031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset (yht. 7 2 h) alkavat viikolla 3 Suorittaminen: Kurssin voi suorittaa loppukokeella (5 tehtävää á 6 pistettä, max. 30 pistettä) Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 37

3 Lisäpisteet Loppukokeen pistesummaan voi saada lisäpisteitä (a) osallistumalla aktiivisesti laskuharjoituksiin seuraavan taulukon mukaisesti Laskuharjoituspisteet (harjoituksia 7) Laskuharjoitusten lkm Laskuharjoituspisteet (b) tekemällä 3 STACK-tenttiä (á 2 pistettä) Moodle-ympäristössä osoitteessa josta löytyy myös kaikki kurssimateriaali. Ympäristöön kirjaudutaan Oulun yliopiston sähköpostitunnuksilla. Ensimmäisellä kerralla järjestelmä kysyy kurssiavainta, joka on TilastoOulu2016. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 37

4 Kurssin läpäisy Kurssin läpäisyn ratkaisee loppukokeen ja lisäpisteiden yhteissumma. Maksimipistemäärä on Varma läpipääsy 15 pisteellä = 39pistettä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 37

5 Todennäköisyys ja tilastot lukiossa Edellisen opetussuunnitelman mukaan kurssin MAA6 Todennäköisyys ja tilastot keskeiset sisällöt ovat: diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma jakauman tunnusluvut klassinen ja tilastollinen todennäköisyys Kombinatoriikka todennäköisyyksien laskusäännöt diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma diskreetin jakauman odotusarvo normaalijakauma Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 37

6 Kurssin sisältö Kurssilla käsitellään seuraavia asioita Viikko 1 Todennäköisyyden perusominaisuudet ja ehdollinen tn. Viikko 2 Jatkuva ja diskreetti satunnaismuuttuja Viikko 3 Jakaumien tunnusluvut ja keskeinen raja-arvolause Viikko 4 Estimointiteoriaa Viikko 5 Tilastollinen testaus Viikko 6 Regressioanalyysi Viikko 7 2-ulotteiset jakaumat Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 37

7 Lukion kertausta Kannattaa palautella mieliin kurssin MAA6 oppisisältöä tämän kurssin suorittamisen helpottamiseksi. Sisältöjä vertaamalla nähdään, että esimerkiksi kombinatoriikkaa ja klassista todennäköisyyttä ei tällä kurssilla esitetä. Se ei kuitenkaan tarkoita, etteikö niitä tarvitsisi osata. Ne siis kannattaa kerrata. Netistä löytyy paljon materiaalia ja kannattanee myös kaivella esiin vanha lukion oppikirja. Seuraavaksi esitellään kertausmateriaali pähkinänkuoressa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 37

8 Mitä tilastomatematiikka on? Tilastomatematiikka (tämä kurssi) on todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen symbioosi. Ylen Abi-treenit sivuilla todennäköisyyslaskentaa luonnehditaan näin: Todennäköisyyslaskenta on matematiikan osa-alue, joka pyrkii ennustamaan tapahtumien todennäköisyyttä. Todennäköisyyslaskennan tiedoista on hyötyä veikkaus- ja rahapeleissä, mutta se ennustaa myös erilaisten tilastoitujen tapahtumien tapahtumista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 37

9 Mitä tilastomatematiikka on? Wikipediassa tilastotiedettä luonnehditaan näin Tilastotiede on tieteenala, joka tutkii tilastollisten aineistojen keräämistä, käsittelyä ja niiden pohjalta tehtävää päättelyä. Tilastotieteen avulla voidaan mitata havaintoja ja käsitellä mittausten muodostamia aineistoja, ja tilastotiede tuo siten empiriaa erilaisiin tutkimuksiin. Tilastotieteen tulosten pohjalta tehtävä päättely on induktiivista päättelyä eli aineiston pohjalta pyritään yleistämään asioita yksittäisestä yleiseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 37

10 Mitä tilastomatematiikka on? Tilastomatematiikan pyrkimyksenä on hallita satunnaisilmiöitä todennäköisyyslaskennan avulla. Tilastollisessa tutkimuksessa kerätään havaintoja, joista pyritään tekemään mahdollisimman luotettavia johtopäätöksiä. Tarvittaessa havaintoja joudutaan muokkaamaan niin, että tietyn todennäköisyysmallin oletukset tulevat voimaan, minkä jälkeen tehdään kyseisen mallin avulla johtopäätöksiä tutkimuksen kohteesta. Nykyään todennäköisyysmalleja käytetään ilmiöiden kuvailussa käytännöllisesti katsoen kaikilla tieteenaloilla. Opintojakson tavoitteena on antaa teoreettiset perusvalmiudet satunnaisilmiöiden mallintamiseen ja tilastollisten menetelmien opiskeluun. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 37

11 Satunnaiskoe vs. deterministinen koe Koe, jonka lopputulos voidaan alkutilanteen ja ilmiön mekanismin perusteella ennustaa tarkkaan, on deterministinen. Satunnaiskokeella tarkoitetaan ilmiötä, jossa (1) koetta voidaan toistaa samoissa oloissa (2) kokeella on useampi kuin yksi lopputulos, jonka määrää satunnainen mekanismi Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 37

12 Esimerkki Esim. 1 Onko seuraavissa kyse deterministisestä kokeesta vai satunnaiskokeesta? (1) Jääkiekon SM-liigan mestaruuden voittava joukkue keväällä 2016? (2) Satunnaisesti valitun miehen sosiaaliturvatunnuksen toiseksi viimeinen merkki on parillinen luku? (3) Perheeseen syntyvä lapsi on tyttö? (4) Auringonnousun ajankohta Oulussa ? (5) Differentiaaliyhtälön y (x) = y(x) ratkaisu alkuehdolla y(0) = 1? (6) Tilastomatematiikka-kurssin läpäiseminen keväällä 2016? Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 37

13 Otosavaruus ja tapahtuma Määr. 1 Satunnaiskokeen E mahdolliset lopputulokset ovat alkeistapahtumia ja kaikkien alkeistapahtumien e joukko on otosavaruus S. Määr. 2 Satunnaiskokeessa tapahtuma on otosavaruuden S osajoukko. Tapahtumasysteemi E on kaikkien tapahtumien muodostama joukko. Huomautus 1 Myös tyhjä joukko φ on tapahtuma. Tapahtumasysteemi on siis otosavaruuden osajoukkojen muodostama joukko E = {A A S}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 37

14 Joukko-oppia Kuten määritelmistä nähdään, on joukko-oppi hyvin keskeisessä asemassa. Kerrataan sen vuoksi joukko-opin perusoperaatiot. Perusjoukko S (satunnaiskokeessa otosavaruus), A, B S osajoukkoja (A ja B tapahtumia) Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A} ( A ei tapahdu ) Yhdiste A B = {x S x A tai x B} ( A tai B tapahtuvat ) Leikkaus A B = {x S x A ja x B} ( A ja B tapahtuvat ) Erotus A\B = A B = {x S x A ja x / B} ( A tapahtuu, mutta B ei tapahdu ) Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 37

15 Vennin diagrammi Joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin diagrammien avulla. Niistä on apua myös yksinkertaisten todennäköisyyksien laskemisessa. Kuva : Joukon A komplementti A. Kuva : Joukkojen A ja B yhdiste A B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 37

16 Kuva : Joukkojen A ja B leikkaus A B. Kuva : Joukkojen B ja A erotus B \ A. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 37

17 Satunnaiskokeen malli Satunnaiskoetta mallinnetaan siis matemaattisesti joukko-opin avulla. Kannattaa opetella ilmaisemaan satunnaiskoe joukko-opillisesti ja kääntäen. Havainnollistetaan peruskäsitteitä taulukon avulla: Satunnaiskokeessa Symboli Mallissa Alkeistapausten joukko S Otosavaruus Alkeistapahtuma e i Otosavaruuden alkiot Tapahtuma A S:n osajoukko Tapahtumasysteemi E σ-algebra S:ssä Varma tapahtuma S Otosavaruus Mahdoton tapahtuma φ Tyhjä joukko A tai B sattuu A B Yhdiste A ja B sattuu A B Leikkaus A ei satu A Komplementti A sattuu, mutta B ei A\B erotus Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 37

