Palkin kimmokertoimen kokeellinen määrittäminen. KON-C3004 Eetu Veikkanen, Aino Salmi, Jarna Verho

Transkriptio

1 Palkin kimmokertoimen kokeellinen määrittäminen KON-C3004 Eetu Veikkanen, Aino Salmi, Jarna Verho

2 Sisällys 1. Johdanto Teoria ja laskennallinen mittaaminen Yleistä Taipumaviivan differentiaaliyhtälön v(x) edellytykset Taulukoidut arvot Reunaehdot Tutkimusmenetelmät Yleisesti Kokeellinen osio Vertailu osio Mittaus ja koejärjestely Koejärjestely Mittaus järjestelyt Kokeellinen osuus Vertailu Virhetarkastelu Turvallisuus tarkastelu... 11

3 1. Johdanto Niin kone- kuin rakennustekniikassa kappaleet joutuvat erilaisten voimien vaikutusten alaisiksi. Jännitystiloissa kappaleet deformoituvat eli muuttaa muotoaan, joko hetkellisesti (elastisesti) tai pysyvästi (plastisesti). Tässä työssä keskitystään deformoitumisen elastiseen osaan. Muun muassa taipuminen ja venyminen ovat deformaation muotoja. Jotta suunnitteluvaiheessa voitaisiin havaita ja ottaa huomioon voimista johtuvat muodonmuutokset kappaleissa ja muodonmuutosten suunnat ja suuruudet, täytyy tietää deformaatiomekanismi ja sen deformaation suuruuteen vaikuttavat tekijät. Esimerkiksi suihkumoottorin suunnittelijan tulee ottaa huomioon ja varmistaa, ettei suihkumoottorin lapa taivu moottorin pyöressä täydellä nopeudella niin, että se haittaa moottorin toimintaa. Jotta kappaleen, oli se sitten suihkumoottorin lapa tai teräsrunkoisen messuhallin kattopalkki, käyttäytymistä jännityksen alaisena voitaisiin ennustaa tulee tietää kappaleen jännitysominaisuudet. Kappaleen taipumisen tai venymisen aiheuttavan jännityksen suuruuteen vaikuttaa kappaleen muoto ja jännityksen aiheuttavan voiman suuruus ja vaikutuspinta. Miksi sitten teräksisen puikon taivuttaminen on vaikeampaa kuin alumiinisen vaikka puikkojen mitat olisivat samat ja käyttäisit yhtä paljon voimaa? Se kuinka paljon materiaalin muoto muuttuu jännityksen alaisena riippuu materiaalikohtaisesta Youngin moduulista, joka tunnetaan myös kimmokertoimena tai kimmomoduulina. Materiaalikohtaiset kimmomoduulit haetaan valmiista taulukoista deformaatiolaskelmia tehtäessä. Kimmomoduulit on taulukoitu useille erilaisissa käyttötarkoituksissa toimiville materiaaleille. Tässä työssä olemme kiinnostuneita siitä, kuinka hyvin taivutuskokeeseen valitsemamme kappaleen kimmomoduuli vastaa kyseiselle materiaalille taulukoitua arvoa. 2. Teoria ja laskennallinen mittaaminen 2.1 Yleistä Halutaan selvittää Youngin moduuli eli kimmokerroin E. Suoritetaan kaksi erilaista koejärjestelytilannetta, alla olevien kuva 1 ja kuva 2 mukaisesti. Käytämme palkkien taivutustaulukoista saatavia arvoja (Rasitusopin käsikirja Liite 2, Kari Santaoja 2015) taipumaviivalle. Liuska tuetaan toisesta päädystä, ja sen reunaan asetetaan paino, joka aiheuttaa alaspäin kohdistuvan voiman P.

