketa o helppoa ehdolliste todeäköisyyksie PHB A i L avulla. Esimerkki 1.20 Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Millä todeäköisyydellä vastaus yhtee kysymyksee o oikea? PHOL 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p
14 Esimerkki 1.21 Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Millä todeäköisyydellä testi tulos o positiivie; etä egatiivie? 0.0002 V 0.9999 0.0001 P N 0.0002ÿ0.9999 = 0.000 199 98 0.0002ÿ0.0001 = 0.000 000 02 0.9998 E 0.001 0.999 P N 0.9998ÿ0.001 = 0.000 9998 0.9998ÿ0.999 = 0.998 8002 1.4.3 Bayesi kaava Bayesi kaava o usei hyödyllie, ku halutaa laskea ehdollisia todeäköisyyksiä. Lause 1.11 (Bayesi lause; Thomas Bayes, 1701 1761) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio ja PHBL > 0, ii P HA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL = PHB A kl PHA k L PHB Ai L PHA i L, k = 1,,. Esimerkki 1.22 Jatketaa esimerkkiä 1.20. Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Jos vastaus yhtee kysymyksee o oikea, ii millä todeäköisyydellä opiskelija tiesi vastaukse eikä arvaut? PHT»OL 1.0 0.8 0.6 0.4 = 6 = 5 = 4 = 3 = 2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p
15 Esimerkki 1.23 Jatketaa esimerkkiä 1.21. Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Jos testi tulos o positiivie, ii millä todeäköisyydellä ihmisellä todella o virus? Mistä testi huoo luotettavuus johtuu? Jos tarkastellaa esimerkiksi 10 000 ihmise joukkoa, ii o odotettavissa, että siiä kahdella ihmisellä o virus. Testi o äide kahde ihmise joukossa positiivie keskimääri 0.9999 ÿ 2 = 1.9998:lle ihmiselle. Testi o positiivie 9998 tervee ihmise joukossa keskimääri 0.001 ÿ 9998 = 9.998:lle ihmiselle. Keskimääri saadaa siis yhteesä 11.9978 positiivista testitulosta. Tästä sairaide osuus 1.9998 o todellaki vai 16.7 prosettia. Huoo tulos johtuu siis virheelliste positiiviste tuloste suuresta määrästä. Se taas johtuu siitä, että vaikka virheellise positiivise tulokse todeäköisyys oki piei (0.001), ii virheellisiä positiivisia tuloksia kuiteki sytyy melko paljo, koska terveide ihmiste osuus oli hyvi suuri (0.9998). Huomautus 1.2 Bayesi kaava voidaa tulkita kahdellaki tavalla. a) Kääteiset ehdolliset todeäköisyydet. Ehdollisille todeäköisyyksille PHB A i L, i = 1,,, voidaa Bayesi kaava avulla laskea kääteiset ehdolliset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Jos A i o tapaukse B mahdollie syy, ii PHB A i L o seuraukse todeäköisyys, ku syy tiedetää, mutta PHA i BL o syy todeäköisyys, ku seuraus tiedetää. b) Posterioriset todeäköisyydet. Alu peri tiedetää todeäköisyydet PHA i L, i = 1,, ; ämä ovat s. prioriset todeäköisyydet. Sitte saadaa se iformaatio, että tapaus B o sattuut. Bayesi kaava avulla voidaa yt laskea s. posterioriset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Tällä tavalla voidaa todeäköisyyksiä päivittää, ku saadaa uutta iformaatiota. Prioriset t:t Posterioriset t:t PHVL = 0.0002 PHV» PL = 0.167, PHV» NL = 0.000 000 02 PHEL = 0.9998 PHE» PL = 0.833, PHE» NL = 0.999 999 98 1.4.4 Lasketaohjeita Ku ratkaistaa todeäköisyyslaskea tehtäviä, ii vaaraa o, että lasku eteee ii kui laskijasta vai tutuu järkevältä ja lasku eri vaiheet jäävät perustelematta tai vai hämärä ituitio varaa. Tästä o kaksi varjopuolta: Lasku meee usei vääri, koska perusteluja ei mietitä. Vaikka lasku lopputulos olisi oikeaki, ii ulkopuolise o vaikeaa saada laskusta selvää: todeäköisyydet jäävät tarkemmi määrittelemättä ja laskea vaiheet perustelematta. Jotta laskusta saataisii varmemmi oikea tulos ja lasku olisi myös muide ymmärrettävissä, ii kaattaa oudattaa seuraavia ohjeita. Moet luetoje esimerkit oudattavat äitä ohjeita. Ohjeita o oudatettava myös tettitehtävissä.
