Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
|
|
- Pekka Sakari Mattila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Regressioanalyysissa selitettävän muuttujan tilastolliselle riippuvuudelle selittävistä muuttujista pyritään rakentamaan tilastollinen malli, jota kutsutaan regressiomalliksi. Regressioanalyysin mahdollisia tavoitteita: (i) Selitettävän muuttujan ja selittävien muuttujien tilastollisen riippuvuuden luonteen kuvaaminen. (ii) Selitettävän muuttujan arvojen ennustaminen. Vilkkumaa / Kuusinen 2
3 Regressiomalli Regressiomallin yleisessä muodossa on seuraavat osat: y = f(x; β) + ε y f(x; β) ε = selitettävä muuttuja = mallin systemaattinen eli rakenneosa = mallin satunnainen osa Mallin systemaattinen osa f(x; β) kuvaa selitettävän muuttujan y riippuvuutta selittävästä muuttujasta x. Systemaattisen osan muoto riippuu parametrista β. Vilkkumaa / Kuusinen 3
4 Regressio-ongelma Regressioanalyysissä pyritään valitsemaan parametrin β arvo siten, että kaikkiin havaintoihin j, j = 1, 2,..., n, liittyvistä jäännöstermeistä ε j tulee samanaikaisesti mahdollisimman pieniä. Pyritään siis valitsemaan parametrin β arvo siten, että käyrä y = f(x; β) kulkisi jossakin mielessä mahdollisimman läheltä jokaista havaintopistettä (x j, y j ), j = 1, 2,..., n. Vilkkumaa / Kuusinen 4
5 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Vilkkumaa / Kuusinen 5
6 Malli ja sen osat Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli on muotoa y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n, jossa y j = Selitettävän muuttujan satunnainen havaittu arvo havaintoyksikössä j. x j = Selittävän muuttujan ei-satunnainen havaittu arvo havaintoyksikössä j. β 0 = Vakioselittäjän regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. β 1 = Selittäjän x regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. ε j = Satunnainen jäännöstermi havaintoyksikössä j. Vilkkumaa / Kuusinen 6
7 Standardioletukset jäännöstermeistä Regressiomallin jäännöstermit ε j ovat satunnaismuuttujia, joiden ns. standardioletukset ovat: (i) E(ε j ) = 0, j = 1, 2,..., n. (ii) Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n. (iii) Cor(ε j, ε l ) = 0, j l. Tavallisesti tehdään myös normaalisuusoletus (iv) ε j N(0, σ 2 ), j = 1, 2,..., n. Vilkkumaa / Kuusinen 7
8 Selitettävän muuttujan ominaisuudet Jos regressiomallin jäännöstermejä ε j koskevat standardioletukset (i)-(iii) pätevät, on selitettävän muuttujan y havaituilla arvoilla y j seuraavat stokastiset ominaisuudet: (i) E(y j ) = β 0 + β 1 x j, j = 1, 2,..., n. (ii) Var(y j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n. (iii) Cor(y j, y l ) = 0, j l. Jos myös normaalisuusoletus (iv) pätee, niin (iv) y j N(β 0 + β 1 x j, σ 2 ), j = 1, 2,..., n. Vilkkumaa / Kuusinen 8
9 Mallin parametrit Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin parametreja ovat regressiokertoimet β 0 ja β 1 sekä jäännöstermien ε j yhteinen varianssi Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2..., n, jota kutsutaan jäännösvarianssiksi. Koska regressiokertoimet β 0 ja β 1 sekä jäännösvarianssi σ 2 ovat tavallisesti tuntemattomia, ne on estimoitavat muuttujien x ja y havaituista arvoista x j ja y j, j = 1, 2,..., n. Regressiokertoimien β 0 ja β 1 estimointiin on tarjolla useita erilaisia menetelmiä, joista tavallisesti käytetään pienimmän neliösumman menetelmää. Vilkkumaa / Kuusinen 9
