u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0

Transkriptio

1 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÀÓÒ Ò Ò ½ ¾ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ¾ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾

2 Ì Ú Ø ÐÑ Ì ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÑÔ ØÙ¹ ÐÓ Ó Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ø Ò Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ Ø Ô ØÒ ÐÙÓÒØ Ú Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ØØ Ö Ð Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö º ÒÒ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ô ¹ Ö ØÝÑ Ø ØÙØÙ ØÙØ Ò ÐÝ Ý Ø ÑÝ ØÖ ÑÔ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ò ÙØ Ò È Ö Ú Ð Ò Ú Ò Ö Ú ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Òº ËÙÔÔ Ò Ñ Ý ÝÑÝ Ø Ð ØÝØÒ Ð Ø Ò Ö Ð Ø³Ò ØÓ Ò ÙØØ Ô Ø ØØ ÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ ÐÐ Ø ØÒ Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÙ¹ ÙØÙÚ ØÓ ØÙ º Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ØÓ Ø Ø Ò Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ó ÐÐ Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º Ä ØÙØ Ø Ò Ô Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó ÒØÝÚ Ò ÐÑ Øº ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÒ Ð ÒØ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ[,L] ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ º ÌÑ Ó Ø ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÒ ØÓ Ø Ø Ò ÙÔÔ Ò Ú Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒº ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò Ò L ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ð Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÒL 2 ¹ Ú ÖÙÙØØ Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÙÒÒ Ò ØÓ Ø ØØÙ ÙÙÐÙ ÈÐ Ò Ö Ð Ò Ä Ù ÓÒ ÑÙ Ò Ó¹ ÐÐ L 2 ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ó Ð ÙÙÐÙÙ Ú ¹ ÖÙÙØ Ò L 2 º ÌÑÒ Ð Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÚ ÐРع Ø ÚÙÙØØ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ Òº ÄÓÔÙ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ø Ý ÙÐÓØØ Ò ÐÑÔ Ý ¹ ØÐ Ò ÓÐÑ Ö Ð Ø Ð ÒØ º ÂÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÖÑ Ð Ù¹ ÐÑÔ Ø Ð ÓÐ Ú Ö Ø ØØÝ ÙÚ ÓÒ Ò ÑÑ Ø Ô Ù Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ØÓ Ø Ô Ù Ö ÐÐ Ò Ò ÙÚ Ò ÔØ Ô ØÒ ÐÑÔ Ø Ð Ú Ñ Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙÚ ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔØ ÓÒ ÑÝ Ö Ø ØØݺ

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì ÖÔ ÐÐ Ð Ù Ø ÑÖ Ø ÐÑ ¾ ¾º½ Ë ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÁÒØ Ö Ð Ó Ú ØÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ½ º½ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ö Ð Ø³Ò Ý Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ä Ù Ò º º ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ð Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Ò ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¾ º½ ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ L ¹ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ L 2 ¹ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ú ØØÓ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÑÔ Ý ØÐ º½ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö ÐÐ Ò Ô ØÙ Ò Ò ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ê Ø Ù Ä Ù Ò º¾º¾ ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ Ê Ø Ù Ô ÖÓ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÌÝ Ò Ö Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º ÅÙ Ø ÓÚ ÐÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼

4 ½ ÂÓ ÒØÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ø ÓÖ ÝÒØÝ 8¹ÐÙÚÙÒ ÐÙ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ó ÝÝ Ó Â Ò Ø Ø ÂÓ Ô ÓÙÖ Ö ØÙØ ÐÑÑ Ò Ó ØÙÑ Ø ¹ Ò º Ì Ö Ø ÐØ Ú Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÙÖ Ú ÒÐ ¹ Ò Ò ÑÔÖ Ø ØÒ Ö Ø ØØÝ ÓÑÓ Ò Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ô ØÒ Ô ØÒ ÐÑÔ Ø Ð Ò Ø ÐÐ t = ÙÚ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ô Ø x ÓÒ f(x)º ÄÑÑ Ò Ó ØÙÑ Ø Ø Ø Ð ÒØ ÙÚ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ¹ ØÐ u(x,t) t u(x,t) α 2 =, < x <, t, ½º½µ x Ñ α ÓÒ Ò Ø Ö ÔÔÙÚ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó u(x,t) ÖØÓÓ ÐÑÔ Ø Ð Ò Ô Ø x Ø ÐÐ tº Ä ÓÒ Ú Ð Ö ÙÒ ¹ Ð Ù ÓØ u(,t) = u(,t) =, t > u(x,) = f(x), < x <. Ê Ø Ù Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÑÙÓ Ó u(x,t) = b n sin nπx e α(nπ ) 2 t n= ÐÑ Ò ØØ Ð Ù ØÓ ÓÐØ Ò Ú Ð ÓÚ ÐÐ ØØÙº Ë Ò ÚÙÐÐ Ô Ø ÔÝ ØÝ Ø ¹ Ñ ÒØÑÒ Ö Ø Ù ÑÙØØ Ð Ù Ó Ø ÙÖ ÒÓ Ø Ò u(x,) = f(x) = n= b n sin nπx. Î ÓØ b n ÔÝ ØÝØØ Ò Ö Ø Ñ Ò Ø Ð ÒØ Ó Ð Ù Ø ÙÚ Ú ÙÒ Ø Ó f ÓÐ Ö ÐÐ Ò Ò Ò ¹ Ó Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Óº ÃÙ ¹ Ø Ò Ò Ñ Ð ÙÒ Ø Ó f ÓÐ ÓØ Ò ÑÙÙØ ÙØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ Ø ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ØÙ Ú ØÝ ÐÓÔÔÙÙÒº ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÚÓ Ò ÒÓ Ð Ø Ò Ò Ð ÐÐ ÙÙÖ ØÑÒ Ý ÝÑÝ ¹ Ò Ö Ðغ ÓÙÖ Ö ÔØÝ Ú ØØÑÒ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò ØØ Ò ¹ Ó Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò º Æ Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò ÙÐ ÚÙÓÒÒ 822 ÙÙÐÙ Ò Ö Ò Ì ÓÖ Ò ÐÝØ ÕÙ Ð ¹ Ð ÙÖ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÑÔ Ø ÓÖ µº Î Ø ÓÐ ØÙÓÐÐÓ Ò Ò Ò ÝÐÐØØÚ Ø Ò Ò ÙÒ Ó ÑÝ Ô Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø ØØ ÐÙ ÑÓÒ ÐØ ØÙÒÒ ¹ ØÙ ÑÑ ÐØ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐØ ØÝ ØÝÖÑÝ Òº ÒÒ ÒÔ Ø ØÙÐÓ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ ØØ Ò Ó Ò Ò ÝØØ ÐÔÓ ÙÙ Ð Ó Ú Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ù Ò ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ð Ú ÝÚ Ò ÒÓÔ Ø Ù ÐÐ Ö Ø Ø Ò ÐÓ ÐÐ º ½

5 È ÖÙ Ø Ú ÒÐ ØÙ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò Ø Ù Ø ÐÐ ÓÒ ÝÚ Ò Ý Ò ÖØ ¹ Ò Òº ÌÙÒÒ ØÙ Ø Ñ Ö Ú ØÓÖ Ò Ü R 3 ØÝ ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ü = 3 j= Ü,e j e j º Ë ØÓ Ñ Ó ÒØ Ú ØÓÖ Ò e,e 2 e 3 ÚÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð Ò ÓÚ Ø ÓÑ ØÖ Ø Ó Ø ÙÓÖ ØÓ Ò Ú Ø Òº Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ó ÙÒ Ø Ó Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÔ Ú ØÙÐÓ ÙÒ Ø Ó, Ð Ý ØÒ ÓÔ Ú ÓÙ Ó {e j } Ø Ò ØØ e i,e j = i j ÚÓ Ò Ý Ò Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó f ØØ ØÐÐ ¹ Ø Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò³ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ f(x) = j= f(x),e j e j º Ì ØÝ ÔÝÖ ØÒ ØØ Ð ÑÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ò ÑÑØ ØÙÐÓ Øº Ø Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÓÒ ØÓ ÐÐ ÑÓ¹ Ò ÙÐÓØØ Ò Ò ÔÖÓ Ø ÔÝÖ Ø ÒØ Ñ Ò Ò ØÝ ÒØÚ Ú Ø Ù ¹ º Ð ÑÑØ ÓØ Ù Ø Ò Ò Ø ØÒ Ó ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò ÝÚ Ò ÙÙÖ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ØÝØÒ L ¹ L 2 ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÓÔÙ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÓÚ ÐÐÙ º ¾ Ì ÖÔ ÐÐ Ð Ù Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ì ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ ÚÐØØÑØØ Ñ ØÙÐÓ º ÄÙ Ù ÚÓ Ó ØØ Ò ÓÐÐ ÔÙÙ ÙØØ Ú ÐÙ ØØ Ú ÑÙØØ Ø ÖÔ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ð Ù Ø ÓÒ Ù Ø ÓØ Ò Ò ØÝØÝÝ ØØ Ñ ÓÐÐ Ñ Ò ÝØ Ñ Ø º Ä Ù Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò ÐØ Ó Ò ÙÒ ØÓ ØÙ Ú Ð Ø Ð º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¼º½º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ N ( f(x) = a n cos nπx L +b nsin nπx ), ¾º½µ L n= Ñ L > a n b n ÓÚ Ø Ú Ó Ø n N º ÇÒ ÐÔÔÓ Ó Ó ØØ ØØ ØÐÐ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ ÓÒ 2Lº Ë Ó ØÙ ¹ ÐÐ x = m2l,m N, Ö ÙÑ ÒØØ Ò Ò ÑÓÒ Ò ÖØ Ó ÓÒ Ò Ò Ó Ò Ò ÓÒ Ô ØÙÙ º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓØÓ ¾º½µ ÓÐ Ú Ö Ó Ó N º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¼º¾º ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓØ Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÐÙÓ Ò k (I) Ó f (n) ÓÒ Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ I ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ n =,,2,...,kº ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ f ÓÒ k ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ º Å Ð ÚÐ I = [x,x r ] ÚÓ Ò Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ó ÚÐ Ò Ô Ø Ð¹ Ð x < x <... < x r Ó ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ [x i,x i ] ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÔÙÓÐ Ø Ö ¹ ÖÚÓØ f(x + i ) f(x i ) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ f(x) k [x i,x i ] й Ð i =,2,...,r ÒÓØ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ k ÖØ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ Iº ÌØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø f k Ô Ð(I)º ¾

6 ¾º½ Ë ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ ÐÐ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ð À Ð Öع Ú ÖÙÙ º Ë Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ØÝØÝÝ Ò Ò Ø ÐÐ ÑÙÙØ Ñ Ô ÖÙ ¹ ØØ Øº Ë ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ñ Ö ØÒ ÓÙ Ó R C Ý Ø ÐÐ ÝÑ ÓÐ ÐÐ Fº ÃÓÑÔÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ö Ð Ò Ô ØÒ ÙÓÑ Ó Ñ Ð¹ Ð ØØ x = x Ó x Rº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÙ Ó V Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ý ¹ Ø ÒÐ ÙÐÐ + : V V V Ð Ö ØÙÐÓÐÐ : F V V Ø Ò ØØ ÐÐ x,y,z V a,b F ÔØ µ x+y = y +x µ (x+y)+x = x+(y +z) µ V Ø Ò ØØ +x = x+ = x µ x x V Ø Ò ØØ x+( x) = µ a (b x) = (a b) x µ (a+b) x = a x+b x µ a (x+y) = a x+a y µ x = xº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÆÓÖÑ Ú ÖÙÙ V ÓÒ ÙÒ Ø Ó : V R + Ø Ò ØØ ÐÐ x,y V a F ÔØ µ x µ x = x = µ ax = a x µ x+y x + y º ÌÐÐ Ò Ô Ö (V, ) ÓÒ ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÒÓÖÑ Ú ¹ ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÂÓ (V, ) ÓÒ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò Ò Ø ÝÝ ÒÓÖÑ Ò Ñ Ð ÓÒ x y º ÄÙ Ù Ò x n V ÓÒÓ ÙÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ò Ñ Ð ÐÙ ÙÙÒ x V Ó im n x x n =.