4 kuva1 Liuska tuetaan molemmista päädyistä, ja keskelle asetetaan paino W, joka aiheuttaa alaspäin kohdistuvan voiman. kuva 2 Vastaavuudet laskuissa: b = h2 a = b2 l = L2 W = P2 Karteesisen koordinaatiston origo sijoitetaan liuskan vasemmanpuoliseen kiinnitettyyn päähän. Liuskan pituus on L, korkeus h, paksuus b, siirtymä δ ja voima P. Koetilanteessa 2 muuttujat ovat L2, h2, δ2, b2 ja P2.

5 2.2. Taipumaviivan differentiaaliyhtälön v(x) edellytykset 1. Liuska on suora. Liuskan suoruuden täytyy olla mittaustarkkuuden rajoissa suora. 2. Liuskan materiaali on homogeenista siten, että kussakin poikkileikkauksessa x = vakio materiaaliominaisuudet vastaavat toisiaan. 3. Liuskan materiaali on isotrooppista. 4. Liuskan materiaalin vaste on kimmoinen ja noudattaa Hooken lakia. 5. Liuskan poikkileikkaukset x = vakio säilyvät taivutuksen aikana tasoina (Bernoulli, Euler, Navier) 6. Liuskan painopisteakselin kukin piste siirtyy suoraan alaspäin. 7. Liuskan taipuma v(x) on pieni. Siirtymä on esim alle 0,5h. 8. Liuskan jännityskomponenteista merkittäviä ovat vain liuskan akselin suuntainen normaalijännitys (x-suunnassa) ja leikkausjännitys (τxy= τyx). Palkin poikkileikkauksen leveys ei saa olla merkittävästi suurempi kuin sen korkeus. Jos näin on, käytetään kimmokertoimen E sijasta kerrointa E/(1-v^2). Tässä v on Poissonin luku.[3] Taulukoidut arvot Alla on taulukoidut arvot tukireaktioille, taivutusmomentille sekä taipumaviivalle. [4] Kaavan (1) σx(x,y) = -E(x)y *d 2 v(x) dx 2, mukaisesti selvitetään E. Sillä, (2) σx(x,y)= Mz(x)*y + Nx(x) Iz(x) A(x), jossa N(x) = 0, saadaan σx(x,y) = Mz(x)*y Iz(x) yhdistämällä kaavat (1) ja (2) saadaan: Mz(x)*y = -E(x)y *d 2 v(x) Iz(x) dx 2 Supistetaan muuttuja y pois, ja järjestetään uudestaan, saadaan

6 d 2 v(x) = - Mz(x) dx 2 E(x)Iz(x) Differentiaaliyhtälöt ovat Qy(x) = -qy(x) ja Mz(x) = Qy(x) x x, joissa kimmokerroin E ja jäyhyysmomentti Iz ovat vakioita x-akselilla. Tästä saadaan: d 3 v(x) = d (-Mz(x)) dx(e(x)iz(x) = -Qy(x) EIz d 4 v(x)= 1 * qq(x) = qy(x) EIz dx EIz Tästä integroimalla saadaan halutut yhtälöt, kun kerrotaan puolittain EIz:llä ensin. kuva Reunaehdot Käytämme kokeessa 1 reunaehtoja v(0)=0, M(0)=m, F(0)=0 ja kokeessa 2 v(0)=v(l)=0 ja M(0)=M(L)=0

