Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
|
|
- Anne-Mari Ketonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen
2 Sisältö lineaarinen lineaarinen
3 lineaarinen
4 Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ), pareja (x, y). Oletetaan, että arvot y i ovat muuttujan y satunnaisia havaittuja arvoja ja oletetaan, että arvot x i ovat muuttujan x p-ulotteisia ei-satunnaisia havaittuja arvoja. (Oletamme siis, että x i on p-ulotteinen vektori.) Oletetaan, että p < n. Oletetaan, että muuttujan y arvot riippuvat muuttujan x arvoista lineaarisesti. voidaan nyt esittää seuraavalla tavoin. y i = b 0 + b T x i + ε i, i 1,..., n, missä kertoimet b 0 ja b = (b 1,..., b p ) T ovat tuntemattomia vakioita ja virhetermien (jäännöstermien) ε i odotusarvo E[ε i ] = 0. Malli voidaan esittää myös muodossa lineaarinen y i = b 0 + b 1 (x i ) 1 + b 2 (x i ) b p (x i ) p + ε i, i 1,..., n.
5 Lineaarinen, yleiset oletukset Lineaarisia malleja käytettäessä tehdään yleensä seuraavat yleiset oletukset. Vektorimuuttujan x arvot x i on mitattu virheettömästi. Arvot (x i ) s, (x i ) k, s k ovat toisistaan riippumattomia. Virhetermit ovat riippumattomia muuttujan x arvoista. Virhetermit ovat samoin jakautuneita. Virhetermien odotusarvo E[ε i ] = 0, kaikilla i 1,..., n. Virhetermit ovat homoskedastisia eli niillä on kaikilla sama varianssi E[ε 2 i ] = σ2. Virhetermit ovat korreloimattomia eli ρ(ε i, ε j ) = 0, i j. lineaarinen
6 Lineaarinen Kun edellä esitetyt yleiset oletukset pätevät, niin muuttujalla y on seuraavat ominaisuudet. Odotusarvo E[y i ] = b 0 + b T x i i 1,..., n, Varianssi var(y i ) = var(ε i ) = σ 2. Korrelaatiokerroin ρ(y i, y j ) = 0, i j. lineaarinen
7 lineaarinen
8 Lineaarisen n y i = b 0 + b T x i + ε i, i 1,..., n, lineaarinen parametrit ovat kertoimet b 0 ja b = (b 1,..., b p ) T ja jäännöstermien varianssi E[ε 2 i ] = σ2. Nämä parametrit ovat yleensä tuntemattomia ja ne halutaan estimoida havainnoista.
9 Oletuksen E[ε i ] = 0, kaikilla i 1,..., n pätiessä lineaarinen voidaan esittää muodossa y i = E[y i ] + ε i, i 1,..., n, lineaarinen missä E[y i ] = b 0 + b T x i on n ns. systemaattinen osa ja ε i on n satunnainen osa.
10 Regressiotaso Lineaarisen n systemaattinen osa määrittää tason E[y i ] = b 0 + b T x i lineaarinen y = b 0 + b T x. Virhetermien varianssi E[ε 2 i ] = σ2 kuvaa havaintopisteiden vaihtelua tason ympärillä.
11 lineaarinen Lineaarisessa analyysissä tavoitteena on etsiä kertoimille b 0 ja b = (b 1,..., b p ) T sellaiset estimaatit, että niiden määräämä taso selittäisi mahdollisimman hyvin selitettävän muuttujan arvojen vaihtelun.
12 Pienimmän neliösumman menetelmä Olkoon β = (b 0, b 1,..., b p ) T, olkoon X n (p + 1) datamatriisi, jonka ensimmäinen sarake koostuu luvuista 1 ja sarakkeet 2 p + 1 havainnoista x i ja olkoon Y n 1 datavektori, joka koostuu havainnoista y i. Nyt kertoimille b 0 ja b = (b 1,..., b p ) T voidaan käyttää estimaattia ˆβ = (ˆb 0, ˆb 1,..., ˆb p ) T = (X T X) 1 X T Y. lineaarinen Tämä estimaatti minimoi jäännöstermien neliösumman n ε 2 i = i=1 n (y i b 0 b T x i ) 2 i=1 kertoimien b 0 ja b = (b 1,..., b p ) T suhteen.