7 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒV ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ x n V º{x n } n= ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù N ε Ø Ò ØØ ÐÐ ε > ÔØ x n x m < ε, ÙÒ n,m > N ε. ÆÓÖÑ Ú ÖÙÙ V ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ñ Ð Ó Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ý¹ Ò ÒÓÖÑ Ò Ñ Ð Ó ÓÒ Ò Ð ÓÓÒ x V º ÌÝ ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÐÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó, : V V F Ø Ò ØØ ÐÐ x,y,z V a F ÔØ µ x,y = y,x µ ax,y = a x,y µ x+y,z = x,z + y,z { =, Ó x = µ x,x >, ÙÒ x. ÌÐÐ Ò Ô Ö (V,, ) ÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÒÓÖÑ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ä ÑÑ ¾º½º º ÂÓ V ÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ò ÙÒ Ø Ó : V R + x = x,x ÑÖ ØØ Ð ÒÓÖÑ Ò Ú ÖÙÙ V º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ ØÙÐÓÒ, Ò Ù Ó Ñ º Ä ÑÑ Ò ¾º½º ÑÙ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÑÝ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒV ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º ÎÐ ÐÐ[a,b] ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ {φ n (x)} V,n N ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÚÐ ÐÐ [a,b] Ó Ñ Ò Ø Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ { φ n,φ m =, ÙÒ n m φ m 2 >, ÙÒ n = m (n,m =,,2,...). ¾º¾µ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ {φ n (x)},n N, ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð } Ó φ n (x) = ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ nº ÂÓ {φ n (x)} ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ò Ò ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º { φn(x) φ n ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÂÓ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ V ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ V ÓÒ À Ð Öع Ú ÖÙÙ º

8 ¾º½º½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ý Ø Ñ Ë ØÙÐÓ ÚÓ ÓÒ ØÖÙÓ ÑÓÒ ÐÐ Ò Ø Ô ÑÙØØ ØÑÒ ØÝ Ò Ò ØÙ¹ ÐÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ÑÖ ØØ Ðݺ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½¼º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ¹ Ó V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ ÙÒ Ø ÓØ φ n,φ m V φ : F F ÚÐ ÐÐ [a,b] ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó Ø Ø Ò ØØ Ò Ò ØÙÐÓ φ n φ m ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ý ÐÐ ÚÐ Ðк ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÐÓ, : V V F φ n,φ m = b φ n (x)φ m (x)dx ¾º µ a ÒÓÖÑ : V V R + φ n (x) = φ n,φ n. ¾º µ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÑÔ ÙÑÔ ÓÙ Ó Ø {e inπx L },n Z Ø {C,cos nπx nπx,sin },n Nº Ë ÙÖ Ú Ó Ó Ø Ø Ò ¹ L L ÐÐ Ñ Ö ÐÐ ØØ Ò ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÚÐ ÐÐ (,L)º Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÑÙÙØ Ñ ÔÙÐ Ù º Ä ÑÑ ¾º½º½½º ÂÓ ÚÐ ÐÐ [,L] ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÓÒ 2L Ò Ò f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ó ÐÐ ÙÐ ØÙÐÐ ÚÐ ÐÐ L f(x)dx = ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ c Rº ÌÐÐ Ò c+2l c f(x)dx, c R. ¾º µ c+2l f(x)dx = c+2l c f(x)dx f(x)dx c = L f(x)dx+ c+2l c f(x)dx f(x)dx L

9 Ë Ô c+2l L f(x)dx f(x)dx = c+2l f(x)dx c f(x)dx c Ó f(t+2l) = f(t)º = = L } {{ } º x=t+2l c c f(t+2l)dt c f(x)dx [f(t+2l) f(t)]dt =, Ä ÑÑ ¾º½º½¾º ÂÓ f ÓÒ µ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò L f(x)dx = 2 L f(x)dxº µ Ô Ö ØÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò Ò L f(x)dx = º ÌÓ ØÙ º ÌÖ Ú Ð º Ä ÑÑ ¾º½º½ º L ÌÓ ØÙ º ÌÖ Ú Ð º sin nπx L L dx = cos nπx dx =, n Z\{}. L Ñ Ö ¾º½º½ º ÙÒ Ø ÓØ C,cos πx L,sin πx L x x,cos,sin L L,... Ñ C ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ò 2L Ò Ô ØÙ ¹ ÐÐ ÚÐ Ðк ÌÓ ØÙ º Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÓÐÐ Ò2L Ò Ñ Ø¹ Ø ÐÐ ÚÐ Ðк ÌÑÒ Ð Ò Ú Ø ÙÖ Ä ÑÑ Ø ¾º½º½½º Ä ÑÑ Ò ¾º½º½ ÒÓ ÐÐ L Ccos nπx L L dx = Csin nπx L dx =, n =,2,3...

10 ÃÓ Ó Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ô Ö ØÓÒ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ä ÑÑ Ò ¾º½º½¾ µ ÒÓ ÐÐ L cos nπx L ÁÒØ Ö Ð Ò I = L Ñ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÚÓ ÂÓ n m Ò I = 2 I 2 = 2 L L mπx sin dx =, n,m =,2,3,... L nπx cos L mπx cos dx I L 2 = L nπx sin L cosαcosβ = 2 [cos(α β)+cos(α+β)] sinαsinβ = 2 [cos(α β) cos(α+β)]. cos (n m)πx dx+ L L 2 cos (n m)πx dx L L 2 ÂÓ Ø n = m Ò Ò I = 2 I 2 = 2 L L mπx sin dx Ð ¹ L cos (n+m)πx dx = + = (Ä ÑÑ 2..3) L cos (n+m)πx dx = = (Ä ÑÑ 2..3) L L cos dx+ 2 cos 2mπx L dx = L } {{ } = (Ä ÑÑ 2..3) L cos dx 2 cos 2mπx L dx = L. } {{ } = (Ä ÑÑ 2..3) Î Ñ Ó n = m = Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ó ÙÒ Ø ÓØ φ (x) = C ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½¼ ÑÙ Ø ÒØ ÖÓ ÒÒ Ø ØÙÐ 2C 2 Lº Ë Ý Ø Ñ C,cos πx L,sin πx L x x,cos,sin L L,...

11 ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò φ n 2 = { 2C 2 L, ÙÒ n = L, ÙÒ n N. Ñ Ö ¾º½º½ º ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó {e inπx L } ÓÒ ÑÝ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ Ð¹ Ð Ø Ò 2L¹Ñ ØØ ÐÐ ÚÐ Ðк ÃÝ ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø Ñ Ø ÓÙ Ó Ø Ù Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÙØØ Ð Ù Ø ÐÚ ØÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÓØ Ò Ø ØÒ Ò Ø Ó ÓÒ ÙÙ Òº ÇØ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ ÓÒ Ñ ØØ Ò Ò ÚÐ [α,α+2l] α R ÑÙØØ Ñ Ö¹ ØÒ Ò Ò ÐÙ ØØ ÚÙÙ Ò Ô Ö ÒØ Ñ π L = ω ÓÐÐÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ {einωx }º ÆÝØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º ÒØ Ö Ð Ø Ò ÙÒ n m α+2l e inωx e imωx dx = α+2l e iωx(n m) dx α ÂÓ Ø n = m Ò Ò Ë α+2l α = α / α+2l α e inωx e inωx dx = α+2l α e iωx(n m) iω(n m) = eiω(α+2l)(n m) iω(n m) = eiωα(n m)+iω2l(n m) e iωα(n m) iω(n m) eiωα(n m) iω(n m) = eiωα(n m) iω(n m) (eiω2l(n m) ) ( º ω = π L ) = eiωα(n m) iω(n m) (ei(n m) ) = eiωα(n m) iω(n m) ((n m) ) =. α+2l α e inωx e imωx dx = e inωx inωx dx = α+2l α {, ÙÒ n m 2L, ÙÒ n = m, dx = 2L. ¾º µ ÓØ Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º µ ÑÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò {e inπx L } ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ý Ø Ñ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÐÐ 2L Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ Ðк

12 ¾º½º¾ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ë ÙÖ Ú Ø ÖÚ Ø Ò ØØ Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò ÓÙ Ó ÙÔ f ÓØ ÓÚ Ø ØØ Ø Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò ÔÙÓÐ ÐØ º Æ ÔÝ ØÝØÒ ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ö Ò Ö Ú Ø Ô Ö ØÝÑØØ Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ö ÑÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÂÓÙ Ó A R n ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò Ó Ó ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ó ÐÑ (I k ) k N ÓÑÔ Ø ÚÐ I k R n Ø Ò ØØ A k NI k (I k ) < ε Ñ (I k ) ÓÒ ÚÐ Ò I k Ó Ó³º ¹ 2¹ 3¹ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÓÒ Ú ¹ Ø Ú Ø Ô ØÙÙ Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ð ÚÙÙ º n¹ùðóøø Ø Ô Ù ÔÙ ÙØ Ò n¹ùðóøø Ò Ð Ø ÓÒ Ø Ð ÚÙÙ Ø º Ñ Ö ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò ÓÙ Óº ÃÙÒ ÝÑÔ¹ Ö Ò Ó Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÚÐ ÐÐ I n ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ (I n ) = ε 2 n+ Ò ÚÐ Ø I = [ ε 8,+ ε 8 ], I 2 = [2 ε 6,2+ ε 6 ], I 3 = [3 ε 32,3+ ε 32 ],... n=2 k N ÎÐ Ò Ô ØÙÙ Ò ÙÑÑ Ò [ ( ) ] [ n ( ) ] n ε = ε n= Ë ÐÚ Ø N n N I n n N (I n) < εº = ε = ε 2 < ε. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÂÓÒ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓØ Ò ÔØ ÚÒ Ñ Ð Ò ¹ ÐÐ ÐÝ ÒÒ ØÒ ÝÐ Ø Ñº º Ó Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ó ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ô ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Òº Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÐÐ f : R R { x, ÙÒ x N f(x) =, ÙÒ x R\N ÚÓ Ò ÒÓ f(x) = Ѻ º º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÂÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ f : R R ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù b R Ø Ò ØØ f(x) b Ѻ º ÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÐ ÐÐ Ò Ò ÙÔÖ ÑÙÑ ÑÖ Ø ÐÐ supf = inf{b f(x) b Ѻ º} ÙÒ Ø ÓÒ f ÚÓ Ò ÒÓ ÓÐ Ú Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ b Ø Ò ØØ f(x) b Ѻ º º

13 ÇÐ ÐÐ ÒØ Ø ÓÒ ÒÒ ÐØ ÓÒ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ø Ú ÒÓÑ Ø ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ÔÓ Ú Ý ØØ Ô Ø Ø ÑÙØØ Ò ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÒ ÐØ º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÙÒ Ø ÓØ f g Ñ ÐÐ ØÒ ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ñ Ð ÓÙ Ó {x f(x) g(x)} ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò Ð f(x) = g(x) Ѻ º º Ã Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ØÙÐ Ø Ó ØØ Ò Ò Ò ÐÑ Ò Ö ÐÐ Ø Ñ Ò ÒØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÂÓÐÐ Ò ÐÙÚÙÐÐ p < ÚÐ ÐÐ I = (a,b) ÑÖ Ø Ð¹ ÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ f p¹òóöñ ÓÒ p f p = b a f(x) p dx ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓØ Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÓÙ ÓÓÒ L p (I) Ó ÔØ f p <. p. ¾º µ ÄÙÚÙÐÐ p = ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓØ Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÓÙ ÓÓÒ L (I) Ó ÔØ ÙÔ f <. x I ÎÐ I ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ö Ø Ò Ó I = R ÓÒ Ø Ô Ò Ñ Ö Ø L p (R) = L p º ¾º µ ¾º µ ÀÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ Ø ÓÒ ØØ Ó f k pa (I) Ñ I ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò k N Ò Ò f L p (I) p º L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ ØÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Òµ Ó ¹ ÓÒ ÒÓÖÑ p º L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø ØÖ Ò ÓÒ L 2 ÐÐ ÒÓÖÑ 2 ÓÒ Å¹ Ö Ø ÐÑÒ ¾º½º½¼ ÑÙ Ò ØÙÐÓÒ Ò Ù Ó Ñ f 2 = f,f º L 2 ÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ¹ Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ä Ù ¾º½º¾¼º L 2 ÓÒ À Ð Öع Ú ÖÙÙ Ð Ó Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ {f n } n= f n L 2 ÙÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ò 2 Ñ Ð Ø Ø ÙÒ Ø ÓÓÒ f L 2 º ¾º¾ ÁÒØ Ö Ð Ó Ú ØÙÐÓ ÌÑ ÐÙ Ù ÓÒ ÐÙ ØØ ÐÓÑ Ò Ò ÐÐ ÑÙÙØ Ù Ò ØÙÐÓ Ó Ò ÑÝ ¹ ÑÑ Ò Ú Ø Ø Òº ÌÙÐÓ Ø ÓÒ ÓÓØØÙ Ø Ò Ö Ø º Ä ÑÑ ¾º¾º½º ØÓÙÒ Ä ÑÑ ÇÐ ÓÓÒf,f 2,... ÓÒÓ ÔÒ Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÚÐ ÐÐ(, ) im n f n = f(x) Ñ Ð Ò ÐÐ xº ÌÐÐ Ò f(x)dx im n ½¼ f n (x)dx.

14 Ä Ù ¾º¾º¾º ÇÐ ÓÓØ ÙÒ Ø ÓØ f,f 2,... ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (, )º ÂÓ f n (x) F(x) Ѻ º, ÓÐÐ Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ F Ó Ò Ò ÐÐÓ Ò f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ im im n f n(x) = f(x) Ѻ º, n f n (x)dx = Ä ÑÑ ¾º¾º º Ê Ñ ÒÒ¹Ä Ù Ò Ð ÑÑ ÇÐ ÓÓÒ f L º Ë ÐÐÓ Ò f(x)dx. im ω f(x)e iωx dx =. ¾º½¼µ Ä im π ω π f(x)cosωxdx = im π ω π f(x)sinωxdx =. ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ø º à ÑÙÙØ ÓÚ Ø Ò Ö ¹ Ó Ø Ô Ù º Å Ö ØÒ ˆf(ω) = R f(x)e iωx dxº ÃÓ e ix = e i(x+π) Ò Ò ˆf(ω) = e iω(x+π ω ) f(x)dx = e iωx f ( x π ) dx. ω ¾º½½µ Ä Ñ ÐÐ ˆf(ω) [ ˆf(ω)] Ò 2ˆf(ω) = e iωx [f(x) f ( x π )] dx ω ¾º½¾µ ÓØ Ò 2 ˆf(ω) ( f(x) f x ω) π dx. ¾º½ µ ½½

15 ÆÝØ Ó f L ÓÒ f(x π ) Ö Ó Ø ØØÙº Ä Ù Ø ¾º¾º¾ ÙÖ R ω im ˆf(ω) im ω ± ω ± 2 ( f(x) f x ω) π dx =, ¾º½ µ Ñ ØÓ Ø Ú ØØ Òº Ä Ù ¾º¾º º Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ ÂÓ V ÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ f,g V ÔØ Ä Ù ¾º¾º º Ù Ò Ò Ä Ù ÂÓ Ó ÒØ Ö Ð f,g f g. f(x,y)dxdy ÙÔÔ Ò Ø Ø ÐÐÓ Ò f(x,y)dy ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò x Ù Ø Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Óº Ä dx f(x,y)dy = f(x,y)dxdy. Ä Ù ¾º¾º º ÌÓÒ ÐÐ ¹ÀÓ ÓÒ Ò Ä Ù ÂÓ ØÓ Ò Ò ÒØ Ö Ð Ø dx f(x,y)dy, dy f(x,y)dx ÙÔÔ Ò Ø Ø Ò Ò ÑÝ f(x,y)dxdy ÙÔÔ Ò Ø Ø ÓÐÑ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ø Ñ Ò ÖÚÓ º ½¾

16 ¾º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÃÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ØÝ ÐÙ ÓÐÐ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ñ Ö Ø Ð ¹ ØÓØ Ø Ò Ð Ò ØØ ÐÝ Ö ÒØ Ð Ð ÒÒ º ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ ÒØÝÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ô Ø ØØ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ØÓ ØÙ ÑÙØØ Ô Ð Ø Ò Ò ÐÙÚÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½º Ã Ò ÙÒ Ø ÓÒ f,g ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ f g = f(t)g(x t)dt. ¾º½ µ Ä ÑÑ ¾º º¾º ÂÓ f,g L Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÙÐÙÙ ÐÙÓ Ò L º ÌÓ ØÙ º à ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ t ÔØ f(t)g(x t)dt g(x t) dx = g(x) dx < Ø Ò dt f(t)g(x t) dx = f(t) dt g(x t) dx <. Ä Ù Ò ¾º¾º ÑÙ Ò Ó ÒØ Ö Ð f(t)g(x t)dxdt ÙÔÔ Ò ØÐÐ Ò Ø Ø º ÆÝØ Ú Ø ÙÖ Ù Ò Ò Ä Ù Ø ¾º¾º º º½ Ä Ù ¾º º º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ½º f g = g f ½

17 ¾º h (f +g) = h f +h g º (f g) h = f (g h) º a(f g) = (af) g = f (ag) ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Òº ÃÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ø ÓÖ ØØ Ð ÓÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ Ô Ð¹ Ð Ò ØÙØ Ñ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÐÐ ÙÙØØ º ÇØ Ø Ò ÓØ Ò ÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ f g Ó ÐÐ ÓÒ ÓÒ T º Æ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ (f g)(x) = f(t)g(x t)dt ËÙÓÖ ØØ Ñ ÐÐ ÒØ ÓÖ ÒØ ÓÒ T Ñ ØØ Ó Ò t +(k+)t (f g)(x) = f(t)g(x t)dt = = k= k= k= t +kt t +T t t +T t f(t+kt)g(x t kt)dt f(t)g(x t)dt. À ÙÐ ÓÐ Ú Ð Ù ÐÐ Ò Ò k ÓØ Ò Ö ÒØÙÙ Ó t +T t f(t)g(x t)dt º ÇÐ ÒÒ Ò Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ØØ ÙÒ Ö Ð Ð ÓÒ ØØÙ ÓÒ Ñ ØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÖÚÓ ÖØÓÑ ÐÐ ÚÐ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÖÚÓÐÐ Ý Ò ÓÒ ÝÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒÚÓ¹ ÐÙÙØ ÓÒ ÖÚÓ Ó ÐÐ ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ñ º ÂÓØ Ò Ó ÙÒ Ø Ó ÐÐ f g ÓÒ ÓÒ T ÑÝ Ò Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐÐ ÓÒ ÓÒ T º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ö ØÝ ÓÒ ÙÖ Ú ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ {φ n (x)} V ÚÐ ÐÐ[a,b] ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÓÙ Óº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ c φ (x)+c φ (x)+...+c n φ n (x)+..., º½µ ½

18 Ñ c,c,c 2,... ÓÚ Ø Ú Ó Ø ÙÔÔ Ò ÚÐ ÐÐ[a,b] Ó Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f(x) V º ÃÙÒ ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ Ò f = c φ + c φ +... ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ φ m ÒØ ÖÓ Ò Ø ÖÑ ØØ Ò ÝÐ ÚÐ Ò[a,b] Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º ÒÓ ÐÐ b a b f(x)φ m (x)dx = c φ,φ m +...+c m φ m,φ m +...+c n φ n,φ m +... f(x)φ m (x)dx = +...+c m φ m a c m = φ m 2 b a f(x)φ m (x)dx. º¾µ ÌÐÐ Ø ÚÓ Ò ÑÖØØÝ Ú Ó Ø c n ÒÓØ Ò ÝÐ Ø ØÝ µ ÓÙÖ Ö¹ Ö¹ ØÓ Ñ Ö º½µ ÙÒ Ø ÓÒ f ÝÐ Ø ØÝ µ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø Ö Ø ÐØ ¹ Ú Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÓÙ ÓÒ Ù Ø Òº ÌÑ Ð ØØ ÑÙ Ð Ú ÔØØ ÐÝ ÓÐ ØÝ Ò Ø ÑÙØØ ÒØ ÝÚÒ Ð Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ò ØØÑ ÐÐ º Ë Ó Ø Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ø ÓÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ f(x) ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÐ ÐÐ [a,b] ÐÙÚÙØ c n Ð ØØÙ Ú Ò º¾µ ÑÙ¹ Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò f(x) c φ (x)+c φ (x)+..., º µ Ó ÝÑ ÓÐ ³ ÝØ ØÒ Ø ÝÝ Ø ØØ Ú Ð Ø ÓÐ ØØ ÑÙ ¹ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ø Ø ØØ Ò ÙÑÑ ÓÐ f(x)º ÇÐ ÐÐ Ò Ò Ý ÝÑÝ ÙÙÐÙÙ Ò Å Ø ØÓ Ú Ø Ò ØØ Ö º µ ÙÔÔ Ò Ò ÙÑÑ ÓÒ ÙÒ Ø Ó f(x) ÒÒ Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÑÔÐ ÐÐ Ö Ð ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÐÐ ÒÒ Ò Ù Ò Ô Ò Ù ÙØ Ò ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒº º½ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ ØØ ÐÝ È ØÝ ÝØÒ Ø Ø Ø ÒÔ Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½¼ ÑÙ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ¹ ÐÐ Ö Ò ÑÙÙØ Ñ Ò Ø º ÃÓÑÔÐ Ò Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ý Ø Ñ {e inπx L n =,±,±2,...} º µ Ó Ó Ø ØØ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó Ñ Ö ¾º½º½ º ÐÐ Ø ØÝÒ ÔØØ ÐÝÒ ÑÙ Ø Ô ØÒ Ø Ò ÙÓÖ Ò ÙÖ Ú Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº ½

19 ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f ÑÖ Ø ÐØÝ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ [,L] ØÑÒ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ò ØØ f(x+2l) = f(x). ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÓÑÔÐ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ý Ø Ñ Ò º µ Ù Ø Ò ÓÒ c n e inπx L, Ñ Ú ÓØ c n ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ø ÖÑ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ c n = 2L L f(t)e inπt L dt. º µ º µ ÂÓ ÓÒ Ø ÖÚ ØØ Ö Ò ÐÑ Ø Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ ÓÐÐ Ò Ð Ñ Ñ Ö ØÒ Ø c n [f]º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÚÙÐÐ e inπx L ÓÐÐÓ Ò Ú Ø º µ Ò Ñ c n = 2L L = 2 L = cos nπx L +isin nπx L, ( f(t) cos nπt ) nπt isin dt L L L f(t)cos nπt L dt i L L f(t)sin nπt L dt º µ = 2 (a n ib n ), n =,±±2,..., º µ a n = L b n = L L L f(t)cos nπt L dt f(t)sin nπt L dt. º µ º½¼µ Ð Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÔ ØØ n Ò Ø Ú ÖÚÓ ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ º µ ÙÙ ÐÐ Ò c n = 2 (a n ib n ) c n = 2 (a n +ib n ), n N. º½½µ ½

20 Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ö º µ Ñ Ö ØÒ ÐÐ Ò π = ω Ö ¹ L Ø ØÒ Ø ÖÑ Ø ÙÖ Ú Ø c +(c e iωx +c e iωx )+(c 2 e i2ωx +c 2 e i2ωx )+...+(c n e inωx +c n e inωx )+... º½¾µ Ë Ö Ò n. Ø ÖÑ (n ) ÓÒ ÒÝØ ÓØØ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ º½½µ c n e inωx +c n e inωx = 2 (a n ib n )e inωx + 2 (a n +ib n )e inωx = 2 (a ne inωx +a n e inωx ib n e inωx +ib n e inωx ) = a n 2 (einωx +e inωx ) b n 2 i(einωx e inωx ) = a n 2 (einωx +e inωx )+b n 2i (einωx e inωx ) = a n cosnωx+b n sinnωx = a n cos nπx L +b nsin nπx L (n =,2,3,...). º½ µ ÃÙÒ n = Ò Ý ØÐ Ø º½½µ c = 2 a Ó b = µº ÆÝØ º½¾µ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ 2 a +(a cos πx L +b 2sin πx L )+...+(a ncos nπx L +b nsin nπx ).... º½ µ L Ñ Ö ¾º½º½ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ý Ø Ñ C,cos πx L,sin πx L x x,cos,sin L L,... º½ µ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ò 2L Ò Ñ ØØ ÐÐ ÚÐ Ðк Æ ÒÔ Ö º½ µ ØØ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ f(x) ÑÖ Ø ÐØÝ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ [,L] ØÑÒ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ò ØØ f(x+2l) = f(x)º ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ý Ø Ñ Ò Ù Ø Ò ÓÒ 2 a + n= ( a n cos nπx L +b nsin nπx ), º½ µ L Ñ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ø a n b n ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÓ ÐÐ º µ º½¼µº ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ó ÙÑÑ Ñ Ö ØÒ S n (x) = n ( 2 a + a k cos kπx L +b ksin kπx ) º½ µ L k= ½

21 º ¹ Å Ð ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò f(t)sin nπt ÓÒ ØÐÐ Ò Ô Ö ØÓÒ Ä ÑÑ Ò L ¾º½º½¾ ÒÓ ÐÐ ÖØÓ Ñ Ø b n ÓÚ Ø ØÐÐ Ò ÒÓÐÐ º Ä f(t)cos nπt ÓÒ L Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò ÖØÓ Ñ Ø a n ÚÓ Ò Ð Ú ÐÐ a n = 2 L L f(t)cos nπt L dt. º½ µ È Ö ØØÓÑ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÔØ ØØ f(t)cos nπt nπt ÓÒ Ô Ö ØÓÒ f(t)sin ÓÒ L L Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÌÐÐ Ò a n = ÐÐ n Ú ÓØ b n Ò Ú Ø b n = 2 L L f(t)sin nπt L dt. º½ µ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º È Ö ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ a 2 + n= a n cos nπx L, º¾¼µ Ñ Ú ÓØ a n Ò Ú ÐÐ º½ µº È Ö ØØÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ò Ø ÖÑ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ n= b n sin nπx L, º¾½µ Ñ Ú ÓØ b n Ò Ú ÐÐ º½ µº Â Ø Ó ÓÙÖ Ö¹ Ö ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ó Ý Ø Ñ Ò º µ Ø º½ µ Ù Ø Òº ÃÓ ÖØÝÑ Ò Ò ØÝ ÑÙÓØÓ Ò º µ º½ µ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ø ØÝÒ ÑÙ Ò Ô Ð ØÒ Ø Ò Ò Ò ÙÓÖ ØÙ ÚÓ Ò Ò Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐÓ Ò Ø Ò Ú Ð Ø ÙÑÔ ÓÚ ÐØÙÙ Ø Ð ÒØ Ò Ô Ö ÑÑ Òº ÃÙ Ø Ò Ò Ó x C ÝØ ØÒ Ú Ò ØÝ Ø º µº º¾ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ð Ò ÔÝØÐ Ò ÑÙ Ò Ó {e n } ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒÓ À Ð Öع Ú ÖÙÙ H Ø Ò ØØ e n = e ÐÐ n N ÔØ n= x,e n 2 e 2 x 2, º¾¾µ ½

22 Ñ x Hº Ì Ø Ò ÐÔÓ Ø ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ ÐÐ n= c n 2 2L L f(x) 2 dx. º¾ µ Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ò Ó ÖØÓ Ñ Ò ÑÖ ØØÑ Ò ÝØ ØØÝ ÓÙ Ó ÓÒ {e nπx L }º Ì Ø ÙÖ Ñ Ö ØØÚ ØÙÐÓ L 2 ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ ÐÐ Ä Ù º¾º½º È Ö Ú Ð Ò Ú ÂÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö c n e inπx L ØØ ÙÒ Ø ÓØ f L 2 (,L) ÔØ n= c n 2 = 2L f(x) 2 2. º¾ µ ÌÓ ØÙ º 2L L L f(x) = f(x) 2 = f(x) 2 dx = = f(x) 2 dx = n= n= n= n= n= c n e inπx L c n f(x)e inπx L c n L c n 2Lc n c n 2. f(x)e inπx L dx Ê Ð ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ ÐÐ È Ö Ú Ð Ò Ú ÓÒ 2L f(x) 2 2 = a2 2 + n= ( ) a 2 n +b 2 n. º¾ µ ÂÓ f L (,L) Ò Ò Ê Ñ ÒÒ¹Ä Ù Ò Ä ÑÑ Ò ÑÙ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÒÓ {c n } Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø ÖÑ Ø ÓÒ Ú ÒÒÓй Ð Ø Ø ÐÐ ÖÑÓÒ ÚÖ Ø Ð Ó Ò ÑÔÐ ØÙ c n Ô Ò Ò ÙÒ ½