7 3. Tutkimusmenetelmät 3.1. Yleisesti Tutkimuksessamme voimme jakaa tutkimusmenetelmät kahteen osioon: Kokeelliseen ja vertailu. Kokeellisessa osiossa, suorittamalla sarjan kokeita, joilla määritämme palkin kimmokertoimen suuruuden molemmissa koetilanteissa. Vertailu osuudessa vertailemme saamiamme tuloksia valmistajan ilmoittamiin tuloksiin. Tällä vertailulla pyrimme selvittämään suorittamamme kokeen tarkkuuden. Seuraavaksi perehdymme hiukan siihen, kuinka suoritamme kokeellisen tutkimuksen Kokeellinen osio Työmme koostuu kahdesta erilaisesta tilanteesta, joiden koesuunnittelu eroaa hiukan toisistaan. Aloitamme perehtymällä koesuunnitteluun numero 1. Ensimmäisessä koesuunnittelussa mittaamme palkin kimmomoduulia siten, että palkki on kiinnitetty ainoastaan toiselta puolelta pöytään. Kuva 4 on yksinkertaistettu havainnepiirros tutkittavasta tilanteesta. Vertailun vuoksi suoritamme myös toisen kokeen. Toisessa kokeessa kiinnitämme palkin molemmat päät kiinni nivellettyjen kiinnittimien kanssa, jonka jälkeen kohdistamme voiman kappaleen keskelle. Toisessa kokeessa käytettävän palkin tulee olla saman laatuista, kuin ensimmäisessä kokeessa käyttämämme Vertailuosio Vertailu osiossa tarkastelemme mittaustulostemme paikkaansa pitävyyttä. Vertailemme laskemaamme tulosta valmistajan ilmoittamaan tai yleisesti tiedossa olevaan kertoimeen. Lisäksi pyrimme selvittämään mistä mahdollinen heitto tuloksissa voi johtua. 4. Mittaus ja koejärjestely 4.1. Koejärjestely Koejärjestelyn esittelyssä paneudumme ensin kokeeseen numero 1 jonka jälkeen tarkastelemme koetta numero 2. Molemmissa kokeissa mittaamme palkin venymää taittokohdasta venymäliuskojen avulla. Palkin venymän avulla voimme laskea kappaleen kimmokertoimet.

8 Kokeessa numero 1 kappale kiinnitetään ainoastaan yhdeltä puolelta, jonka jälkeen kappaleen päähän lisätään punnuksia 100 gramman välein. Tähän kuitenkin perehdymme tarkemmin mittausosiossa. Kuva 4 on yksinkertaistettu havainnepiirros tutkittavasta tilanteesta. Kuva 4, jossa F kuvastaa palkkiin kohdistettavaa voimaa. Kokeessa mittaamme venymän, jonka jälkeen lisäämme kohtaan F lisäpainoja noin 100 grammaa kerrallaan. Tämän jälkeen mittaamme uudelleen venymäliuskan antaman arvon ja toistamme painojen lisäyksen. Tätä jatketaan, kunnes saavutamme 5kg painon kappaleen päähän. Koetta kaksi aloittaessa vaihdamme tutkittavan palkin käyttämättömään, mutta samanlaiseen palkkiin kuin kokeessa 1. Tämän teon avulla toivomme vähentävämme aiheutuvien häiriöiden ja epätarkkuuksien määrää. Koe kaksi suoritetaan samankaltaisella tavalla. Suurin ero kokeessa kaksi tulee olemaan kappaleen kiinnittäminen molemmista päistä. Toisen kokeen asettelua havainnollistaa yksinkertaistettuna kuva 5. Kuva 5: Toisen suoritettavan kokeen havainne kuva