13 Käänteismatriisin olemassaolo Edellä oletimme, että matriisilla X T X on käänteismatriisi. Jos näin ei ole, niin jotkin selittävistä muuttujista riippuvat toisistaan lineaarisesti (täydellisesti). Tällöin osa muuttujista voidaan jättää pois ilman, että mitään informaatiota menetetään. lineaarinen
14 lineaarinen Pienimmän neliösumman estimaatti määrittää nyt estimoidun tason ŷ = ˆb 0 + ˆb T x.
15 Sovitteet ja residuaalit Muuttujan y i sovite havaintopisteessä x i on ŷ i = ˆb 0 + ˆb T x i, i 1,..., n. Estimoidun n residuaali ˆε i on selitettävän muuttujan y havaitun arvon y i ja sovitteen ŷ i antaman arvon erotus ˆε i = y i ŷ i, i 1,..., n. lineaarinen Huomaa että y i = ŷ i + ˆε i, i 1,..., n. Regressio selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun sitä paremmin mitä lähempänä sovitteet ovat selitettävän muuttujan havaittuja arvoja. Toisin sanoen, selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun sitä paremmin mitä pienempiä ovat estimoidun n residuaalit.
16 Jäännösvarianssin estimointi Jos lineaarisen n yleiset oletukset pätevät, niin jäännösvarianssin var(ε i ) = σ 2 harhaton estimaatti on var(ˆε) = 1 n p 1 n ˆε 2 i. i=1 lineaarinen (Oheisessa kaavassa otoskoosta n vähennetään estimoitujen parametrien (b 0, b 1,..., b p ) lukumäärä.) Jäännösvarianssin estimaatti kuvaa havaintopisteiden vaihtelua estimoidun tason ympärillä.
17 Varianssihajotelma Kokonaisneliösumma SST (total sum of squares) n (y i ȳ) 2 i=1 kuvaa selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen y i kokonaisvaihtelua. Jäännösneliösumma SSE (sum of squares of errors) n (ˆε i ) 2 i=1 kuvaa residuaalien ˆε i vaihtelua. Mallineliösumma SSM (model sum of squares) n (ŷ i ȳ) 2 i=1 kuvaa sitä osaa selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen vaihtelusta, jonka lineaarinen on selittää. lineaarinen
18 Selitysaste Selitysaste R 2 = 1 SSE SST = SSM SST mittaa n selittämää osuutta selitettävän muuttujan havaittujen arvojen kokonaisvaihtelusta. Selitysasteelle pätee 0 R 2 1. lineaarinen Selitysaste ilmaistaan tavallisesti prosentteina 100R 2 %.
19 Numeerinen esimerkki usean selittävän muuttujan lineaarisesta sta lineaarinen Kallen keksifirman salaisessa laboratoriossa valmistetaan uudenlaista keksiä firman hittituotteeksi: Kallen superherkkumakuelämysnomparelli-suklaahippukeksejä. Salaisessa laboratoriossa tutkitaan nomparellien ja suklaahippujen määrän vaikutusta keksin massaan.
20 Nomparelli Suklaahippu Massa lineaarinen Taulukko: Nomparellien ja suklaahippujen määrä ja mitattu keksin massa.
21 Regressiokertoimien (b 0, b 1, b 2 ) T estimaattit, jotka minimoivat jäännöstermien neliösumman, saadaan matriisien X = ja Y = lineaarinen avulla. Estimaatit (ˆb 0, ˆb 1, ˆb 2 ) T = (X T X) 1 X T Y = ( , , ) T Estimaattien avulla voidaan laskea massalle sovite ŷ i = ˆb 0 + ˆb T x i ja laskea residuaalit ˆε i = y i ŷ i
22 Nomparelli Suklaahippu Massa Sovite Residuaali lineaarinen Taulukko: Nomparellien ja sulkaahippujenmäärän vaikutus massaan. Taulukossa myös sovitteen sekä residuaalien arvot.