23 Ø ÙÙ nπ Ú º Î Ó c L = a 2 ÔÙÓÐ Ø Ò ÚÓ Ò Ó ÑÖ ØØ ÐÝÒ L f(x)dx ÔÙÓÐ Ø ØÙÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÖÚÓ Ý ÐÐ ÓÚÐ Ðк 2L ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ú ØØÓ Ò ÚÐ ÐØ Ð ÝØÝÝ ÑÝ Ý ¹ ÝÐÐ Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ý Ø Ý º Ä Ù º¾º¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ 2L¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f k (,L)º ÌÐÐ Ò [ ] ( ) d k k inπ c n dt kf = c n [f]. º¾ µ L ÌÓ ØÙ º ÌÙØ Ø Ò ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ f Ò ÑÑ Ø Ö Ú ØØ Ó Ø ¹ Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ ÐÐ c n [f (t)] = 2L L = L/ 2L f (t)e inπt L dt f(t)e inπt L + inπ L 2L L f(t)e inπt L dt = 2L [f(t)e inπ f(t)e inπ ]+ inπ L c n[f(t)] = inπ L c n[f(t)]. Î Ø Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ò ØØ ÐÝ k ÖØ º Ê Ð ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ ÐÐ Ø Ò Ú Ø Ú Ø a n [f (t)] = nπ L b n[f(t)] º¾ µ º¾ µ b n [f (t)] = nπ L a n[f(t)]. º¾ µ ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ò Ø ÚÓ Ø Ò Ñ Ö a n [f (t)] = n2 π 2 L 2 a n[f(t)] b n [f (t)] = n2 π 2 L 2 b n[f(t)]. º ¼µ Ä Ù º¾º¾ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ò Ò ÐÐ ÓÚ ÐÐÙ Ø ÖÑØÒ ØÓ Ò Ò ÒØ Ö Ð ¹ Ò ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ α k f nπx sin xk α dx, α k f nπx cos xk α dx, º ½µ ¾¼

24 Ø Ñ ÓÒ Ú ÓØ Ú ÐÐ Ñ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ f (k) (x) Ò ¹ Ó Ò Ø Ö¹ Ñ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø º ¹ α 2 a n[f (k) (t)], º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò α 2 b n[f (k) (t)]. º ¾µ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ô Ö Ò Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ö Ò Ô Ø ÑÙØ ÔÖÓ ÓØ Ò ÙÙÖ Ó Ø ÓÙ ÙØ Ò Ø Ý Ø Ý ÚÙÙØØ ¹ Ñ Òº Ì ÐÙÚÙ Ø ØÒ Ù Ø Ò Ò Ò ÓØ Ó ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ó Ø ÖÚÓ f(x) ÒÝØ ØÒ Ù Ò Ú ØØ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ú Ñ Ø Ô ØÙÙº ÅÖ Ø ÐÑ º º½º Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓØ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ò Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ I = (a,b) ÙÒ ÙÖ Ú Ø ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ½º f ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÚÐ ÐÐ Iº ¾º I ÚÓ Ò Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ó ÚÐ Ò Ó Ó f ÓÒ ÑÓÒ¹ ÓØÓÒ Ò Òº ÂÓ ÚÐ I ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ó Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÌÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÑÝ ÙÙ¹ ÐÙÙ ÐÙÓ Ò L p (I) ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ p º ÎÐ I ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ö Ø Ò ÑÙØØ ØÐÐ Ò Ó Ø. 2. ÙØÓÑ ØØ ¹ Ø ÙÖ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ñ Ò Ò ÑÙÙ ÙÒ L p ¹ Ú ÖÙÙØ Ò Ù Ò Ú ÖÙÙØ Ò L ÐÐ f b <, Ñ ÝÐÖ b ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒ. Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÌÑÒ Ø Ó I ÓÒ Ö Ø Ò Ú Ø Ò ÓÒ. Ð ØØ f L ÐÐ ØÑ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò ÝÐ ÚÐ Ò Iº Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÐØÝÚØ ÑÝ Ñ Ö ÓÐ ØÙ Ò f Ô Ð (I)º Î ¹ Ø ÑÙ 2. Ò Ñ ØØ Ò Ø ØÓ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ Ó ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø º Ñ Ö ÙÒ Ø Ó sin ØÝØ Ú Ø ÑÙ Ø 2. Ú¹ x Ð ÐÐ (,) ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ Ö ÖÚÓ Ó Ø ÚÐ ÐÐ (,ε) Ö ¹ ÖÚÓ f( + ) ÓÐ ÓÐ Ñ º º Ë ÙÖ Ú Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÝÐÐÓÐ Ú Ø ÓØ Ö ØØÚØ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔ¹ Ô Ò Ñ Òº ÌØ Ú ÖØ Ò ÓÙ ÙØ Ò Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø Ñ ØØ ØØÑÒ ÑÙÙ¹ Ø Ñ ØÙÐÓ Ó Ø Ø Ó Ø ÖÚ Ø Òº ÌÙÐÓ Ø Ó Ú Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ¹ ¾½

25 Ö Ð Ø³Ò ÒØ Ö Ð º Æ Ñ ØÝ Ø ÝØ ØÒ Ù Ò ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ö ¹ Ð ÐÐ Ó Ø Ý Ò ÖØ Ò ÓÒ ÙÖ Ú ÒØ Ö Ð sinx x dx = π 2, º µ ØÓ ØÙ Ñ Ö ½ º¾¼¾¹¾¼ º ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÐ Ò Ó Ø ÙÖ Ú Ø ØÙÐÓ Øº Ä ÑÑ º º¾º Ö Ð Ø³Ò ÒØ Ö Ð Ø π b 2 ½º im f(x) sinµx [f(+ )+f( )], a < < b π 2 dx = f(+ ), a = < b µ x π 2 a f( ), a < = b, ab > π b 2 ¾º im f(x) sinµx [f(+ )+f( )], π < a < < b < π π µ sinx dx = 2 f(+ ), a = < b < π π 2 a f( ), π < a < = b, ab >. ÁÒØ Ö Ð Ò ÖÚÓØ ÓÒ ÓÓØØÙ Ø Ò Ø Ð Ø Ø º½ ½ º¾½ º¾¾ º Ã Ö Ò ½ º¾½ ¹¾¾ ¾¾ ¹¾¾ Ö Ð Û ØØ Ð Ò Ø ÒØ ¹ Ö Ð ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ØÓ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ÑÙ Ò β ξ φ(x)ψ(x)dx = φ(α + ) β ψ(x)dx+φ(β ) ψ(x)dx, º µ α α ξ Ñ φ(x) ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÚÐ ÐÐ (α,β) ψ(x) ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÒØ ÖÓ ØÙÚ α ξ βº ÅÖ Ø ÐÑÒ º º½ ÓØ Ô Ö ÝØÝÚØ Ø ¹ ÙÙÖ ØÑÒ Ä Ù Ò ÝØØÑ Øº Ä ÑÑ Ò º º¾ ÙÒ Ø Ó Ø sinµx x ÓÚ Ø ÐÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ µ ÙÒ x µ ÓØ Ò Ò ØÝØع ÚØ Ú Ø ÑÙ Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ ψ(x)º ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÚÐ ÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÓØØ ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ º ÅÖØØÝ ÒØ Ö Ð ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ð Ó ÓØ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù Ò ÝØØÑ ¹ Ö ØØ ØØ ÚÐ (a,b) ÔÝ ØÝØÒ Ñ Ò Ó Ò Ó f ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº ÌÑ ØÓ ÐØ Ø Ö Ó ØØ ØØ f ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò Óغ ÌÐÐ Ò ÁÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ØÓ Ø ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ù ÙÒ¹ Ò ÚÐ Ò Ö Ò Ä ÑÑ Ò º º¾ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º sinµx sinx ¾¾

26 Ä Ù º º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (,L) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ø Ò ØØ f(x+2l) = f(x)º ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ò ÙÑÑ ÓÒ f(x) ÙÒ f ÓÒ Ø ÙÚ Ô Ø x (,L) 2 [f(x+ )+f(x )] ÙÒ x ÓÒ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø º ÒÒ Ò ØÓ ØÙ Ò ØØÑ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÙÑÑ D n (x) = n n eikx Ó ÒÓÙ Ò Ä Ù Ò º º ØÓ ØÙ º º ÙÒ Ø ÓØ Ö Ð Ø³Ò Ý Ò k= k= D n (x) = n k= n e ikx = +2 n coskx k= º µ ÙØ ÙØ Ò Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ º Ë Ò ÙÑÑ ÚÓ Ò ÑÖØ Ñ Ö Ù¹ Ö Ú Ø ÂÓ x m n n e ikx = e ikx = ei(n+)x = ei(n+)x +e ix e ix e ix = ei(n+)x e ix e ix = eix 2(e i(n+ 2 )x e ix 2) e ix 2(e ix 2 e ix 2) = ei(n+ 2 )x e ix 2 2isin x 2 = cos(n+ 2 )x+isin(n+ 2 )x cos x 2 isin x 2 2isin x 2 = sin(n+ 2 )x 2sin x cos(n+ 2 )x cos x 2 2isin x 2 ÃÙÒ Ú ÖÖ Ø Ò Ú ÑÑ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ö Ð Ó ÖÖÓØ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÐ Ò [ n ] n Re e ikx = coskx = sin(n+ )x 2 2sin x 2 k= k= 2 n +2 coskx = D n (x) = sin(n+ )x 2 sin x. º µ 2 k= Ö Ð Ø³Ò Ý Ò ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒº ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÐÐ ÒØ ÓÒ ØØ π π D n (x)dx =. ¾. º µ

27 ÌÑÒ ØÓ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ù π π D n (x)dx = = π π π π (+2 dx+ π = =. º µ n cos kx)dx k= n π k= π coskxdx } {{ } = (Ä ÑÑ 2..3) ÃÙÚ ½ Ò ÝÝ Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ Ò ÙÚ Ò ØØÝÑ Ò Ò ÙÒ n Ý ÙÙÖ ÑÔ ÖÚÓ º ÃÙÚ ½ Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ Ò ÙÚ n Ò ÖÚÓ ÐÐ,4 7º Ä Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÔÓ Ø ØØ im D n(x) = 2n+, x º µ π Ó n Ò Ò D n º ÃÙ Ø Ò Ò Ò im n D π n(x)dx =. ¾

28 º Ä Ù Ò º º ØÓ ØÙ Ä Ù Ò º º ØÓ ØÙ ÚÓ Ø Ò ØØ Ó Ò ÚÐ (,L) ÑÙØØ Ñ ØÒ Ñ Ò Ø Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ L = πº Ì Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÚÐ ( π,π) Ò Ú Ø Ô ØØÝ Ø ÑÔ Òº ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ n S n (x) = c k e ikx, º ¼µ k= n Ñ Ú ÓØ c k ÓÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ø Ø Ô Ù L = πº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ú Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ø Ò ÐÙÚÙÒ 3.4 ÑÙ Ø n S n (x) = π f(t)e ikt dt e ikx k= n = = = n π π k= n π π π π π f(t) f(t)e ik(x t) dt [ n k= n e ik(x t) ]dt f(t)d n (x t)dt. ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò n. Ó ÙÑÑ ÚÓ Ò ØØ ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ S n (x) = (f D n)(x). º ½µ Ì Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ØÓ x t = t ÓÐÐÓ Ò Ð Ù Ø º ½µ Ò Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ Ò Ô Ö ÐÐ ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ π π f(x+t)d n ( t)dt = π π f(x+t)d n (t)dt º ¾µ ÃÙØ Ò ÐÙÚÙ 3.4 ØÓ ØØ Ò ÓÒ π D π n(u)du = º ÌÐÐ Ò ÒØ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔØ Ó x ÓÐ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø f(x) = π π f(x)d n (u)du. ¾

29 Ë Ô ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò n. Ó ÙÑÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÖÓØÙ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó Ø¹ Ø S n (x) f(x) = = = π π π π π π [f(x+t) f(x)]d n (t)dt [f(x+t) f(x)] sin(n+ )t 2 sin t dt 2 Q(t)sin(n+ 2 )tdt, º µ π Ñ Q(t) = f(x+t) f(x) ÙÒ t Q(t) = f (x) ÙÒ t = º ÅÙØØ 2sin t 2 ØÝ º µ Ú Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ Q(t) Ð ØØÙ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ b n ÓØ Ò Ä ÑÑ Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ n º Ë Ô Ñ ØÓ Ø ØØ im S n(x) f(x) im n n π π π im S n(x) = f(x), n Q(t)sin(n+ )tdt =, 2 Ó f ÓÒ Ø ÙÚ Ô Ø xº ÃÓ Ò Ò ØÙÐÓ ÔØ ÐÐ ÒØ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ε > ÔØ ÑÝ im S n(x ε) = f(x ε) im S n (x +ε) = f(x +ε), º µ n n Ñ x ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ó ÙÑÑ ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ÐÐ Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò ÙÒ ε Ó ÙÑÑ Ò S n (x) ÙÚ ¹ Ð ØÝÝ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ ÝÔÔÝ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÑÑ Ò¹ Ó ÒÔÙÓÐ Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ø ÝÝ Ò f(x ) f(x + ) ÝÐ º ÀÝÔÔÝ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô¹ Ø ÙÚÙÙ Ó Ò ÑÓÐ ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò Ó Ø ÙÖ im S n(x ) = n 2 [f(x+ )+f(x )]. º µ º ½¹ ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ØÝ Ò Ø Ô ÖÙ Ø ÐÙ ÓØ Ò Ø ØÒ ØÙÐÓ Ò º µ ØÓ Ø Ñ ÐÐ ÑÝ Ø ÑÐÐ ÑÔ Ú Ö Óº ÃÓÖÚ Ø Ò Ý ØÐ º ½µ ¾