10 Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmässä yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n, regressiokertoimien β 0 ja β 1 estimaattorit määrätään minimoimalla jäännöstermien ε j neliösummaa min β n j=1 ε 2 j min β n (y j β 0 β 1 x j ) 2 j=1 regressiokertoimien β 0 ja β 1 suhteen. Vilkkumaa / Kuusinen 10
11 Tunnuslukuja 1/2 Aritmeettiset keskiarvot: ˉx = 1 n n x j, ȳ = 1 n n y j j=1 j=1 Otosvarianssit: s 2 x = 1 n 1 s 2 y = 1 n 1 n j=1 n j=1 (x j ˉx) 2 = 1 n 1 (y j ȳ) 2 = 1 n 1 ( n ) x 2 j nˉx 2 j=1 ( n ) yj 2 nȳ 2 j=1 Vilkkumaa / Kuusinen 11
12 Tunnuslukuja 2/2 Otoskovarianssi s xy = 1 n 1 n j=1 (y j ȳ)(x j ˉx) = 1 n 1 ( n j=1 ) y j x j nȳˉx Otoskorrelaatiokerroin r xy = s xy s x s y Vilkkumaa / Kuusinen 12
13 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit ovat b 0 = ȳ b 1ˉx b 1 = s xy s 2 x = r xy s y s x Vilkkumaa / Kuusinen 13
14 Estimoitu regressiosuora Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit b 0 ja b 1 määrittävät suoran avaruudessa R 2 : y = b 0 + b 1 x = ȳ + r xy s y s x (x ˉx) Yhtälöstä nähdään, että estimoitu regressiosuora kulkee havaintopisteiden (x j, y j ), j = 1, 2,..., n, painopisteen (ˉx, ȳ) kautta. Vilkkumaa / Kuusinen 14
15 Estimoidun regressiosuoran ominaisuudet Estimoidulla regressiosuoralla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos r xy > 0, suora on nouseva. (ii) Jos r xy < 0, suora on laskeva. (iii) Jos r xy = 0, suora on vaakasuorassa. (iv) Suora jyrkkenee (loivenee), jos: - korrelaation itseisarvo r xy kasvaa (pienenee). - keskihajonta s y kasvaa (pienenee). - keskihajonta s x pienenee (kasvaa). Vilkkumaa / Kuusinen 15
16 Sovitteet ja residuaalit Olkoot b 0 ja b 1 yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit. Estimoidun mallin sovite ŷ j = b 0 + b 1 x j, j = 1, 2,..., n on estimoidun regressiosuoran arvo havaintopisteessä x j. Estimoidun mallin residuaali e j = y j ŷ j = y j b 0 b 1 x j, j = 1, 2,..., n on selitettävän muuttujan y havaitun arvon y j ja sovitteen ŷ j arvon erotus. Vilkkumaa / Kuusinen 16
17 Neliösummia Kokonaisneliösumma: SST = n (y j ȳ) 2 j=1 Jäännösneliösumma: SSE = n e 2 j j=1 Mallineliösumma: SSM = n (ŷ j ȳ) 2 j=1 Näille neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSM + SSE Vilkkumaa / Kuusinen 17
18 Selitysaste Tunnuslukua R 2 = 1 SSE SST = SSM SST käytetään regressiomallin hyvyyden mittarina. Tunnuslukua R 2 kutsutaan selityasteeksi ja se mittaa regressiomallin selittämää osuutta selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen kokonaisvaihtelusta. Yhden selittäjän lineaarisessa regressiomallissa pätee: R 2 = r 2 xy Selitysasteelle pätee aina 0 R 2 1 Vilkkumaa / Kuusinen 18
19 Jäännösvarianssi Jos yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin jäännöstermejä ε j koskevat standardioletukset (i)-(iii) pätevät, jäännösvarianssin Var(ε j ) = σ 2 harhaton estimaattori on jossa e j s 2 = 1 n 2 n e 2 j, j=1 = y j ŷ j = y j b 0 b 1 x j, j = 1, 2,..., n n = estimoidun mallin residuaali = havaintojen lukumäärä Vilkkumaa / Kuusinen 19