9 4.2. Mittaus järjestelyt Kokeellinen osuus Kokeellisessa osuudessa ennen mittausten aloittamista tarkistetaan laitteiston toimivuus. Lisäksi mittaamme palkin ja tarkastamme sen, että se sopii ennalta määrättyihin dimensioihin. Palkkien paksuuksien mittaamiseen käytetään työntömittaa, jolla saadaan riittävä tarkkuus 0,01mm. Pituuden ja leveyden mittaamiseen puolestaan käytetään normaalia rullamittaa, jonka 1mm mittaustarkkuus on varsin riittävä. Jokaisen dimension mittaaminen suoritetaan useasta erikohdasta, mieluiten usealla eri välineellä. Näin voimme minimoida sen, että mittalaitteet ovat vialliset. Lisäksi usean dimension mittaamisella saamme tietoomme palkin suoruuden tai kierouden, ja pystymme vaihtamaan palkin suorempaan yksilöön. Laskennallisessa määrittämisessä parhaan tuloksen saamme käyttämällä mitattujen arvojen keskiarvoa. Palkkien massat mitataan tarkkuusvaalla parhaan mahdollisen tuloksen saamiseksi. Mikäili palkit läpäisevät mittaukset merkitään niihin tussia käyttämällä venymäliuskan paikka, punnusten kiinnityspiste ja palkin kiinnityskohta. Ensimmäisessä kokeessa punnukset kiinnitetään keskelle palkkia 1 cm päähän palkin päästä. Toisessa punnus kiinnitetään palkin keskelle. Venymäliuskan paikka määritetään siten, että ensimmäisessä kokeessa sen tulee olla keskellä palkkia juuri kiinnityspisteen vieressä. Kuvan 4 osoittamalla tavalla. Toisessa kokeessa venymäliuskan keskipiste on samassa kohtaa punnusten asettamispistettä, mutta vastakkaisella puolella kuvan 5 mukaisesti. Suoritettuamme mittaukset ja merkinnät on aika aloittaa itse kokeelliset mittaukset. Kokeelliset mittaukset suoritetaan seuraavassa järjestyksessä. Ensin suoritamme kokeen Valmistellaan koepaikka, kiinnittämällä palkki tukevasti merkitystä kohdasta, jonka jälkeen kiinnitämme venymäliuskan haluttuun kohtaan. 2. Suoritamme ensimmäisen mittakausen, jonka avulla saamme base-linen mittauksillemme 3. Lisäämme merkittyyn kohtaan 100 gramman edestä punnuksia. 4. Mittaamme uudelleen venymäliuskojen antaman tuloksen 5. Toistetaan kohdat 3-4 kunnes olemme saavuttaneet 5kg edestä painoa palkin päähän. 6. Kirjataan tulokset ylös. Tämän jälkeen suoritamme koemittauksen kaksi. Vaihdamme palkin, sekä venymäliuskat uusiin. Myös toisen palkin tulee läpäistä kontrollimittaus. 1. Valmistellaan koepaikka ja kiinnitetään palkki tukevasti. Lisätään myös venymäliuska merkittyyn kohtaan. 2. Suoritetaan base-line mittaus.