30 D n (x) ÙÑÑ ÐÐ º µ Ö Ó Ø Ø Ò S n (x) = π π f(t) sin 2 (2n+)(t x) sin 2 (t x) dt. º µ Â Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ x ( π,π) ÒØ ÖÓ Ñ ÚÐ Ø ( π,x) (x,π) ÙÓ¹ Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ØÓº ÁÒØ Ö Ð Ò Ò ÑÑ Ò ÔÙÓÐ ÓÓÒ Ó Ø Ø Ò t x = 2α; dt = 2dα; ÒØ ÖÓ Ñ ÚÐ : ( π,x) ( 2 π + 2 x;), ØÓ Ò ÔÙÓÐ ÓÓÒ t x = 2α; dt = 2dα; ÒØ ÖÓ Ñ ÚÐ : (x,π) (; 2 π 2 x). ÌÐÐ Ò ÙÑÑ S n (x) ÑÙÓ ÓÒ S n (x) = = x... + = π... + π π f(t) sin (2n+)(t x) 2 sin (t x) dt+ π f(t) sin (2n+)(t x) 2 sin (t x) 2 2 x f(x 2α) 2 π+ 2 x 2 π 2 x 2 π+ 2 x 2 π 2 x sin(2n+)( α) sin( α) f(x+2α) sin(2n+)α sinα f(x 2α) sin(2n+)α sinα f(x+2α) sin(2n+)α sinα ( 2dα)+... 2dα dα+... dα. dt º µ ÂÓ x ( π,π) f(x) ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ ( π,π) Ò Ò α Ò ÙÒ Ø Ó f(x 2α) ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (; π + x)º Î Ø ¹ 2 2 Ú Ø f(x+2α) ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (; π x)º Ä α Ò 2 2 ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔØ im α + f(x 2α) = f(x ) im α +f(x+2α) = f(x + ) Ñ Ð f(x) Ò ØÓ ÔÙÓÐ Ø Ö ¹ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º ¾

31 ÆÝØ Ä ÑÑ Ò º º¾ ØÙÐÓ Ø 2 ÙÖ ØØ ÙÒ x ( π,π) f(x ) f(x + ) ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÐ Ñ im n S n(x) = π [π 2 f(x+ )+ π 2 f(x )] = 2 [f(x+ )+f(x )], º µ Ó ÓÒ Ý Ø Ù Ò f(x) Ó f ÓÒ Ø ÙÚ Ó xº ½ º¾ ¼¹¾ ¾ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ð Ù Ø ÐÐÓÐ Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ó ØØ ØØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (,L) S n (x) ÙÔÔ Ò Ô Ø ØØÒ ÖÚÓÓÒf(x) ÙÒ n º Ë ÙÖ Ú Ä Ù Ø ÓÙÖ Ö¹ Ö ÐÐ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ó f k (,L) k Nº Ä Ù º º½º ÇÐ Ø Ø Ò f ÓÒ 2L¹ ÓÐÐ Ò Ò ØØ S n (x) ÙÔÔ Ò Ô Ø Ø¹ Ø Ò ÖÚÓÓÒ f(x) ØØ f k (,L) k Nº ÌÐÐ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ð ÖÓØÙ ÐÐ S n f ÓÒ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ n k+ 2 ÓÐ Ú ÝÐÖ º ÌÓ ØÙ º ÀÙÓÑ Ó Ò ØØ ÓÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ f L 2 (,L)º ÔÝ ¹ ØÐ Ò u,v u v Ë Û ÖÞµ º µ n= c n 2 2L f 2 2 е º ¼µ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÖÓØÙ Ø S N (x) S M (x) N M < ÙÖ Ú Ø º S N S M = c n [f]e inπx L N <n M c n [f] N <n M Ä Ù = cn [f (k) ] nπ ) k ( L Ë Û ÖÞ Ð N <n M N <n M L k 2L f(k) 2 π k 2 c n [f (k) ] 2 ( ¾ N <n M ( ) 2k L nπ ) 2, º ½µ (2k )N 2k 2

32 Ñ ÓÒ Ð ÖÚ Ó ØÙ N <n M n < 2k N <n n 2 2k N x 2kdx = (k 2 )N2k. º ¾µ ÂÓ Ñ Ö ØÒ C = L k k (k 2 ) Ò Ò S N (x) S M (x) C f (k) 2 N k+ 2. º µ ÃÓ ÑÝ f (k) 2 ÓÒ Ú Ó k ÔØ C f (k) 2 N k+ 2 < ε, º µ ÙÒ N > N ε º Ë Ø Ò ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ x R S N (x) S M (x) < ε, º µ ÙÒ N,M > N ε º Î Ø ÙÖ ÙÒ ÒÒ Ø Ò M º º º º½ Ò ÐÑ Å Ð ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÚÐ ÐÐ (,L) ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ó Ò ÚÓ ÓÐÐ Ø Ø º ËÝÝ Ø Ò ÓÒ Ò ÐÑ ÓØ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ñ Ö Ðк Ñ Ö º º¾º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒØØ ÐÐÓÒ f(x) = { k, π < x < k, < x < π, º µ Ñ f(x) = f(x+) ÓÙÖ Ö¹ Ö º f ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò Ú ÓØ a n ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Î Ó b n Ò b n = 2 π π ksinnxdx = 2k nπ / π = 2k nπ [ ( )n ] { 4k, ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ = nπ, ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº cosnx ¾

33 à ÒØØ ÐÐÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø Ò f(x) = m= 4k (2m+)π sin(2m+)x º µ = 4k π (sinx+ 3 sin3x+ 5 sin5x+...) ÃÙÚ ¾ Ò ÝÝ Ù Ò Ö Ò º µ Ó ÙÑÑ Ø Ð ØÝÚØ ÙÒ Ø ÓØ f ÙÒ Ò Ò n = 2m+ ÖÚÓØ Ú Ú Øº ÃÙÚ ¾ Ë Ö Ò º µ. Ó ÙÑÑ ÃÙÚ Ø ¾ Ò ÝÝ ÑÝ Ò ÐÑ Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÓÒ¹ ÐÑ Ó ÒØÝÝ Ò ÐÐ Ñ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø º ÌÐÐ Ó ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ó ÙÑÑ ÓÙØÙÙ Ø ÑÒ ÝÔÝÒ³ Ú Ó ÙÑÑ Ò ÙÚ Ò ÑÙÙ Ð Ø ÐÙ Ô Ò Ò Ò ÑÙ Ú Ò ÒÓÔ ¹ Ø ÙÒ n Ò ÑÑ Ø Ù ÔÙØ ØÐÐ Ò ÝÔÝÒ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÚØ Ù Ø Ò Ò Ô Ò Ò º ÅÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÓÙÖ Ö¹ Ó ÙÑÑ Ò ÖÚÓ ÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ø ÒÓ Ò 9% ÐÐ ÝÔÝÒ ÙÙÖÙÙ Ø º Áй Ñ Ú ØØ Ò Ó ÐÐ Ò Ý Ò Ô Ö 8¹ÐÙÚÙÐÐ ÑÙØØ Ø ÐÙÙÐØ Ò Ó ¹ Ñ ØØ Ù Ð ØØ ØÓÒ ÔØ Ö ÙÙ Ø Ó ØÙÚ Ú Ö º º Ϻ Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ Ý ÓÒ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ÐÑ Ñ Ø Ò Ñ ØÝ Ò ÓÒ Ô Ö Òº ÁÐÑ Ô Ö ÝØÝÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ ÐØ Ó ÙÙÖ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð Ø Ð Ö ØØ Ò ÚÓ Ñ Ø Ô Ø Ò x = Ð ÝÝ º ¼

34 ÃÙÚ D 8 (x) ÃÙÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ú Ø Ö Ð Ø³Ò ÝØ Ñ Ò ÙÚ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ø Ù ¹ ÔÙØ Ð Ò ÚØ ÐÓÔÙØØÓÑ Ø Ó Ø x = º Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ò ÐÑ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ò x Ú Ö Ø Ù ÔÙØ ÖØÝÚØ Ð ÑÑ Ó Ø x º ̹ ÑÒ ÙÖ Ù Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ó ØØ ØØ ÑÝ Ô Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó ¹ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ø ÐÐ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø Ô¹ Ø ÙÚÙÙ Ó Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò ÝÑÔÖ Ø º Ñ Ö Ý ÓÐÐ Ò ÒØØ ÐÐÓÒ Ø Ô Ù ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ø ÚÐ ÐÐ[ π+ε, ε] [ε,π ε] ÙÒ ε > º º ¹ Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ø Ø ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐÙ Ø Ø ÖÓ ¹ Ö Ø ÖÑ ØØ Ò Ñ Ø Ø Ø Ò ÑÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ø Ø¹ Ø º Î ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ø ÖÑ ØØ Ò Ò¹ Ø ÖÓ ÒØ ÐØ Ñ ÓÐÐ Ø º ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ ÓÐ Ø Ø Ò ØØf L ( π,π) Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö n= c n e inx º µ Ø ØÑØØ Ò Ò ÑÔ Ø Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÔÔ Ò º Ê ¹ ÖÚÓ im π N π n N c n e inx dx = π π f(x)dx º µ ½

35 ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ ÐÐ π π n N c n e inx dx = c π π = c = dx+ π n N f(x)dx. c n π π e inx dx }{{} = º ¼µ Ê ¹ ÖÚÓÒ º µ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ñ ÓÐÐ Ø L ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ò¹ Ø ÖÓ Ñ Ò Ø ÖÑ ØØ Òº Ñ Ö Ò º º¾ ÚÙØÙÓØØ Ò Ò ÑÝ ÙÖ Ú Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ØÙÐÓ º Ä Ù Ò º º ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º µ ÖÚÓ Ô Ø x = π Ò 2 Ö Ò 4k (2m+)π sin(2m+)π º ½µ 2 m= ÙÑÑ Ò º ÌÓ ÐØ f( π ) = k ÓØ Ò Ò 2 π k = 4k π (sin π sin 3π sin 5π 2...) π 4 = ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ø Ó ØÓÔØ ÑÝ ØÐÐ Ø Ò Ø ¹ Ú ÐÐ Ø Ò³ Ö Ó Ò ÙÑÑ Ø º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÂÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ò ØØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò ÓÐÐ Ò Òº Ë Ô Ó f ÓÒ Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓØÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö n= c n e inπx L º½µ ØØ ÙÒ Ø ÓØ f ÒÓ Ø Ò ÚÐ ÐÐ (,L)º ÅÙØØ Ñ Ò Ô ÝØÒ ÙÒ ÒÒ Ø Ò L Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ó Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ý Ø Ò ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ØÖ ÑÑ Ø Ó ¹ ÐÙ Ø º ¾

36 º½ ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð ÂÓØØ Ø Ö Ø ÐÙ ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ö Ú ÓÒ Ø Ú Ô Ó ÓÐ ØØ Ø¹ Ø L f(x)dx ÔÝ ÝÝ Ö Ó Ø ØØÙÒ ÙÒ L º ÇÐ ÓÓÒ f L º Ë Ó Ø ¹ Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ö Ò º½µ Ñ Ö ØÒ ω n = nπ ÓÐÐÓ Ò L Ò f(x) = c n e inπx L = n= n= = [ 2L n= L ω f(t)e iωnt dt]e iωnx L f(t)e iωnt e iωnx dt, º¾µ Ñ ω = ω n+ ω n = (n+)π nπ = π. L L L ÄÙ Ù ω n ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ý Ð Ñ Ð Ø ÙÙØ Ò º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó ÙÑÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÙÙ Ø Ú Ú Ø ÐÙÚÙÒ ω = π Ú ÖÖ Ò ÙÒ L n Ú Ý Ðк Ì Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ò L ÙÖ Ù Ò π L Ø Ù Ò Ô ØÖ Ø ØÙÐ Ø Ò Ø ÙÚ º ÃÓ ω Ð Ù ØØ º¾µ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ê Ñ ÒÒ Ò ÙÑÑ Ò Ó ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ö Ð dω f(t)e iωt e iωx dt. º µ Ë Ø Ò Ö ÔÖÓ L ÚÓ Ó Ø ØÝ Ò f(x) = = f(t)e iω(x t) dtdω [f(t)e iωt dt]e iωx dω. º µ ÁÒØ Ö Ð º µ ÙØ ÙØ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð ÒØ ÓÐ ØØ ØØ f ÓÐ Ô Ð ÙØ ØØ Ú ÓÑ Ø ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ˆf(ω) = f(x)e iωx dx º µ

37 ÒØ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ f(x) = ˆf(ω)e iωx dω. º µ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ ˆf(ω) f(x) ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÚÓ ÐÐ º µ º µ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¹Ô Ö Òº ÙÒ Ø Ó ˆf ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ f ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ˆf ÒØ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º Æ Ø Ñ Ö ØÒ Ù Ò F(f) = ˆf F (ˆf) = fº ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º¾º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ö ÐÐ ÙÙ Ú Ø Ð º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¹Ô Ö ÚÓ ÓÐÐ Ñ ÝÚÒ ÙÖ Ú Ø ˆf(ω) = R f(x)e iωx dx, f(x) = ˆf(ω)e iωx dω R ˆf(ω) = R f(x)e iωx dx, f(x) = R ˆf(ω)e iωx dω ˆf(ω) = R f(x)eiωx dx, f(x) = R ˆf(ω)e iωx dω ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð Ó ØØ Ò Ð Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÙÑÑ ÓÒ 2 [f(x+ )+ f(x )] Ó Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÖÚÓÓÒº ÌÑÒ Ó Ó Ø¹ Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð Ø ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð Ó Ò ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ØÝ Ø º µº ÙÒ Ø Ó f(x) ÚÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò ØØ ÑÙÓ¹ Ó f(x) = = = f(t)e iω(x t) dtdω f(t)cosω(x t)dt+i (F(ω)+iG(ω))dω, f(t)sinω(x t)dt dω ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØF(ω) ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó G(ω) Ô Ö ØÓÒº ÐÐ Ò Ä ÑÑ Ò ¾º½º½¾ ÒÓ ÐÐ f(x) = π F(ω)dω, = f(t)cosω(x t)dtdω, π º µ