20 Regressiokerrointen PNS-estimaattoreiden jakaumat Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattoreiden b 0 ja b 1 otosjakaumat ovat standardioletusten (i)-(iv) pätiessä missä b 0 N (β 0, σ2 n i=1 x2 i n 2ˆσ 2 x σ 2 = Var(ε j ) on jäännösvarianssi. ) (, b 1 N β 1, σ 2 nˆσ 2 x ˆσ 2 x = 1 n n j=1 (x j ˉx) 2 on x:n harhainen otosvarianssi. ), Vilkkumaa / Kuusinen 20
21 Regressiokertoimia koskevat testit Nollahypoteesi H 0 : β i = 0, i = 0, 1 Vaihtoehtoiset hypoteesit H 1 : β i > 0, H 1 : β i < 0, H 1 : β i 0 Testisuureet T = b 0 s n i=1 x2 i /(nˆσ x), T = b 1 s/( nˆσ x ), missä s 2 on jäännösvarianssin σ 2 harhaton estimaattori. Testisuureen jakauma: jos nollahypoteesi pätee, T t(n 2). Vilkkumaa / Kuusinen 21
22 Testi regression olemassaololle Yhden selittäjän tapauksessa regression olemassaolo β 1 0 Nollahypoteesi H 1 : β 1 = 0 eli regressiota ei ole olemassa Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : β 1 0 Testisuure F = b 2 1 s 2 /(nˆσ 2 x), Testisuureen jakauma: jos nollahypoteesi pätee, F F (1, n 2). Tämä F-testi on ekvivalentti edellisen kalvon t-testin kanssa F-testi kuitenkin yleistyy useamman muuttujan regressiomalleihin Vilkkumaa / Kuusinen 22
23 Klikkeri-kysely On saatu kuvan mukainen 30 havainnon otos, jolle on tehty lineaarinen regressio. Minkä johtopäätöksen voit tehdä? 1. Muuttujat x ja y korreloivat positiivisesti keskenään, 2. Mallin selitysaste on negatiivinen, 3. Regressiokertoimen β 1 PNS-estimaatti b 1 on negatiivinen. Vilkkumaa / Kuusinen 23
24 Klikkeri-kysely jatkuu Vilkkumaa / Kuusinen 24
25 Yleinen lineaarinen malli Vilkkumaa / Kuusinen 25
26 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Usean selittäjän lineaarisessa regressiomallissa selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen vaihtelu halutaan selittää selittävien muuttujien x 1, x 2,..., x k havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Usean selittäjän lineaarista regressiomallia kutsutaan tavallisesti yleiseksi lineaariseksi malliksi. Vilkkumaa / Kuusinen 26
27 Havainnot Selitettävää muuttujaa y ja selittäjiä x 1, x 2,..., x k koskevat havaintoarvot voidaan järjestää havaintoyksiköittäin seuraavasti: Havaintoyksikkö 1: x 11, x 12,..., x 1k, y 1 Havaintoyksikkö 2: x 21, x 22,..., x 2k, y 2. missä. Havaintoyksikkö n: x n1, x n2,..., x nk, y n, k = selittäjien x i lukumäärä. n = havaintojen lukumäärä. Vilkkumaa / Kuusinen 27
28 Yleinen lineaarinen malli 1/2 Yhtälö y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n määrittelee yleisen lineaarisen mallin, jossa: y j = selitettävän muuttujan y satunnainen ja havaittu arvo havaintoyksikössä j x ji = selittävän muuttujan x i ei-satunnainen ja havaittu arvo havaintoyksikössä j, i = 1, 2,..., k ε j = jäännöstermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä j Vilkkumaa / Kuusinen 28
29 Yleinen lineaarinen malli 2/2 Yhtälö y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n määrittelee yleisen lineaarisen mallin, jossa on seuraavat kertoimet: β 0 = vakioselittäjän regressiokerroin, ei-satunnainen ja tuntematon vakio β i = selittäjän x i regressiokerroin, i = 1, 2,..., k, ei-satunnainen ja tuntematon vakio Vilkkumaa / Kuusinen 29
