ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

Transkriptio

1 FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään akseloituun alumiinikiskoon kiinnitetyt painot, joita voidaan liikuttaa pyörimisakselin suhteen. 1 Teoriaa Pyöritettäessä kappaletta jonkin akselin ympäri pätee yleisesti r r M = αj, (1) missä M r r r r on pyörittävän voiman momentti M = F ja J r pyöritettävän kappaleen hitausmomentti. Huomaa, että M r ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on 2 J = mr, (2) missä m on massa ja R sen etäisyys pyörimisakselilta. Hitausmomentit kytkeytyvät additiivisesti eli kahden massapisteen systeemin hitausmomentti on niiden hitausmomenttien summa ja niin edelleen. Tässä työssä käytetään yhtälöä (1) hyväksi hitausmomentin kokeelliseen määrittämiseen ja tulosta verrataan yhtälön (2) perusteella laskettuun hitausmomenttiin. Työn taustaksi kannattaa kerrata Young and Freedman, University Physics, luku Mittauslaitteisto Mittalaitteistona käytetään Pascon Rotating platform -alustaa, joka on keskikohdastaan akseloitu mitta-asteikoilla varustettu kisko, johon voidaan siipiruuveilla kiinnittää kaksi "pistemäistä" massaa. Kiskon akseli on kiinnitetty valurautaiseen A-jalustaan. Akselin laakerointi on toteutettu A-jalustan läpivientiin (kuva 1).

2 - 2 - Kuva 1. Työssä käytetty pyörivä alusta. (Kuva: Pasco Instruction Manual E) Laitteiston pyörimistä voidaan seurata Pascon Rotary motion-sensorilla. Akselin liike välitetään pyörimisliikeanturille sama läpimittaisilla hihnapyörillä, joista toinen on kiinnitetty pyörimislaitteiston akselin alapäähän ja toinen pyörimisliikeanturin akseliin. Varmistu mittausta aloittaessasi, että hihnapyörät ovat samansuuruiset, ja että systeemin akselin yksi kierros todella vastaa pyörimisanturin akselin yhtä kierrosta. Liikkeen välittävän hihnan tiukkuutta kannattaa tarkkailla. Jos hihna on kovin löysällä, se rupeaa liukumaan (eli "hiihtämään") eikä liike välity oikein. Jos hihna taas on kovin kireällä, se

3 - 3 - lisää laitteiston kitkaa. Kitka itsessään voidaan ottaa huomioon tulosten analyysissa, mutta hihnan tiukkuus ei saisi muuttua mittausten aikana. Kuva 2. Systeemin pyörittämiseen tarvittavan momentin aikaansaaminen. (Kuva: Pasco Instruction Manual E) Systeemin pyörittämiseen tarvittava momentti (engl. torque) saadaan ripustamalla erimassaisia painoja (hanging mass) väkipyörän kautta kulkevaan lankaan, jonka toinen pää on kierretty akseliin kiinnitetyn hihnapyörän ympärille (kuva 2). Pyörimisen aikaan saavan voiman momentin r M = r r F suuruuden M voit laskea yhtälöstä M = mgr, (3) missä m on systeemiä pyörittävän punnuksen massa, g = painovoiman kiihtyvyys 9,82 m/s 2 ja r on hihnapyörän säde. Mistä koejärjestelyssä on silloin varmistuttava? Arvioi myös tarkkuutta jolla pystyt voiman momentin näin määrittämään! Mittaussysteemin on kuitenkin hiukan kitkaa, joka huomioimatta jätettynä aiheuttaa systemaattista virhettä tuloksiin. Se voitaisiin ottaa huomioon tutkimalla ensin, kuinka

4 - 4 - suurella voimalla (kuinka suurilla punnuksilla) systeemiä tulee pyörittää, että se pyörii tasaisella nopeudella. Pyörimisliikettä kiihdyttää se osa voimasta (tai oikeammin kyseisen voiman momentista) joka ylittää kitkan voittamiseen tarvitun. Kysymys on siten ongelmasta, joka tunnetaan yleisemmin nollakohdan määrittelyn ongelmana. Tässä työssä sen sijaan että ryhtyisimme etsimään voimaa joka antaa tasaisen liikkeen, määritämme kiskon hitausmomentin J ja kitkan voittamiseen tarvittavan voiman momentin M 0 samalla mittauksella. 3 Suoritettavat mittaukset Käynnistetään DataStudio-ohjelma ja liitetään pyörimisliikeanturi mittaukseen. Measurement-valikosta (kaksoisklikkaa anturin ikonia) valitaan mitattavaksi suureeksi kulmanopeus yksikkönä rad/s. Mahdolliset ruksit muiden suureiden kohdalta kannattaa poistaa, ettei mittaus käy kovin sekavaksi. Avataan Graph-ikkuna, josta mittausta voidaan seurata, ja jossa myös tulosten analysointi suoritetaan. Tarvittaessa tarkemmat ohjeet ohjelman käytöstä löytyvät DataStudio-ohjeesta. Mittauslaitteisto tasapainotetaan vaakasuoraan liitteen 1 mukaisesti. Kiskon hitausmomentti Aluksi tutkitaan pelkän kiskosysteemin hitausmomenttia. Käytettyjen punnusten (hanging mass) massa määritetään punnitsemalla. Punnuksen ripustuslanka kierretään akselilla olevan hihnapyörän ympärille (huomaa kuvassa 1 pystysuoraan akseliin (vertical shaft) kiinnitetyn hihnapyörän rei'itys) ja lanka asetetaan kulkemaan väkipyörän (pulley) yli kuvan 2 mukaisesti. Lankaan ripustetaan punnus, jonka massa merkitään muistiin. Kisko pidetään paikallaan ja käynnistetään kulmanopeuden mittaus. Vasta sitten päästetään kisko liikkeelle. Näin mittaus alkaa kulmanopeudesta ω = 0 rad/s. Annetaan systeemin pyörimisen kiihtyä mielellään ainakin 1,5 2,0 rad/s saakka. Suuremmilla kulmanopeuksilla kuvaajasta luettu kulmanopeuden kasvu eli kulmakiihtyvyys saattaa

5 - 5 - alkaa poiketa lineaarisesta. Jos näin käy, se johtuu siitä, että akselin pyörimistä pyörimisanturille välittävä hihna rupeaa lipsumaan. Pysäytetään mittaus ja määritetään kuvaajasta lineaarisella sovituksella kulmakiihtyvyys α. Muutetaan kiihdyttävän punnuksen massaa ja määritetään kulmakiihtyvyyden arvo tällä pyörittävällä voimalla samalla tavoin. Mittaus toistetaan 5 6 erimassaisella punnuksella. Punnusten massat kannattanee valita väliltä 5 g 60 g. Lasketaan yhtälön (3) perusteella kunkin pyörittävän voiman momentti M. Piirretään mitatut pisteet (α,m)-koordinaatistoon. Jos yhtälö (1) todella pätee, pisteet asettuvat suoralle, jonka kulmakerroin on kiskon hitausmomentti J K. Käykö näin? Käytä pienimmän neliösumman sovitusta suoran parametrien löytämiseen. Mikä on hitausmomentti J K? Mikä on kitkavoimien momentti (momentin arvo kun kulmakiihtyvyys α = 0)? Vertaa kokeellista hitausmomenttia teoreettiseen. Massapisteen hitausmomentti Määritä kiskoon kiinnitettävien suorakulmaisten metallikappaleiden (2 kpl) massa (kiinnitysruuveineen!) ja kiinnitä ne symmetrisesti alumiinikiskoon. (Mittaussysteemi on sen verran jämäkkä, että hyvin tasapainotetussa systeemissä voi käyttää yhtäkin metallikappaletta, jos se tuntuu mukavammalta). Mittaa punnusten etäisyys pyörimisakselilta (mieti millä tavoin mittaat kappaleiden painopisteen etäisyyden pyörimisakselilta tarkimmin kuinka tarkasti?). Nyt luotetaan siihen, että laakeroinnista johtuva kitka ei muutu vaikka kiskoon kiinnitetään massoja, ja että se voidaan ottaa laskennallisesti huomioon. Valitaan jokin sopivan tuntuinen punnuksen massa äskeisen mittausalueen keskivaiheilta ja määritetään sillä systeemin (kisko + metallikappaleet) kulmakiihtyvyys α. Kulmakiihtyvyyden saa aikaan (netto)momentti, joka on punnuksen aikaansaama voiman momentti miinus edellä määritetty kitkavoimien momentti.