38 Ó ÓÒ Ù Ò Ò Ä Ù Ò ÑÙ Ò Ñ Ù Ò π dω f(t)cosω(x t)dt. ÌÙØ Ø Ò Ð ØØ º½ ¹½ ÑÙ ÐÐ Ò ÐÙ ÖÓØÙ Ø f(t)dt m cosω(x t)dω m dω f(t)cosω(x t)dt, º µ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ f L º Â Ñ ÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÚÐ ÒÓÐÐ Ø Ö ØØ ÑÒ Ø Ò k...+ f(t)dt k m f(t)dt cosω(x t)dω m m cosω(x t)dω k dω m f(t)cosω(x t)dt+... dω k f(t)cosω(x t)dt, Ñ Ò ÑÑ Ø ÒØ Ö Ð ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ó m,k > ÓÚ Ø Ö ÐÐ º ÆÝØ Ó f L ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù K Ø Ò ØØ f(t) dt < ε 2m, º µ Ñ ε > k > Kº Ì Ø ÙÖ ØØ m dω f(t)cosω(x t)dt k Ä Ó sinµx µ x m f(t)dt cosω(x t)dω = k k m m k dω k k k f(t) dt < ε 2. f(t) sinm(x t) dt x t f(t) m dt f(t) dt < ε 2. º½¼µ º½½µ

39 Ë Ø Ò Ú m Ú Ð ØØ Ò Ù Ò ÙÙÖ ÝÚÒ K ÚÓ Ò Ò Ú Ð Ø Ø Ò ØØ m m f(t)dt cosω(x t)dω dω f(t)cosω(x t)dt < ε 2 + ε 2 = ε. ÌÓ Ò ÒÓ Ò im m f(t)dt m cosω(x t)dω = im m Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ m dω f(t)cosω(x t)dt. º½¾µ im m f(t)dt m cosω(x t)dω = im m m dω f(t)cosω(x t)dt. º½ µ ËÙÑÑ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ø º½¾µ º½ µ ÒÒ Ò im m f(t)dt m cosω(x t)dω = im m m dω f(t)cosω(x t)dt. º½ µ ÆÝØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (, ) Ä ÑÑ Ò º º¾ ØÙÐÓ ¹ Ø. ÙÖ 2 [f(x+ )+f(x )] = im m π ÇÒ ØÙ ØÓ Ø ØØÙ = im m π = im m π = im m π m f(x+u) sinmu du u f(t) sinm(x t) dt x t f(t)dt dω m cosω(x t)dω f(t)cosω(x t)dt. ( º u = x t) º½ µ

40 Ä Ù º½º º ÂÓ ÙÒ Ø Ó f ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ (, ) f(t)e iω(x t) dtdω = 2 [f(x+ )+f(x )], º½ µ Ö ØÝ Ø Ó f ÓÒ Ø ÙÚ Ó x f(x) = f(t)e iω(x t) dtdω. º½ µ º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ L ¹ Ú ÖÙÙ Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ ØØ ÓÙÖ Ö¹ ÒØ Ö Ð Ò ÖÚÓ ÓÐ f(x)º È Ð ØÒ ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ Ö ØØ Ù Ø Ò Ò Ð Ú ÑÑØ Ò ÓÐ Ø٠غ ÂÓ Ò ¹ Ñ ØØ Ò f L ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÔØ ˆf(ω) = f(x)e iωx dx ÌÓ Ò ÒÓ Ò ˆf ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ÐÐ Ò f(x) dx = f <. sup ˆf(ω) = ˆf <, ω R º½ µ ÓØ Ò ˆf L º Ä ˆf ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ω,h R ˆf(ω +h) ˆf(ω) = e iωx (e ihx )f(x)dx, ÓØ Ò ˆf(ω +h) ˆf(ω) (e ihx ) f(x) dx. ÁÒØ Ö Ò Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖØ Ù Ò 2 f(x) Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ h º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò Ó Ó Ó ÔÙÓÐ Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ h ÓØ Ò ˆf ÓÒ Ø ÙÚ Ó ωº º

41 Ä Ù º¾º½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f L º ÌÐÐ Ò ½º ˆf L ¾º ˆf ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ º im ˆf(ω) = ω ± º F(αf +βg) = αf(f)+βf(g); º F(f(x+a)) = e iaω ˆf(ω) F(e ibx f(x)) = ˆf(ω +b), a,b R; ÂÓ Ð f,f,f 2,... L Ó f n f ÙÒ n Ò Ò º im ˆfn (ω) = ˆf(ω) ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ø º n ÌÓ ØÙ º Î ØØ Ø ½º ¾º ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ Ó ÝÐ ÑÔÒº Î Ø º ÓÒ Ø ¹ Ê Ñ ÒÒ¹Ä Ù Ò Ä ÑÑ º Î ØØ Ò º º Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÙ ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ º F(αf(x)+βg(x)) = (αf(x)+βg(x))e iωx dx = αf(x)e iωx dx+ βg(x)e iωx dx = αˆf(ω)+βĝ(ω). ÃÓ Ø º F(f(x+a)) = e iωx f(x+a)dt = e iω(x a) f(x)dx = e iωa ˆf(ω), Ó Ò º ØÓ Ò Ò ÔÙÓÐ ˆf(ω+b) = f(x)e i(ω+b)x dx = [f(x)e iωb ]e iωx dx = F(e iωb f(x)). Î Ø º ÙÖ ØÙÐÓ Ø º½ µ ÐÐ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò sup ˆf n (ω) ˆf(ω) f n(x) f(x) < ε, ω R ÙÒ n ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ Ó ØÓ Ø Ú ØØ Òº º ¹

42 º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ L 2 ¹ Ú ÖÙÙ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ Ú ÖÙÙ L 2 (R) ÓÒ Ö ØÝ Ñ º ÎÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó f L p p 2 Ò Ò ˆf L q Ø Ò ØØ + = Ñ ÓÒ Ñ Ø ØØÙ ÒÓÐÐ Ò Ò º Ë Ô Ó p = 2 ÑÝ p q q = 2 ØÓ Ò ÒÓ Ò F ÙÚ Ú ÖÙÙ Ò L 2 Ø ÐÐ Òº ¾ º ¾ Ä ØÒ ØØÑÒL 2 ¹Ø ÓÖ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ Ó f L L 2 Ò Ò ˆf L 2 º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÔÙØÙÐÓ Ø F{e ax2 } = e ax2 e iωx dx = 2a e ω2 4a, º½ µ Ñ a > º ÌÑ ØÓ Ø Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ñ Ö º º º Ä Ù º º½º ÇÐ ÓÓÒ f L L 2 º Ë ÐÐÓ Ò ˆf L 2 ˆf 2 = f 2. º¾¼µ ÌÓ ØÙ º ÎÓ Ò Ö Ó ØØ ˆf(ω) 2 = ˆf(ω)ˆf(ω) = f(x)e iωx dx f(t)e iωt dt. º¾½µ à ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ e ω2 n (n =,2,...) ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ö ¹ Ð Ð Ò ÝÐ Ò e ω2 n ˆf(ω) 2 dω = e ω2 n dω f(x)e iωx dx f(t)e iωt dt. º¾¾µ ÃÓ f L Ò Ò º¾¾µ ÙÔÔ Ò Ø Ø º ÌÓÒ ÐÐ ¹ÀÓ ÓÒ Ò Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ØÐÐ Ò Ú Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ Ø e ω2 n ˆf(ω) 2 dω = ÆÝØ ØÙÐÓ Ø º½ µ Ò f(t)dt f(x)dx n e ω2 n e iω(x t) dω = e n(x t) e ω2 n e iω(x t) dω.

43 ÐÐ Ò e ω2 n ˆf(ω) 2 dω = = = n 2 π n 2 π n 2 π f(t)dt f(t)dt e nx2 4 dx = n nx 2 π 4 e 4 F(x)dx, e n(x t)2 4 f(x)dx e nx2 4 f(x+t)dx f(x+t)f(t)dt Ñ F(x) = R Ö Ó Ø ØØÙ f(x + t)f(t)dtº ÆÝØ Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÐÐ nx2 4 = x 2 e ω2 n ˆf(ω) 2 dω = π e x2 F(2n 2 x)dx. º¾ µ ÆÝØ F(x) ÓÒ Ø ÙÚ Ó x = ÐÐ Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ Ò F(x) F() = [f(x+t) f(t)]f(t)dt f(x+t) f(t) f(t) dt F(x) F() 2 f(x+t) f(t) 2 dt f(t) 2 dt, º¾ µ Ó f L 2 Ò Ò Ó ÔÙÓÐ Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ x º Ë Ô imf(x) = F(). º¾ µ x Ä Ä Ù Ò ¾º¾º ÑÙ Ò ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ x ÔØ F(x) 2 f(x+t) 2 dt f(t) 2 dt = f 2 2 f 2 2 = f 4 2. ¼

44 Ë Ø Ò Ý ØÐ Ò º¾ µ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú ÒØ Ö Ò ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f 4 2e x2 Ö Ó ØØ Ñ º Ì Ø Ä ÑÑ Ø ¾º¾º¾ ØÙÐÓ Ø º¾ µ ÙÖ ØØ im n π e x2 F(2n 2 x)dx = π F() ÃÓ F() = f 2 2 ÙÖ ØÙÐÓ Ø º¾ µ º¾ µ im n e ω2 n ˆf(ω) 2 dω = f 2 2. ÆÝØ Ù Ø Ò Ò ØÓÙÒ Ä ÑÑ Ò ¾º¾º½ ÑÙ Ò ˆf(ω) 2 dω = im im n e x n 2 e x2 dx = π πf() = F(). n ˆf(ω) 2 dω e x2 n ˆf(ω) 2 dω = f 2 2, º¾ µ º¾ µ º¾ µ Ó ØÓ Ø ØØ ˆf(ω) L 2 º ÄÓÔÙÐØ ØÙÐÓ Ø º¾ µ Ä ÑÑ Ø ¾º¾º¾ ÙÖ ØØ ˆf(ω) 2 dω = f 2 2. Ì Ø ØÒ L 2 ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ô Ò Ò ÑÙØ Ò Ùع Ø º Ä ÑÑ º º¾º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 º ÅÖ Ø ÐÐÒ f N Ø Ò ØØ { f(x), x N f N (x) =, x > N, º¾ µ Ñ N =,2,...º Ë ÐÐÓ Ò f N L L 2, ˆf N L 2 Ð ÙÒ N ˆf N ÙÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ò 2 Ñ Ð Ó ÓÒ Ò L 2 ¹ ÙÒ Ø ÓÓÒº ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ¾º¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f N (x) dx = N f(x) dx N f(x) 2 dx N dx 2 N N N f 2 (2N) 2 <, º ¼µ ½

45 ÓØ Ò f N L º ÃÓ ÑÝ f N (x) f(x) ÓÒ ÐÚ ØØ f N L 2 º Ì Ø ÙÖ ØØ f N L L 2 Ø Ò Ä Ù Ò º º½ ÑÙ Ò ˆf N L 2 º Ä Ù Ò ÐÓÔÔÙÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ¹ ÖÚÓ im M,N ˆf N ˆf M 2 N Mº ÃÝ ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ Ø Ó Ø f N f M Ó ÙÙÐÙÙ Ú ÖÙÙØ Ò L L 2 º Ë Ø Ò Ä Ù Ò º º½ ÑÙ Ò ˆf N ˆf M 2 2 = f N f M 2 2. º ½µ Ç ÔÙÓÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ M f(x) 2 dx+ N N M f(x) 2 dx, Ó Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ N,M º Ì Ø ÙÖ ØØ im N,M ˆf N ˆf M 2 = Ó L 2 ÓÒ À Ð Öع Ú ÖÙÙ Ö ÙÒ Ø ÓÐÐ ˆf ÔØ ˆf L 2 º Ò Ò Ä Ù ÓÒ Ò Ø ÓÐ ÐÐ Ò Ò ØØ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ f N ÙØ Ò ÐÐ ˆf(ω) = im N N N f(x)e iωx dx, ÚÓ Ò ÓÐÐ Ú ÙÙØØÙÒ Ø Ø ØØ L 2 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ˆf(ω) = f(x)e iωx dx. º ¾µ ÓÒ ÓÐ Ñ ˆf L 2 º Ä Ù º º º È Ö Ú Ð Ò Ú ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÇÐ ÓÓÒ f L 2 º Ë ÐÐÓ Ò ÔØ ÌÓ ØÙ º ÃÓ ˆf(ω) = ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ö Ó ØØ ˆf(ω) 2 = f(x) 2. f(x)e iωx dx = im N N N im ˆf ˆf N 2 =. N ¾ f(x)e iωx dx,

46 ÌÑ ØÓ ÐØ ÑÔÐ Ó ØØ im ˆf N 2 = ˆf 2. N ÙÒ Ø Ó Ò f N ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ÓÒ ÐÚ ØØ im f N 2 = f 2, N º µ º µ Ó f N L L 2 Ä Ù Ò º º½ ÑÙ Ò ÔØ ˆf N 2 = f N 2. º µ ÀÝ ÝÒØÑÐÐ Ý ØÐ Ø º µ ¹ º µ Ò ˆf 2 = im N ˆf N 2 = im N f N 2 = f 2. ÑÑ Ò ÓÒ Ó ØÓ ØØÙ ØØ F ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º Ä È Ö Ú Ð Ò ¹ Ú Ò ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ 2¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò 2¹ÒÓÖÑ º ÌÐÐ Ò ÑÝ Ø ÝÝ Ø f g 2 ˆf ĝ 2 ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ ÓØ Ò Ò Ä Ù º º º F : L 2 L 2 ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑ ØÖ º È Ö Ú Ð Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ ÙÖ Ú ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ØÙÐÓ º Ä Ù º º º ÂÓ f,g L 2 Ò Ò ˆf(x)ĝ(x)dx = f(x)g(x)dx º µ ÌÓ ØÙ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò f(x)dx = fº È Ö Ú Ð Ò Ú Ò ÑÙ Ò ˆf +ĝ 2 2 = f +g 2 2 (ˆf +ĝ)(ˆf +ĝ)d = (f +g)(f +g) ˆf 2 + ĝ 2 + ˆfĝ + ˆfĝ = f 2 + g 2 + fg + fg ÐÐ Ò È Ö Ú Ð Ò Ú Ò ÑÙ Ò ˆf 2 = f 2 ĝ 2 = g 2 ÓØ Ò ˆfĝ + ˆfĝ = fg + fg. º µ