18 Mallin hyödyntäminen käytännössä Monia todennäköisyyteen liittyviä ongelmia voidaan ratkoa tapauskohtaisesti ns. maalaisjärjellä. Mallin avulla todennäköisyyksien laskentaa voidaan kuitenkin helpottaa ja nopeuttaa. Joskus se voi olla jopa välttämätöntä (myös koneellisessa laskemisessa), jos suotuisia alkeistapahtumia on valtava määrä. Joukko-opin avulla kiinnostava tapahtuma A voidaan esimerkiksi hajottaa toisensa poissulkeviin osiin A B ja A B, joiden tn:t osataan laskea ja A:n tn. saadaan identiteetistä A = (A B) (A B) Usein myös siirtyminen komplementtiin A voi auttaa, jos A:n tn. voidaan laskea helposti, mutta A:n todennäköisyyttä ei. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 37

19 Esimerkkejä Esim. 2 Määrää otosavaruudet seuraaville satunnaiskokeille. (a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa. (b) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäinen kruuna. (c) Määritetään lampun kestoikä. Ratkaisu: (a) Merkitään H = heitto on kruuna T = heitto on klaava Otosavaruudeksi S voidaan ottaa kolmen merkin jonot XYZ, missä kukin X,Y,Z on joko H tai T, jolloin #S = 8. Tässä tapauksessa voidaan jopa luetella kaikki alkiot ja todeta, että S = {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 37

20 Esimerkkejä (b) Mahdollisia tuloksia ovat tulossarjat H, TH, TTH,... Tuloksena voidaan myös tarkastella ensimmäisen kruunan ilmestymiseen tarvittavien heittojen lukumäärää, jolloin tulossarjat ovat 1, 2, 3,... Tällöin otosavaruudeksi voidaan ottaa S = {1,2,3,...} = N. Nyt kaikkia alkeistapauksia ei voi edes luetella, sillä S on ääretön joukko. Alkiot voidaan kyllä numeroida, sillä N on numeroituva joukko. (c) Nyt satunnaiskokeen lopputulos voi olla mikä tahansa reaaliluku t 0. Otosavaruudeksi voidaan ottaa S = {t R t 0} = [0, [. Tässä tapauksessa otosavaruus ei ole edes numeroituva. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 37

21 Esimerkkejä Esim. 3 Esitä tapahtumat (a) Saadaan vähintään kaksi kruunaa. (b) Korkeintaan 5 heittoa. (c) Vähintään 100 tuntia. Ratkaisu: (a) Merkitään A = vähintään 2 kruunaa. Esimerkin 2 merkintöjä käyttäen A on joukko A = {HHT,HTH,HHT,HHH}. (b) Merkitään B = korkeintaan 5 heittoa. Joukko-opillisesti B = {1,2,3,4,5}. (c) Merkitään tapahtumaa C:llä. Joukko-opillisesti C = {t R t 100} = [100, [. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 37

22 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N }. Alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä. Koska alkioita on N kappaletta, on kunkin alkeistapahtuman e i todennäköisyys P(e i ) = 1 N. Satunnaiskokeen tapahtuman B esiintymistodennäköisyys on tällöin P(B) = m N, missä m = #B on joukon B alkioiden lukumäärä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 37

23 Esimerkkejä Esim. 4 Heitetään kolikkoa kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan (a) kolme kruunaa? (b) kaksi kruunaa? Ratkaisu: (a) Käytetään Esimerkin 2 merkintöjä. Olkoon A = saadaan kolme kruunaa. Joukko-opillisesti A = {HHH}, joten P(A) = #A #S = 1 8. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 37

24 Esimerkkejä (b) Merkitään B = saadaan kaksi kruunaa. Joukko-opillisesti B = {HHT,HTH,THH}, joten P(B) = #B #S = 3 8. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 37

25 Esimerkkejä Esim. 5 (de Mérén probleema) Ranskalainen aatelismies de Méré oli innokas uhkapeluri. Hän havaitsi kokeellisesti seuraavaa (a) Kannattaa lyödä vetoa siitä, että heitettäessä 4 noppaa saadaan ainakin yksi kuutonen. (b) Ei kannata lyödä vetoa siitä, että heitettäessä kahta noppaa 24 kertaa saadaan ainakin yksi kuutospari. De Méré ei kuitenkaan kyennyt teoreettisesti selittämään havaintoaan, joten hän kääntyi Pascalin puoleen (n. 1650). Tämä tapahtuma toimi virikkeenä todennäköisyyslaskennan syntyyn. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 37

26 de Mérén probleeman ratkaisu (a) Otetaan otosavaruudeksi S merkkijonot x 1 x 2 x 3 x 4, missä kukin x i on heiton i silmäluku. Tällöin #S = 6 4. Olkoon A = saadaan ainakin yksi kuutonen. Tarkastellaan sen komplementtia A = ei yhtään kuutosta. Kaikki silmäluvut ovat tällöin erisuuria kuin 6, joten ja näin ollen #A = = 5 4 P(A) = #A #S = = 1 ( 5) Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 37

27 de Mérén probleeman ratkaisu (b) Kussakin kahden nopan heitossa on 6 6 = 36 eri tulosvaihtoehtoa, joten #S = Jos B = saadaan ainakin yksi kuutospari, niin komplementti on B = ei yhtään kuutosparia. Kussakin kahden nopan heitossa on 35 suotuisaa tapausta olla saamatta kuutosparia, joten ja saadaan #B = = P(A) = #A #S = = 1 ( 35) Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 37

28 Kombinatoriikkaa Olkoon E = {e 1,e 2,...,e n }, missä n N = {1,2,...}. Permutaatio Äärellisen joukon E alkioiden jono (e i1,e i2,...,e in ), jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran. Permutaatioiden lukumäärä on n! = (n 1) n. k-permutaatio on äärellisen joukon E k:n eri alkion jono (e i1,...,e ik ), joiden lukumäärä on n! (n k)!. k-kombinaatio on äärellisen joukon E k-alkioinen osajoukko {e i1,...,e ik }. Näiden joukkojen lukumäärä on ( n) k = n! (n k)!k!. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 37

29 Esimerkkejä Esim. 6 (a) Lotossa arvotaan 7 numeroa 39 mahdollisesta. Kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan arpoa? (b) Pokerissa pelaajalle jaetaan 5 korttia 52 mahdollisesta. Kuinka monta erilaista pokerikättä voidaan jakaa? (c) Vakioveikkauksessa valitaan yksi kolmesta eri merkistä {1, X, 2} 13 kohteeseen. Kuinka monta erilaista vakioriviä voidaan veikata? Ratkaisu: (a) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, joten erilaisten lottorivien lukumäärän ilmoittaa luvun 39 7-kombinaatioiden lukumäärä, joka on ( 39 7 ) = 39! 7!32! Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 37

30 Esimerkkejä (b) Kyseessä on otanta ilman takaisinpanoa, joten erilaisten pokerikäsien lukumäärä on ( ) (c) Kukin merkki voi olla mikä tahansa merkeistä 1,X,2, joten kyseessä on otanta takaisinpanolla. Erilaisia vakiorivejä on siten kappaletta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 37

