Todennäköisyys (englanniksi probability)

Transkriptio

1 Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa, liike-elämässä, sääennusteissa, teoreettisessa fysiikassa, lääketieteessä. Mikäli ilmiö/tapahtuma voidaan ennustaa alkutilanteen perusteella hyvin, kyseessä on ns. deterministinen ilmiö. esimerkki: arpanopan pudottaminen tietyltä korkeudelta. Voidaan ennustaa (laskea tietystä fysikaalisesta kaavasta) kauanko nopan putoamiseen menee aikaa. Ilmiötä, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi (tai satunnaiskokeeksi). Tällöin ei voida ennustaa tulosta. esimerkki Heitetään arpanoppaa ja tarkastellaan mikä silmäluku saadaan (ts. mikä nopan kuudesta tahkosta jää ylöspäin). Silmälukua ei voida ennustaa, koska sattuma määrää tuloksen. Nopanheitto on siis satunnaisilmiö. pohdittavaa Heitetään noppaa 6000 kertaa. Mitä arvioisit: montako kertaa saadaan silmäluku 4? KÄSITTEITÄ Alkeistapaus Satunnaisilmiön tulosmahdollisuuksia sanotaan alkeistapauksiksi. Perusjoukko Alkeistapausten muodostamaa joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (tai joskus myös otosavaruudeksi). Tapahtuma Perusjoukon osajoukkoa kutsutaan tapahtumaksi. Tapahtumaan kuuluvia alkeistapauksia kutsutaan suotuisiksi alkeistapauksiksi.

2 ESIM 1 Nopanheitto (tuloksena silmäluku) Alkeistapauksia ovat silmäluvut 1,2,3,4,5,6. Perusjoukko on joukko E = { 1, 2,3, 4, 5,6}. Esimerkkejä tapahtumista: tapahtuma A: saadaan parillinen silmäluku, joukko-opillisesti A={2,4,6}, koska tapahtumalle A suotuisat silmäluvut ovat 2,4,6. tapahtuma B: saadaan silmäluku, joka on suurempi kuin 3, joukko-opillisesti B={4,5,6} tapahtuma C: saadaan korkeintaan silmäluku 2, C={1,2} HUOMAA: tapahtuma on aina perusjoukon osa-joukko eli esimerkiksi ESIM 2 Kuinka monta alkeistapausta liittyy esitettyyn satunnaisilmiöön? a) Arvotaan kaksinumeroinen luonnollinen luku. b) Valitaan sattumanvaraisesti jokin reaaliluku väliltä ]0, 2[. ESIM 3 Nopanheitto. Tapahtuma A: saadaan silmäluku 2. Mikä on tapahtuman A todennäköisyys? Vastaus: A E. Noppaa heitettäessä kaikkia silmälukuja voidaan pitää yhtä mahdollisina eli symmetrisina. ESIM 4 Tapahtuma B: saadaan pariton silmäluku. Mikä on tapahtuman B todennäköisyys P(B)? Tapahtuma B={1,3,5}. Kolme silmälukua kuudesta on tapahtumalle B suotuisia.

3 Yllä olevaa todennäköisyyden mallia kutsutaan klassiseksi todennäköisyydeksi. Klassinen todennäköisyys MÄÄRITELMÄ Tarkastellaan satunnaisilmiötä, joka perusjoukossa E on äärellinen määrä alkeistapauksia. Oletetaan lisäksi, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä mahdollisia eli symmetrisia. Olkoon A satunnaisilmiöön liittyvä tapahtuma, jota tarkastellaan. Tapahtuman A klassinen todennäköisyys tapahtumalle A suotuisten alkeistapausten lkm n A P(A) = =, perusjoukon alkeistapausten lkm n missä n A on tapahtumalle A suotuisten alkeistapausten lukumäärä ja n perusjoukon alkeistapausten lukumäärä. Todennäköisyydellä P(A) tarkoitetaan lukua, joka ilmaisee odotettavissa olevien A:n sattumiskertojen suhteellisen osuuden S:n tapahtuessa hyvin monta kertaa. Mahdoton ja varma tapahtuma Tapahtuma, jolla ei ole yhtään suotuisaa alkeistapausta, on mahdoton. Sen todennäköisyys on 0. Jos kaikki alkeistapaukset ovat suotuisia, kyseessä on varma tapahtuma. Sen todennäköisyys on 1. Joukko-opillisesti: E on varma tapahtuma, P (E) = 1 HUOMAA: Tapahtuman A todennäköisyydelle pätee aina: 0 P(A) 1. ESIM 5 Vedetään umpimähkään kortti (hyvin sekoitetusta) korttipakasta (52 korttia). a) Millä todennäköisyydellä saadaan pataässä? Ovatko alkeistapaukset symmetrisia? Voidaanko kortin vetämiseen pakasta soveltaa klassisen todennäköisyyden mallia? b) Millä todennäköisyydellä saadaan pata? c) Millä todennäköisyydellä saadaan pata tai ässä?