47 ÆÝØ Ó g ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÙ ÓÒ L 2 Ð Ó ÚÓ Ò ĝ g ÓÖÚ Ø ÙÒ ¹ Ø Ó ÐÐ iĝ igº ØÐ Ø º µ ØÙÐ Ø Ò ˆf(iĝ)+ ˆf(iĝ) = f(ig)+ f(ig) i ˆfĝ +i ˆfĝ = i fg +i fg. º µ Î Ø ÙÖ ÙÒ º µ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ i ÝÒØÝÚ Ý ØÐ Ð ØÒ Ý Ø¹ Ð Ò º µº Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ó f L 2 ÑÝ ˆf L 2 º ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ F {ˆf} = f. ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÔÙÐ Ù ØØ º Ä ÑÑ º º º ÂÓ f,g L 2 Ò Ò f(x)ĝ(x)dx = ˆf(x)g(x)dx. Ä ÑÑ Ò ØÓ ØÙ ÓÐ ÙÙÚÙØØ Ú Ò Ô Ø ÑÙØØ ÚÙÙØ Ø Ò Ø ÙÓÐ ¹ Ñ ØØ º Ä ÑÑ º º º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 g = ˆfº ÌÐÐ Ò f = ĝº ÌÓ ØÙ º f ĝ 2 2 = ( f ĝ )( f ĝ ) dx = f 2 2 fĝdx fĝdx+ ĝ 2 2. º µ È Ö Ú Ð Ò Ú Ò Ä ÑÑ Ò º º ÒÓ ÐÐ fĝ = ˆfg = ˆf ˆf = ˆf 2 2 = f 2 2º Ë ÑÓ Ò fĝ = f 2 2º ÐÐ Ò ĝ 2 2 = g 2 2 = ˆf 2 2 = f 2 2º Ë Ó ØØ ¹ Ñ ÐÐ ÒÑ ÓÐÑ ØÙÐÓ Ø Ý ØÐ Ò º µ Ò f ĝ 2 2 = f 2 2 f 2 2 f f 2 2 =, Ñ Ø Ú Ø ÚÐ ØØ Ñ Ø ÙÖ º Ä Ù º º º ÂÓ f L 2 Ò Ò f(x) = ˆf(ω)e iωx dω.

48 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ g = ˆfº Ë ÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º º ÑÙ Ò f = ĝ ÓØ Ò f(x) = g(ω)e iωx dω = ˆf(ω)e iωx dω. Î Ø ÙÖ ÙÒ ÓØ Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÑÔÐ ÓÒ Ù Ø Øº ÐÐ ÐÙÚÙ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ L ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ø¹ ÙÚ Ú Ö ØØ ÑÝÝ º ÃÙ Ø Ò Ò Ñ Ö ÙÒ Ø Ó g, x > e nx x g(x) =, x e e g( x), x <, ÓÒ ÐÐ Ø ÙÚ im x ± g(x) = ÑÙØØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÐ Ñ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º L 2 ¹ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ò Ð Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò Ó Ò Ò L 2 ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ò L 2 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÙØ Ò ÙÖ Ú Ä Ù Ó Ó ØØ º Ä Ù º º º ÂÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 ÓÒ Ý ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g L 2 ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 h = f g = ĥº Ä ÑÑ Ò º º ÑÙ Ò f = h = ĝ ÓØ Ò f = ĝº ØØ ÝÝ ÙÖ Ä Ù Ø º º ÐÐ Ó f(ω) = û(ω) f(ω) = ˆv(ω) ØÝØÝÝ ÓÐÐ u(x) = Ó Ø ÙÖ ØØ u = vº f(ω)e iωx dω v(x) = f(ω)e iωx dω, Ã Ø Ò Ú Ð ÐÓÔÙ ÑÑØ ØÙÐÓ Ø Ý Ø Ò Ä Ù Ò ÓÒ Ú Ø Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Å Ð ÈÐ Ò Ö Ð ÓÒÒ ØÙ ØÓ Ø Ñ Ò ÚÙÓÒÒ 9º Ä Ù º º½¼º ÈÐ Ò Ö Ð Ò Ð Ù ÂÓ f L 2 Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó ˆf L 2 Ø Ò ØØ ˆf(ω) = f(x)e iωx dx f(x) = ˆf(ω)e iωx dω, º ¼µ

49 ˆf 2 2 = f 2 2º Ä Ó Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÑÙÓ Ó f = ĝ Ñ g L 2 ÓÒ Ý ØØ Ò Òº º ¹ ½ º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ËÝÝ Ñ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó Ø Ø ÐÐÒ Ù Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f,g L ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó f g Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ò ˆf ĝ ØÙÐÓ º Ì Ö ÑÑ Ò ˆfĝ = F(f g)º Ä Ù º º½º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐ Ù ÇÐ ÓÓØ f,g L º ÌÐÐ Ò F(f g) = ˆfĝº ÌÓ ØÙ º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò F(f g) = e iωx f(x t)g(t)dt dx = = g(t) dt g(t) dt = g(t)e iωt dt f(x t)e iωx dx f(x)e iω(x+t) dx e iωx f(x)dx = F(g(t)) F(f(x)) = ˆfĝ. Î Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó f,g L º Ì Ø ÝÝ Ø ÚÓ ¹ Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ ÙÓÐ ØØ Ú Ø º º¾¼ ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐ Ù ÐÐ Ð ÝØÝÝ ÓÚ ÐÐÙ ÙÒ ÐÙÚÙ 5 Ö Ø Ø Ò Ðѹ Ô Ý ØÐ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÚÙÐÐ º º Ö Ú ØØÓ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ö ØØ Ò ØÖ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ú ØØ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ý Ò ÖØ Ò Ö¹ ØÓÐ ÙÒ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f k. ØØ Ö Ú ØØ º

50 Ë Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ( ) d k F dx kf(x) Ë Ø Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ ÐÐ ( ) d k F dx kf(x) L/ = im L = d k dx kf(x)e iωx dx. d k + iω dx k f(x)e iωx d k dx k f(x)e iωx dx. ÆÝØ Ó dk f(x) ÙÒ x ± Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ó ÐÐ Ú dx k Ð ÐÐ ( ) ( ) d k d k F dx kf(x) = iωf dx k f(x). ÌÓ Ø Ñ ÐÐ ØÑ k ÖØ ÓÐ ØØ Ñ ÐÐ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ú Ø Ø Ò Ò k Ø Ú ÚØ Ö ØØ Ñ Ò ( ) d k F dx kf(x) = (iω) k F(f(x)). º ½µ Ä Ù º º½º ÂÓ f L f k im x f (n) = n =,2,...,k ØÐÐ Ò ÚÓ Ò F(f (k) (x)) Ð Ú ÐÐ º ½µº º¾ ÀÝ ÝÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ò ÑÝ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ¹ Ö Ú ØØ dk dω k ˆf(ω)º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ò d k dω ˆf(ω) = dk k dω k = f(x)e iωx dx f(x) dk dω ke iωx dx = f(x)( ix) k e iωx dx = ( i) k f(x)x k e iωx dx = ( i) k F(x k f(x)). º ¾µ

51 Ä Ù º º¾º ÂÓ f x n f L n =,2,...,k ÓÒ ˆf ØÐÐ Ò k ÖØ Ö ÒØ Ó ØÙÚ i k ˆf(k) (ω) = F(x k f(x)). º µ º½ Ñ Ö º º º ÅÖ Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = e ax2, a >, ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò f (x) = 2axe ax2 ÓØ Ò f(x) ØÓØ ÙØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò f (x)+2axf(x) =. º µ Ä Ù Ò º º½ º º¾ ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÐÚ Ø ÚÓ Ñ ÓØ Ò ÓØ Ø Ò Ý ¹ ØÐ Ò º µ Ø ÖÑ Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ö Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô ÖÓ Ñ ÐÐ º Ë Ò iω ˆf(ω)+2aiˆf (ω) = ˆf (ω) = dˆf(ω) dω = ω 2a ˆf(ω) dˆf(ω) ˆf(ω) = ω 2a dω n ˆf(ω) = ω2 4a +C ˆf(ω) = e 4a ω2 +C ˆf(ω) = Ce 4a ω2. Î Ó C Ò Ö Ø ØÙ Ð Ù ÓÒ ˆf() = f(x)e i x dx = e ax2 dx º µ º µ ÚÙÐÐ º ÁÒØ Ö Ð Ò ÖÚÓ ÓÒ π e ax2 a ÓØ Ò ˆf() = 2a. ØÐ Ø º µ Ò ÒÝØ ˆf() = Ce 4a 2 = C =, º µ 2a ÐÓÔÙÐØ º½ ¹½ ¼ ˆf(ω) = 2a e 4a ω2. º µ

52 ÄÑÔ Ý ØÐ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÒØØ ÓÒ Ð º Ì Ù Ø Ò Ò Ô Ò Ù ÙØ Ò Ø Ö¹ ÑÑ Ò Ú Ò Ý Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ Ò Ó Ó ÒÒÓ Ø ÐØÝÝÒ ÐÑÔ Ý ¹ ØÐ Òº Ë Ò Ò Ö Ó ØÙØ Ò Ú Ò Ý ÙÐÓØØ Ò Ø Ô Ù Òº ÐÓ Ø Ø Ò Ø ¹ Ð ÒØ Ø Ó x¹ Ð ÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ÙÚ Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) Ó Ó ØØ Ñ Ð ÙÐÑÔ Ø Ð º Ë Ò Ð Ò ØÙØ Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ô ØÙ Ø Ð¹ ÙÐÑÔ Ø Ð f(x) ÓÐ Ú ÙÚ ÓÒ ÔØ Ô ØÒ ÒÓÐÐ Ø Ø ØÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ö Ð Ø Ö Ø ÙØ Ô º ÄÓÔÙ Ø ÓØ Ò Ù Ò Ø Ð ÒÒ ÑÙÙØØÙÙ Ñ Ð Ò Ò ØØ ÔØ Ô ØØ Ò ÒÓÐÐ Ø ÑÝ ÙÚ Ò ÔØ Ö Ø ØÒº º½ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ÙÚ Ì Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ô Ø Ö Ø ØØÝ ÙÚ ÓÒ Ô Ø x ÓÒ ÐÙ ÐÑÔ Ø ¹ Ð f(x) ÐÑÔ Ø Ð Ò t ÙÐÙØØÙ ÓÒ u(x,t)º Å Ð ÝÝ Ò ÚÙÓ ÓÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ Ö ØØ ÑÝÝ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ ÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÑÑ Ò ÖØÓ ÙÚ Ò Ô Ø³ ØÓ Ò ÒÓ Ò im x u(x,t) = im x u(x,t) = x. ÄÑÔ Ø ÓÖ Ò ÑÙ Ò ÙÒ Ø Ó u ØÓØ ÙØØ Ý ÙÐÓØØ Ò ÐÑÔ ÝØÐ Ò Ð Ù ØÓÒ t u(x,t) = α 2 u(x,t) x 2, t, º½µ u(x,) = f(x). º¾µ ÇÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ò Ð ÓÐ ØÙ f L Ó ÐÐ Ò¹ Ø ÐÐ t Ò ÖÚÓÐÐ ÑÝ u(x,t) L º ÌÑ Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ˆf(ω) = f(x)e iωx dx û(ω,t) = u(x,t)e iωx dx ÓÐ Ñ ÓÐÓÒº Ä Ó im x u(x,t) = im x u(x,t) = ÚÓ ¹ x Ò ÓÚ ÐØ Ä Ù ØØ º º½º ÆÝØ ÓØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò º½µ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓ¹

53 Ð Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ x Ò Ù Ø Ò Ò { } F t u(x,t) = F t { } α 2 u(x,t) x t u(x,t)e iωx dx = α(iω) 2 F{u(ω,t)} u(x,t)e iωx dx = αω 2 û(ω,t) tû(ω,t) = αω2 û(ω,t), º µ Ñ Ð Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ö ÚÓ ÒÒ Ò ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ö ØÝ ÚÓ Ò Ú ¹ Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ú Ð Ð Ù Ó Ø º¾µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÑÙÓØÓÓÒ tû(ω,t) = αω2 û(ω,t) º µ û(ω,) = ˆf(ω), û ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø Ø Ý ØÐ Ø º µ Ô ÖÓ Ñ ÐÐ º Ë Ò ÐÐ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ û(ω, t) û(ω,t) = αω2 t, n û(ω,t) = αω 2 t+c (ω) û(ω,t) = C(ω)e αω2t, º µ º µ º µ Ñ C C = e C ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ω Ö ÔÔÙÚ Ú Ó Ø º Ð Ù ÓÒ º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓØ Ò C(ω) = ˆf(ω) Ø Ò û(ω,) = C(ω)e αω2 = ˆf(ω), û(ω,t) = ˆf(ω)e αω2t. Ñ Ö º º ÐÚ ØØ 2a e 4a ω2 = F Ø Ò Ó Ø Ø Ò a = 4αt Ò 2αte αω 2t = F {e e αω2t = F 4αt x2} { 2αt e 4αt x2 } º µ º µ } {e ax2 Ó a > º ÃÙÒ = F{g(x,t)} = ĝ(ω,t), º½¼µ ¼