23 Massojen keskiarvo ȳ = 26.6 ja kokonaisneliösumma n SST = (y i ȳ) = i=1 Jännösneliösumma SSE = ja neliösumma 10 i=1 10 i 1 (y i 26.6) 2 = (ˆε i ) 2 = lineaarinen SSM = n (ŷ i ȳ) 2 = i=1 10 i=1 (ŷ i 26.6) 2 = Selitysaste on näin ollen R 2 = SSM SST = = = 93.67%
24 lineaarinen lineaarinen
25 lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ), pareja (x, y). Oletetaan, että arvot y i ovat muuttujan y q-ulotteisia satunnaisia havaittuja arvoja ja oletetaan, että arvot x i ovat muuttujan x p-ulotteisia ei-satunnaisia havaittuja arvoja. (Oletamme siis, että y i on q-ulotteinen vektori ja että x i on p-ulotteinen vektori.) Oletetaan, että p < n. Oletetaan, että muuttujan y arvot riippuvat muuttujan x arvoista lineaarisesti. lineaarinen voidaan nyt esittää seuraavalla tavoin. lineaarinen y i = b o + B T x i + ε i, i 1,..., n, missä q 1 vektorin b 0 ja p q matriisin B alkiot ovat tuntemattomia vakioita ja virhetermien ε i odotusarvo E[ε i ] = 0.
26 Lineaarinen, yleiset oletukset Lineaarisia malleja käytettäessä tehdään yleensä seuraavat yleiset oletukset. Vektorimuuttujan x arvot x i on mitattu virheettömästi. Arvot (x i ) s, (x i ) k, s k ovat toisistaan riippumattomia. Virhetermit ovat riippumattomia muuttujan x arvoista. Virhetermit ovat samoin jakautuneita. Virhetermien odotusarvo E[ε i ] = 0, kaikilla i 1,..., n. Virhetermeillä on kaikilla sama kovarianssimatriisi E[ε i ε T i ] = Σ. Virhetermeille pätee ρ((ε i ) k, (ε j ) k ) = 0, kaikilla k ja kaikilla i j. lineaarinen
27 Yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä Olkoon β = [b 0, B T ] T, olkoon X n (p + 1) datamatriisi, jonka ensimmäinen sarake koostuu luvuista 1 ja sarakkeet 2 p + 1 havainnoista x i ja olkoon Y n q datamatriisi, joka koostuu havainnoista y i. Nyt parametreille b 0 ja B voidaan käyttää estimaattia lineaarinen ˆβ = [ˆb 0, ˆB T ] T = (X T X) 1 X T Y.
28 Sovitteet ja residuaalit Muuttujan y i sovite havaintopisteessä x i on ŷ i = ˆb 0 + ˆB T x i, i 1,..., n. Sovitteet voidaan esittää myös matriisimuodossa Ŷ = X ˆβ. lineaarinen Estimoidun n residuaali ˆε i on selitettävän muuttujan y havaitun arvon y i ja sovitteen ŷ i antaman arvon erotus ˆε i = y i ŷ i, i 1,..., n. Huomaa, että y i = ŷ i + ˆε i, i 1,..., n.
29 Selitysaste Olkoon Y n q datamatriisi, joka koostuu keskistetyistä havainnoista y i. (Tällöin siis alkuperäisistä havainnoista on vähennetty niiden keskiarvo.) Olkoon X n (p + 1) datamatriisi, jonka ensimmäinen sarake koostuu luvuista 1 ja sarakkeet 2 p + 1 havainnoista x i ja olkoon ˆβ keskistetylle aineistolle laskettu kerroinmatriisi. Olkoon Ŷ = X ˆβ, lineaarinen ja olkoon Ê = Y X ˆβ D = (Y T Y ) 1 Ê T Ê. T Selvästi matriisi Ê Ê vaihtelee nollamatriisin, jolloin kaikki Y :n vaihtelu selittyy lla, ja matriisin Y T Y, jolloin X ei selitä Y :n vaihtelua lainkaan, välillä.
30 Jälkikorrelaatio ja determinanttikorrelaatio Olisi mukavaa, että myös moniulotteisen selitysasteen arvo vaihtelisi välillä [0, 1]. Tämä toivottu ominaisuus toteutuu, kun käytetään selitysasteen mittana jälkikorrelaatiota (trace correlation) r T tai determinanttikorrelaatiota (determinant correlation) r D : rt 2 = 1 tr(i D), p lineaarinen r 2 D = det(i D). Huomaa, että kerroin r D on nolla jos ja vain jos ainakin yksi matriisin I D ominaisarvoista on nolla, ja r T on nolla jos ja vain jos kaikki matriisin I D ominaisarvot ovat nollia.