4 ESIM 6 Lue kirjan esimerkki 8 s.316. (Tämä esimerkki on tärkeä.) Tee kirjan tehtävä s.316. POHDITTAVAA Missä tilanteissa/tapahtumissa voidaan käyttää klassista todennäköisyyttä? Mistä tietää sopiiko klassinen todennäköisyysmalli tarkasteltavaan tapahtumaan? Klassisen todennäköisyyden määritelmää voidaan soveltaa vain silloin, kun alkeistapauksia voidaan pitää symmetrisina eli yhtä mahdollisina. Klassinen todennäköisyys soveltuu esimerkiksi noppa-, korttipakka- ja kolikonheittotehtäviin. Joskus tehtävänannossa sanotaan, että oletetaan alkeistapaukset symmetrisiksi. Tällöin voi käyttää klassista todennäköisyyttä. ESIM 7 a) Pudotetaan nasta lattialle. Millä todennäköisyydellä nastan kärki jää ylöspäin? Soveltuuko klassinen todennäköisyysmalli nastanheittoon? Mieti millä keinolla voitaisiin ennustaa todennäköisyyttä, jolla kärki jää ylöspäin. Vastaus: b) Eräässä lääketieteellisessä artikkelissa luki: Migreeniä sairastavan äidin tytär saa vaivan 50 prosentin todennäköisyydellä. Mihin kyseinen väittämä perustuu? Miten todennäköisyys on saatu selville? ESIM 8 Halutaan selvittää millä todennäköisyydellä vasta ajokortin saaneen ensimmäinen ajovuosi on kolariton. Mieti miten voitaisiin saada arvio kyseiselle todennäköisyydelle? Vastaus:

5 Tilastollinen todennäköisyys Oletetaan, että tapahtuman A todennäköisyyttä voidaan tutkia kokeellisesti (sama koe toistetaan monta kertaa samoissa olosuhteissa) tai tilastojen avulla. Näin saadaan tapahtuman A tilastollinen eli kokeellinen todennäköisyys: f P (A) =, missä n f on frekvenssi eli tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä n on koko aineiston lukumäärä /kokeen toistojen lukumäärä (toistokokeessa) HUOMAA: kolikonheitossa alkeistapaukset(kruuna/klaava) oletetaan symmetrisiksi. Kokeelliset tulokset (heitetään kolikkoa hyvin monta kertaa samoissa olosuhteissa) tukevat klassista mallia eli symmetrisyyttä. Pitkissä koesarjoissa alkeistapausten (kruuna/klaava) tilastolliset todennäköisyydet lähestyvät klassisen mallin todennäköisyyksiä P ("kruuna") 1 2 = ja 1 P ("klaava") =. 2 ESIM 9 Kirjan tehtävä s. 311 ja kirjan tehtävä s.311. ESIM 10 Tee kirjan tehtävä s Geometrinen todennäköisyys Esimerkki Päätepysäkille saapuu 14 minuutin välein bussi, joka lähtee matkaan seisottuaan kuusi minuuttia. Tuomas, joka ei tiedä bussin aikataulua, saapuu pysäkille. Millä todennäköisyydellä hän pääsee heti sisälle bussiin?

6 Geometrinen todennäköisyys: tapahtumalle A suotuisan osajoukonmitta P ( A)= perusjoukon mitta Ylläolevassa kaavassa mitta tarkoittaa tilanteesta riippuen esim. pinta-alaa, tilavuutta, pituutta jne. ESIM 11 Lue kirjan esimerkki 9 s.317. Tee kirjan tehtävä s. 319.