54 ÓØ Ò º µ ÚÓ Ò Ä Ù Ò º º½ ÑÙ Ò ØØ ÑÙÓ Ó û(ω,t) = ˆf(ω)ĝ(ω,t) = F{f(x) g(x,t)}. º½½µ Ë Ø Ò Ò ÐÓÔÙÐØ u(x,t) = f(x) g(x,t) = f(x τ)g(τ,t)dτ = f(x τ) e 2αt = 2 παt 4αt τ2 dτ f(x τ)e 4αt τ2 dτ, α,t. º½¾µ Ê Ø Ù Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÝÚ ÝØØ Ò ÑÙØØ ÐÓÔÙÐÐ ¹ ÑÙÓ Ó Ò u(x,t) ÐÐ Ñ ØÒ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º Ì Ø ÝÝ Ø ÐÙ Ø ØÝ Ð ÓÐ ØÙ ÚÓ Ò Ñ Ò Ð Ú Òغ Ç Ó ØØ Ù¹ ØÙÙ ØØ Ó Ð Ù ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ Ö Ó Ø ØØÙ ÒØ Ö Ð º½¾µ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ x R t u(x,t) ØÓØ ÙØØ Ý Ù¹ ÐÓØØ Ò ÐÑÔ Ý ØÐ Ò º½µ Ð im t u(x,t) = f(x)º Ë ØÙ Ö Ø Ù Ù Ø Ò Ò ØÝ Ò Ú Ø ØÓ ÐÐ Ø Ø Ð ÒÒ ØØ º ÇØ Ø Ò Ñ Ö f(x) = ÙÒ x < f(x) = ÑÙÙÐÐÓ Òº ÆÝØ ÐÑÔ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ u(x,t) = 2 παt e 4αt (x τ)2 dτ. º½ µ Ì Ø ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ x R α,t > u(x,t) > º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÚÐ ØØ Ñ Ø Ò Ø Ò t = Ð Ò ÐÑÔ Ø Ð ÑÙÙØØÙÙ ÔÓ Ø Ú Ö ØØ ÑÝÝ Ø º ÌÑ ÓÒ Ð Ö Ø Ö Ø ØÓ ÐÐ ÙÙ Ò Ò Ó ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ø ÙÐ ÙØÙÚ ÐÑÔ ÚÓ Ñ Ø Ò Ò Ð Ú Ø Ö ØØ ÑÒ ÒÓÔ Ø ÝÑÔÖ ÙÚ º ÇÒ ÐÑ ÓÒ ÙÖ Ù Ø Ø ØØ Ý ØÐ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÓÒ Øݹ ØÝÒÝØ Ø ÑÙÙØ Ñ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ø º ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ô Ù ÙÚ Ò Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ØÝ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ò ØØ Ó Ø Ø Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÓÔÔ ¹ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ô Ô Ò º Ä ÐÑÑ Ò ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ÓÐ Ú Ò ÓÒ ÒÐ Ø ÓÑÓ Ò Ø Ú ÖØ Ú Ò ØØ Ó Ò Ô Ô Ò º ÌÓ ÐÐ ÙÙ¹ ÐÑÔ ÓÒ Ò Ó Ñ Ø Ö Ð Ò Ù Ò Ò Ò Ò Ñ Ò ½

55 Ø Ò Ò Ò Ò º ÆÑ ÖÚ ÓØ Ú Ø Ø ÓÒ³ ÓÖ ÓÒ ÐÑÑ ÒÐ Ø Ø Ð Ú ¹ ÑÒ Ö ØØ ÑÒ ÒÓÔ Ø Ó Ó ÙÚ Òº º½ ¾¹½ º¾ Ö ÐÐ Ò Ô ØÙ Ò Ò ÙÚ ÆÝØ Ô ØÒ Ó Ó ÒÒÓ Ø ØØÝÝÒ Ø Ð ÒØ Òº Ë ÙÚ Ò Ðѹ Ô Ø Ð ÙÚ Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ u(x,t) ÔØ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ u t (x,t) = αu xx (x,t), x, t, º½ µ Ñ Ñ Ö ÒØ u t u xx ÓÒ ÒÝØ ÝØ ØØÝ ÙÚ Ñ Ò u Ò Ò ÑÑ Ø ØÓ Ø Ó ØØ Ö Ú ØØ Ú Ø Ú Ø t Ò x Ò Ù Ø Òº Ê ÙÒ ØÓ ÓÒ ÒÝØ u(,t) = u(,t) =, t, º½ µ Ó ÙÚ Ò ÔØ Ô ØÒ ÐÑÔ Ø Ð º Ð Ù ØÓÒ ÓÒ ÐÐ Ò u(x,) = f(x), x. º½ µ ÆÝØ ØÒ Ò Ò Ù Ò ÓÒ ÐÑ Ö Ø Ý ÝÒØÑÐÐ Ö Ú ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ó Ú ØÙÐÓ º º¾º½ Ê Ø Ù Ä Ù Ò º¾º¾ ÚÙÐÐ È Ò ÐÐ Ø ÑÔÙÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ð ÙØ ØØÙ Ò ÑÑ Ò Ø Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ u Ô Ö ØÓÒ Ø Ó Ø Ò ØØ u(x,t) = u( x,t), ÙÒ x <, t. ÆÝØ u(x,t) ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º½ µ ÑÝ ÚÐ ÐÐ x < º ÌÑ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ØÓ Ø ÙÓÖ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº È Ö ØØÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ Ò Ñ ØØ Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò u x ( x,t) = im x x u( x,t) u( x,t) x ( x ) ÌÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÙÒ Ø Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒ [u(x,t) u(x,t)] = im = u x (x,t). x x [x x ] u x ( x,t) u x ( x,t) u x (x,t) u x (x,t) u xx ( x,t) = im = im x x x ( x ) x x [x x ] = u xx (x ). Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÑÝ ØØ u t (x,t) ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò x Ù Ø Ò Ô Ö ¹ ØÓÒº ÌÐÐ Ò Ò Ø Ú ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ º½ µ ÓÒ u t (x,t) = αu xx (x,t) Ð ÚÓ Ò ØØ u t (x,t) = αu xx (x,t), x, t. º½ µ ¾

56 ÌÑ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó sin nπx ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ ØÓ ØÙÒ ÑÙ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÚÐ ÐÐ [,]º à ÖÖÓØ Ò º½ µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÐÐ Ú ÓÐÐ ÒØ ÖÓ Ò x Ò Ù Ø Ò Ò t [ ] nπx u(x,t)sin dx = α t u(x,t)sin nπx dx = α [ u xx (x,t)sin nπx ] dx u xx (x,t)sin nπx dx º½ µ Æ Ò ÚÙØ ØØ Ò Ø Ð ÒÒ Ó Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ ÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ u ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù ÙÒ Ø ÓÐÐ u xx º º½ µ ÓÒ t b n[u] = αb n [u xx ]. º½ µ Å Ö ÒÒ Ø Ý ÐÑ ÑÙØØ ÝÑÑÖÖ ØÒ ØØ b n Ð Ø Ò Ò Ñ ÒÓÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x Ù Ø Òº ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ÒÝØ Ä Ù Ò º¾º¾ ÚÙÐÐ Ó ØØÙ ØÙÐÓ Ø º ¼µ ÙÒ Ø ÓÒ u xx ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò t b n[u] = α ( nπ ) 2bn [u]. º¾¼µ ÇÒ ÐÑ ÓÒ ØÙ Ø Ô Ð ÙØ ØØÙ Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ¹ ØÐ Ò Ò b n [u] = u(x,t)sin nπx dx º¾½µ ÓÒ Ò Ö Ø Ùº ÆÝØ u(x,t)sin nπx ÓÒ ÒÝØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò Ä ÑÑ Ò ¾º½º½¾ ÒÓ ÐÐ b n [u] = 2 u(x,t)sin nπx dx. ÇÐÐ Ò Ô ØÝ Ø Ò Ð ÙÔ Ö ÐÐ ÚÐ ÐÐ [,]º Ê Ø Ø Ò º¾¼µ ¹ Ô ÖÓ Ñ ÐÐ º Ë Ò Ð Ù ØÓ º½ µ ÙÒ Ø ÓÐÐ b n [u] ÓÒ b n [u] = Ce α(nπ ) 2t. º¾¾µ b n [u(x,)] = b n [f(x)] = 2 f(x)sin nπx dx. º¾ µ

57 Ð Ù ÖÚÓ ÙÒ Ø Óf Ø Ø Ò Ò Ô Ö Ô Ö ØØÓÑÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÐØ u ÓØ Ò º¾ µ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù º Ä Ù Ò º¾¾µ Ú Ó C Ò Ø Ò b n [u(x,)] = Ce α(nπ ) 2 = C = b n [f]. º¾ µ ÇÒ ØÙ Ö Ø ØÙ b n [u] = b n [f]e α(nπ ) 2t, º¾ µ ÓØ Ò Ó ÙÒ Ø Ó u(x,t) ØÓØ ÙØØ Ö Ð Ø³Ò ÓØ ÚÐ ÐÐ [,] ÚÓ Ò Ö Ø¹ Ù Ö Ó ØØ u(x,t) = = = 2 n= n= b n [u]sin nπx b n [f]e α(nπ ) 2t sin nπx n= f(y)sin nπy dy sin nπx e α(nπ ) 2t, º¾ µ º¾ µ º¾ µ Ñ x t º º½ ¾¹½ ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ u Ô Ö ØÓÒ¹ Ø Ø Ó ÔÙÒ ÝØØ Ò ØÙ Ö Ø ØÝ Ø ÙÔÔ Ò ÖÚÓÓÒ u(x,t) ÙÒ x < º ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ø ØÚÒ ÒÒ ÐØ Ñ Ö ØÝ Ø Òغ ÇÐ ÐÐ ¹ Ø ÓÒ ØØ Ò Ñ ÒÓÑ Ò ÚÐ ÐÐ (,) ØÙ Ö Ø Ù ÙÔÔ Ò ÖÚÓÓÒ u(x,t)º º¾º¾ Ê Ø Ù Ô ÖÓ Ñ ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ø Ù Ð ÑÔ Ø Ô ÓÒ Ô ÖÓ ÑÙÙØØÙ Ø Ø ÐÙ º ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ ÐÑÔ Ø Ð ÙÚ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÐÓ Ó Ø ØÓ Ò Ò Ö ÔÔÙÙ ÒÓ Ø Ò Ô Ø x ØÓ Ò Ò Ú Ò Ø tº ÌÐÐ Ò ÓÒ u(x,t) = X(x)T(t), º¾ µ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º½ µ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ X(x)T (t) = αx (x)t(t), º ¼µ ÓÐÐ Ö ÙÒ ¹ Ð Ù ÓØ ÒÝØØÚØ ØÐØ X()T(t) = X()T(t) =, t, º ½µ X(x) = f(x), x. º ¾µ

58 ÃÝØÒÒ ÚÓ Ò Ö ÙÒ Ó ØØ X() = X() =, º µ ÐÐ ÑÙÙ Ø Ô Ù T(t) Ó Ó Ø ØÖ Ú Ð Ö Ø ÙÙÒu(x,t) = º Â Ø Ò ÙÖ Ú Ý ØÐ º ¼µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ αx(x)t(t) ÓÐÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÖÓØ ØØÙ ÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ò T (t) αt(t) = X (x) X(x). º µ Ì Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÚ ØÙ ØØ ÙÑÑ Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ö Ó ÒØ Ú ÙØ Ý ØÐ Ò ØÓ Ò ÔÙÓÐ Ò ÖÚÓÓÒº ÌÑ ØÓ Ó Ø ÙÓÖ Ò ÔØ ÐÑÒ ØØ ÑÓÐ ÑÔ Ò ÔÙÓÐ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú Ý Ø ÙÙÖØ ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ò ÓØ ÓÒ Ø Ô Ò Ñ Ö Ø ÐÙÚÙÐÐ λº Ë Ò T (t) αt(t) = X (x) X(x) = λ { T (t)+αλt(t) = X (x)+λx(x) =. º µ Ç ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÓÒ Ô ØÝ Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ¹ ØÐ Ò Ó Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ð ÑÔ Ý ØÐ º ØÝ Ø º µ ÓÒ ÐÑ Ø ØØ X(x) = e rx ÚÓ ÓÐÐ Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ó ØÙ ÐÐ Ò d 2 dx 2erx +λe rx = e rx (r 2 +λ) =, Ó Ô Ø Ô Ò Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ý ØÐ r 2 +λ = ØÓØ ÙØÙÙ Ð ÙÒ r = ± λº ÃÓ X (x)+λx(x) = ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ó¹ ÑÓ Ò Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò¹ Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÓÒ ÑÝ Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ô ÖÙ Ø ÐÐ X(x) = Ae λx +Be λx º µ ØÓØ ÙØØ Ô Ö Ò º µ Ð ÑÑ Ò Ý ØÐ Òº ÌÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ X(x) ÔØ Ö Ù¹ Ò ÓØ º µ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ö Ø Ù Ø Ñ ÒÒ ØØݺ λ = Ì Ø Ô Ù Ô Ö Ò º µ Ð ÑÔ Ý ØÐ ÙÔ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒX (x) = ÓØ Ò X(x) = Ax+Bº Ê ÙÒ Ó Ø Ù Ø Ò Ò ÙÖ ØØ X() = B = ÓÒ Ð Ò X() = ÑÔÐ Ó A = Ó Ó Ø ØÖ Ú ¹ Ð Ö Ø ÙÙÒ u(x,t) = º