31 Testit ja luottamusvälit Kuten yhden selittävän muuttujan analyysissä, voidaan myös usean selittävän muuttujan analyysissä ja moniulotteisessa analyysissä konstruoida testejä ja luottamusvälejä parametreille. Muuttujan y arvoa ja odotusarvoa ennustetaan kuten yhden selittävän muuttujan analyysissä ja myös näille ennusteille voidaan konstruoida luottamusvälejä. lineaarinen
32 lineaarinen
33 muuttujan analyysissä ja moniulotteisessa analyysissä selittävien muuttujien oletetaan olevan toisistaan riippumattomia. Aivan täydellistä riippumattomuutta ei useinkaan käytännössä kyetä saavuttamaan, jos in halutaan valita useampia kuin yksi selittävä muuttuja. Selittävät muuttujat eivät kuitenkaan saa riippua toisistaan lineaarisesti kovin voimakkaasti. Multikollineaarisuus tekee sta epävakaan ja estää yksittäisten muuttujien muutoksen vaikutuksen tarkastelun. lineaarinen
34 VIF-kerroin Selittävien muuttujien multikollineaarisuutta voidaan mitata VIF-kertoimen avulla (VIF - variance inflation factor). Selittävälle muuttujalle (x i ) k VIF-kerroin määritellään seuraavasti: 1 VIF k = 1 Rk 2, missä Rk 2 on sellaisen lineaarisen n selitysaste, jossa muuttuja (x i ) k on selitettävä muuttuja ja loput (x i ) s ovat selittäviä muuttujia. VIF-kerroin määritetään siis erikseen jokaiselle selittävälle muuttujalle (x i ) k. Jos muuttuja (x i ) k on riippumaton muista selittävistä muuttujista, niin VIF-kerroin on 1. Jos VIF-kerroin on suurempi tai yhtäsuuri kuin 10, niin sitä pidetään jo voimakkaana merkkinä multikollineaarisuudesta. lineaarinen
35 muuttujan ssa ja moniulotteisessa ssa selittävät muuttujat pyritään valitsemaan siten, että n selitysaste on mahdollisimman korkea ja selittävät muuttujat ovat mahdollisimman riippumattomia toisistaan. Muuttujien valinnassa voidaan käyttää apuna VIF-kertoimia (tai jotakin muuta riippuvuuden mittaa). Muuttujia voidaan lisätä tai vähentää yksi kerrallaan ja seurata selitysasteen ja VIF-kertoimien muutosta. lineaarinen
36 Numeerinen esimerkki VIF-kertoimelle. Selvitetään ovatko edellisen esimerkin nomparellien määrä ja suklaahippujen määrä multikollineaarisia VIF-kertoimen avulla. Esimerkin aineisto löytyyy edellä olevasta taulukosta. Nomparelli Suklaahippu lineaarinen Taulukko: Nomparellien ja sulkaahippujen määrä.
37 Selitysastetta varten tarvitaan otoskeskihajonnat nomparellien määrälle s x = ja suklaahippujen määrälle s y = , otoskeskiarvot x = 11.8 ja ȳ = 7.9 sekä otoskorrelaatiokerroin ˆρ(x, y) = Sovite ŷ i = ȳ+ˆρ(x, y) s y s x (x i x) = 7.8+( ) (x i 11.8) Näin kokonaismeliösummaksi SST = 133, jäännösneliösummaksi SSE = ja neliösummaksi SSM = Selitysasteeksi saadaan ja VIF-kertoimeksi R 2 = SSM SST = = VIF = 1 1 R 2 = = Nomparellien ja sulkaahippujen määrät näyttäisivät riippuvan toisistaan! lineaarinen
38 lineaarinen
39 - vielä kerran Regressioa ei pidä käyttää ennustamiseen muuttujan x havaitun arvojoukon ulkopuolella. Häntäkäyttäytyminen voi poiketa yleisestä! Edellä kuvattu menetelmä ei sovellu tilanteeseen, jossa muuttujien x ja y välillä on ei-lineaarinen yhteys. Pienimmän neliösumman menetelmä (l 2 ) on hyvin herkkä poikkeaville havainnoille. lineaarinen
40 K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis, Academic Press 2003 (reprint of 1979). J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education P. Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. I. Mellin: Tilastolliset menetelmät, lineaarinen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiodiagnostiikka Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka Regressiografiikka Poikkeavat havainnot Regressiokertoimien
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedot1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,
LisätiedotRegressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta
Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotRegressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta
Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä mallin sovittamisessa
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
Lisätiedot2. Tietokoneharjoitukset
2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedot