10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta). Nopaheito tulos ei mitekää vaikuta siihe, mikä kortti pakasta tulee eikä myöskää käätäe. A ja B ovat toisistaa riippumattomia. Esim. 2 Kaisalle sytyy viisi lasta. Yhdekää yksittäi sytyvä lapse sukupuoli ei vaikuta muide laste sukupuolee. Kaikki seitsemä tapahtumaa sytyvä lapse sukupuolee ähde ovat toisistaa riippumattomat. Esim. 3 Tavallisesta 52 korti pakasta vedetää kortti ja se jälkee vielä toie kortti paematta esiksi vedettyä korttia pakkaa takaisi. Tässä tapauksessa ilmiöt eivät ole riippumattomat, sillä vedettäessä jälkimmäistä korttia pakka ei ole samalaie kui esimmäise korti vedossa. Esim. 4 Kaakopissa M o kaksi valkokuorista ja eljä ruskeakuorista muaa ja kaakopissa N kolme valkeaa ja viisi ruskeaa muaa. Otetaa umpimähkää yksi kaamua kummastaki kopista. Millä todeäköisyydellä molemmat ovat ruskeita? Alkeistapauksia ovat kaamuaparit, joita o tuloperiaattee ojalla 48 kpl: otetaa kopista M yksi mua, 6 mahdollisuutta ja otetaa kopista N yksi mua, 8 mahdollisuutta iha riippumatta siitä, mikä mua otti kopista M. Suotuisa tapahtuma alkeistapauksia o vastaavasti 45 = 20 ja site 20 5 o P(ruskea, ruskea) = =. Tämä lasku osataa suorittaa 48 12 aikaisemmi esitety teoria avulla eikä tämä tarvitse liittyä mitekää s. kertolaskusäätöö, mutta kelpaa asiaa johdattelevaksi esimerkiksi. Jos A = (kopista M valittu kaamua o ruskea) ja B = (kopista N valittu kaamua o ruskea), ii kiiittämättä toise mua valiassa mitää huomiota siihe, mikä värie mua toisesta
kopista ousee, o P(A) = 4 2 5 = ja P( B) = ja yhdistetylle tapahtumalle P(A ja B) = P(ru, ru) = 5 10 2 5 2 5 6 3 8 = = = = P(A) P( B). 12 24 3 8 3 8 Tulos yleistettyä o todeäköisyyslaskea kertolaskusäätö ****************************************************************** LAUSE 6 Jos A ja B ovat toisistaa riippumattomia tapahtumia, ii todeäköisyys sille, että molemmat tapahtuvat P(A ja B) = P( A B) = P( A) P( B). ****************************************************************** Itse kuki kaattaa mietiskellä, oko koko kertolaskusäätö missä määri tarpeellie. Johdatteleva esimerkkihä oli pelkkää murtolukuje kertolaskusääö muokkaamista. joka tapauksessa tulos o laajeettavissa useamma riippumattoma tapahtuma tapahtumasarja käsittelyy ja tulosta päästää soveltamaa valla usei, ku sama ilmiö toistuu useita kertoja ii, että joka kerta yksittäise tapahtuma lopputulos o riippumato siitä, mitä tapahtuu muissa sarja tapahtumissa. Esim. 5 Lattia heitetää eljä kertaa. Millä todeäköisyydellä saadaa joka kerta kruuu? P(4 kruuua) = P(kruuu) P(kruuu) P(kruuu) P(kruuu) = = ½ ½ ½ ½ = 4 ( 1 ) = 1. 2 16 Esim. 6 Jalkapalloilija tekee ragaistuspotkulla maali 80% todeäköisyy-dellä. Kuika mota kertaa häe o suoritettava ragaistuspotku, jotta hä tekisi aiaki yhde maali yli 99% todeäköisyydellä? (Kevät 1981) Tarkasteltaessa yhtä ragaistuspotkua o P(tulee maali) = 0.8 ja P(ragaistuspotku ei oistu) = 1 0.8 = 0.2.
Todeäköisyys sille, että kpl peräkkäisiä ragaistuspotkuja epäoistuu, o site 0. 2 ja site P(:llä potkulla aiaki 1 maali) = = 1 P(ei yhtää maalia) > 0.99. Näi olle luvu saa ratkaistuksi epäyhtälöstä 1 0.2 0.2 0.2 0.2 > 0.99 > 0.99 1 > 0.01 ( 1) < 0 < 0.01 Tällaise ekspoettiyhtälö tai epäyhtälö ratkaisu ei tässä vaiheessa opitoja oistu kui kokeilemalla, ellei joku ole itseäisesti ja salaa saattaut logaritmioppia pääsä taltee. Laskimista löytyy äppäimistöltä kaksiki kelvollista tässä yhteydessä hyödyllistä appulaa merkiöi log tai l. Otetaa viimeksi kirjoitetusta epäyhtälöstä puolittai logaritmit muistae, että potessi logaritmi = ekspoetti kertaa kataluvu logaritmi: log(0.2 ) < log(0.01) log(0.2) < log(0.01) : (log0.2 < 0!!! log(0.01) > = 2.861... log(0.2) Ku ragaistuspotkuja o mahdollista suorittaa vai tasalukuie määrä, piei luoollie luku, joka täyttää ehdo > 2.861..., o kolmoe. Vastaus: Vähitää kolme kertaa Kertolaskusäätöä voi joskus käyttää silloiki, ku peräkkäiset ilmiöt eivät ole riippumattomia. Näissä tapauksissa puhutaa ehdollisesta todeäköisyydestä, joski asia perusteellie käsittely aiaki laskukaavoje tarka esittely osalta sivuutetaa. Yritetää kuiteki pari esimerki avulla katsoa, millaisii tapauksii kertolaskusäätö soveltuu ja milloi se käyttö o ei-suotavaa/kiellettyä/helppoa. Tarkkaeäie tutkija huomaa heti, että ollaa likeisissä yhteyksissä tuloperiaatteesee ja murtolukuje kertosääö takaperoisee soveltamisee, kute jo edellä tuli todetuksi.
Esim. 7 Tavallisesta 52 korti pakasta vedetää umpimähkää 5 korttia. Millä todeäköisyydellä kaikki ovat samaa maata? P(1. kortti jotaki maata) = 52 4 52 = 4 = 1, P(2. kortti esimmäise korti maata) = 12/51 P(3. kortti esimmäise korti maata) = 11/50 P(4. kortti esimmäise korti maata) = 10/49 P(5. kortti esimmäise korti maata) = 9/48 P(väri) = 1 12 11 10 9 11880 = = 0. 00198... 51 50 49 48 5997600 Esim. 8 Esimmäisiä reissujaa suorittava rekkakuski Sii joutuu lastausta varte peruuttamaa yhdistelmä leveästä (?) ovesta sisää joka aamu kello 6. Todeäköisyys sille, että hä oistuu peruutuksessaa ottamatta kertaakaa välillä etee, ts. suorittamatta mitää oikaisuliikkeitä, o 0.2. Millä todeäköisyydellä hä viisipäiväiseä viikkoa oistuu peruutuksessa täsmällee kolme ja epäoistuu kaksi kertaa. Yksittäiseä aamua P(kerralla sisää) = 0.2 ja P(epäoistuu eli joutuu korjailemaa) = 0.8. Tehtävässä kysyttyä todeäköisyyttä ei voi laskea tuloa 0. 2 0. 2 0. 2 0. 8 0. 8, joka kylläki ataa todeäköisyyde sille, että peruutus oistuu maaataia, tiistaia ja keskiviikkoa, mutta epäoistuu torstaia ja perjataia. O siis olemassa useita sellaisia Sii peruuttamista kuvaavia tulosjooja, jotka täyttävät ehdo: kolme oistumista ja kaksi epäoistumista, ja kaikilla äillä jooilla o sama todeäköisyys. Kuika mota tällaista jooa o, selviää useimmille viimeistää s. biomitodeäköisyyde yhteydessä. Esim. 9 Tehtävässä laskettii komplemettitapahtuma kautta, millä todeäköisyydellä esi lauataia arvottavassa lottorivissä esiityy. Tällöi todettii, että suoraa laskie tehtävä olisi hakala. Katsotaa, kuika hakala.
P( esimmäiseä) = 1 34 1 P( toisea) = 1 34 1... P( viimeiseä) = 35 33 1 1 P(arvotaa umero ) = P( esimmäiseä) + P( toisea) +... + P( kuudetea) + P( seitsemäteä) = 1 7 = 7 = = 0.17948...... Vertaa sama todeäköisyyde laskemista komplemeti kautta: P( esiityy) = 1 P( ei esiiy) =