16 Ohjeita todeäköisyyksie laskemisee: 1) Aa tapauksille helposti muistettavat symbolit. 2) Kirjoita aetut todeäköisyydet symbolie avulla. 3) Kirjoita ja laske kysytty todeäköisyys symbolie avulla. 4) Käytä laskemisessa vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. 5) Sijoita saatuu symbolisee lausekkeesee aetut todeäköisyydet ja sieveä. 6) Usei o mielekiitoista tietää todeäköisyydelle sekä tarkka arvo että desimaaliarvo. 1) Symbolie määrittely tapauksille o välttämätötä, jotta lasku voitaisii esi ratkaista symbolisesti. Voidaa esimerkiksi määritellä V = ihmisellä o virus, E = ihmisellä ei ole virusta, P = testi o positiivie. 2) Aettuje todeäköisyyksie kirjoittamie symbolie avulla selkeyttää lähtötilatee ja helpottaa myöhempää laskemista. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHVL = 0.0002, PHEL = 0.9998, PHP VL = 0.9999, PHP EL = 0.001. 3) Ku kysytty todeäköisyys kirjoitetaa symbolie avulla, tiedetää tarkallee, mitä pitää laskea. Ku tämä todeäköisyys sitte lasketaa symbolie avulla, tulee samalla mietityksi, millä perusteella ja millä kaavalla todeäköisyys lasketaa, ja lukija o helppo seurata laskea eteemistä. Voida esimerkiksi kirjoittaa kokoaistodeäköisyyskaava avulla PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL. 4) Laskeassa o tärkeää, että käytetää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia, koska se varmistaa, että ratkaisu o oikea. Vältä sellaiste ad hoc -päätelyje käyttöä, jotka vai tutuvat järkeviltä. Alla o lueteltu todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat. 5) Vasta ku todeäköisyyde symbolie lauseke o saatu selville, siihe sijoitetaa aetut lähtötiedot (jotka kirjoitettii kohdassa 2) ja lauseke sieveetää. Ku symbolie lauseke o selvillä, ii sijoitusvaihe o usei yksikertaista umeerista lasketaa. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL = 0.9999 ÿ 0.0002 + 0.001 ÿ 0.9998 = 0.001 199 78. 6) Todeäköisyyde tarkka arvo o usei mielekiitoie ja arvokas, varsiki, jos se o verrate yksikertaie murtoluku tai muu tarkka lauseke. Desimaaliarvo o usei myös havaiollie, koska siitä äkyy helposti todeäköisyyde suuruusluokka. Näytä desimaaliluvuissa riittävä mota ollasta eroavaa desimaalia (esim. 4), jotta todeäköisyyksie oikeellisuus tulisi selväksi myös lukijalle ja jotta todeäköisyydet voisi tarkistaa kaava PHA i L = 1 avulla riittävä tarkasti (todeäköisyyksie tarkistusta tarkastellaa hetke kuluttua). Kohdassa 4 kehotetaa käyttämää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. Seuraavassa o lueteltu tällaisia tuloksia (äistä kaavat 6 ja 7 tulevat esille vasta pykälässä 1.5).
17 Todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat: Peruskaavoja: 1) Klassie todeäköisyys: PHAL = A, jos alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset W 2) Komplemettikaava: PHAL = 1 - PHA c L Uioii liittyviä kaavoja: 3) Kahde tapaukse uioi: PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL 4) Toisesa poissulkevie tapauste uioi: P Ai = PHAi L (summakaava) Leikkauksee liittyviä kaavoja: 5) Kahde tapaukse leikkaus: PHA BL = PHAL PHB AL = PHA BL PHBL 6) Yleie leikkaus: P Ai = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ 7) Riippumattomie tapauste leikkaus: P Ai = PHAi L (tulokaava) Ehdollisee todeäköisyytee liittyviä kaavoja: 8) Ehdollie todeäköisyys: PHA BL = PHA BL PHBL 9) Kokoaistodeäköisyyskaava: PHBL = PHB Ai L PHA i L 10) Bayesi kaava: PHA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL Ole tarkka todeäköisyyksie yhteelaskussa ja kertomisessa: Todeäköisyyksie yhteelasku ja kertomie: Jos lasket todeäköisyyksiä yhtee, ii tapauste o oltava toisesa poissulkevat (kaava 4). Jos kerrot todeäköisyyksiä, ii joko tapauste o oltava riippumattomat (kaava 7) tai tulo tekijöide o oltava ehdollisia todeäköisyyksiä (kaavat 5, 6, 9 ja 10). Aikaisemmi maiitut kuusi ohjetta auttavat pääsemää oikeaa lopputuloksee. Ku todeäköisyys o laskettu, o kuiteki syytä vielä kiiittää huomiota tulokse oikeellisuutee. Todeäköisyyksiä voi tarkistaa seuraavilla tavoilla:
Todeäköisyyksie tarkistamie: 0 PHAL 1. PHA i L = 1, jos 8A 1,, A < o W: partitio. Jos siis tapaukset muodostavat W: partitio ja olet laskeut kaikkie tapauste todeäköisyydet, ii todeäköisyyksie summa täytyy olla tasa 1. Vaikka kysytää vai yhde tai muutama tapaukse todeäköisyyttä, ii laske kaikkie toisesa poissulkevie tapauste todeäköisyydet, jotta voit käyttää testiä PHA i L = 1. Laske yleise todeäköisyyde arvo joissaki erikoistapauksissa, joissa todeäköisyyde pystyy varmasti laskemaa oikei. Mieti, tutuuko tulos järkevältä (mutta muista kuiteki, että todeäköisyyslaskeassa o yllättäviäki tuloksia). Arvioi todeäköisyyttä simuloimalla tehtävä tilaetta tietokoee avulla ja vertaa arviota todeäköisyyde laskettuu arvoo. Tutki kirjallisuutta ja kysy euvoa. 18 1.5 Riippumattomuus 1.5.1 Leikkaukse todeäköisyys Lause 1.12 Seuraavat kaavat pätevät, jos iissä esiityvät ehdolliset todeäköisyydet ovat olemassa. a) PHA BL = PHAL PHB AL, PHA BL = PHA BL PHBL; b) PHA B CL = PHAL PHB AL PHC A BL; c) PHA B C DL = PHAL PHB AL PHC A BL PHD A B CL; d) PH A i L = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ PHA A 1 A -1 L Esimerkki 1.24 Noppaa heitetää kerra. Olkoo E = silmäluku o parillie ja V = silmäluku o korkeitaa 5. Lasketaa tapaukse E V todeäköisyys kolmella tavalla Esimerkki 1.25 Luokassa o 7 tyttöä ja 5 poikaa. Satuaiset 3 oppilasta asettuvat jooo. Millä todeäköisyydellä tytöt ja pojat vuorottelevat joossa? Esimerkki 1.26 a) Avaiipussa o avaita. Avaimia kokeillaa peräjälkee, kues oikea avai löytyy; kokeillut avaimet pidetää erillää kokeilemattomista. Millä todeäköisyydellä vasta k:s avai o oikea?
19 1.5.2 Kahde tapaukse riippumattomuus Ehdollie todeäköisyys PHA BL riippuu yleisesti B:stä, ts. PHA BL o eri kui PHAL. Toisiaa o kuiteki PHA BL = PHAL. Tällöi o luotevaa saoa, että tapaus A o riippumato tapauksesta B, sillä tieto tapaukse B sattumisesta ei vaikuta mitekää tapaukse A todeäköisyytee. Jos o PHA BL = PHAL, ii o myös PHB AL = PHBL. Näi olle myöski tapaus B o riippumato tapauksesta A. Voidaa siis saoa, että jos PHA BL = PHAL, ii tapaukset A ja B ovat riippumattomat. Kaava PHA BL = PHAL voitaisiiki ottaa tapauste riippumattomuude määritelmäksi, mutta yleisesti käytetty määritelmä o kuiteki seuraava: PHA BL = PHAL PHBL. Kaavat PHA BL = PHAL ja PHA BL = PHAL PHBL ovat imittäi ekvivaletit. Määritelmä 1.6 Tapaukset A ja B ovat riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL. Jos tapaukset eivät ole riippumattomat, e ovat riippuvat. Tapauste A ja B riippumattomuutta voidaa merkitä A B. Esimerkki 1.27 a) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Olkoo E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 6. b) Noppaa heitetää edellee kaksi kertaa. Olkoo yt E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 7. Lause 1.13 Jos tapaukset A ja B ovat riippumattomat, ii samoi ovat A ja B c, A c ja B sekä A c ja B c. Huomautus 1.3 Tapauste A ja B riippumattomuus eli PHA BL = PHAL PHBL ja toisesa poissulkevuus eli A B = «ovat aiva eri asioita. Kummastakaa omiaisuudesta ei seuraa toie omiaisuus. Jos esimerkiksi tapaukset ovat toisesa poissulkevat, ii silloi tapaukset ovat selvästi riippuvat: jos toie sattuu, ii toie ei voi sattua. Jos taas tapaukset ovat riippumattomat, ii eivät e välttämättä sulje toisiaa pois. 1.5.3 Useamma tapaukse riippumattomuus Saotaa, että tapaukset A, B ja C ovat parittai riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL. Kolme tapaukse varsiaisee riippumattomuutee vaaditaa parittaie riippumattomuus ja myös kolmittaie riippumattomuus: Määritelmä 1.7 Tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL, PHA B CL = PHAL PHBL PHCL. Lause 1.14 Jos tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, ii A o riippumato kaikista tapauksista, jotka o muodostettu tapauksista B ja C.
Lause 1.14 Jos tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, ii A o riippumato kaikista tapauksista, jotka o muodostettu tapauksista B ja C. 20 Määritelmä 1.8 Tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PIA i A j M = PHA i L PIA j M kaikilla i < j, PIA i A j A k M = PHA i L PIA j M PHA k L kaikilla i < j < k, ª P HA 1 A 2 A L = PHA 1 L PHA 2 L ÿ ÿ ÿ PHA L. Riippumattomuude määritelmiä 1.6, 1.7 ja 1.8 voidaa käyttää kahdella tavalla: Määritelmie avulla voidaa testata, ovatko aetut tapaukset riippumattomat. Jos aettuje tapauste riippumattomuus o selvää, ii määritelmie kaavoja voidaa käyttää leikkauste todeäköisyyksie laskemisee. Näistä jälkimmäie käyttötapa o paljo yleisempi ja tärkeämpi. Seuraavaa lauseesee o kirjoitettu leikkaukse todeäköisyyde kaava siiä erikoistapauksessa, että tapaukset ovat riippumattomat. Lause 1.15 Jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, ii P Ai = PHAi L (tulokaava). Esimerkki 1.28 Tiettyä koetta toistetaa riippumatomasti. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; olkoo q = 1 - p. Merkitää O i = i:s koe oistuu ja E i = i:s koe epäoistuu. Lause 1.16 Oletetaa, että koetta toistetaa riippumattomasti ja kuki koe oistuu todeäköisyydellä p. Olkoo q = 1 - p. a) Jos koe toistetaa kertaa ja X oistueide kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k pk q -k, k = 0, 1,,. b) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu esimmäise kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = q k-1 p, k = 1, 2, c) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu :e kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k - 1-1 Esimerkki 1.29 a) Noppaa heitetää kertaa. p q k-, k =, + 1, b) Noppaa heitetää, kues saadaa kruua. c) Noppaa heitetää, kues saadaa :s kruua. Esimerkki 1.30 Kolme metsästäjää ampuu samaa jäistä täsmällee samaaikaisesti. Oletetaa, että osumiset ovat riippumattomat. Metsästäjie osumistodeäköisyydet ovat 0.01, 0.05 ja 0.08. Käytetää sellaista merkitätapaa, että esimerkiksi 1 2 3 c tarkoittaa tapausta, että 1. ja 2. metsästäjä osuvat mutta 3. ei.
2 Satuaismuuttujat 21 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 2.1.1 Jakauma- ja todeäköisyysfuktio Esimerkki 2.1 a) Noppaa heitetää; otosavaruus o W = {ykköe,, kuutoe} ja alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. b) Kahta oppaa heitetää; otosavaruus o W = {(ykköe, ykköe),, (kuutoe, kuutoe)} ja alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. c) Kahta rahaa heitetää; otosavaruus o W = {HR, RL, HR, LL, HL, RL ja HL, LL} ja alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. Määritelmä 2.1 Satuaismuuttuja X otosavaruudessa W o fuktio X: W Ø R. Satuaismuuttuja siis liittää kuhuki alkeistapauksee joki reaaliluvu. Mikä tämä reaaliluku o, riippuu siitä, mitä satuaismuuttuja halutaa kuvaava. Määritelmä 2.2 Satuaismuuttuja X o diskreetti, jos se voi saada vai äärellise tai umeroituvasti äärettömä määrä arvoja. Merkitää, että diskreeti satuaismuuttuja saamie arvoje joukko o K. Diskreeteillä satuaismuuttujilla muotoa PHX = kl olevat todeäköisyydet ovat tärkeimmät. Näille todeäköisyyksille määritellää fuktio. Määritelmä 2.3 Diskreeti satuaismuuttuja X todeäköisyysfuktio o phkl = PHX = kl, k œ K. Käytetää myös imityksiä pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio (eglaissa käytetää usei termiä probability desity fuctio ja lyheettä pdf). Todeäköisyysfukiolla phkl o seuraavat omiaisuudet: 0 phkl 1, k œ K, kœk phkl = 1. Todeäköisyyslaskeassa halutaa usei laskea myös todeäköisyyksiä, jotka ovat muotoa PHX al, PHX > al ja PHa < X bl. Nämä voidaa kaikki ilmaista muotoa PHX al olevie todeäköisyyksie avulla. Esiäki PHX > al = 1 - PHX al. Toiseksi jos a < b, ii PHX bl = PHx al + PHa < X bl, jote PHa < X bl = PHX bl - PHX al. Koska siis muotoa PHX al olevat todeäköisyydet ovat keskeisiä, o tälle todeäköisyydelle määritelty oma fuktio: Määritelmä 2.4 Satuaismuuttuja X jakaumafuktio o FHxL = PHX xl, x œ R. Käytetää myös imityksiä kumulatiivie jakaumafuktio ja kertymäfuktio (eglaissa käytetää usei termiä cumulative distributio fuctio ja lyheettä cdf). Huomaa, että todeäköisyysfuktio määritellää vai pisteissä k œ K mutta jakaumafuktio kaikilla x œ R.
Huomaa, että todeäköisyysfuktio määritellää vai pisteissä k œ K mutta jakaumafuktio 22 kaikilla x œ R. Todeäköisyysfuktiosta saadaa jakaumafuktio ja jakaumafuktiosta todeäköisyysfuktio seuraavasti: FHxL = k x phkl, phkl = FHkL - FHk - 1L. Esimerkki 2.2 a) Noppaa heitetää; olkoo X opaheito tulosta vastaava kokoaisluku. 1 6 1 2 3 4 5 6 5ê6 1 4ê6 3ê6 2ê6 1ê6 1 2 3 4 5 6 b) Kahta oppaa heitetää; olkoo X silmälukuje summa. 6ê36 4ê36 2ê36 1 0.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Diskreeti satuaismuuttuja jakaumafuktiolla FHxL o seuraavat omiaisuudet: 0 FHxL 1, x œ R ; FHxL o oikealta jatkuva porrasfuktio; FHxL o ei-väheevä; lim xø FHxL = 1; lim xø- FHxL = 0. 2.1.2 Odotusarvo Esimerkki 2.3 Seuraavassa o Mathematica-ohjelma avulla simuloitu 100 opaheittoa: = RadomIteger@DiscreteUiformDistributio@6D, 100D 82, 2, 2, 5, 1, 3, 4, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 5, 2, 4, 1, 5, 3, 5, 1, 4, 2, 2, 5, 4, 3, 1, 6, 4, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 5, 4, 6, 3, 1, 3, 3, 6, 6, 3, 6, 1, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 6, 1, 5, 4, 4, 2, 2, 6, 4, 1, 3, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 2, 4, 3, 4, 5, 2, 2, 5, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 5, 3, 5, 1, 6< Tuloste artimeettie keskiarvo o N@Mea@DD 3.29
Jos lasketaa sellaie silmälukuje paiotettu keskiarvo, jossa kuki silmäluvu paioa o 6 vastaava tapaukse todeäköisyys, ii saadaa k=1 k 1 = 7 6 2 = 3.5; tätä arvoa saotaa silmäluvu odotusarvoksi. Simuloidu aieisto keskiarvo o lähellä tätä odotusarvoa. Näi o yleisesti: jos kokeita tehdää paljo, ii koetuloste keskiarvo o lähellä odotusarvoa. Määritelmä 2.5 Diskreeti satuaismuuttuja X odotusarvo o EHXL = k phkl, kœk 23 jos kœk k phkl <. Esimerkki 2.4 Jos diskreeti satuaismuutuja X arvojoukko K o äärellie, ii odotusarvoki o äärellie. Jos kuiteki arvojoukko o umeroituvasti ääretö, ii odotusarvo määritelmä voi ataa äärettömä tulokse. Voi myös olla ii, että summalle kœk k phkl saadaa erilaisia arvoja siitä riippue, missä järjestyksessä termit lasketaa yhtee. Tietty aalyysi tulos saoo, että kaikki lasketajärjestykset johtavat samaa tuloksee silloi ja vai silloi, ku summa suppeee itseisesti eli ku kœk k phkl <. Jotta siis odotusarvo olisi äärellie ja hyvi määritelty, ii vaaditaa määritelmä 2.5 tapaa, että summa suppeee itseisesti. Jos äi ei ole, ii saotaa, että odotusarvo ei ole olemassa. 2.1.3 Muuokse odotusarvo Esimerkki 2.5 Oletetaa, että PHX = -1L = 0.2, PHX = 0L = 0.4 ja PHX = 1L = 0.4. Satuaismuuttuja X fuktio Y = ghxl (g o mitallie fuktio) odotusarvo saadaa laskemalla esi Y: todeäköisyysfuktio qhll, l œ L, ja laskemalla sitte EHYL = lœl l qhll. Seuraava lausee mukaa Y: odotusarvo saadaa myös suoraa X: todeäköisyysfuktio avulla. Lause 2.1 a) E@gHXLD = kœk ghkl phkl, jos kœk ghkl phkl <. b) E@g 1 HXL + g 2 HXLD = E@g 1 HXLD + E@g 2 HXLD. c) EHa + b XL = a + b EHXL. Esimerkki 2.6 2.1.4 Variassi Usei merkitää EHXL = m. Määritelmä 2.6 Satuaismuuttuja X variassi o VarHXL = EAHX - ml 2 E. Lause 2.2 Variassi voidaa laskea myös seuraavista kaavoista: a) VarHXL = EIX 2 M - m 2. b) VarHXL = E@XHX - 1LD + m - m 2.
Diskreeti satuaismuuttuja variassi voidaa siis määritelmä 2.6 ja lausee 2.2 mukaa laskea kaavoista 24 VarHXL = Hk - ml 2 phkl, kœk k 2 phkl - m 2, kœk khk - 1L phkl + m - m 2. kœk Kaksi jälkimmäistä kaavaa ovat usei mukavimmat. Esimerkki 2.7 Satuaismuuttuja variassi mittaa sitä, kuika laajalle satuaismuuttuja arvot ovat levieet. Esimerkiksi kahde opa silmälukuje summa mahdolliste arvoje joukko 82, 3,, 12< o laajempi kui yhde opa tulosjoukko 81, 2,, 6<. Niipä silmälukuje summa variassi oki suurempi kui yhde opa tulokse variassi. Lause 2.3 a) VarHa + b XL = b 2 VarHXL. b) VarHXL 0; VarHXL = 0 silloi ja vai silloi, ku o olemassa sellaie vakio c, että PHX = cl = 1 (tällaie satuaismuuttuja o s. degeeroituut satuaismuuttuja). c) EAHX - cl 2 E o piei, ku c = m; piei arvo o VarHXL. Määritelmä 2.7 Satuaismuuttuja X hajota o variassi eliöjuuri. Usei merkitää VarHXL = s 2. Hajotaa merkitää usei s:lla: s = käytetää eglaissa termiä stadard deviatio. VarHXL. Hajoalle 2.2 Joitaki diskreettejä jakaumia 2.2.1 Diskreetti tasaie jakauma Lause 2.4 Jos satuaismuuttujalla X o yhtä todeäköistä arvoa 1, 2,,, ii PHX = kl = 1, k = 1, 2,,, EHXL = +1 2, VarHXL = 2-1 12. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o diskreetti tasaie jakauma parametrillä ; merkitää X ~ DUHL. Esimerkki 2.8 2.2.2 Poisso-jakauma Lause 2.5 Jos PHX = kl = -l lk k!, k = 0, 1, 2,, ii saotaa, että satuaismuuttujalla X o Poisso-jakauma parametrillä l; merkitää X ~ PoHlL. Tällöi EHXL = l, VarHXL = l.
Seuraavassa kuvassa o joideki Poisso-jakaumie todeäköisyysfuktiot. l = 1 l = 1.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 25 10 20 10 20 30 40 50 0.4 0.3 0.2 l = 5 0.3 0.2 l = 7.5 0.1 0.1 10 20 10 20 30 40 50 0.4 0.3 0.2 l = 8 0.3 0.2 l = 15 0.1 0.1 10 20 10 20 30 40 50 Esimerkki 2.9 Vuoa 1910 Rutherford ja Geiger tutkivat poloiumi lähettämää a-säteilyä. He laskivat vastaaotettuje a-partikkeleide määrä 1 ê 8 miuuti pituisia aikaväleiä. Aikavälejä oli kaikkiaa 2608 kappaletta. Tulos oli oheise tauluko kahde esimmäise sarakkee mukaie. Osoittautui, että jos X o 1 ê 8 miuuti aikaa vastaaotettuje a-partikkeleide lukumäärä, ii X:llä o likimai Poisso-jakauma. Arvioidaa jakauma parametri l seuraavalla tavalla. Koska l = EHXL ja odotusarvoa EHXL voidaa approksimoida otoskeskiarvolla m, ii myös l:aa voidaa approksimoida otoskeskiarvolla m. Nyt m eli keskimääri 1 ê 8 miuuti aikavälillä vastaaotettuje a-partikkelie lukumäärä o oi H0 ÿ 57 + 1 ÿ 203 + 2 ÿ 383 + + 11 ÿ 6L ê 2608 = 3.87. Oletetaa siis, että X ~ PoH3.87L. Lasketaa tämä jakauma todeäköisyydet PHX = kl, k = 0, 1, 2,, 10, ja PHX 11L ja kerrotaa todeäköisyydet välie lukumäärällä 2608. Näi saadaa Poisso-jakauma mukaiset teoreettiset frekvessit. Esimerkiksi PHX = 0L = -3.87 3.87 0 ë 0! = 0.02086, jolloi teoreettie frekvessi o 2608 ÿ 0.02086 = 54.4. Näi saadaa tauluko kolmas sarake. Neljätee sarakkeesee o laskettu havaittuje ja teoreettiste frekvessie erotukset. Koska erotukset ovat varsi pieet, ii tämä tukee sitä johtopäätöstä, että vastaaotettuje a-partikkelie lukumäärällä 1 ê 8 miuuti aikaa o likimai PoH3.87L-jakauma.
26 Partikkelie lukumäärä Havaittu frekvessi Teoreettie frekvessi Frekvessie erotus 0 57 54.4 2.6 1 203 210.5-7.5 2 383 407.4-24.4 3 525 525.5-0.5 4 532 508.4 23.6 5 408 393.5 14.5 6 273 253.8 19.2 7 139 140.3-1.3 8 45 67.9-22.9 9 27 29.2-2.2 10 10 11.3-1.3 11+ 6 5.8 0.2 2.2.3 Biomijakauma Lause 2.6 Koe toistetaa riippumattomasti kertaa. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X oistueide kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = k pk q -k, k = 0, 1, 2,,, EHXL = p, VarHXL = p q. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o biomijakauma parametreillä ja p; merkitää X ~ BiH, pl. Seuraavassa kuvassa o joideki biomijakaumie todeäköisyysfuktiot.
27 0.4 = 10, p = 0.1 0.3 = 5, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 0.4 = 10, p = 0.5 0.3 = 25, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 0.4 = 10, p = 0.8 0.3 = 50, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 Kuva vasemmassa sarakkeessa o = 10 ja oikeassa sarakkeessa o p = 0.3. Huomataa, että pieehköillä tai suurehkoilla p: arvoilla ja suurehkoilla : arvoilla moet todeäköisyydet ovat hyvi pieiä ja satuaismuuttuja saa suurella todeäköisyydellä arvoja melko suppealta väliltä. Kuvassa : ja p: arvot ovat sellaiset, että odotusarvo p o sama kui Poisso-jakauma odotusarvo l aikaisemmi Poisso-jakaumalle esitetyissä kuvissa. Ku yllä olevaa kuvaa verrataa Poisso-jakauma kuvaa, ii huomataa, että vasemmassa sarakkeessa, jossa ei ole suuri ( = 10), biomi- ja Poisso-todeäköisyydet eroavat selvästi, mutta oikeassa sarakkeessa, jossa p o melko piei (p = 0.3), todeäköisyydet ovat lähempää toisiaa, varsiki sarakkee kahdessa alimmassa kuvassa, joissa myös o melko suuri ( = 25 ja = 50). Hetke kuluttua osoitetaaki, että biomijakaumaa voidaa tietyi edellytyksi approksimoida Poisso-jakaumalla.
28 Esimerkki 2.10 Noppaa heitetää 6 kertaa. Olkoo X kuutoste lukumäärä. k phkl FHkL 0 0.334898 0.334898 1 0.401878 0.736776 2 0.200939 0.937714 3 0.0535837 0.991298 4 0.00803755 0.999336 5 0.000643004 0.999979 6 0.0000214335 1 0.4 0.3 0.2 0.1 1. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Esimerkki 2.11 Oletetaa, että tytö sytymä todeäköisyys o 0.49. Olkoo X kolmilapsisessa perheessä olevie tyttöje lukumäärä. k phkl 0 0.132651 1 0.382347 2 0.367353 3 0.117649 Lause 2.7 Jos X ~ BiH, pl ja o suuri ja p piei, ii X:llä o likimai PoH pl-jakauma; merkitää X º PoH pl. Lausee 2.7 mukaie Poisso-approksimaatio o usei riittävä tarkka, jos p 0.05 ja 20. Esimerkki 2.12 Oletetaa, että kirja yhdellä sivulla o keskimääri 2 paiovirhettä. Olkoo X yhdellä sivulla olevie paiovirheide lukumäärä. Mikä jakauma voisi X:llä olla? k Biomitod. Poisso-tod. 0 0.13520 0.13534 1 0.27067 0.27067 2 0.27081 0.27067 3 0.18054 0.18045 4 0.09022 0.09022 5 0.03605 0.03609
29 Lause 2.8 Olkoo X = 1, jos koe oistuu, ja X = 0, jos koe epäoistuu. Oletetaa, että koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Tällöi PHX = 1L = p, PHX = 0L = q, EHXL = p, VarHXL = p q. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o Beroulli-jakauma parametrillä p; merkitää X ~ BerHpL. Esimerkki 2.13 2.2.4 Hypergeometrie jakauma Lause 2.9 Uurassa o N palloa, joista M o mustia ja N - M valkoisia. Uurasta otetaa palloa palauttamatta. Olkoo X saatuje mustie palloje lukumäärä. Tällöi PHX = kl = M k N-M N -k, max 80, - HN - ML< k mi 8M, <, EHXL = p, VarHXL = p q N- N-1, missä p = M N, q = 1 - p. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o hypergeometrie jakauma parametreillä N, M ja ; merkitää X ~ HypHN, M, L. Esimerkki 2.14 Laatikossa o 10 arpaa, joista 3 voittaa. Laatikosta otetaa 4 arpaa palauttamatta. Olkoo X saatavie voittoarpoje lukumäärä. Esimerkki 2.15 Lottoarvoassa o 39 palloa, jotka o umeroitu 1, 2,, 39. Voidaa ajatella ii, että palloista 7 o iitä (mustia), jotka ovat omassa ruudukossamme, ja 32 o muita palloja (valkoisia). Lotossa saa siis k oikei, jos lottokoe valitsee 7:stä omassa ruudukossamme olevasta umerosta k kappaletta ja 32:sta muusta umerosta 7 - k umeroa. Olkoo X oikeide umeroide lukumäärä. k phkl 0 0.218833 1 0.412416 2 0.274944 3 0.0818286 4 0.0112867 5 0.000677202 6 0.0000145635 7 0.00000006501 Lause 2.10 Jos X ~ HypHN, M, L ja N o suuri ja N piei, ii X:llä o likimai BiI, M N M- jakauma; merkitää X º BiI, M N M. Biomiapproksimaatio o usei riittävä hyvä, jos N > 50 ja N < 0.1.
30 2.2.5 Geometrie jakauma Lause 2.11 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu esimmäise kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = q k-1 p, PHX kl = 1 - q k, k = 1, 2,, EHXL = 1 p, VarHXL = q p 2. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o geometrie jakauma parametrillä p; merkitää X ~ GeomHpL. Lausee todistuksessa tarvitaa seuraavia kaavoja (joissa oletetaa, että r < 1): r k = 1 1 - r, 1 k r k-1 = H1 - rl, khk - 1L r k-2 = 2 k=0 k=1 k=2 2 H1 - rl 3. Esimmäie kaava o geometrise sarja summakaava, toie kaava saadaa derivoimalla esimmäie kaava ja kolmas kaava saadaa derivoimalla toie kaava. Esimerkki 2.16 Noppaa heitetää, kues saadaa kuutoe. Olkoo X tarvittavie heittoje lukumäärä. k phkl 1 0.166667 2 0.138889 3 0.115741 4 0.0964506 5 0.0803755 6 0.0669796 7 0.0558163 8 0.0465136 9 0.0387613 10 0.0323011 Esimerkki 2.17 Oletetaa, että ku riippumattomia kokeita suoritettii toistuvasti, ii esimmäistä koetta epäoistuivat. Mikä o tällöi ehdollie todeäköisyys, että tarvitaa vielä k koetta, ee kui saadaa oistuut koe? Helposti tulee ajatelleeksi, että seuraavalla tai muutamalla seuraavalla kerralla kokee oistumise todeäköisyys olisi tavallista suurempi. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä, ee kui saadaa esimmäie oistuut koe. Kysytty todeäköisyys o PHX = + k X > L = PHX = + kl PHX > L = qi+km-1 p q = q k-1 p = PHX = kl. Jos siis esimmäistä koetta o epäoistuut, ii todeäköisyys, että tarvitaa vielä k koetta, ee kui saadaa oistuut koe, o sama kui todeäköisyys, että alu peri olisi tarvittu k koetta. Tämä o s. muistittomuusomiaisuus: X: jakauma ei muista :ää aiemmi epäoistuutta koetta. Geometrie jakauma o aioa positiivie, kokoaislukuarvoie jakauma, jolla o muistittomuusomiaisuus. Huomataa, että erityisesti PHX = + 1 X > L = p. Jos esimerkiksi rahaa o heitetty kaua eikä vieläkää ole tullut yhtää kruuaa, ii helposti ajattelee, että todeäköisyys, että seuraavalla kerralla tulee kruua, o tavallista suurempi; tämä o s. peluri harhaluulo. Todeäköisyys o kuiteki edelleeki vai 1 ê 2.