10 3. Lisätään punnus merkittyyn kohtaan 4. Mitataan udelleen venymäliuskojen antama arvo 5. Toistetaan kohdat 3-4, kunnes olemme saavuttaneet tavoite painon (5kg). 6. Kirjataan tulokset ylös. Tulosten kirjaaminen tulee tapahtumaan valmiiseen excel-pohjaan, josta ilmenee, kumpi koe on kyseessä, mittauksen järjestysnumero, venymäliuskan arvo, sekä punnusten määrä kilogrammoina Vertailu Vertailussa selvitämme käyttämiemme palkkien laadun ja materiaalin. Lisäksi pyrimme selvittämään tehtaan, jossa ne on valmistettu. Itse vertailussa selvitämme valmistajan/valajan ilmoittaman kimmokertoimen suuruuden. Tämän avulla voimme tarkistaa oman mittauksemme tarkkuuden, sekä yrittää selvittää mistä mahdolliset erot voivat johtua. 5. Virhetarkastelu Tutkimuksessa virheitä syntyy mallista, mittalaitteistosta ja mittaajien aiheuttamista virheistä. Tässä taivutuskokeessa virheitä syntyy seuraavista asioista. Kuorman suuruutta on lähes mahdoton saada vastaamaan täysin haluttua kuormaa, mikä johtuu kappaleiden massojen mittausvirheistä. Virhe pyritään minimoimaan kalibroimalla vaaka ja mittaamalla punnus huolellisesti. Vaa an tulee näyttää nollaa ennen punnuksen asettamista vaa alle, lisäksi vaakaa kokeilaan kuormittaa jollakin ennestään tunnetulla massalla. Lisäksi, mikäli mahdollista, voidaan kokeilla useita eri vaakoja a katsoa mikä on yleisin tulos. Kuorman paikan vaikutus palkin taivutusmomenttiin on merkittävä, joten kuorma pyritään saamaan 1. tapauksessa niin lähelle palkin päätä kuin mahdollista ja 2. tapauksessa täysin keskelle palkkia. Palkin pituus ja 2. mittauksessa palkin keskikohta mitataan metrimitalla, jolla päästään 1 millimetrin tarkkuuteen. Tässä tapauksessa todennäköisesti mittaajan tekemät virheet ovat suurempia kuin 1 mm, joten virheiden välttäminen on pitkälti mittaajan suorituksesta kiinni. Voidaan suorittaa useita mittauksia ja vaihtaa välillä mittaajaa virheen pienentämiseksi. Lisäksi palkin tuennan tulee olla 1. Tapauksessa mahdollisimman jäykkä, eikä palkki saa päästä liikkumaan tuetusta päästä 2. mittauksessa tuennan tulee olla mahdollisimman pistemäinen, jotta todellinen tuenta vastaisi mahdollisimman tarkasti mallia. 2. mittauksessa palkki on mallinettu molemmista päistään nivellisesti tuetuksi. Tukien on oltava yhtä pitkiä siten, että palkki on täysin vaakatasossa, jolloin kuorma vaikuttaa palkkiin kohtisuorasti, ja malli ja mittausolosuhteet vastaavat toisiaan mahdollisimman tarkasti. Palkin poikkileikkauksen dimensiot mitataan työntömitalla, jonka tarkkuus on 0,01 mm, mikä riittää dimensioiden mittaamiseen riittävän tarkasti. Palkin profiilin pitäisi olla vakio koko palkin pituudella, mikä voidaan tarkastaa mittaamalla palkin poikkileikkauksen dimensiot

11 useammasta kohtaa palkkia. Palkin pituus voidaan mitata metrimitalla, jonka tarkkuus on 1 mm, erityisesti täytyy kiinnittää huomiota palkin kierouteen. Kierous vaikuttaa mitattuihin siirtymiin ja näin lopputulokseen. Kierous voidaan mitata esimerkiksi vatupassia apuna käyttäen, mutta silmämääräinen tarkastus pitäisi riittää. Lisäksi lopputuloksena saatuun kimmomoduulin arvoon aiheuttaa epätarkkuutta se, että saadusta mittaustuloksista tehtävissä laskelmissa tehdään yksinkertaistuksen vuoksi joitakin oletuksia, jotka eivät välttämättä päde. Esimerkiksi mikäli materiaali on seos, materiaali ei välttämättä ole täysin homogeenista läpi palkin, siten että jokaisessa poikkileikkauksessa materiaaliominaisuudet vastaavat toisiaan. Tämä on kuitenkin hyvin epätodennäköistä, eikä aiheuta suurta virhettä. 6. Turvallisuus tarkastelu Kokeissa ei ole suuria turvallisuustekijöitä, joita tarvitsisi huomioida. Koe on luonteeltaan turvallinen eikä kokeen pitisi aiheuttaa merkittäviä vaaratilanteista. Palkkia ei jännitetä niin paljoa, että se katketessaan aiheuttaisi vaaraa. Lähteet: kuva 1 kuva 2 [3] Rasitusopin käsikirja, Kari Santaoja (Aalto Yliopisto), Taras 2015 s [4] Rasitusopin käsikirja, Kari Santaoja (Aalto Yliopisto), Taras 2015, Liite 2 taulukko 1&9 [5] Rasitusopin käsikirja, Kari Santaoja (Aalto Yliopisto), Taras 2015 s kuva 3 Rasitusopin käsikirja, Kari Santaoja (Aalto Yliopisto), Taras 2015 s