Jani-Matti Hätinen Työn pvm assistentti Stefan Eriksson

Transkriptio

1 Kimmoton törmäys Jani-Matti Hätinen Työn pvm assistentti Stefan Eriksson

2 1 Tiivistelmä Tutkittiin liikemäärän ja liike-energian muuttumista kimmottomassa törmäyksessä. Eripainoisia kappaleita pudotettiin samalta korkeudelta jousien varassa roikkuvaan, hiekalla täytettyyn laatikkoon, ja mitattiin aiheutuneen värähdysliikkeen amplitudi. Lisäksi mitattiin pudotuskorkeus, laatikon ja jousien massa sekä pudotettavien kappaleiden massat ja niiden jousiin aiheuttama venymä pudotuksen aiheuttaman värähtelyn lakattua. Esimerkiksi 100 gramman punnuksella liikemääräksi ennen törmäystä saatiin 0,443 0,002 kgm/s ja törmäyksen jälkeen 0,450 0,008 kgm/s ja liike-energioiksi 0,98 0,01 J ennen törmäystä ja 0,029 0,001 J törmäyksen jälkeen. Tulosten perusteella todettiin, että liikemäärä pysyy kutakuinkin samana ennen törmäystä ja törmäyksen jälkeen, kun taas liike-energia muuttuu huomattavasti. 2 Johdanto Kimmoton törmäys ja siihen liittyvät liikemäärän ja liike-energian muutokset ovat yksi klassisen fysiikan perusongelmista ja jo siksi kokeellisen tutkimuksen arvoisia. Työselostuksen tekeminen puolestaan antaa opiskelijalle jonkinlaisen kuvan tieteellisen tutkimuksen julkaisemiseen liittyvistä käytännöistä ja menettelytavoista. Koetilanteessa kimmotonta törmäystä tutkitaan käyttämällä hyväksi muita tunnettuja fysiikan lainalaisuuksia kuten gravitaatiota ja harmonista voimaa. Tämä lähestymistapa tuo hyvin esille sen, että fysiikan lakien voimassaolo ei ole riippuvainen kokeen järjestelyn yksityiskohdista, vaan että samaa ilmiötä voidaan tutkia hyvinkin erilaisin tavoin. 3 Teoria Kimmottomassa törmäyksessä systeemin liikemäärän tulisi säilyä, kun taas liike-energian ei. Kokeessa liike-energia ja -määrää mitattiin käyttäen hyväksi jousille tunnettua harmonista voimaa, sekä maan gravitaatiota. Punnuksen pudotessa kohti hiekkalaatikkoa sen potentiaalienergia maan gravitaatiokentässä muuttuu liike-energiaksi. Samalla punnuksen liikemäärä muuttuu. Törmäyshetkellä osa punnuksen liike-energiasta muuttuu lämpöenergiaksi ja osa kuluu punnuksen muokatessa laatikossa olevan hiekkakasan muotoa. Loput punnuksen liike-energiasta saattavat jousien varassa roikkuvan hiekkalaatikon värähtelyliikkeeseen, jonka amplitudin perusteella voidaan laskea systeemin liike-energia ja liikemäärä törmäyksen jälkeen. 2

3 Harmonisen voiman lain, energiaperiaatteen ja maan gravitaation avulla saadaan johdettua seuraavat yhtälöt: Putoavan kappaleen liikemäärä ennen törmäystä: missä (1) on pudotettavan kappaleen massa, kappaleen nopeus juuri ennen törmäystä, = 9.81 m/s [2] eli putoamiskiihtyvyys maan pinnalla ja kappaleen m pudotuskorkeus. Vastaavasti liike-energia ennen törmäystä: Liike-energia törmäyksen jälkeen:! #"$ (2) &')( *+, - " (3) missä./ eli hiekalla täytetyn astian massan ja jousien massan kolmanneksen summa, on systeemin jousivakio, ( törmäyksen aiheuttaman värähtelyn amplitudi ja + - kappaleen m aiheuttama tasapainoaseman muutos. Vastaavasti liikemäärä törmäyksen jälkeen: [3] 67 #"8 Teoreettinen liike-energiahäviö: Kokeellinen liike-energiahäviö: Harmonisen voiman yhtälö: ; =<?>A@CB ; E * 9 :7 #" (4) - G * H * + -JI D (5) (6) + - (7) 3