Huomataa, että erityisesti PHX = + 1 X > L = p. Jos esimerkiksi rahaa o heitetty kaua eikä vieläkää ole tullut yhtää kruuaa, ii helposti ajattelee, että todeäköisyys, että seuraavalla kerralla tulee kruua, o tavallista suurempi; tämä o s. peluri harhaluulo. Todeäköisyys o kuiteki edelleeki vai 1 ê 2. Totta se sijaa o, että pitkällä aikavälillä kruuie suhteellie osuus kaikista tuloksista lähestyy arvoa 1 ê 2 (tämä osoitetaa kurssilla Todeäköisyyslasketa II). Suppeemie ei välttämättä ole kovi opeaa, kute pykälä 1.4.3 simuloiista huomattii. Jos rahaa heitetää, kues saadaa kruua, ja X o tarvittavie kokeide lukumäärä, ii X ~ GeomI 1 1 M, jote EHXL = = 2 ja esimerkiksi PHX 10L = 1 - I 1 2 1ê2 2 M10 = 0.999. Yleesä ei siis tarvita kovi mota heittoa kruua saamiseksi. 2.2.6 Negatiivibiomijakauma 31 Lause 2.12 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu :e kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = k - 1-1 p q k-, k =, + 1,, EHXL = p, VarHXL = q p 2. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o egatiivibiomijakauma parametreillä ja p; merkitää X ~ NegbiH, pl. Huomataa, että NegbiH1, pl = GeomHpL. Esimerkki 2.18 Noppaa heitetää, kues saadaa kuutoe toise kerra. Olkoo X tarvittavie heittoje lukumäärä.
2.3 Jatkuva satuaismuuttuja 32 2.3.1 Jakauma- ja tiheysfuktio Pykälässä 2.1.1 määriteltii jakaumafuktio. Esitetää sama määritelmä uudestaa: Määritelmä 2.8 Satuaismuuttuja X jakaumafuktio o FHxL = PHX xl, x œ R. Diskreetti satuaismuuttuja saa vai äärellise tai umeroituvasti äärettömä määrä arvoja. Pykälässä 2.1.1 huomattii, että diskreeti satuaismuuttuja jakaumafuktio o porrasfuktio tyyppiä, siis epäjatkuva. Saotaa, että satuaismuuttuja o jatkuva, jos se voi saada yliumeroituva määrä arvoja; tyypillisesti kyse o jostai reaaliakseli välistä. Jatkuva satuaismuuttuja jakaumafuktio o jatkuva. Jatkuva satuaismuuttuja määritellää kuiteki s. tiheysfuktio avulla: Määritelmä 2.9 Satuaismuuttuja X o jatkuva, jos o olemassa sellaie ei-egatiivie fuktio f HxL, että kaikille reaalilukujoukoille A o P HX œ AL = Ÿ A f HxL x. Fuktio f HxL o satuaismuuttuja X tiheysfuktio. Lause 2.13 Jatkuva satuaismuuttuja jakauma- ja tiheysfuktiolla o seuraavat omiaisuudet: a) Ÿ - f HxL x = 1. x b) FHxL = Ÿ - f HtL t. c) f HxL = F HxL pisteissä x, joissa f HxL o jatkuva. Jos siis tiheysfuktio o aettu, ii jakaumafuktio saadaa lausee b-kohda avulla. Jos taas jakaumafuktio o aettu, ii tiheysfuktio saadaa lausee c-kohda avulla; pisteissä, joissa F HxL ei ole olemassa, voidaa määritellä f HxL = 0. Jokaie tiheysfuktio toteuttaa ehdot f HxL 0, x œ R, Ÿ - f HxL x = 1. Voitaisii myös osoittaa, että jos joki fuktio f HxL toteuttaa ämä ehdot, ii o olemassa satuaismuuttuja, joka tiheysfuktio o f HxL. Maiitut kaksi ehtoa ovat siis välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että fuktio f HxL o tiheysfuktio. Huomaa, että tiheysfuktio voi hyvi saada ykköstä suurempia arvoja.