Materiaalien mekaniikka

Transkriptio

1 Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy = σ 0 ( 1 L x 6xy y ), σ z = τ yz = τ zx = 0, jossa σ 0 ja L ovat vakioita. (Tehtäväpaperissa oli pikku merkkieroavuus.) Ratkaisu Tasapainoyhtälöt ovat muotoa σ ji,j = ρb i, kirjoitetaan ne auki σ 11,1 σ 1, σ 31,3 = ρb 1, σ 1,1 σ, σ 3,3 = ρb, σ 13,1 σ 3, σ 33,3 = ρb 3, jos asetetaan x 1 x, x y, x 3 z, saadaan σ xx,x σ yx,y σ zx,z = ρb x, σ xy,x σ yy,y σ zy,z = ρb y, σ xz,x σ yz,y σ zz,z = ρb z. Muista, että toinen indeksi ilmoittaa jännityskomponentin suunnan, sen on oltava sama yhtälön molemmilla puolilla. Käyttämällä von Kármánin merkintätapaa jossa σ x = σ xx, τ xy = σ xx jne., saadaan muoto σ x,x τ yx,y τ zx,z = ρb x, τ xy,x σ y,y τ zy,z = ρb y, τ xz,x τ yz,y σ z,z = ρb z. Muista, että momenttitasapaino vaatii jännitysmatriisin symmetrisyyden, τ xy = τ yx jne. Suorittamalla tarvittavat derivoinnit saadaan ( σ 0 /L ) (6x + 4y 6x 4y) = 0, ( σ 0 /L ) (x 6y x + 6y) = 0, täten tilavuusvoimat ρb x = ρb y = ρb z = 0 (b i :t ovat voimia massaa kohti), joten jännitystila on tasapainossa ilman ulkoisia tilavuusvoimia. Materiaalien mekaniikka 1

2 . Suorakulmaisessa x, y, z koordinaatistossa jännitystensori on annettu muodossa (1 ξ )η + 3 η (4 η )ξ 0 σ = (4 η )ξ 1 3 (η3 + 1η) 0 σ 0, 0 0 (3 ξ )η jossa ξ = x/l, η = y/l ja σ 0 ja L ovat vakioita. (a) Onko kyseinen jännitystila tasapainossa, jos tilavuusvoimia ei ole? (b) Määritä traktiovektori pisteessa (L, L, 6L), tasolla jonka yhtälö on 3x + 6y + z = 1L. Ratkaisu Menetellen samoin kuin ensimmäisessä tehtävässä havaitaan, että y-suunnassa on oltava tilavuusvoima ρb y = 8σ 0 /L. Yleisesti yhtälöllä f(x, y, z) = 0 määritellyn pinnan normaali saadaan pinnan gradienttina, ja jos halutaan pinnan yksikkönormaali on se normeerattava n = f f. Nyt pinnan määrittelee tason yhtälö f(x, y, z) = 3x + 6y + z 1L = 0, joten f = 3e x + 6e y + e z, jossa e x, e y ja e z ovat koordinaattiakseleiden x, y, z suuntaiset yksikkövektorit. Täten pinnan yksikkönormaali on n = 1 Pisteessä (L, L, 6L) jännitysmatriisi on Traktiovektori on σ = / / t = σ T n = σ σ 0. Lasketaan vielä pinnalla vaikuttava normaalijännitys leikkausjännitys. Traktiovektori voidaan jakaa tietenkin kahteen komponenttiin; pinnan tangentin suuntaiseen leikkausjännityskomponenttiin ja pinnan normaalin suuntaiseen normaalijännityskomponenttiin t = t σ + t τ, Materiaalien mekaniikka

3 jossa t σ = (n t)n, jossa n t = σ n on normaalijännityskomponentti. Nyt pinnalla vaikuttava normaalijännitys on σ n = 3σ 0 /49, joka on siis puristusta, mikäli σ 0 on positiivinen. Leikkausjännityskomponentti saadaan t τ = t t σ = σ σ = σ Leikkausjännityksen itseisarvo saadaan tietenkin t τ :n pituutena Materiaalien mekaniikka 3

4 3. Korkeudeltaan lineaarisesti muuttuvan levyulokeen paksuus t on vakio. Uloketta kuormittaa sen vapaassa päässä leikkausjännitysjakauma, jonka resultantti on F. Määritä tehtävän reunaehdot jokaisella reunan osalla. Johda leikkausjännityksen τ xy (x, y) lauseke olettamalla normaalijännitysten jakautuvan teknisen taivutusteorian mukaisesti. Olettamalla, että voiman F jakauma oikealla pystyreunalla tunnetaan, jolloin ongelman reunaehdot ovat: vinolla ylä- ja alareunalla t n = 0, oikealla pystyreunalla u = 0, vasemmalla pystyreunalla t n = F /t, Vasemmalla pystyreunalla n = e x, jossa e x on x-akselin suuntainen yksikkövektori. Voiman F lauseke olkoon F = f(y)te y, jossa t on levyn paksuus. Traktiovektori on t n = τ xy e y, joten reunaehto vasemmalla pystyreunalla on τ xy = f(y), Vinolla yläreunalla normaalivektori on n = sin αe x + cos αe y. Traktiovektori on ( ) ( ) t = σ T sin α σx + cos α τ n = xy 0 =. (1) sin α τ xy + cos α σ y 0 Vinolla alareunalla normaalivektori on n = sin αe x cos αe y. Traktiovektori on ( ) ( ) t = σ T sin α σx cos α τ n = xy 0 =. sin α τ xy cos α σ y 0 Eulerin-Bernoullin palkkimallin eli teknisen taivutusteorian mukainen normaalijännitysten jakauma on σ x (x, y) = M(x) I(x) y, jossa taivutusmomentti M(x) = F x, ja jossa F on jännitysjakauman f(y) resultantti, eli F = t h 0 h 0 f(y) dy. Palkin poikkileikkauksen jäyhyysmomentti I on t(h(x)) 3 /1 ja palkin korkeuden puolikas h on muotoa h(x) = h 0 + x tan α. Normaalijännityksen lauseke on siten 3F xy σ x (x, y) = t(h(x)) 3. Materiaalien mekaniikka 4

5 Tasapainoyhtälöstä x akselin suunnassa σ x,x + τ xy,y = 0 seuraa τ xy = σ x,x dy. Lasketaan ensin σ x,x : σ x,x = 3F y(h 3h x) th 4, jossa h = dh/dx = tan α. Leikkaysjännityksen lausekkeeksi saadaan siten 3F y τ xy (x, y) = 4th 4 (h 3h x) + C(x), () jossa koordinaatista x riippuva integroimisvakio saadaan määritetyä reunaehdosta reunalla y = h, yhtälö (1), eli josta seuraa sin α σ x (x, h) + cos α τ xy (x, h) = 0, τ xy (x, h) = tan α σ x (x, h) = 3 tan α F x th. Leikkausjännityksen yhtälöstä () saadaan τ xy (x, h) = 3F (h 3h x) th + C(x), jossa h = dh/dx, joten funktioksi C(x) saadaan lauseke C(x) = 3F (1 (x/h) tan α). 4th Leikkausjännityksen jakauman lausekkeeksi saadaan viimein τ xy (x, y) = 3 F ( y ) 3 F (1 (x/h) tan α) + (1 (x/h) tan α) 4 th h 4 th = 3 [ F ( y ) (1 3 x ) 4 th h h tan α 1 + x ] h tan α. On muistettava, että h = h(x) = h 0 (1 + (x/h 0 ) tan α). Poikittainen normaalijännitys σ y voidaan ratkaista tasapainoyhtälöstä σ y y + τ xy x = 0, ja ottamalla huomioon reunaehto (1). Tee tämä harjoitukseksi ja piirrä jännitysten τ xy ja σ y jakauma eri poikkileikkauksissa. Materiaalien mekaniikka 5