4 4 Mittalaitteet ja mittaukset Mittauksessa käytettiin neljän jousen varaan ripustettua laatikkoa, jonka pohjalle oli laitettu reilu kerros kosteaa hiekkaa. Laatikon alle asetettiin ULI-laitteistoon kytketty ultraäänianturi, jonka avulla mitattiin laatikon pystysuuntaista liikettä. Putoavina kappaleina käytettiin erimassaisia metallipunnuksia. Jousien kiinnitystelineistön avulla valittiin yksi piste, josta kaikki erimassaiset punnukset pudotettiin. Mitattiin sekä hiekkalaatikon, jousien, että pudotettavien punnusten massat käyttäen elektronista vaakaa ja useita toistomittauksia. ULI-laitteistoa käyttäen mitattiin heikkalaatikon tasapainoasema sekä tyhjänä, että laittaen astiaan useita eripainoisia punnuksia, systeemin jousivakion määrittämiseksi. Metrimittaa käyttäen mitattiin pudotuspisteen korkeus laatikossa olevan hiekan pinnasta useita kertoja. Tämän jälkeen pudotettiin erimassaisia punnuksia useita kertoja valitusta pudotuspisteestä hiekkalaatikkoon ja ULI-laitteistoa käyttäen mitattiin syntyneen värähtelyliikkeen amplitudi. 4

5 [ ( 5 Tulokset Massojen mittauksissa päädyttiin tulokseen, että saadut virhemarginaalit ovat niin pieniä, ettei niillä kokeen tuloksen kannalta ollut mitään merkitystä. Massoiksi saatiin: Laatikon massa 0 LKNMOKP kg ja jousien massa 4 QNM S P kg, jolloin 10T 3 U4V 3.35 kg + 3 0,145 kg W 3,398 kg. Punnuksien massat: XQNM QQ kg, QNM YQ kg, 3 QM=YQZQ kg, QM=Y]^P [\ kg, 1_`QM=PYQZQ kg. Pudotuskorkeutta mitattaessa päästiin hyvin tarkkaan arvoon, mutta johtuen mm. hiekan muodon muuttumisesta jokaisessa pudotuksessa ja punnusten massakeskipisteiden arvioinnin vaikeudesta päädyttiin hieman korkeampaan virhemarginaaliin. Pudotuskorkeudeksi saatiin MOQZQ m 0,01 m. Venymä tasapainoasemassa (+ - ) mitattiin useille eri punnuksille ja punnusyhdistelmille tarkan jousivakion määrittämiseksi. Pudotuskokeissa kuitenkin käytettiin vain punnuksia,, 3 ja [, sillä suuremmilla punnuksilla ei enää saatu aikaan tasaista värähtelyliikettä. Saadut tulokset olivat: {1} Venymät tasapainoasemassa ja pudotuksen aiheuttaman värähtelyn amplitudi a b (kg) + - b ; b ; b (m) + - b (m) ( 1 0,100 0,020 0,0005 0,040 0, ,120 0,023 0,0005 0,049 0, ,200 0,040 0,0005 0,080 0, ,295 0,060 0,0005 0,113 0, ,500 0,101 0, ,700 0,142 0, ,800 0,162 0,0005 Venymien (+ - Fc b ) perusteella ja käyttäen yhtälöä (7) saatiin määritetyksi jousivakio ] QNM d$e. FcjiOk nm Esim: 3 /fsg fhf g l o e =c _ fpg f f=qrfpg fhfof - W ]M QMhs d e Kaavojen (1), (2), (3) ja (4) avulla saatiin laskettua liikemäärät ja -energiat eri punnuksilla ennen törmäystä ja törmäyksen jälkeen: 5

6 x { k - { - M { a ; - d ; b ; b - d b ; b {2} Liikemäärä ja liike-energia ennen törmäystä ja törmäyksen jälkeen eri punnuksilla ' 8b tb ( ) tb tb V (J) ( ) (J) 1 0,443 0,002 0,98 0,01 0,450 0,008 0,029 0, ,532 0,003 1,18 0,01 0,569 0,006 0,046 0, ,886 0,004 1,96 0,02 0,921 0,008 0,118 0, ,307 0,006 2,89 0,03 1,289 0,009 0,225 0,003 Esim: huvwqnm QQ Vx xy]mhz d e x MhQZQ QNMOQ 2" W QM Z K QMhQZQ - d e `QM YQ xy]nmoz d$e x MOQQ QNMOQ 1" W z QNMOQ Fc Z{ h ] QNM d e "x~} QMOQzZQ QMOQQ 1" * QNMOQ Q QNMOQZQQPY 1" QM h W Z z QMhQZQ x QNM Z z QNMOQZQ^ "'x QNMhYQQ V7KMhKZ]Zz " W QMO]^ QMOQQZz - d Kaavojen (5) ja (6) avulla laskettiin teoreettinen ja kokeellinen liike-energiahäviö kullekin eri punnukselle. {3} Liike-energian teoreettinen ja kokeellisesti havaittu muutos eri punnuksilla a ; < >A@AB ; ; < >A@AB " (J) ; E ; 1 0,95 0,01 0,95 0,01 2 1,14 0,01 1,13 0,01 3 1,85 0,02 1,84 0,02 4 2,66 0,03 2,65 0,03 ; =<?>C@AB Esim: u O fpg t ƒt l=q'fsg u ƒaƒ f EO W QNMO]^P QMhQ ; E ˆ Z{ JMhzZ] QNMOQK A A { * QM=ZZP QMOQQZK { W MOsP QMhQZK 6 Johtopäätökset ; V E " (J) Tuloksista on helppo nähdä, että liikemäärä tosiaan säilyy kutakuinkin vakiona, kun taas liike-energiaa häviää. Kokeellisten ja teoreettisten liike-energiamuutosten keskinäinen tarkkuus on jopa yllättävän hyvä. Liikemäärässä ennen törmäystä ja sen jälkeen on sen sijaan huomattavia eroja. Suurimpana syynä liikemäärän pieneen muutokseen voitaneen pitää pudotuskorkeutta ja sen mittauksessa koettuja vaikeuksia. Hiekkalaatikossa olleen hiekan muodon jatkuvan muuttumisen, punnusten erilaisen muodon, sekä pudottajan inhimillisen virheen yhteisvaikutus on saattanut hyvinkin olla suurempi kuin valittu 0,01 metrin virhemarginaali. Toisaalta, kuten kaavasta (1) nähdään, liikemäärä ennen törmäystä on verrannollinen pudotuskorkeuden neliöjuureen, joten aiheutuneiden virheiden pitäisi olla todella merkittäviä, jotta ne voisivat yksin selittää liikemäärissä tapahtuneet muutokset. Kaikenkaikkiaan mittausta voidaan pitää varsin onnistuneena liikemäärän virheestä huolimatta, sillä saadut tulokset noudattavat käytettyjä teorioita varsin tarkasti, eritoten liike-energiamuutoksen osalta. 6

7 7 Viitteet Helsingin Yliopisto fysikaalisten tieteiden laitos (11. painos 2002), Mekaniikan perusteet harjoitustyöt -moniste, Yliopistopaino s.33 [2] aimo Seppänen, Seppo Tiihonen, Hilkka Wuolijoki,Matti Kervinen, Juhani Smolander, Anja Haavisto, Lea Karkela, Kiuru Varho (2001), MAOL-taulukot. Otava, s.71 [3] aimo Seppänen, Seppo Tiihonen, Hilkka Wuolijoki,Matti Kervinen, Juhani Smolander, Anja Haavisto, Lea Karkela, Kiuru Varho (2001), MAOL-taulukot. Otava, s Liitteet LIITE A: Systeemin jousivakion kuvaaja ( G,+ - ) -asteikolla. LIITE B: ULI-laitteiston piirtämä harmonisen värähtelyn kuvaaja punnukselle. 7