6 - 6 - Siirrä "massapisteet" uudelle etäisyydelle pyörimisakselista ja toista mittaus. Käytä kaikissa mittauksissa samaa kiihdyttävän voiman antavaa punnusta. Määritä systeemin hitausmomentti kaikkiaan viidelle eri etäisyydelle. Käytä mahdollisuuksien mukaan hyväksi koko alumiinikiskon pituus ja valitse metallikappaleiden paikat jotakuinkin tasapuolisesti kiskon pituudelta. Kussakin tapauksessa systeemin (kisko + metallikappaleet) hitausmomentti J S määritetään mitatun kulmakiihtyvyyden avulla kaavasta (1). Laske hitausmomenttien additiivisuutta hyväksikäyttäen metallikappaleiden hitausmomentti pyörimisakselin suhteen. Vertaa mittauksen avulla saatua tulosta teoreettisesti laskemaasi (olettaen kappaleet massapisteiksi). Voidaksesi kommentoida tulosten yhtäpitävyyttä tai eroavuutta arvioi ensin järkevästi sekä lasketun että mitatun hitausmomentin virhettä. Mitä havaitset? Onko eroa siinä, ollaanko lähellä vai kaukana pyörimisen keskiakselilta? Pitäisikö metallikappaleiden todelliset dimensiot massapisteeksi approksimoimisen sijasta ottaa huomioon teoreettista hitausmomenttia laskettaessa? Kuinka merkittävä korjaus on? Jatkotehtävä: Kiihdyttävän voiman momentti Olet kenties jo huomannut, että suurin epämääräisyys mittauksissa liittyy systeemiä kiertävän punnuksen momentin varren pituuden mittaamiseen. Kokeillaan, voitaisiinko yhtälöstä (3) laskemisen lisäksi mitatuista kulmakiihtyvyyksistä päätellä systeemiä kiertävän momentin M suuruus. Mitatuissa tilanteissa systeemin hitausmomentti J S voidaan kirjoittaa (olettaen kappaleet massapisteiksi) J S = J K + 2mR 2, (4) missä J K on pelkän kiskon hitausmomentti, m on yhden metallikappaleen massa ja R on niiden (yhteinen) etäisyys pyörimisakselilta. Jos kappaleita on vain yksi, kakkonen jää pois. Saadaan siis M =α(j K + 2mR 2 ) (5)

7 - 7 - Jaetaan puolittain α:lla ja M:llä, jolloin 2 1 J K + 2mR J 2m 2 = = K + R. α M M M (6) Tämän kieputuksen tarkoitus on lähinnä vain saada yhtälö muotoon, josta näkyy mitattujen suureiden α ja R keskinäinen riippuvuus. Yhtälö on pyöritelty muotoon, jossa sovitus on yksinkertaisimmin tehtävissä lineaarisoinnin avulla. On mitattu viisi lukuparia (α, R), joiden keskinäistä riippuvuutta kuvaava yhtälö tunnetaan. Muunna mittaamasi lukuparit (α, R) asianmukaisesti ja piirrä pisteet (x,y)- koordinaatistoon. Tee tähän pistejoukkoon lineaarisovitus ja määritä suoran kulmakerroin virherajoineen. Laske tästä momentin M arvo (virheineen huomaa että myös m:llä on virhettä; eri asia, onko sillä mitään merkitystä tuloksen tarkkuuden kannalta onko?). Vertaa M:n arvoa edellä laskettuun. Muuttuiko tulos? Kuinka paljon? Miten saadaan kiskon hitausmomentti sovituksen avulla?

8 - 8 - Liite 1. Mittauslaitteiston tasapainottaminen On tärkeää, että laitteiston pyörivä alusta (rotating platform kuvassa 3) on vaakasuorassa. Laitteisto tasapainotetaan A-jalustassa olevista korkeussäätöruuveista seuraavasti (lattahihna irrotettuna): Kiinnitetään 300 g:n paino pyörivän alustan toiseen päähän. Säädä toisen A-jalustan jalan korkeudensäätöruuvia, kunnes pyörivä alusta pysyy toisen jalan korkeudensäätöruuvin päällä pitelemättä (katso kuvaa 3). Kierrä pyörivä alusta 90 kulmaan edelliseen asentoon nähden. Alusta on silloin samansuuntainen A:n toisen kyljen kanssa. Säädä tähän asti koskemattomana pidettyä korkeudensäätöruuvia A:n toisessa jalassa, kunnes pyörivä alusta pysyy pitelemättä tässä asennossa. Tarkista että pyörivä alusta on vaakasuorassa. Sen pitäisi nyt pysyä paikallaan eikä lähteä kiertymään, asetettiin se minkä suuntaiseksi hyvänsä. Kuva 3: Pyörivän alustan tasapainottaminen vaakasuoraksi. (Kuva: Pasco Instruction Manual E)