31 Esimerkkejä Esim. 7 Tarkastellaan erilaisia pokerikäsiä. Millä tn:llä käsi on (a) ns. hai eli kaikki kortit ovat eri suuruisia eivätkä ne voi olla 5 peräkkäistä (ns. suora) eikä samaa maata (ns. väri)? (b) neloset eli saadaan neljä samansuuruista korttia. Ratkaisu: Korteissa on suuruus 1, 2,..., 13 ja väri {He,Pa,Ru,Ri}. Tarkastellaan erikseen suuruutta ja väriä. (i) Suuruus: poimitaan 5 erisuuruista korttia, joka voidaan tehdä ( 13 5) eri tavalla. Peräkkäisten korttien kombinaatiot (1,2,3,4,5),...,(9,10,11,12,13),(10,11, 12, 13,1(A)) eivät käy. Näitä on yhteensä 10 kappaletta. Suuruudet voidaan siis valita ( 13 5) 10 eri tavalla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 37

32 Esimerkkejä (a) jatkuu... (ii) Väri: kaikki kortit eivät voi olla samaa väriä, joten epäkäypiä mahdollisuuksia (He,He,He,He,He),...,(Ri,Ri,Ri,Ri,Ri) on 4 kappaletta. Värit voidaan siis valita eri tavalla. Kysytty todennäköisyys on näin ollen (( 13 5) 10 )( ) ( 52 5) 50.1% (b) Kuten kohdassa (a) voidaan todeta, että kaksi erisuuruista voidaan valita eri tavalla. Yksittäiselle kortille, joka ei esiinny nelosissa, on 4 värivaihtoehtoa. Kysytty todennäköisyys on ) 0.024%. ( 52 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 37

33 Esimerkkejä Esim. 8 Laatikossa on 15 palloa; 4 valkoista, 5 punaista ja 6 mustaa. Laatikosta nostetaan umpimähkään 3 palloa. Millä todennäköisyydellä pallojen joukossa on (a) valkoinen pallo tai punainen pallo? (b) valkoinen pallo ja punainen pallo? (c) valkoinen pallo, mutta ei punaista palloa? Ratkaisu: Olkoot Tällöin #A = A = saadaan ainakin yksi valkoinen pallo, B = saadaan ainakin yksi punainen pallo. ( ) 11 = 165, #B = 3 ( ) 10 ja#(a B) = 3 ( ) 6 = Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 37

34 Esimerkkejä (a) Kysytty todennäköisyys on P(A B) = 1 P(A B) = = (b) Todennäköisyys on (c) Tn. on P(A B) =1 P(A B) =1 P(A) P(B)+P(A B) = = P(A\B) = P(A) P(A B) = 1 P(A) P(A B) = = Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 37

35 Geometrinen todennäköisyys Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila. Tapahtuma A on S:n osajoukko. Tapahtuman A todennäköisyys on P(A) = m(a) m(s), missä m(a) joukon A pituus, pinta-ala tai tilavuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 37

36 Esimerkki Esim. 9 Heitetään r-säteistä lanttia neliöruutuiselle tasaiselle alustalle. Oletetaan, että ruutujen sivun pituus on a 2r. Mikä on todennäköisyys, että lantti peittää jonkin ruudun kärjen? Laske likiarvo tn:lle esimerkkitapauksessa a = 2r. Ratkaisu: Tarkastellaan lantin keskipisteen paikkaa neliössä S = [0, a] [0, a]. Kolikko peittää nurkan, jos keskipisteen etäisyys nurkasta on r. Kysytty tn. on (piirrä kuva) 4 πr 2 /4 a 2 = πr2 a 2. Jos esimerkiksi a = 2r, niin tn. on π Yllä olevalla tavalla voidaan määrätä likiarvo π:lle, kun heittokoe toistetaan useasti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 37

37 Harjoittelu tekee mestarin Sitten ei muuta kuin harjoittelemaan. Osa edellä esitetyistä esimerkeistä oli ehkä turhankin vaativia. Kannattaa lähteä ihan perusesimerkeistä liikkeelle. Esimerkiksi edellä mainituilta Abi-treenit sivuilta löytyy perustehtäviä, joiden avulla perusasioita voi harjoitella ja palautella mieliin. Myös mm. seuraavilta sivuilta löytyy opetusvideoita ja oppimateriaalia, joista saanee apua kurssin suorittamiseen. Opetushallituksen Etälukio-sivusto matikkamatskut-sivusto Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 37