Otanta ilman takaisinpanoa

Transkriptio

1 Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa on k valkoista palloa Tapahtumaan A k sisältyy monta alkeistapausta (mitkä valkoiset, mitkä mustat pallot otoksessa) N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa { } otos n=4 palloa Montako valkoista? P( A k ) k valkoista valitaan K:sta Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 1 Suotuisat alkeistapaukset n-k mustaa valitaan N-K:sta K N K k n k N n Kaikki alkeistapaukset = erilaiset n-otokset

2 Otanta ilman takaisinpanoa N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa P( A 2 ) ,3 { } otos n=4 palloa Samalla kaavalla P( 0 valkoista ) = 0 P( 1 valkoinen ) 0,033 P( 2 valkoista ) = 0,300 P( 3 valkoista ) = 0,500 P( 4 valkoista ) 0,167 (miksi?) Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 2

3 Otanta takaisinpanolla Populaatio kuten edellä. Poimitaan umpimähkään yksi pallo, pannaan takaisin, otetaan umpimähkään toinen pallo jne. Ei välttämättä konkreettista takaisinpanoa, olennaista on että poimitaan joka kerta uudestaan samasta populaatiosta (esim. puhelinluettelosta ihmisiä) Sama pallo voi tulla otokseen monta kertaa! Osajoukko ei mielekäs malli otokselle. Ajatellaan otos järjestetyksi n-jonoksi jossa sama alkio saa esiintyä monta kertaa. Montako valkoista palloa otoksessa? N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa ( ),,, P( A k ) Suotuisat alkeistapaukset k:n valkoisen sijainti n- jonossa n k k valkoista valitaan K:sta K k n-k mustaa valitaan N-K:sta ( N K) n N nk Kaikki alkeistapaukset = erilaiset n-jonot. Joka kerta samat N vaihtoehtoa! Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 3

4 Otanta takaisinpanolla N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa (,,, ) 2 valkoisen sijainti 4- jonossa Suotuisat alkeistapaukset 2 valkoista valitaan 7:stä P( A ) Kaikki alkeistapaukset = erilaiset 4-jonot. Joka kerta samat 10 vaihtoehtoa! 2 mustaa valitaan 3:sta 0, Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 4

5 Yleensä eri todennäköisyys 7 valkoista ja 3 mustaa, otos n=4 k P( k valkoista ) ilman takaisinpanoa P( k valkoista ) takaisinpanolla 0 0,000 0,008 (miksi > 0?) 1 0,033 0, ,300 0, ,500 0, ,167 0, Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 5

6 Esimerkki: Hyvin suuri populaatio N = (suomalaiset) K = (helsinkiläiset) n = 3 (otoskoko) n << K ja n << N-K Millä tn:llä otokseen osuu tasan yksi helsinkiläinen? Ilman takaisinpanoa P( A 1 ) 0, Takaisinpanolla P A ) ( 1 3 0, Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 6

7 Ehdollinen todennäköisyys Määritelmä. Jos A ja B ovat tapahtumia, niin A:n todennäköisyys ehdolla B on P(A B) = P(A B) / P(B). Tulkinta. P(A B) on väitteen A todennäköisyys siinä tapauksessa, että tiedämme väitteen B olevan tosi. B:n tietäminen todeksi voi kasvattaa tai pienentää A:n todennäköisyyttä. Esimerkki. P(pakkasta on joulukuu) > P(pakkasta) Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 7

8 Kertolaskukaava eli ketjusääntö suoraan määritelmästä P(A B) = P(A B) / P(B) P(B) P(A B) = P(A B) P(B) Tulkinta. Tapahtuman A B osuus kaikista alkeistapauksista, P(A B), saadaan laskemalla ensin B:n osuus kaikista, P(B) ja laskemalla siitä A:n osuus P(A B) Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 8

9 Ehdollinen tn populaatiossa Perusjoukko (# = ) Populaatiossa 1 milj. ihmistä. Miehiä ja naisia kumpiakin kpl (osuus = 0,5) miehiä värisokeita naisia Umpimähkään poimittaessa P(mies) = 0,5 P(värisokea mies) = 0,1 P(värisokea nainen) = 0,01 Ketjusääntö: P(värisokea mies) = 0,5 0,1 = 0,05 P(värisokea nainen) = 0,5 0,01 = 0,005 Yhteenlaskusääntö: P(värisokea) = 0,05 + 0,005 = 0, Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 9

10 Ehdollinen tn = perusjoukon rajoittaminen miehiä Osapopulaatiota miehet voidaan ajatella uutena perusjoukkona (# = ) värisokeita miehiä Tässä osapopulaatiossa värisokeita on (osuus = 0,01). Osuus on eri kuin alkuperäisessä populaatiossa (0,055) Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 10

11 Ketjusääntö toiseen suuntaan Tarkastellaankin osapopulaatiota värisokeat (# = ). Tässä osapopulaatiossa miehiä on (osuus 0,91). miehiä naisia Osuus on eri kuin alkuperäisessä populaatiossa (0,5). värisokeita Ketjusääntö: P(mies värisokea) = P(mies värisokea) / P(värisokea) = 0,05 / 0,055 0, Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 11

12 Ketjusääntö molempiin suuntiin Ketjusääntö tosiaan toimii molempiin suuntiin. P(A B) = P(B) P(A B) = P(B A) = P(A) P(B A) Esim. P(mies värisokea) = P(mies) P(värisokea mies) = P(värisokea) P(mies värisokea) Huom. kuitenkin P(värisokea mies) P(mies värisokea)!!! Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 12

13 Ehdollinen tn monivaiheisessa valinnassa Herra K valitsee taas autoa. Ensin hän valitsee merkin noppaa heittämällä: P(Audi) = 2/3, P(Skoda) = 1/3 Sitten hän valitsee värin siten, että todennäköisyys riippuu merkin valinnasta 1/2 P(musta Audi) = 1/2 2/3 Audi 1/2 P(valkoinen Audi) = 1/2 P(punainen Skoda) = 1/4 1/4 Skoda P(valkoinen Skoda) = 3/4 1/3 Ketjusäännöstä: P(valkoinen Audi) = 1/3 jne. Yhteenlaskusta: P(valkoinen) = 1/3 + 1/4 = 3/4 3/4 musta valkoinen punainen valkoinen Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 13

14 Lause Jos P on todennäköisyys perusjoukossa, niin ehdollinen todennäköisyys P( B) on todennäköisyys perusjoukossa B. Ts. se toteuttaa todennäköisyyden aksioomat (TN1) P(A B) 0 kaikilla A (ei-negatiivisuus) (TN2) P(B B) = 1 (TN3) täysadditiivisuus Todistus: (taululla; näytetään (iii):sta vain kahden joukon tapaus yksinkertaisuuden vuoksi) Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 14