30 Standardioletukset Yleisen lineaarisen mallin standardioletukset ovat: (i) Selittäjien x i arvot x ji ovat ei-satunnaisia vakioita, j = 1, 2,..., n, i = 1, 2,..., k (ii) Selittäjien välillä ei ole lineaarisia riippuvuuksia. (iii) E(ε j ) = 0, j = 1, 2,..., n (iv) Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2,..., n (v) Cor(ε j, ε l ) = 0, j l (vi) ε j N(0, σ 2 ), j = 1, 2,..., n Standardioletusten voimassaolo takaa, että ns. tavanomaisia estimointi- ja testausmenetelmiä saa käyttää mallin analysoinnissa. Vilkkumaa / Kuusinen 30
31 Regressiotaso Standardioletusten pätiessä selitettävän muuttujan odotusarvo, jota kutsutaan mallin systemaattiseksi osaksi, on muotoa E(y j ) = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk, j = 1, 2,..., n Systemaattisen osan avaruudessa R k+1 määrittelemää tasoa y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k kutsutaan regressiotasoksi. Jäännöstermien ε j varianssi σ 2 kuvaa havaintopisteiden (x j1, x j2,..., x jk, y j ) R k+1, j = 1, 2,..., n vaihtelua regressiotason ympärillä. Vilkkumaa / Kuusinen 31
32 Yleisen lineaarisen mallin matriisiesitys 1/2 Olkoon y = [y 1 y 2 y n ] selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen muodostama n-vektori. Olkoon X = 1 x 11 x 12 x 1k 1 x 21 x 22 x 2k x n1 x n2 x nk selittävien muuuttujien x 1, x 2,..., x k havaittujen arvojen ja vakioselittäjää vastaavien ykkösten muodostama n (k + 1)-matriisi. Vilkkumaa / Kuusinen 32
33 Yleisen lineaarisen mallin matriisiesitys 2/2 Olkoon β = [β 0 β 1 β k ] regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k muodostama (k + 1)-vektori. Olkoon ε = [ε 1 ε 2 ε n ] jäännöstermien ε 1, ε 2,..., ε n muodostama n-vektori. Yleinen lineaarinen malli voidaan esittää matriisein muodossa y = Xβ + ε Vilkkumaa / Kuusinen 33
34 Yleisen lineaarisen mallin parametrien estimointi Yleisen lineaarisen mallin y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + + β k x jk + ε j, j = 1, 2,..., n regressiokertoimet β 0, β 1,..., β k estimoidaan tavallisesti pienimmän neliösumman menetelmällä. PNS-menetelmässä regressiokertoimien estimaattorit määrätään minimoimalla jäännöstermien ε j neliösummaa n j=1 ε 2 j = n (y j β 0 β 1 x j1 β 2 x j2 β k x jk ) 2 j=1 regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k suhteen. Vilkkumaa / Kuusinen 34
35 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Olkoon y = Xβ + ε standardioletuksen (ii) r(x) = k + 1 toteuttava yleinen lineaarinen malli. Tällöin regressiokertoimien vektorin β PNS-estimaattori on b = (X X) 1 X y Standardioletusten (i)-(vi) pätiessä b N k+1 (β, σ 2 (X X) 1 ). Vilkkumaa / Kuusinen 35
36 Estimoitu regressiotaso Regressiokertoimien β 0, β 1,..., β k PNS-estimaattorit b 0, b 1,..., b k määrittelevät tason y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b k x k avaruudessa R k+1. Tasoa kutsutaan estimoiduksi regressiotasoksi. Jäännösvarianssin σ 2 estimaattori s 2 kuvaa havaintopisteiden (x j1, x j2,..., x jk, y j ) R k+1, j = 1, 2,..., n vaihtelua estimoidun regressiotason ympärillä. Vilkkumaa / Kuusinen 36
37 Regressiokertoimia koskevat testit Nollahypoteesi H 0 : β i = 0, i = 0, 1,..., k Vaihtoehtoiset hypoteesit H 1 : β i > 0, H 1 : β i < 0, H 1 : β i 0 Testisuure T i = b i s bi, i = 0,..., k, missä s 2 b i on i. regressiokertoimen varianssin estimaattori, ts. matriisin s 2 (X X) 1 i. diagonaalialkio. Testisuureen jakauma: jos nollahypoteesi pätee, T t(n k 1). Vilkkumaa / Kuusinen 37
38 Neliösummia Kokonaisneliösumma: SST = n (y j ȳ) 2 j=1 Jäännösneliösumma: SSE = n e 2 j = n (y j b 0... b k x jk ) 2 j=1 j=1 Mallineliösumma: SSM = n (ŷ j ȳ) 2 = j=1 n (b b k x jk ȳ) 2 j=1 Näille neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSM + SSE Vilkkumaa / Kuusinen 38
39 Testi regression olemassaololle Nollahypoteesi H 0 : β 1 =... = β k = 0 eli regressiota ei ole olemassa Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : i s.e. β i 0 eli selitettävä y riippuu lineaarisesti ainakin yhdestä selittäjästä x i Testisuure F = n k 1 k SSM SSE Testisuureen jakauma: jos nollahypoteesi pätee, F F (k, n k 1). Vilkkumaa / Kuusinen 39
40 Esimerkki: kahden selittäjän lineaarinen regressio Vilkkumaa / Kuusinen 40
41 Klikkeri-kysely Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa? 1. Selitettävä muuttuja ei riipu lineaarisesti yhdestäkään selittäjästä 2. Yksi selittäjistä ei ole tilastollisesti merkitsevä 3. Kaikki selittäjät ovat tilastollisesti merkitseviä Vilkkumaa / Kuusinen 41
42 Esimerkki jatkuu Vilkkumaa / Kuusinen 42
43 Yhteenveto Lineaarisella regressiolla kuvataan selitettävän muuttujan lineaarista riippuvuutta selittävistä muuttujista Selittävän muuttujan x i regressiokerroin β i kertoo, miten selittävän muuttujan yksikkömuutos vaikuttaa selitettävään muuttujaan (x i x i + 1, y y + β i ) Selittäjien tilastollista merkitsevyyttä voidaan testata regressiokerrointen t-testillä - Nollahypoteesi: β i = 0 - Regressiokerroin β i = 0 y eri riipu (lineaarisesti) selittäjästä x i Regression olemassaoloa voidaan testata F -testillä (H 0 : β 1 =... = β k = 0) Vilkkumaa / Kuusinen 43
Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiodiagnostiikka Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka Regressiografiikka Poikkeavat havainnot Regressiokertoimien
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä mallin sovittamisessa
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotRegressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta
Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotRegressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta
Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä
Lisätiedot1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
Lisätiedot1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotSimuloinnin strategisia kysymyksiä
Simuloinnin strategisia kysymyksiä Timo Tiihonen Tietotekniikan laitos 2010 Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista
Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..
LisätiedotSimuloinnin strategisia kysymyksiä
Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos riippuu mallin syöttötiedoista. Miten tulos riippuu mallin rakenteellisista
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotLapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla
Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla Tuomas Reiterä 013759335 Helsingin yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Kandidaatintutkielma
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Suurimman uskottavuuden menetelmä >> Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä Tarkentuvuus Asymptoottinen
Lisätiedot